3-نظریه نمایش گروه لورنتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ | 7:21

توسعه [ ویرایش ]

تئوری کامل نمایش‌های بعدی محدود جبر لی از گروه لورنتس با استفاده از چارچوب کلی نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده استنباط می‌شود . نمایش های بعد محدود مولفه متصل ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ از گروه کامل لورنتس O(3; 1) با استفاده از تناظر لی و ماتریس نمایی به دست می آید . نظریه نمایش کامل ابعاد محدود گروه پوشش جهانی (و همچنین گروه اسپین ، یک پوشش دوتایی) ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ از ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ به دست می آید، و به صراحت بر حسب عمل در یک فضای تابع در نمایش هایی از داده می شود ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . نمایندگان معکوس زمان و وارونگی فضا در وارونگی فضا و زمان معکوس داده شده اند و نظریه ابعاد محدود را برای گروه کامل لورنتس تکمیل می کنند. ویژگی های کلی نمایش های ( m , n ) مشخص شده است. عمل در فضاهای تابع در نظر گرفته شده است، با عمل بر روی هارمونیک های کروی و توابع P ریمان به عنوان مثال ظاهر می شوند. مورد بی‌بعدی بازنمودهای واحد تقلیل‌ناپذیر برای ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ سری اصلی و سری مکمل در نهایت، فرمول Plancherel برای ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ داده می شود، و نمایش های SO(3، 1) برای جبرهای لی طبقه بندی و تحقق می یابد.

توسعه تئوری نمایش از لحاظ تاریخی به دنبال توسعه نظریه عمومی‌تر تئوری نمایش گروه‌های نیمه‌ساده بوده است، که عمدتاً ناشی از الی کارتان و هرمان ویل است، اما گروه لورنتس نیز به دلیل اهمیت آن در فیزیک مورد توجه ویژه‌ای قرار گرفته است. مشارکت کنندگان قابل توجه فیزیکدان EP Wigner و ریاضیدان والنتاین Bargmann با برنامه Bargmann-Wigner خود هستند [1] ، [1] که یک نتیجه گیری از آن، تقریباً طبقه بندی تمام نمایش های واحد گروه ناهمگن لورنتز برابر با طبقه بندی همه معادلات موج نسبیتی ممکن است . [2]طبقه‌بندی نمایش‌های بینهایت‌بعدی تقلیل‌ناپذیر گروه لورنتس توسط دانشجوی دکترای فیزیک نظری پل دیراک ، هاریش-چاندرا ، که بعداً ریاضی‌دان شد، در سال 1947 ایجاد شد. طبقه‌بندی مربوطه برای $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ به طور مستقل توسط برگمن و اسرائیل گلفاند به همراه مارک نایمارک در همان سال منتشر شد.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بسیاری از نمایش‌ها، هم بعد محدود و هم بی‌بعد، در فیزیک نظری مهم هستند. نمایش‌هایی در توصیف میدان‌ها در نظریه میدان کلاسیک ، مهم‌تر از همه میدان الکترومغناطیسی ، و ذرات در مکانیک کوانتومی نسبیتی ، و همچنین ذرات و میدان‌های کوانتومی در نظریه میدان کوانتومی و اجسام مختلف در نظریه ریسمان و فراتر از آن ظاهر می‌شوند. نظریه نمایش همچنین زمینه نظری مفهوم اسپین را فراهم می کند . این نظریه وارد نسبیت عام می شودبه این معنا که در مناطق به اندازه کافی کوچک از فضازمان، فیزیک از نسبیت خاص است. [3]

نمایش‌های غیر واحدی کاهش‌ناپذیر بُعد محدود همراه با نمایش‌های واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر گروه لورنتس ناهمگن ، گروه پوانکر، نمایش‌هایی هستند که ارتباط فیزیکی مستقیم دارند. [4] [5]

نمایش‌های واحد بی‌بعدی گروه لورنتس با محدودیت نمایش‌های واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر گروه پوانکاره که بر روی فضاهای هیلبرت مکانیک کوانتومی نسبیتی و نظریه میدان کوانتومی عمل می‌کنند، ظاهر می‌شوند . اما اینها همچنین دارای علاقه ریاضی و ارتباط مستقیم فیزیکی بالقوه در نقش‌های دیگر به غیر از یک محدودیت صرف هستند. [6] نظریات گمانه‌زنی وجود داشت، [7] [8] (تانسورها و اسپینورها مشابه‌های بی‌نهایتی در بسط‌دهنده‌های دیراک و بسط‌دهنده‌ها دارند.هاریش-چاندرا) با نسبیت و مکانیک کوانتومی سازگار است، اما هیچ کاربرد فیزیکی اثبات شده ای پیدا نکرده اند. نظریات نظری مدرن به طور بالقوه دارای اجزای مشابهی در زیر هستند.

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

در حالی که میدان الکترومغناطیسی همراه با میدان گرانشی تنها میدان‌های کلاسیکی هستند که توصیفات دقیقی از طبیعت ارائه می‌دهند، انواع دیگر میدان‌های کلاسیک نیز مهم هستند. در رویکرد به نظریه میدان کوانتومی (QFT) که به عنوان کوانتیزه دوم نامیده می شود ، نقطه شروع یک یا چند میدان کلاسیک است، به عنوان مثال توابع موجی که معادله دیراک را حل می کنند، به عنوان میدان های کلاسیک قبل از کوانتیزاسیون (دوم) در نظر گرفته می شوند. [9] در حالی که کوانتیزاسیون دوم و فرمالیسم لاگرانژی مرتبط با آن جنبه اساسی QFT نیست، [10]این موردی است که تا کنون می توان به همه نظریه های میدان کوانتومی از جمله مدل استاندارد به این روش نزدیک شد . [11] در این موارد، نسخه‌های کلاسیکی از معادلات میدان وجود دارد که از معادلات اویلر-لاگرانژ مشتق شده از لاگرانژ و با استفاده از اصل کمترین عمل به دست آمده‌اند . این معادلات میدانی باید از نظر نسبیتی ثابت باشند، و راه‌حل‌های آنها (که طبق تعریف زیر به عنوان توابع موج نسبیتی واجد شرایط می‌شوند) باید تحت برخی نمایش‌های گروه لورنتس تبدیل شوند.

عمل گروه لورنتس در فضای پیکربندی میدان (پیکربندی میدان تاریخچه فضا-زمان یک راه حل خاص است، به عنوان مثال میدان الکترومغناطیسی در تمام فضا در تمام زمان ها یک پیکربندی میدان است) شبیه عملکرد فضاهای هیلبرت کوانتومی است. مکانیک، با این تفاوت که براکت های کموتاتور با براکت های پواسون تئوری میدانی جایگزین می شوند . [9]

مکانیک کوانتومی نسبیتی [ ویرایش ]

برای اهداف حاضر، تعریف زیر ارائه شده است: [12] یک تابع موج نسبیتی مجموعه‌ای از n تابع ψα در فضازمان است که تحت یک تبدیل لرنتس دلخواه Λ به عنوان تبدیل می‌شود.

$\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x \درست)،$

که در آن D [Λ] یک ماتریس n بعدی است که نماینده Λ است که به مجموع مستقیم نمایش‌های ( m , n ) که در زیر معرفی می‌شوند تعلق دارد.

مفیدترین نظریه‌های تک ذره‌ای مکانیک کوانتومی نسبیتی (هیچ نظریه‌ای کاملاً منسجم وجود ندارد) معادله کلاین-گوردون [13] و معادله دیراک [14] در محیط اصلی خود هستند. آنها از نظر نسبیتی ثابت هستند و راه حل های آنها تحت گروه لورنتس به ترتیب به صورت اسکالرهای لورنتس ( ( m , n ) = (0, 0) ) و بیسپینورها ( (0,1/2) ⊕ (1/2، 0) ). طبق این تعریف، میدان الکترومغناطیسی یک تابع موج نسبیتی است که تحت (1، 0) ⊕ (0، 1) تبدیل می شود. [15]

نمایش‌های بی‌بعدی ممکن است در تحلیل پراکندگی استفاده شوند. [16]

نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

در نظریه میدان کوانتومی ، تقاضا برای تغییر ناپذیری نسبیتی وارد می‌شود، در میان راه‌های دیگر که ماتریس S لزوماً باید پوانکره ثابت باشد. [17] این مفهوم دارد که یک یا چند نمایش بی‌بعدی از گروه لورنتس وجود دارد که در فضای فوک عمل می‌کنند. [nb 4] یکی از راه‌های تضمین وجود چنین نمایش‌هایی، وجود توصیف لاگرانژی (با الزامات محدود تحمیل شده، مراجعه کنید به مرجع) از سیستم با استفاده از فرمالیسم متعارف است، که از آن می‌توان مولدهای گروه لورنتس را درک کرد. استنباط شود. [18]

دگرگونی‌های عملگرهای میدانی نقش مکملی را که توسط نمایش‌های بُعد محدود گروه لورنتس و نمایش‌های واحد بی‌بعدی گروه پوانکر ایفا می‌کنند، نشان می‌دهد و شاهد وحدت عمیق بین ریاضیات و فیزیک است. [19] برای مثال، تعریف را یک عملگر میدان n جزء در نظر بگیرید : [20] یک عملگر میدان نسبیتی مجموعه‌ای از n توابع با ارزش عملگر در فضازمان است که تحت تبدیل‌های پوانکره مناسب (Λ, a ) مطابق [21] [ 21] [21] تبدیل می‌شود. 22]

$\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1} \left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a )$

در اینجا U [Λ, a] عملگر واحدی است که (Λ, a) را در فضای هیلبرت نشان می دهد که Ψ در آن تعریف شده است و D یک نمایش n بعدی از گروه لورنتس است. قانون تبدیل دومین اصل وایتمن در نظریه میدان کوانتومی است.

با در نظر گرفتن محدودیت های دیفرانسیل که عملگر میدان باید برای توصیف یک ذره منفرد با جرم معین m و اسپین s (یا مارپیچ) تحت آنها قرار گیرد، این نتیجه حاصل می شود که [23] [nb 5]

$\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p},\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip \cdot x}\راست)،$

( X1 )

که در آن a † ، a به ترتیب به عنوان عملگرهای ایجاد و نابودی تفسیر می شوند. عملگر ایجاد a † مطابق [23] [24] تبدیل می شود

$a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^ {\ dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p},\rho )D^{ (s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },$

و به طور مشابه برای عملگر نابودی. نکته ای که باید به آن اشاره کرد این است که عملگر میدان بر اساس یک نمایش غیر واحدی محدود بعدی از گروه لورنتس تبدیل می شود، در حالی که عملگر ایجاد تحت نمایش واحد بینهای بعدی گروه پوانکر که با جرم و اسپین ( m ) مشخص می شود، تبدیل می شود. ، s ) از ذره. ارتباط بین این دو توابع موج هستند که توابع ضریب نیز نامیده می شوند

$u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p},\sigma )e^{- ip\cdot x}$

که هم شاخص‌های ( x , α ) را که توسط تبدیل‌های لورنتس عمل می‌کنند و هم شاخص‌های ( p , σ ) را که توسط تبدیل‌های پوانکاره عمل می‌کنند، دارند. این را می توان اتصال لورنتس-پوانکاره نامید. [25] برای نشان دادن ارتباط، هر دو طرف معادله (X1) را به یک تبدیل لورنتس تبدیل کنید که به عنوان مثال ، u .

${D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R( \Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),$

که در آن D نماینده غیر واحدی گروه لورنتس از Λ است و D ( s ) نماینده واحدی از به اصطلاح چرخش ویگنر R مرتبط با Λ و p است که از نمایش گروه پوانکاره ناشی می‌شود و s اسپین ذره

تمام فرمول های فوق، از جمله تعریف عملگر میدان از نظر عملگرهای ایجاد و نابودی، و همچنین معادلات دیفرانسیل برآورده شده توسط عملگر میدان برای ذره ای با جرم مشخص، اسپین و نمایش ( m , n ) که تحت آن قرار است تبدیل شود، [nb 6] و همچنین تابع موج، می تواند تنها از ملاحظات نظری گروهی پس از ارائه چارچوب های مکانیک کوانتومی و نسبیت خاص استخراج شود. [nb 7]

نظریه های گمانه زنی [ ویرایش ]

در نظریه‌هایی که فضازمان می‌تواند بیش از 4 = D داشته باشد، گروه‌های لورنتس تعمیم‌یافته O( D -1; 1) با بعد مناسب، جای O(3; 1) را می‌گیرند. [nb 8]

شرط عدم تغییر لورنتز شاید چشمگیرترین اثر خود را در نظریه ریسمان می گیرد . رشته های نسبیتی کلاسیک را می توان در چارچوب لاگرانژی با استفاده از عمل Nambu–Goto مدیریت کرد . [26] این منجر به یک نظریه نسبیتی ثابت در هر بعد فضا-زمانی می شود. [27] اما همانطور که پیداست، نظریه ریسمان های بوزونی باز و بسته (ساده ترین نظریه ریسمان) غیرممکن است به گونه ای کوانتی شود که گروه لورنتس در فضای حالت ها (یک فضای هیلبرت ) نمایش داده شود، مگر اینکه بعد فضازمان 26 است. [28] نتیجه مربوط بهنظریه ابر ریسمان مجدداً با تقاضای تغییر ناپذیری لورنتس استنتاج شده است، اما اکنون با ابرتقارن . در این نظریه ها جبر پوانکاره با یک جبر ابرتقارن جایگزین می شود که جبر لی درجه Z 2 است که جبر پوانکاره را گسترش می دهد. ساختار چنین جبری تا حد زیادی توسط الزامات تغییر ناپذیری لورنتس ثابت است. به طور خاص، عملگرهای فرمیونی (درجه 1 ) متعلق به (0،1/2) یا (1/2، 0) فضای نمایشی جبر لی لورنتس (معمولی). [29] تنها بعد ممکن فضا-زمان در چنین نظریه هایی 10 است. [30]

نمایش های بعد محدود [ ویرایش ]

نظریه نمایش گروه ها به طور کلی، و گروه های لی به طور خاص، موضوع بسیار غنی است. گروه لورنتز دارای برخی ویژگی‌ها است که آن را «موافق» می‌سازد و برخی دیگر آن را «خیلی موافق» در چارچوب نظریه نمایش می‌سازد. گروه ساده و در نتیجه نیمه ساده است، اما متصل نیست و هیچ یک از اجزای آن به سادگی به هم متصل نیستند. علاوه بر این، گروه لورنتس فشرده نیست . [31]

برای نمایش‌های محدود بعدی، وجود نیمه سادگی به این معنی است که با گروه لورنتز می‌توان به همان روشی که با سایر گروه‌های نیمه ساده با استفاده از یک نظریه به خوبی توسعه‌یافته برخورد کرد. علاوه بر این، تمام نمایش‌ها از نمونه‌های تقلیل‌ناپذیر ساخته می‌شوند ، زیرا جبر لی دارای خاصیت تقلیل‌پذیری کامل است . [nb 9] [32] اما، عدم فشردگی گروه لورنتز، در ترکیب با عدم اتصال ساده، نمی‌تواند از همه جنبه‌ها مانند چارچوب ساده‌ای که برای گروه‌های به‌سادگی متصل و فشرده اعمال می‌شود، بررسی کرد. عدم فشردگی برای یک گروه Lie ساده دلالت دارد که هیچ نمایش واحدی با ابعاد محدود غیر پیش پا افتاده وجود ندارد. [33]عدم اتصال ساده باعث نمایش چرخشی از گروه می شود. [34] عدم اتصال به این معنی است که برای نمایش گروه کامل لورنتز، وارونگی زمان و وارونگی فضا باید جداگانه بررسی شود. [35] [36]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

3-نظریه نمایش گروه لورنتس

توسعه [ ویرایش ]