13-نظریه نمایش گروه لورنتس
مسئله های باز [ ویرایش ]
طبقه بندی و توصیف نظریه نمایش گروه لورنتز در سال 1947 تکمیل شد. اما در ارتباط با برنامه بارگمن-ویگنر، هنوز مسائل کاملاً ریاضی حل نشده ای وجود دارد که به نمایش های واحد بینهای بعدی مرتبط است.
نمایش‌های واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر ممکن است ارتباط غیرمستقیم با حقیقیت فیزیکی در نظریه‌های مدرن نظری داشته باشند، زیرا گروه لورنتس (تعمیم‌شده) به عنوان گروه کوچکی از گروه پوانکاره از بردارهای فضامانند در بعد فضازمان بالاتر ظاهر می‌شوند. نمایش‌های واحد بی‌بعدی مربوط به گروه پوانکره (تعمیم‌یافته) به اصطلاح نمایش‌های تاکیونیک هستند . تاکیون ها در طیف رشته های بوزونی ظاهر می شوند و با ناپایداری خلاء همراه هستند. [161] [162] حتی اگر تاکیون ها ممکن است در طبیعت محقق نشوند، این نمایش ها باید از نظر ریاضی درک شوند.برای درک نظریه ریسمان این به این دلیل است که حالت های تاکیون در تئوری های ابر ریسمان نیز در تلاش برای ایجاد مدل های واقع گرایانه ظاهر می شوند. [163]
یکی از مشکلات باز، تکمیل برنامه بارگمن-ویگنر برای گروه ایزومتری SO( D -2,1 ) فضای زمان دی سیتر dSD- 2 است . در حالت ایده‌آل، مولفه‌های فیزیکی توابع موج بر روی هیپربولوئید dS D- 2 با شعاع μ > 0 تعبیه شده درو معادلات موج کوواریانت O( D- 2, 1) مربوط به نمایش واحد بی‌بعدی شناخته شود. [162]همچنین ببینید [ ویرایش ]معادلات بارگمن-ویگنرمرکز جرم (نسبیتی)جبر دیراکماتریس های گاماگروه لورنتستبدیل موبیوسگروه پوانکارهنظریه نمایش گروه پوانکارهتقارن در مکانیک کوانتومیطبقه بندی ویگنراظهارات [ ویرایش ]روشی که در آن یک تقارن فضازمان را نشان می‌دهد، بسته به تئوری موجود، ممکن است اشکال مختلفی داشته باشد. در حالی که موضوع حاضر نیست، برخی از جزئیات در پاورقی‌هایی با برچسب "nb" و در بخش برنامه‌ها ارائه خواهد شد.^ واینبرگ 2002 ، ص. 1 "اگر معلوم شود که یک سیستم را نمی توان با نظریه میدان کوانتومی توصیف کرد، یک احساس است، اگر معلوم شود که از قوانین مکانیک کوانتومی و نسبیت پیروی نمی کند، یک فاجعه است."↑ در سال 1945 هاریش چاندرا برای دیدن دیراک در کمبریج آمد. او متقاعد شد که برای فیزیک نظری مناسب نیست. هاریش-چاندرا در اثبات دیراک در کارش روی گروه لورنتس خطا پیدا کرده بود. دیراک گفت: "من به اثبات علاقه مند نیستم، بلکه فقط به آنچه طبیعت انجام می دهد علاقه دارم." هاریش چاندرا بعداً نوشت: "این اظهار نظر فزاینده اعتقاد من را تأیید کرد که حس ششم مرموزی را که برای موفقیت در فیزیک لازم است را ندارم و به زودی تصمیم گرفتم به ریاضیات بروم." با این حال دیراک موضوع پایان نامه خود را پیشنهاد کرد، طبقه بندی نمایش های بینهایت بعدی تقلیل ناپذیر گروه لورنتس. Dalitz & Peierls 1986 را ببینید^ فرمول (1) را در ماتریس S# از حالت های ذره آزاد برای چگونگی تبدیل حالت های چند ذره آزاد ببینید.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.4-5. واینبرگ ضرورت ایجاد و نابودی عملگرها را از ملاحظات دیگری، اصل تجزیه خوشه ای ، واینبرگ (2002 ، فصل 4) استنتاج^ ممکن است تجویزی برای نحوه رفتار ذره تحت تقارن CPT نیز لازم باشد.به عنوان مثال، نسخه هایی (معادلات میدان آزاد، یعنی بدون شرایط تعامل) از معادله کلاین-گوردون ، معادله دیراک ، معادلات ماکسول ، معادله پروکا ، معادله راریتا-شوینگر ، و معادلات میدان انیشتین وجود دارد که می توانند به طور سیستماتیک با شروع از یک نمایش داده شده از گروه لورنتس استنباط شود. به طور کلی، اینها در مجموع نسخه های نظریه میدان کوانتومی معادلات بارگمن-ویگنر هستند .
رجوع کنید به واینبرگ (2002 ، فصل 5)، تونگ (1985 ، بخش 10.5.2) و مراجع ارائه شده در این آثار.
لازم به ذکر است که نظریه های اسپین بالا ( s > 1 ) با مشکلاتی مواجه می شوند. به واینبرگ (2002 ، بخش 5.8)، در زمینه های عمومی ( m ، n ) مراجعه کنید، جایی که این مورد به طور عمیق مورد بحث قرار گرفته است، و ارجاعاتی در آن وجود دارد. ذرات اسپین بالا بدون شک وجود دارند ، به عنوان مثال، هسته ها، آنهایی که شناخته شده اند فقط ابتدایی نیستند .^ برای بخشی از نظریه نمایش آنها، به Bekaert & Boulanger (2006) مراجعه کنید ، که به نظریه نمایش گروه پوانکر اختصاص دارد. این نمایش‌ها با روش نمایش‌های القایی یا در اصطلاح فیزیک، روش گروه کوچک به دست می‌آیند که توسط ویگنر در سال 1939 برای این نوع گروه پیش‌گام شد و جورج مکی در دهه 50بر پایه ریاضی محکمی قرار^ هال (2015 ، بخش 4.4.)
یکی می گوید که اگر هر نمایش به صورت مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر تجزیه شود ، گروهی دارای خاصیت تقلیل پذیری کامل است.↑ دیراک موضوع ویگنر (1939) را در اوایل سال 1928 پیشنهاد کرد (همانطور که در مقاله ویگنر تأیید شده است). او همچنین یکی از اولین مقالات را در مورد نمایش‌های واحد بی‌بعدی صریح در دیراک (1945) منتشر کرد ( Langlands 1985 )، و موضوعی را برای تز Harish-Chandra در طبقه‌بندی نمایش‌های بین‌بعدی تقلیل‌ناپذیر پیشنهاد کرد ( Dalitz & Peierls 1986 ).↑ Knapp 2001 ایزومورفیسم سوم نسبتاً مرموز در فصل 2، پاراگراف 4 به اثبات رسیده است.^ ضرب های تانسور بازنمودها، π g ⊗ π h ازمی تواند، زمانی که هر دو عامل از جبر لی یکسانی می آیندیا به عنوان نماینده ای ازیا.^ هنگام مختلط کردن جبر لی مختلط ، باید آن را جبر لی حقیقی با ابعاد حقیقی دو برابر بعد مختلط آن در نظر گرفت. به همین ترتیب، یک فرم حقیقی نیز ممکن است در واقع مختلط باشد، همانطور که در اینجا وجود دارد.↑ واینبرگ (2002 ، معادلات 5.6.7-8، 5.6.14-15) را باهال (2015 ، گزاره 4.18) درباره نمایش جبر لی نمایش های حاصلضرب تانسور گروهی ترکیب کنید.^ ویژگی "بی ردیابی" را می توان به صورت S αβ g αβ = 0 ، یا S α α = 0 ، یا S αβ g αβ = 0 بسته به ارائه میدان بیان کرد: به ترتیب کوواریانت، مختلط، و متضاد.^ این لزوماً با استفاده از قضیه نوتر مستقیماً از لاگرانژی متقارن نمی شود، اما می توان آن را به عنوان تانسور تنش-انرژی بلینفانت-روزنفلد تقارن کرد .^ این به شرطی است که برابری یک تقارن باشد. در غیر این صورت دو طعم وجود دارد، (3/2، 0) و (0،3/2) در قیاس با نوترینوها .^ اصطلاحات بین ریاضیات و فیزیک متفاوت است. در مقاله پیوندی، اصطلاح نمایش تصویری معنایی کمی متفاوت از فیزیک دارد، جایی که یک نمایش تصویری به عنوان یک بخش محلی (معکوس محلی) از نقشه پوششی از گروه پوشش دهنده به گروه تحت پوشش، با یک تصویر مناسب در نظر گرفته می شود. نمایندگی گروه پوشش از آنجایی که در موردی که در زیر توضیح داده شده است، می توان به طور مداوم (محلی) به دو روش انجام داد، اصطلاحات یک نمایش دو ارزشی یا دو ارزشی طبیعی است.^ به طور خاص، A با ماتریس های پائولی رفت و آمد می کند، از این رو با تمام SU(2) لم Schur را قابل اجرا می کند.^ به این معنی که هسته بی اهمیت است، برای دیدن این یادآوری که هسته یک هم شکل جبر لی یک ایده آل و در نتیجه یک زیرفضا است. از آنجایی کهp 2 :1 و هر دوو SO(3; 1) + 6 بعدی هستند ، هسته باید 0 -بعدی باشد ، بنابراین {0}.^ نقشه نمایی یک به یک در همسایگی هویت در استاز این رو ترکیبجایی که σ ایزومورفیسم جبر لی است، روی یک همسایگی باز U ⊂ SO(3; 1) + حاوی هویت است. چنین همسایگی مؤلفه متصل را تولید می کند.^ Rossmann 2002 از مثال 4 در بخش 2.1: این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد. ماتریس q دارای مقادیر ویژه {−1, −1} است، اما قابل قطریابی نیست . اگر q = exp( Q ) , آنگاه Q دارای مقادیر ویژه λ , - λ با λ = iπ + 2 πik برای برخی k است زیرا عناصربی ردی هستند اما Q قابل قطر است، از این رو q قابل قطر است، که یک تناقض است.↑ Rossmann 2002 ، گزاره 10، بند 6.3. این ساده ترین حالت با استفاده از نظریه شخصیت ثابت می شود .^ هر زیرگروه عادی گسسته از یک مسیر متصل گروه G در مرکز Z از G قرار دارد.
سالن 2015 ، تمرین 11، فصل 1.^ یک گروه Lie نیمه ساده هیچ زیرگروه عادی غیر گسسته آبلی ندارد. این را می توان به عنوان تعریف نیمه سادگی در نظر گرفت.^ یک گروه ساده هیچ زیرگروه عادی غیر گسسته ای ندارد.در مقابل، ترفندی وجود دارد که ترفند واحدی ویل نیز نامیده می‌شود، اما با ترفند واحدی که در بالا ذکر شد، ارتباطی ندارد و نشان می‌دهد که تمام نمایش‌های بُعد محدود واحد هستند یا می‌توان آنها را ساخت. اگر (Π, V ) یک نمایش محدود بعدی از یکگروه Lie فشرده G است و اگر (·, ·) هر حاصلضرب داخلی در V است، یک محصول داخلی جدید (·, ·) Π را با ( x , y ) تعریف کنید. = ∫ G (Π( g ) x , Π( g ) y dμ (g ) ، که در آن μ اندازه گیری هار در G است. سپس Π نسبت به (·, ·) Π واحد است. هال (2015 ، قضیه 4.28.) را ببینید
پیامد دیگر این است که هر گروه Lie فشرده خاصیت تقلیل پذیری کامل را دارد ، به این معنی که تمام نمایش های بعدی محدود آن به صورت مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر تجزیه می شوند . هال (2015 ، تعریف 4.24.، قضیه 4.28.)
همچنین درست است که هیچ نمایش واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیری از گروه‌های Lie فشرده وجود ندارد، اما در گرینر و مولر (1994 ، بخش 15.2) ثابت نشده است.↑ Lee 2003 Lemma A.17 (c). زیر مجموعه های بسته مجموعه های فشرده فشرده هستند.↑ Lee 2003 Lemma A.17 (a). اگر f : X → Y پیوسته است، X فشرده است، سپس f ( X ) فشرده است.^ عدم وحدت یک عنصر حیاتی در اثبات قضیه کلمن-ماندولا است ، که این مفهوم را دارد که برخلاف نظریه های غیرنسبیتی، هیچ تقارن معمولی وجود ندارد که ذرات اسپین های مختلف را به هم مرتبط کند. واینبرگ (2000) را ببینید^ این یکی از نتیجه گیری های قضیه Cartan است ، قضیه بالاترین وزن. هال (2015 ، قضایا 9.4-5.)^ سالن 2015 ، بخش 8.2 سیستم ریشه ترکیبی از دو کپی از A 1 است که در آن هر کپی در ابعاد خاص خود در فضای بردار تعبیه شده قرار دارد.^ Rossmann 2002 این تعریف معادل تعریف از نظر گروه Lie متصل است که جبر Lie جبر Lie سیستم ریشه مورد بررسی است.^ برای شرایط دقیقی که در آن دو روش فروبنیوس دو راه حل مستقل خطی به دست می دهندبه سیمونز (1972 ، بخش 30) مراجعه کنید. اگر توانها با یک عدد صحیح تفاوت نداشته باشند، همیشه اینطور است.↑ «این به همان اندازه نزدیک است که به منبع تئوری نمایش‌های بی‌بعدی گروه‌های نیمه‌ساده و تقلیلی می‌رسیم...» ، لانگلندز (1985 ، ص 204.)، با اشاره به متن مقدماتی در مقاله دیراک در سال 1945.توجه داشته باشید که برای فضای هیلبرت H ، HS( H ) ممکن است به صورت متعارف با حاصل ضرب تانسور فضای هیلبرت H و فضای مزدوج آن شناسایی شود.^ اگر بعد محدود درخواست شود، نتایج نمایش های ( m , n ) است، به Tung (1985 ، مسئله 10.8 مراجعه کنید.) اگر هیچکدام درخواست نشود، طبقه بندی وسیع تری از تمام نمایش های تقلیل ناپذیر به دست می آید، از جمله بعد محدود و واحدها این رویکرد در Harish-Chandra (1947) اتخاذ شده است .یادداشت ها [ ویرایش ]↑ بارگمن و ویگنر 1948↑ Bekaert & Boulanger 2006↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973↑ واینبرگ 2002 ، بخش 2.5، فصل 5.↑ تونگ 1985 ، بخش‌های 10.3، 10.5.^ تونگ 1985 ، بخش 10.4.↑ دیراک 1945^ a b c Harish-Chandra 1947^ a b گرینر و راینهارت 1996 ، فصل 2.^ واینبرگ 2002 ، پیشگفتار و مقدمه فصل 7.^ واینبرگ 2002 ، مقدمه فصل 7.↑ تونگ 1985 ، تعریف 10.11.↑ گرینر و مولر (1994 ، فصل 1)↑ گرینر و مولر (1994 ، فصل 2)^ تونگ 1985 ، ص. 203.↑ دلبورگو، سلام و استراتدی 1967^ واینبرگ (2002 ، بخش 3.3)^ واینبرگ (2002 ، بخش 7.4.)↑ تونگ 1985 ، مقدمه فصل 10.↑ تونگ 1985 ، تعریف 10.12.^ تونگ 1985 ، معادله 10.5-2.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.6-7.^ a b Tung 1985 ، معادله 10.5-18.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.11-12.^ تونگ 1985 ، بخش 10.5.3.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 6.4.↑ Zwiebach 2004 ، فصل 7.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 12.5.^ a b واینبرگ 2000 ، بخش 25.2.↑ Zwiebach 2004 ، آخرین پاراگراف، بخش 12.6.^ این حقایق را می توان در بیشتر متون مقدماتی ریاضیات و فیزیک یافت. به عنوان مثال Rossmann (2002) ، Hall (2015) و Tung (1985) را ببینید.^ هال (2015 ، قضیه 4.34 و بحث بعدی.)^ a b c Wigner 1939^ سالن 2015 ، پیوست D2.↑ گرینر و راینهارت 1996↑ واینبرگ 2002 ، بخش 2.6 و فصل 5.^ a b Coleman 1989 , p. 30.↑ لی 1888 ، 1890، 1893. منبع اولیه.^ کلمن 1989 ، ص. 34.↑ کشتن 1888 منبع اصلی.^ a b Rossmann 2002 ، نکات تاریخی پراکنده در متن.↑ Cartan 1913 منبع اصلی.^ گرین 1998 ، p=76.↑ Brauer & Weyl 1935 منبع اولیه.↑ تونگ 1985 ، مقدمه.↑ Weyl 1931 منبع اولیه.^ ویل 1939 منبع اولیه.↑ Langlands 1985 ، صفحات 203-205↑ Harish-Chandra 1947 منبع اصلی.↑ تونگ 1985 ، مقدمه^ ویگنر 1939 منبع اصلی.↑ کلادر 1999↑ Bargmann 1947 منبع اصلی.^ بارگمان یک ریاضیدان نیز بود . او به عنواندستیار آلبرت اینشتین در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون ( کلادر (1999) ) کار می کرد.↑ Bargmann & Wigner 1948 منبع اصلی.↑ دالیتز و پیرلز 1986↑ دیراک 1928 منبع اصلی.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.7-8.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.9-11.^ a b c Hall 2003 ، فصل 6.^ a b c d Knapp 2001^ این یک کاربرد Rossmann 2002 ، بخش 6.3، گزاره 10 است.^ a b Knapp 2001 ، ص. 32.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.16-17.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6. معادلات از معادلات 5.6.7-8 و 5.6.14-15 پیروی می کنند.^ a b Tung 1985^ لی 1888↑ Rossmann 2002 ، بخش 2.5.^ هال 2015 ، قضیه 2.10.↑ بوربکی 1998 ، ص. 424.^ واینبرگ 2002 ، بخش 2.7 ص.88.^ a b c d e Weinberg 2002 ، بخش 2.7.^ هال 2015 ، پیوست ج.3.^ ویگنر 1939 ، ص. 27.^ Gelfand, Minlos & Shapiro 1963 این ساخت گروه پوششی در پاراگراف 4، بخش 1، فصل 1 در بخش دوم بررسی شده است.↑ Rossmann 2002 ، بخش 2.1.^ هال 2015 ، اولین معادلات نمایش داده شده در بخش 4.6.^ سالن 2015 ، مثال 4.10.^ a b Knapp 2001 ، فصل 2.↑ Knapp 2001 Equation 2.1.^ هال 2015 ، معادله 4.2.^ هال 2015 ، معادله قبل از 4.5.↑ Knapp 2001 Equation 2.4.↑ Knapp 2001 ، بخش 2.3.↑ هال 2015 ، قضایا 9.4–5.↑ واینبرگ 2002 ، فصل 5.^ هال 2015 ، قضیه 10.18.^ هال 2003 ، ص. 235.^ هر متنی در مورد نظریه گروه پایه را ببینید.↑ Rossmann 2002 گزاره های 3 و 6 بند 2.5.^ هال 2003 به تمرین 1، فصل 6 مراجعه کنید.↑ Bekaert & Boulanger 2006 p.4.^ هال 2003 پیشنهاد 1.20.↑ لی 2003 ، قضیه 8.30.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6، ص. 231.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6.^ واینبرگ 2002 ، ص. 231.↑ واینبرگ 2002 ، بخش‌های 2.5، 5.7.↑ تونگ 1985 ، بخش 10.5.^ واینبرگ 2002 این (بسیار مختصر) در صفحه 232 بیان شده است، به سختی بیشتر از یک پاورقی.^ هال 2003 ، گزاره 7.39.^ a b Hall 2003 ، قضیه 7.40.^ سالن 2003 ، بخش 6.6.^ هال 2003 ، مورد دوم در گزاره 4.5.^ هال 2003 ، ص. 219.↑ Rossmann 2002 ، تمرین 3 در بند 6.5.^ هال 2003 به پیوست D.3 مراجعه کنید^ واینبرگ 2002 ، معادله 5.4.8.^ a b واینبرگ 2002 ، بخش 5.4.^ واینبرگ 2002 ، صفحات 215-216.^ واینبرگ 2002 ، معادله 5.4.6.↑ واینبرگ 2002 بخش 5.4.↑ واینبرگ 2002 ، بخش 5.7، صفحات 232-233.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.7، ص. 233.↑ واینبرگ 2002 معادله 2.6.5.↑ واینبرگ 2002 معادله زیر 2.6.6.^ واینبرگ 2002 ، بخش 2.6.^ برای بحث مفصل در مورد چرخش 0،1/2و 1 مورد، Greiner & Reinhardt 1996 را ببینید.↑ واینبرگ 2002 ، فصل 3.↑ Rossmann 2002 برای مثال‌های بیشتر، هم ابعاد محدود و هم بی‌بعد، به بخش 6.1 مراجعه کنید.↑ گلفاند، مینلوس و شاپیرو 1963^ چرچیل و براون 2014 ، فصل 8 صفحات 307-310.^ گونزالس، PA; Vasquez, Y. (2014). "حالت های شبه طبیعی دیراک سیاهچاله های نوع جدید در گرانش عظیم جدید". یورو فیزیک جی سی . 74:2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Bibcode : 2014EPJC...74.2969G . doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 . ISSN 1434-6044 . S2CID 118725565 .↑ Abramowitz & Stegun 1965 ، معادله 15.6.5.↑ سیمونز 1972 ، بخش 30، 31.↑ سیمونز 1972 ، بخش 30.↑ سیمونز 1972 ، بخش 31.^ سیمونز 1972 ، معادله 11 در پیوست E، فصل 5.↑ Langlands 1985 ، ص. 205.↑ Varadarajan 1989 , Sections 3.1. 4.1.↑ Langlands 1985 ، ص. 203.↑ Varadarajan 1989 ، بخش 4.1.↑ Gelfand، Graev & Pyatetskii-Shapiro 1969↑ Knapp 2001 ، فصل دوم.^ a b Taylor 1986↑ Knapp 2001 Chapter 2. معادله 2.12.↑ بارگمن 1947↑ گلفاند و گرایف 1953↑ گلفاند و نایمارک 1947↑ تاکاهاشی 1963 ، ص. 343.↑ Knapp 2001 ، معادله 2.24.^ فولاند 2015 ، بخش 3.1.↑ Folland 2015 ، قضیه 5.2.^ تونگ 1985 ، بخش 10.3.3.↑ Harish-Chandra 1947 ، پاورقی ص. 374.↑ تونگ 1985 ، معادلات 7.3-13، 7.3-14.↑ Harish-Chandra 1947 ، معادله 8.^ سالن 2015 ، پیشنهاد C.7.^ سالن 2015 ، پیوست ج.2.^ تونگ 1985 ، مرحله دوم بخش 10.2.^ تونگ 1985 ، معادلات 10.3-5. نماد تونگ برای ضرایب کلبش-گوردان با آنچه در اینجا استفاده می شود متفاوت است.^ تونگ 1985 ، معادله VII-3.↑ تونگ 1985 ، معادلات 10.3-5، 7، 8.^ تونگ 1985 ، معادله VII-9.↑ تونگ 1985 ، معادلات VII-10، 11.^ تونگ 1985 ، معادلات VII-12.^ تونگ 1985 ، معادلات VII-13.^ واینبرگ 2002 ، معادله 2.4.12.↑ واینبرگ 2002 ، معادلات 2.4.18–2.4.20.↑ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.4.19، 5.4.20.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 12.8.^ a b Bekaert & Boulanger 2006 , p. 48.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 18.8.مراجع آنلاین رایگان در دسترس [ ویرایش ]بکارت، ایکس. Boulanger, N. (2006). "نمایش های واحد گروه پوانکر در هر بعد فضا-زمان". arXiv : hep-th/0611263 .نسخه گسترده سخنرانی های ارائه شده در دومین مدرسه تابستانی موداو در فیزیک ریاضی (بلژیک، اوت 2006).کرترایت، TL ; Fairlie، DB ; Zachos، CK (2014)، "یک فرمول فشرده برای چرخش ها به عنوان چندجمله ای های ماتریس چرخشی"، SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 4201 , 201 , 10, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2014عناصر گروه SU(2) به شکل بسته به صورت چندجمله‌ای محدود مولدهای جبر Lie برای تمام نمایش‌های اسپین معین گروه چرخش بیان می‌شوند.منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group
طبقه بندی و توصیف نظریه نمایش گروه لورنتز در سال 1947 تکمیل شد. اما در ارتباط با برنامه بارگمن-ویگنر، هنوز مسائل کاملاً ریاضی حل نشده ای وجود دارد که به نمایش های واحد بینهای بعدی مرتبط است.
نمایش‌های واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر ممکن است ارتباط غیرمستقیم با حقیقیت فیزیکی در نظریه‌های مدرن نظری داشته باشند، زیرا گروه لورنتس (تعمیم‌شده) به عنوان گروه کوچکی از گروه پوانکاره از بردارهای فضامانند در بعد فضازمان بالاتر ظاهر می‌شوند. نمایش‌های واحد بی‌بعدی مربوط به گروه پوانکره (تعمیم‌یافته) به اصطلاح نمایش‌های تاکیونیک هستند . تاکیون ها در طیف رشته های بوزونی ظاهر می شوند و با ناپایداری خلاء همراه هستند. [161] [162] حتی اگر تاکیون ها ممکن است در طبیعت محقق نشوند، این نمایش ها باید از نظر ریاضی درک شوند.برای درک نظریه ریسمان این به این دلیل است که حالت های تاکیون در تئوری های ابر ریسمان نیز در تلاش برای ایجاد مدل های واقع گرایانه ظاهر می شوند. [163]
یکی از مشکلات باز، تکمیل برنامه بارگمن-ویگنر برای گروه ایزومتری SO( D -2,1 ) فضای زمان دی سیتر dSD- 2 است . در حالت ایده‌آل، مولفه‌های فیزیکی توابع موج بر روی هیپربولوئید dS D- 2 با شعاع μ > 0 تعبیه شده درو معادلات موج کوواریانت O( D- 2, 1) مربوط به نمایش واحد بی‌بعدی شناخته شود. [162]همچنین ببینید [ ویرایش ]معادلات بارگمن-ویگنرمرکز جرم (نسبیتی)جبر دیراکماتریس های گاماگروه لورنتستبدیل موبیوسگروه پوانکارهنظریه نمایش گروه پوانکارهتقارن در مکانیک کوانتومیطبقه بندی ویگنراظهارات [ ویرایش ]روشی که در آن یک تقارن فضازمان را نشان می‌دهد، بسته به تئوری موجود، ممکن است اشکال مختلفی داشته باشد. در حالی که موضوع حاضر نیست، برخی از جزئیات در پاورقی‌هایی با برچسب "nb" و در بخش برنامه‌ها ارائه خواهد شد.^ واینبرگ 2002 ، ص. 1 "اگر معلوم شود که یک سیستم را نمی توان با نظریه میدان کوانتومی توصیف کرد، یک احساس است، اگر معلوم شود که از قوانین مکانیک کوانتومی و نسبیت پیروی نمی کند، یک فاجعه است."↑ در سال 1945 هاریش چاندرا برای دیدن دیراک در کمبریج آمد. او متقاعد شد که برای فیزیک نظری مناسب نیست. هاریش-چاندرا در اثبات دیراک در کارش روی گروه لورنتس خطا پیدا کرده بود. دیراک گفت: "من به اثبات علاقه مند نیستم، بلکه فقط به آنچه طبیعت انجام می دهد علاقه دارم." هاریش چاندرا بعداً نوشت: "این اظهار نظر فزاینده اعتقاد من را تأیید کرد که حس ششم مرموزی را که برای موفقیت در فیزیک لازم است را ندارم و به زودی تصمیم گرفتم به ریاضیات بروم." با این حال دیراک موضوع پایان نامه خود را پیشنهاد کرد، طبقه بندی نمایش های بینهایت بعدی تقلیل ناپذیر گروه لورنتس. Dalitz & Peierls 1986 را ببینید^ فرمول (1) را در ماتریس S# از حالت های ذره آزاد برای چگونگی تبدیل حالت های چند ذره آزاد ببینید.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.4-5. واینبرگ ضرورت ایجاد و نابودی عملگرها را از ملاحظات دیگری، اصل تجزیه خوشه ای ، واینبرگ (2002 ، فصل 4) استنتاج^ ممکن است تجویزی برای نحوه رفتار ذره تحت تقارن CPT نیز لازم باشد.به عنوان مثال، نسخه هایی (معادلات میدان آزاد، یعنی بدون شرایط تعامل) از معادله کلاین-گوردون ، معادله دیراک ، معادلات ماکسول ، معادله پروکا ، معادله راریتا-شوینگر ، و معادلات میدان انیشتین وجود دارد که می توانند به طور سیستماتیک با شروع از یک نمایش داده شده از گروه لورنتس استنباط شود. به طور کلی، اینها در مجموع نسخه های نظریه میدان کوانتومی معادلات بارگمن-ویگنر هستند .
رجوع کنید به واینبرگ (2002 ، فصل 5)، تونگ (1985 ، بخش 10.5.2) و مراجع ارائه شده در این آثار.
لازم به ذکر است که نظریه های اسپین بالا ( s > 1 ) با مشکلاتی مواجه می شوند. به واینبرگ (2002 ، بخش 5.8)، در زمینه های عمومی ( m ، n ) مراجعه کنید، جایی که این مورد به طور عمیق مورد بحث قرار گرفته است، و ارجاعاتی در آن وجود دارد. ذرات اسپین بالا بدون شک وجود دارند ، به عنوان مثال، هسته ها، آنهایی که شناخته شده اند فقط ابتدایی نیستند .^ برای بخشی از نظریه نمایش آنها، به Bekaert & Boulanger (2006) مراجعه کنید ، که به نظریه نمایش گروه پوانکر اختصاص دارد. این نمایش‌ها با روش نمایش‌های القایی یا در اصطلاح فیزیک، روش گروه کوچک به دست می‌آیند که توسط ویگنر در سال 1939 برای این نوع گروه پیش‌گام شد و جورج مکی در دهه 50بر پایه ریاضی محکمی قرار^ هال (2015 ، بخش 4.4.)
یکی می گوید که اگر هر نمایش به صورت مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر تجزیه شود ، گروهی دارای خاصیت تقلیل پذیری کامل است.↑ دیراک موضوع ویگنر (1939) را در اوایل سال 1928 پیشنهاد کرد (همانطور که در مقاله ویگنر تأیید شده است). او همچنین یکی از اولین مقالات را در مورد نمایش‌های واحد بی‌بعدی صریح در دیراک (1945) منتشر کرد ( Langlands 1985 )، و موضوعی را برای تز Harish-Chandra در طبقه‌بندی نمایش‌های بین‌بعدی تقلیل‌ناپذیر پیشنهاد کرد ( Dalitz & Peierls 1986 ).↑ Knapp 2001 ایزومورفیسم سوم نسبتاً مرموز در فصل 2، پاراگراف 4 به اثبات رسیده است.^ ضرب های تانسور بازنمودها، π g ⊗ π h ازمی تواند، زمانی که هر دو عامل از جبر لی یکسانی می آیندیا به عنوان نماینده ای ازیا.^ هنگام مختلط کردن جبر لی مختلط ، باید آن را جبر لی حقیقی با ابعاد حقیقی دو برابر بعد مختلط آن در نظر گرفت. به همین ترتیب، یک فرم حقیقی نیز ممکن است در واقع مختلط باشد، همانطور که در اینجا وجود دارد.↑ واینبرگ (2002 ، معادلات 5.6.7-8، 5.6.14-15) را باهال (2015 ، گزاره 4.18) درباره نمایش جبر لی نمایش های حاصلضرب تانسور گروهی ترکیب کنید.^ ویژگی "بی ردیابی" را می توان به صورت S αβ g αβ = 0 ، یا S α α = 0 ، یا S αβ g αβ = 0 بسته به ارائه میدان بیان کرد: به ترتیب کوواریانت، مختلط، و متضاد.^ این لزوماً با استفاده از قضیه نوتر مستقیماً از لاگرانژی متقارن نمی شود، اما می توان آن را به عنوان تانسور تنش-انرژی بلینفانت-روزنفلد تقارن کرد .^ این به شرطی است که برابری یک تقارن باشد. در غیر این صورت دو طعم وجود دارد، (3/2، 0) و (0،3/2) در قیاس با نوترینوها .^ اصطلاحات بین ریاضیات و فیزیک متفاوت است. در مقاله پیوندی، اصطلاح نمایش تصویری معنایی کمی متفاوت از فیزیک دارد، جایی که یک نمایش تصویری به عنوان یک بخش محلی (معکوس محلی) از نقشه پوششی از گروه پوشش دهنده به گروه تحت پوشش، با یک تصویر مناسب در نظر گرفته می شود. نمایندگی گروه پوشش از آنجایی که در موردی که در زیر توضیح داده شده است، می توان به طور مداوم (محلی) به دو روش انجام داد، اصطلاحات یک نمایش دو ارزشی یا دو ارزشی طبیعی است.^ به طور خاص، A با ماتریس های پائولی رفت و آمد می کند، از این رو با تمام SU(2) لم Schur را قابل اجرا می کند.^ به این معنی که هسته بی اهمیت است، برای دیدن این یادآوری که هسته یک هم شکل جبر لی یک ایده آل و در نتیجه یک زیرفضا است. از آنجایی کهp 2 :1 و هر دوو SO(3; 1) + 6 بعدی هستند ، هسته باید 0 -بعدی باشد ، بنابراین {0}.^ نقشه نمایی یک به یک در همسایگی هویت در استاز این رو ترکیبجایی که σ ایزومورفیسم جبر لی است، روی یک همسایگی باز U ⊂ SO(3; 1) + حاوی هویت است. چنین همسایگی مؤلفه متصل را تولید می کند.^ Rossmann 2002 از مثال 4 در بخش 2.1: این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد. ماتریس q دارای مقادیر ویژه {−1, −1} است، اما قابل قطریابی نیست . اگر q = exp( Q ) , آنگاه Q دارای مقادیر ویژه λ , - λ با λ = iπ + 2 πik برای برخی k است زیرا عناصربی ردی هستند اما Q قابل قطر است، از این رو q قابل قطر است، که یک تناقض است.↑ Rossmann 2002 ، گزاره 10، بند 6.3. این ساده ترین حالت با استفاده از نظریه شخصیت ثابت می شود .^ هر زیرگروه عادی گسسته از یک مسیر متصل گروه G در مرکز Z از G قرار دارد.
سالن 2015 ، تمرین 11، فصل 1.^ یک گروه Lie نیمه ساده هیچ زیرگروه عادی غیر گسسته آبلی ندارد. این را می توان به عنوان تعریف نیمه سادگی در نظر گرفت.^ یک گروه ساده هیچ زیرگروه عادی غیر گسسته ای ندارد.در مقابل، ترفندی وجود دارد که ترفند واحدی ویل نیز نامیده می‌شود، اما با ترفند واحدی که در بالا ذکر شد، ارتباطی ندارد و نشان می‌دهد که تمام نمایش‌های بُعد محدود واحد هستند یا می‌توان آنها را ساخت. اگر (Π, V ) یک نمایش محدود بعدی از یکگروه Lie فشرده G است و اگر (·, ·) هر حاصلضرب داخلی در V است، یک محصول داخلی جدید (·, ·) Π را با ( x , y ) تعریف کنید. = ∫ G (Π( g ) x , Π( g ) y dμ (g ) ، که در آن μ اندازه گیری هار در G است. سپس Π نسبت به (·, ·) Π واحد است. هال (2015 ، قضیه 4.28.) را ببینید
پیامد دیگر این است که هر گروه Lie فشرده خاصیت تقلیل پذیری کامل را دارد ، به این معنی که تمام نمایش های بعدی محدود آن به صورت مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر تجزیه می شوند . هال (2015 ، تعریف 4.24.، قضیه 4.28.)
همچنین درست است که هیچ نمایش واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیری از گروه‌های Lie فشرده وجود ندارد، اما در گرینر و مولر (1994 ، بخش 15.2) ثابت نشده است.↑ Lee 2003 Lemma A.17 (c). زیر مجموعه های بسته مجموعه های فشرده فشرده هستند.↑ Lee 2003 Lemma A.17 (a). اگر f : X → Y پیوسته است، X فشرده است، سپس f ( X ) فشرده است.^ عدم وحدت یک عنصر حیاتی در اثبات قضیه کلمن-ماندولا است ، که این مفهوم را دارد که برخلاف نظریه های غیرنسبیتی، هیچ تقارن معمولی وجود ندارد که ذرات اسپین های مختلف را به هم مرتبط کند. واینبرگ (2000) را ببینید^ این یکی از نتیجه گیری های قضیه Cartan است ، قضیه بالاترین وزن. هال (2015 ، قضایا 9.4-5.)^ سالن 2015 ، بخش 8.2 سیستم ریشه ترکیبی از دو کپی از A 1 است که در آن هر کپی در ابعاد خاص خود در فضای بردار تعبیه شده قرار دارد.^ Rossmann 2002 این تعریف معادل تعریف از نظر گروه Lie متصل است که جبر Lie جبر Lie سیستم ریشه مورد بررسی است.^ برای شرایط دقیقی که در آن دو روش فروبنیوس دو راه حل مستقل خطی به دست می دهندبه سیمونز (1972 ، بخش 30) مراجعه کنید. اگر توانها با یک عدد صحیح تفاوت نداشته باشند، همیشه اینطور است.↑ «این به همان اندازه نزدیک است که به منبع تئوری نمایش‌های بی‌بعدی گروه‌های نیمه‌ساده و تقلیلی می‌رسیم...» ، لانگلندز (1985 ، ص 204.)، با اشاره به متن مقدماتی در مقاله دیراک در سال 1945.توجه داشته باشید که برای فضای هیلبرت H ، HS( H ) ممکن است به صورت متعارف با حاصل ضرب تانسور فضای هیلبرت H و فضای مزدوج آن شناسایی شود.^ اگر بعد محدود درخواست شود، نتایج نمایش های ( m , n ) است، به Tung (1985 ، مسئله 10.8 مراجعه کنید.) اگر هیچکدام درخواست نشود، طبقه بندی وسیع تری از تمام نمایش های تقلیل ناپذیر به دست می آید، از جمله بعد محدود و واحدها این رویکرد در Harish-Chandra (1947) اتخاذ شده است .یادداشت ها [ ویرایش ]↑ بارگمن و ویگنر 1948↑ Bekaert & Boulanger 2006↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973↑ واینبرگ 2002 ، بخش 2.5، فصل 5.↑ تونگ 1985 ، بخش‌های 10.3، 10.5.^ تونگ 1985 ، بخش 10.4.↑ دیراک 1945^ a b c Harish-Chandra 1947^ a b گرینر و راینهارت 1996 ، فصل 2.^ واینبرگ 2002 ، پیشگفتار و مقدمه فصل 7.^ واینبرگ 2002 ، مقدمه فصل 7.↑ تونگ 1985 ، تعریف 10.11.↑ گرینر و مولر (1994 ، فصل 1)↑ گرینر و مولر (1994 ، فصل 2)^ تونگ 1985 ، ص. 203.↑ دلبورگو، سلام و استراتدی 1967^ واینبرگ (2002 ، بخش 3.3)^ واینبرگ (2002 ، بخش 7.4.)↑ تونگ 1985 ، مقدمه فصل 10.↑ تونگ 1985 ، تعریف 10.12.^ تونگ 1985 ، معادله 10.5-2.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.6-7.^ a b Tung 1985 ، معادله 10.5-18.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.11-12.^ تونگ 1985 ، بخش 10.5.3.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 6.4.↑ Zwiebach 2004 ، فصل 7.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 12.5.^ a b واینبرگ 2000 ، بخش 25.2.↑ Zwiebach 2004 ، آخرین پاراگراف، بخش 12.6.^ این حقایق را می توان در بیشتر متون مقدماتی ریاضیات و فیزیک یافت. به عنوان مثال Rossmann (2002) ، Hall (2015) و Tung (1985) را ببینید.^ هال (2015 ، قضیه 4.34 و بحث بعدی.)^ a b c Wigner 1939^ سالن 2015 ، پیوست D2.↑ گرینر و راینهارت 1996↑ واینبرگ 2002 ، بخش 2.6 و فصل 5.^ a b Coleman 1989 , p. 30.↑ لی 1888 ، 1890، 1893. منبع اولیه.^ کلمن 1989 ، ص. 34.↑ کشتن 1888 منبع اصلی.^ a b Rossmann 2002 ، نکات تاریخی پراکنده در متن.↑ Cartan 1913 منبع اصلی.^ گرین 1998 ، p=76.↑ Brauer & Weyl 1935 منبع اولیه.↑ تونگ 1985 ، مقدمه.↑ Weyl 1931 منبع اولیه.^ ویل 1939 منبع اولیه.↑ Langlands 1985 ، صفحات 203-205↑ Harish-Chandra 1947 منبع اصلی.↑ تونگ 1985 ، مقدمه^ ویگنر 1939 منبع اصلی.↑ کلادر 1999↑ Bargmann 1947 منبع اصلی.^ بارگمان یک ریاضیدان نیز بود . او به عنواندستیار آلبرت اینشتین در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون ( کلادر (1999) ) کار می کرد.↑ Bargmann & Wigner 1948 منبع اصلی.↑ دالیتز و پیرلز 1986↑ دیراک 1928 منبع اصلی.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.7-8.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.9-11.^ a b c Hall 2003 ، فصل 6.^ a b c d Knapp 2001^ این یک کاربرد Rossmann 2002 ، بخش 6.3، گزاره 10 است.^ a b Knapp 2001 ، ص. 32.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.16-17.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6. معادلات از معادلات 5.6.7-8 و 5.6.14-15 پیروی می کنند.^ a b Tung 1985^ لی 1888↑ Rossmann 2002 ، بخش 2.5.^ هال 2015 ، قضیه 2.10.↑ بوربکی 1998 ، ص. 424.^ واینبرگ 2002 ، بخش 2.7 ص.88.^ a b c d e Weinberg 2002 ، بخش 2.7.^ هال 2015 ، پیوست ج.3.^ ویگنر 1939 ، ص. 27.^ Gelfand, Minlos & Shapiro 1963 این ساخت گروه پوششی در پاراگراف 4، بخش 1، فصل 1 در بخش دوم بررسی شده است.↑ Rossmann 2002 ، بخش 2.1.^ هال 2015 ، اولین معادلات نمایش داده شده در بخش 4.6.^ سالن 2015 ، مثال 4.10.^ a b Knapp 2001 ، فصل 2.↑ Knapp 2001 Equation 2.1.^ هال 2015 ، معادله 4.2.^ هال 2015 ، معادله قبل از 4.5.↑ Knapp 2001 Equation 2.4.↑ Knapp 2001 ، بخش 2.3.↑ هال 2015 ، قضایا 9.4–5.↑ واینبرگ 2002 ، فصل 5.^ هال 2015 ، قضیه 10.18.^ هال 2003 ، ص. 235.^ هر متنی در مورد نظریه گروه پایه را ببینید.↑ Rossmann 2002 گزاره های 3 و 6 بند 2.5.^ هال 2003 به تمرین 1، فصل 6 مراجعه کنید.↑ Bekaert & Boulanger 2006 p.4.^ هال 2003 پیشنهاد 1.20.↑ لی 2003 ، قضیه 8.30.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6، ص. 231.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6.^ واینبرگ 2002 ، ص. 231.↑ واینبرگ 2002 ، بخش‌های 2.5، 5.7.↑ تونگ 1985 ، بخش 10.5.^ واینبرگ 2002 این (بسیار مختصر) در صفحه 232 بیان شده است، به سختی بیشتر از یک پاورقی.^ هال 2003 ، گزاره 7.39.^ a b Hall 2003 ، قضیه 7.40.^ سالن 2003 ، بخش 6.6.^ هال 2003 ، مورد دوم در گزاره 4.5.^ هال 2003 ، ص. 219.↑ Rossmann 2002 ، تمرین 3 در بند 6.5.^ هال 2003 به پیوست D.3 مراجعه کنید^ واینبرگ 2002 ، معادله 5.4.8.^ a b واینبرگ 2002 ، بخش 5.4.^ واینبرگ 2002 ، صفحات 215-216.^ واینبرگ 2002 ، معادله 5.4.6.↑ واینبرگ 2002 بخش 5.4.↑ واینبرگ 2002 ، بخش 5.7، صفحات 232-233.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.7، ص. 233.↑ واینبرگ 2002 معادله 2.6.5.↑ واینبرگ 2002 معادله زیر 2.6.6.^ واینبرگ 2002 ، بخش 2.6.^ برای بحث مفصل در مورد چرخش 0،1/2و 1 مورد، Greiner & Reinhardt 1996 را ببینید.↑ واینبرگ 2002 ، فصل 3.↑ Rossmann 2002 برای مثال‌های بیشتر، هم ابعاد محدود و هم بی‌بعد، به بخش 6.1 مراجعه کنید.↑ گلفاند، مینلوس و شاپیرو 1963^ چرچیل و براون 2014 ، فصل 8 صفحات 307-310.^ گونزالس، PA; Vasquez, Y. (2014). "حالت های شبه طبیعی دیراک سیاهچاله های نوع جدید در گرانش عظیم جدید". یورو فیزیک جی سی . 74:2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Bibcode : 2014EPJC...74.2969G . doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 . ISSN 1434-6044 . S2CID 118725565 .↑ Abramowitz & Stegun 1965 ، معادله 15.6.5.↑ سیمونز 1972 ، بخش 30، 31.↑ سیمونز 1972 ، بخش 30.↑ سیمونز 1972 ، بخش 31.^ سیمونز 1972 ، معادله 11 در پیوست E، فصل 5.↑ Langlands 1985 ، ص. 205.↑ Varadarajan 1989 , Sections 3.1. 4.1.↑ Langlands 1985 ، ص. 203.↑ Varadarajan 1989 ، بخش 4.1.↑ Gelfand، Graev & Pyatetskii-Shapiro 1969↑ Knapp 2001 ، فصل دوم.^ a b Taylor 1986↑ Knapp 2001 Chapter 2. معادله 2.12.↑ بارگمن 1947↑ گلفاند و گرایف 1953↑ گلفاند و نایمارک 1947↑ تاکاهاشی 1963 ، ص. 343.↑ Knapp 2001 ، معادله 2.24.^ فولاند 2015 ، بخش 3.1.↑ Folland 2015 ، قضیه 5.2.^ تونگ 1985 ، بخش 10.3.3.↑ Harish-Chandra 1947 ، پاورقی ص. 374.↑ تونگ 1985 ، معادلات 7.3-13، 7.3-14.↑ Harish-Chandra 1947 ، معادله 8.^ سالن 2015 ، پیشنهاد C.7.^ سالن 2015 ، پیوست ج.2.^ تونگ 1985 ، مرحله دوم بخش 10.2.^ تونگ 1985 ، معادلات 10.3-5. نماد تونگ برای ضرایب کلبش-گوردان با آنچه در اینجا استفاده می شود متفاوت است.^ تونگ 1985 ، معادله VII-3.↑ تونگ 1985 ، معادلات 10.3-5، 7، 8.^ تونگ 1985 ، معادله VII-9.↑ تونگ 1985 ، معادلات VII-10، 11.^ تونگ 1985 ، معادلات VII-12.^ تونگ 1985 ، معادلات VII-13.^ واینبرگ 2002 ، معادله 2.4.12.↑ واینبرگ 2002 ، معادلات 2.4.18–2.4.20.↑ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.4.19، 5.4.20.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 12.8.^ a b Bekaert & Boulanger 2006 , p. 48.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 18.8.مراجع آنلاین رایگان در دسترس [ ویرایش ]بکارت، ایکس. Boulanger, N. (2006). "نمایش های واحد گروه پوانکر در هر بعد فضا-زمان". arXiv : hep-th/0611263 .نسخه گسترده سخنرانی های ارائه شده در دومین مدرسه تابستانی موداو در فیزیک ریاضی (بلژیک، اوت 2006).کرترایت، TL ; Fairlie، DB ; Zachos، CK (2014)، "یک فرمول فشرده برای چرخش ها به عنوان چندجمله ای های ماتریس چرخشی"، SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 4201 , 201 , 10, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2014عناصر گروه SU(2) به شکل بسته به صورت چندجمله‌ای محدود مولدهای جبر Lie برای تمام نمایش‌های اسپین معین گروه چرخش بیان می‌شوند.منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group
+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:37 توسط علی رضا نقش نیلچی
|
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.