طبقه بندی نمایش های SO(3، 1) [ ویرایش ]

راهبردی که در طبقه‌بندی نمایش‌های بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر دنبال می‌شود، در قیاس با حالت بعد محدود، فرض وجود آنها و بررسی ویژگی‌های آنهاست. بنابراین ابتدا فرض کنید که یک نمایش بی‌بعدی به شدت پیوسته تقلیل‌ناپذیر Π H در فضای هیلبرت H از SO(3; 1) + در دسترس است. [142] از آنجایی که SO(3) یک زیر گروه است، Π H نیز نمایشی از آن است. هر نمایش فرعی تقلیل ناپذیر SO(3) بعد محدود است و SO(3)در صورتی که Π H واحد باشد ، نمایش به مجموع مستقیم نمایش‌های واحدی محدودبعدی تقلیل‌ناپذیر SO(3) قابل تقلیل است. [143]

مراحل به شرح زیر است: [144]

  1. یک مبنای مناسب از بردارهای ویژه مشترک J 2 و J 3 را انتخاب کنید.
  2. محاسبه عناصر ماتریس J 1 , J 2 , J 3 و K 1 , K 2 , K 3 .
  3. روابط کموتاسیون جبر لی را اجرا کنید.
  4. نیاز به یکپارچگی همراه با متعارف بودن پایه. [nb 37]

مرحله 1 [ ویرایش ]

یک انتخاب مناسب برای پایه و برچسب گذاری توسط

{\displaystyle \left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .}

اگر این یک نمایش با بعد محدود بود ، j 0 با کمترین مقدار ویژه j ( j + 1) J 2 در نمایش مطابقت دارد ، برابر با | m − n | و j 1 به بالاترین مقدار ویژه که برابر با m + n است مطابقت دارد . در حالت بی‌بعد، j 0 ≥ 0 این معنی را حفظ می‌کند، اما j 1 ندارد. [66] برای سادگی، فرض می شود که j معینحداکثر یک بار در یک نمایش داده شده رخ می دهد (این مورد برای نمایش های بعد محدود است) و می توان نشان داد [145] که با نتایج یکسان می توان از این فرض اجتناب کرد (با یک محاسبه کمی مختلط تر).

مرحله 2 [ ویرایش ]

مرحله بعدی محاسبه عناصر ماتریس عملگرهای J 1 , J 2 , J 3 و K 1 , K 2 , K 3 است که اساس جبر Lie را تشکیل می دهند.{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}عناصر ماتریس از{\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}}وJ_3( جبر مختلط لی درک می شود) از نظریه نمایش گروه چرخش شناخته شده است و توسط [146] [147] ارائه شده است.

{\displaystyle {\begin{تراز شده}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right |J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right| J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{تراز شده}}} که در آن برچسب‌های j 0 و j 1 حذف شده‌اند زیرا برای همه بردارهای پایه در نمایش یکسان هستند.

با توجه به روابط تخفیف

{\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},} سه گانه ( Ki ، Ki ، Ki ) ≡ K یک عملگر برداری است [ 148] و قضیه ویگنر - اکارت [149] برای محاسبه عناصر ماتریس بین حالت هایی که با مبنای انتخاب شده نشان داده می شوند، اعمال می شود. [150] عناصر ماتریس از

{\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1} {\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2})،\end{تراز شده}}}

که در آن بالانویس (1) نشان می‌دهد که کمیت‌های تعریف‌شده اجزای یک عملگر تانسور کروی با رتبه k = 1 هستند (که عامل √ 2 را نیز توضیح می‌دهد) و زیرنویس‌های 0، ±1 به عنوان q در فرمول‌های زیر نامیده می‌شوند. توسط [151] ارائه شده است

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\ ,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\ \\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k =1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{تراز شده} }}

در اینجا اولین فاکتورها در سمت راست ضرایب کلبش-گوردان برای جفت کردن j ′ با k برای بدست آوردن j هستند. عامل دوم کاهش عناصر ماتریس است . آنها به m ، m′ یا q وابسته نیستند، بلکه به j ، j′ و البته K بستگی دارند . برای فهرست کامل معادلات ناپدید شدن، به Harish-Chandra (1947 ، ص 375) مراجعه کنید.

مرحله 3 [ ویرایش ]

گام بعدی این است که بخواهیم روابط جبر لی برقرار باشد، یعنی آن

{\displaystyle [K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.}

این منجر به مجموعه ای از معادلات [152] می شود که راه حل های آن [153] است.

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}} {\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j} \xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}}،\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &= B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}}،\end{تراز شده}}} جایی که

{\displaystyle B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j ^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{و}} \quad j_{1}،\xi _{j}\in \mathbb {C}.}

مرحله 4 [ ویرایش ]

تحمیل شرط یکسانی نمایش متناظر گروه ، مقادیر ممکن را برای اعداد مختلط دلخواه j 0 و ξ j محدود می کند. یکپارچگی نمایش گروه به این معناست که نمایندگان جبر لی هرمیتی باشند، به این معنی

{\displaystyle K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.}

این به [154] ترجمه می شود

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K ^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=- {\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{تراز شده}}} منجر به [155]

{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right| \left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0،\end{تراز شده}}} که β j زاویه B j روی شکل قطبی است. برای | B j | ≠ 0 دنبال می شود{\displaystyle \left|\xi _{j}\right|^{2}=1}و{\displaystyle \xi _{j}=1}بر اساس قرارداد انتخاب شده است. دو مورد احتمالی وجود دارد:


این نشان می‌دهد که نمایش‌های بالا همگی نمایش‌های واحد کاهش‌ناپذیر بی‌بعدی هستند.