7-نظریه نمایش گروه لورنتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ | 8:8

نمایش های خطی حقیقی [ ویرایش ]

نمایش های ( μ , ν ) در فضایی از چندجمله ای ها تحقق می یابند $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ که در $z_{1}،{\overline {z_{1}}}،z_{2}،{\overline {z_{2}}}،$ همگن درجه μ در $z_{1}،z_{2}$ و همگن درجه ν در ${\overline {z_{1}}}،{\overline {z_{2}}}.$ [79] نمایش ها توسط [83] ارائه شده است.

$(\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _ {\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{ pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\ end{pmatrix}}\right),\quad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.$

( S6 )

با به کارگیری مجدد (G6) مشخص می شود که

${\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(E)P=&-{\frac {\partial P}{\partial z_{1}}}\left(E_{11} z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22} z_{2}\right)\\&-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1}}}}}\left({\overline {E_{11}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{12}}}{\overline {z_{2}}}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2 }}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\ سمت راست)\end{تراز شده}}،\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C}).$

( S7 )

به ویژه برای عناصر پایه،

${\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2} {\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}+ {\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=- z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}} }}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1} }}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}\end{aligned}}$

( S8 )

خصوصیات نمایش های ( m , n ) [ ویرایش ]

نمایش‌های ( m , n ) که در بالا از طریق (A1) تعریف شده‌اند (به عنوان محدودیت‌هایی برای شکل حقیقی ${\mathfrak {sl}}(3،1)$ ) از محصولات تانسوری نمایش های خطی مختلط تقلیل ناپذیر π m = μ و π n = ν از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ غیر قابل تقلیل هستند، و آنها تنها نمایش غیر قابل تقلیل هستند. [61]

تقلیل ناپذیری از ترفند واحد [84] ناشی می شود و اینکه یک نمایش Π از SU(2) × SU(2) تقلیل ناپذیر است اگر و فقط اگر Π = Π μ ⊗ Π ν , [nb 23] که در آن Π μ , Π ν تقلیل ناپذیر هستند نمایندگی های SU(2) .
منحصربه‌فرد بودن از این نتیجه حاصل می‌شود که Π m تنها نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر SU(2) هستند، که یکی از نتایج قضیه بالاترین وزن است. [85]

ابعاد [ ویرایش ]

نمایش های ( m ، n ) ( 2 m + 1) (2 n + 1) -بعدی هستند. [86] این ساده‌تر از شمارش ابعاد در هر تحقق عینی است، مانند آنچه در نمایش‌هایی از ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . برای جبر عمومی لی ${\mathfrak {g}}$ فرمول بعد ویل ، [87]

$\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\ alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},$ در جایی که R + مجموعه ریشه های مثبت است، ρ بالاترین وزن، و δ نصف مجموع ریشه های مثبت است. ضرب درونی $\langle \cdot ،\cdot \rangle$ جبر لی است ${\mathfrak {g}}،$ ثابت تحت عمل گروه Weyl در ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ زیر جبر کارتن ریشه ها (واقعاً عناصر ${\mathfrak {h}}^{*}$ از طریق این محصول درونی با عناصر شناسایی می شوند ${\mathfrak {h}}.$ برای ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ فرمول به کم نور π μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1 کاهش می یابد که در آن نماد فعلی باید در نظر گرفته شود . بیشترین وزن 2 میکرون است. [88] با گرفتن محصولات تانسور، نتیجه به شرح زیر است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی