​

گروه [ ویرایش ]

رویکرد در این بخش مبتنی بر قضایایی است که به نوبه خود بر اساس مطابقت اساسی لی است. [67] مکاتبات Lie در اصل یک فرهنگ لغت بین گروه‌های Lie مرتبط و جبرهای Lie است. [68] پیوند بین آنها نگاشت نمایی از جبر لی به گروه Lie است که نشان داده شده است.{\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G.}

اگر{\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}برای برخی از فضای برداری V یک نمایش است، یک نمایش Π از مولفه متصل G توسط تعریف می شود

{\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e ^{iX}\in \mathrm {im} (\exp),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\ Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n})،&&g\notin \mathrm {im} (\exp)،\quad g_{1}،g_{2}،\ldots،g_{n} \in \mathrm {im} (\exp).\end{تراز شده}}}

( G2 )

این تعریف اعمال می شود که آیا نمایش حاصل تصویری باشد یا خیر.

سطح نمایی نقشه نمایی برای SO(3، 1) [ ویرایش ]

از نقطه نظر عملی، مهم است که آیا فرمول اول در (G2) می تواند برای همه عناصر گروه استفاده شود. برای همه جا دارد{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}با این حال، در حالت کلی، به عنوان مثال برای{\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}، همه g ∈ G در تصویر exp نیستند.

ولی{\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}} سوژه ای است . یکی از راه‌های نشان دادن این موضوع استفاده از ایزومورفیسم است{\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C})}دومی گروه موبیوس است. ضریبی است از{\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}(به مقاله مرتبط مراجعه کنید). نقشه ضریب با نشان داده می شود{\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C})\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C}).}نقشه{\displaystyle \exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}روی است. [69] (لی) را با π که دیفرانسیل p در هویت است اعمال کنید . سپس

{\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C}):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).}

از آنجایی که سمت چپ سورجکتیو است (هر دو exp و p هستند)، سمت راست سوجکتیو است و از این رو{\displaystyle \exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}سوژه ای است. [70] در نهایت، یک بار دیگر استدلال را بازیافت کنید، اما اکنون با ایزومورفیسم شناخته شده بین SO(3; 1) + و{\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}برای پیدا کردن اینکه exp برای مؤلفه متصل گروه لورنتس است.

گروه بنیادی [ ویرایش ]

گروه لورنتس به طور مضاعف متصل است، یعنی π 1 (SO(3; 1)) گروهی با دو کلاس معادل حلقه به عنوان عناصر آن است.

اثبات

برای نمایش گروه بنیادی SO(3; 1) + ، توپولوژی گروه پوششی آن{\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}در نظر گرفته شده است. با قضیه تجزیه قطبی ، هر ماتریس{\displaystyle \lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}ممکن است منحصراً به صورت [71] بیان شود

{\displaystyle \lambda =ue^{h}،}

که در آن u واحد با تعیین یک است، بنابراین در SU(2) و h هرمیتین با ردیابی صفر است . ردیابی و شرایط تعیین کننده دلالت دارند: [72]

{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{ 3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R } ^{4}{\text{ موضوع }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\end{تراز شده}}}

نقشه آشکارا پیوسته یک به یک یک همومورفیسم با معکوس پیوسته است که توسط (موقعیت u با{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}})

{\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C})\\( r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}}

به صراحت نشان می دهد که{\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}به سادگی متصل است. ولی{\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},}جایی که{\displaystyle \{\pm I\}}مرکز است{\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}. شناسایی λ و - λ به معنای شناسایی u با -u است ، که به نوبه خود به معنای شناسایی نقاط پادپای روی است.{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}.}بنابراین از نظر توپولوژیکی، [72]

{\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2})، }

جایی که آخرین فاکتور به سادگی متصل نیست: از نظر هندسی، دیده می شود (برای اهداف تجسم،{\mathbb {S}}^{3}ممکن است جایگزین شود{\mathbb {S}}^{2}) که یک مسیر از u به {\displaystyle SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}} یک حلقه در است{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}از آنجایی که u و - u نقاط پادپای هستند و به یک نقطه قابل انقباض نیست. اما یک مسیر از u به - u ، از آنجا دوباره به u ، یک حلقه به داخل{\mathbb {S}}^{3}و یک حلقه دوتایی (با در نظر گرفتن p ( ue h ) = p ( - ue h ) ، که در آن{\displaystyle p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C})\to {\text{SO}}(3;1)}نقشه پوشش است) در{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}که تا یک نقطه قابل انقباض است (به طور پیوسته از − u "در طبقه بالا" دور شوید{\mathbb {S}}^{3}و مسیر را تا نقطه u کوچک کنید ). [72] بنابراین π 1 (SO(3; 1)) گروهی با دو کلاس معادل حلقه به عنوان عناصر آن است، یا به زبان ساده تر، SO(3؛ 1) دو برابر متصل است .

نمایش تصویری [ ویرایش ]

از آنجایی که π 1 (SO(3; 1) + ) دارای دو عنصر است، برخی از نمایش‌های جبر Lie نمایش‌های تصویری به دست می‌دهند . [73] [nb 18] هنگامی که مشخص شد آیا یک نمایش تصویری است یا خیر، فرمول (G2) برای همه عناصر گروه و همه نمایش‌ها، از جمله عناصر تصویری اعمال می‌شود - با این درک که نماینده یک عنصر گروه به کدام عنصر بستگی دارد. در جبر لی ( X در (G2) ) برای نشان دادن عنصر گروه در نمایش استاندارد استفاده می شود.

برای گروه لورنتس، نمایش ( m , n ) -تصویری است که m + n یک عدد نیمه صحیح باشد. § spinors را ببینید .

برای یک نمایش تصویری Π از SO(3; 1) + ، چنین است که [72]

{\displaystyle \left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\راست] ^{2}=1\پیکان راست \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})،\quad \Lambda _{1}،\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1)،}

( G5 )

از آنجایی که هر حلقه در SO(3; 1) + دو بار پیمایش شود، به دلیل اتصال دوگانه، به یک نقطه قابل انقباض است، به طوری که کلاس هموتوپی آن یک نقشه ثابت است. نتیجه این است که Π یک تابع دو مقدار است. انتخاب یک علامت برای به دست آوردن یک نمایش پیوسته از تمام SO(3; 1) + امکان پذیر نیست، اما این به صورت محلی در اطراف هر نقطه ممکن است. [33]