ریاضیات | مرداد ۱۴۰۰

ادامه فیلترها در توپولوژی

محصولات

فرض کنید ${\ displaystyle X _ {\ bullet}: = \ چپ (X_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک خانواده غیر خالی از فضاهای توپولوژیکی غیر خالی است و خانواده ای از پیش فیلترها است که هر کدام در آن قرار دارند ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$ یک پیش فیلتر روشن است ${\ displaystyle X_ {i}.}$ سپس محصول ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ یکی از این پیش فیلترها (که در بالا تعریف شده است) یک پیش فیلتر در فضای محصول است ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet} ،}$ که طبق معمول دارای توپولوژی محصول است .

${\ displaystyle x _ {\ bullet}: = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ in \ prod X _ {\ bullet}،}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet} \ to x _ {\ bullet} {\ text {in}} \ prod X _ {\ bullet}}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i} \ to x_ {i} {\ text {in}} X_ {i} {\ text {for every}} i \ in I.}$

فرض کنید ${\ displaystyle X {\ متن {و}} Y}$ فضاهای توپولوژیکی هستند ، ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس$ داشتن $x \ در X$ به عنوان نقطه خوشه ، و ${\ mathcal {C}}$ یک پیش فیلتر روشن است $Y$ داشتن $y \ در Y$ به عنوان نقطه خوشه سپس $(x ، y)$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ بار {\ mathcal {C}}}$ در فضای محصول ${\ displaystyle X \ بار Y.}$ [40] با این حال ، اگر ${\ displaystyle X = Y = \ mathbb {Q}}$ سپس توالی وجود دارد ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty} \ subseteq X {\ text {and}} y _ {\ bullet}: = \ left (y_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty} \ subseteq Y}$ به گونه ای که هر دوی این توالی ها دارای نقطه خوشه ای هستند $\ mathbb {Q}$ اما دنباله ${\ displaystyle \ left (x_ {i}، y_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty} \ subseteq X \ times Y}$ کند نه یک نقطه خوشه در ${\ displaystyle X \ بار Y.}$ [40]

کاربرد مثال: لمای فوق فیلتر همراه با بدیهیات ZF بر قضیه Tychonoff برای فضاهای فشرده هاوسدورف دلالت دارد:

نشان دادن اثبات

نمونه هایی از کاربردهای پیش فیلترها [ ویرایش ]

یکنواختی ها و پیش فیلترهای کوشی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای یکنواخت ، فضای یکنواخت کامل ، و فضای متریک کامل

همچنین ببینید: گروه توپولوژیکی و فضای بردار توپولوژیکی کامل

فضای یکنواخت یک مجموعه است $ایکس$ مجهز به فیلتر روشن $X \ بار X$ که دارای خواص خاصی است پایه و یا سیستم اساسی همراهان پیش فیلتر است $X \ بار X$ که بسته شدن آن به سمت بالا یک فضای یکنواخت است. یک پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ روی یک فضای یکنواخت $ایکس$ با یکنواختی ${\ mathcal {F}}$ اگر برای هر همراه ، پیش فیلتر کوشی نامیده می شود ${\ displaystyle N \ در {\ mathcal {F}} ،}$ برخی وجود دارد $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به این معنا که $N$ - کوچک ، به این معنی که ${\ displaystyle B \ بار B \ subseteq N.}$ فیلتر کوشی حداقل یک عنصر حداقل (با توجه به ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ یا معادل آن ، به ${\ displaystyle \، \ subseteq}$ ) مجموعه ای از همه فیلترهای کوشی روشن است $ایکس.$ یک فضای یکنواخت $(X ، {\ ریاضی {F}})$ است که به نام کامل (محدوده پی در پی کامل در) اگر هر پیش فیلتر کوشی (محدوده هر پیش فیلتر کوشی ابتدایی) $ایکس$ حداقل به یک نقطه از همگرا می شود $ایکس.$

فضاهای یکنواخت حاصل تلاش برای تعمیم مفاهیمی مانند "تداوم یکنواخت" و "همگرایی یکنواخت" بود که در فضاهای متریک وجود دارد. هر فضای بردار توپولوژیکی و به طور کلی تر ، هر گروه توپولوژیکی را می توان به صورت متعارف به یک فضای یکنواخت تبدیل کرد. هر یکنواختی همچنین یک توپولوژی القایی متعارف ایجاد می کند. فیلترها و پیش فیلترها نقش مهمی در نظریه فضاهای یکنواخت دارند. به عنوان مثال ، تکمیل فضای یکنواخت هاسدورف (حتی اگر قابل اندازه گیری نباشد) معمولاً با استفاده از حداقل فیلترهای کوشی ساخته می شود. شبکه ها برای این ساختمان ایده آل نیستند زیرا دامنه آنها بسیار متنوع است (به عنوان مثال کلاس همه شبکه های کوشی مجموعه ای نیست). توالی ها نمی توانند در حالت کلی استفاده شوند زیرا توپولوژی ممکن است متریز ، اول قابل شمارش یا حتی متوالی نباشد .

همگرایی شبکه های مجموعه [ ویرایش ]

اغلب ترجیح شخصی شبکه ها بر فیلترها یا فیلترها بر شبکه ها وجود دارد. این مثال نشان می دهد که انتخاب بین شبکه ها و فیلترها با ترکیب آنها با یکدیگر دوقطبی نیست.

اگر $س$ زیر مجموعه ای از یک فضای توپولوژیکی است $(X ، \ tau)$ سپس مجموعه ${\ displaystyle \ tau (S)}$ از محله های باز ${\ displaystyle S {\ متن {در}} (X ، \ tau)}$ اگر و فقط اگر یک پیش فیلتر است ${\ displaystyle S \ neq \ varnothing.}$ همین امر در مورد مجموعه نیز صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (S): = \ tau (S)^{\ uparrow X}}$ از همه محله های ${\ displaystyle S {\ متن {در}} (X ، \ tau).}$ تعریف زیر مفهوم مجموعه دمهای یک شبکه از نقاط کلی را تعمیم می دهد $ایکس$ به شبکه های زیر مجموعه $ایکس.$

خالص از مجموعه های در $ایکس$ یک شبکه به مجموعه قدرت است ${\ displaystyle \ wp (X)}$ از $ایکس$ ؛ یعنی شبکه ای از مجموعه ها $ایکس$ یک تابع از مجموعه غیر خالی است که به آن هدایت می شود ${\ displaystyle \ wp (X).}$ یک شبکه ${\ displaystyle S _ {\ bullet} = \ چپ (S_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ مجموعه ها در $ایکس$ به آن شبکه ای از تک نفره (نسبت غیر خالی ، محدود ، جمع و جور و غیره) می گویند{\ displaystyle X} $ایکس$ اگر هر $S_ {i}$ دارای این خاصیت است با این حال ، "net in $ایکس$ "همیشه به خالص ارزش گذاری شده اشاره می کند $ایکس$ و هرگز به ارزش خالص در ${\ displaystyle \ wp (X).}$ اما برای تأکید یا تضاد با خالص زیرمجموعه های $ایکس،$ یک شبکه در $ایکس$ همچنین ممکن است به عنوان خالص امتیاز در $ایکس$ .

(خالص امتیاز $\ چپ راست$ شبکه های تک نفره): هر شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ از نقاط در $ایکس$ می تواند به طور منحصر به فرد با شبکه متعارف مجموعه (تک نفره) مرتبط باشد ${\ displaystyle \ left (\ left \ {x_ {i} \ right \} \ right) _ {i \ in I}}$ که شاخص می کند برعکس ، هر شبکه تک نفره وارد می شود $ایکس$ به طور منحصر به فرد با یک شبکه متعارف از امتیاز در ارتباط دارد $ایکس$ (به روشنی مشخص شده است). در نظر گرفتن این مطابقت ذهنی به طور طبیعی منجر به تعریف زیر می شود ، که کاملاً مشابه تعریف قبلی دم های یک شبکه (نقاط) در $ایکس.$

فرض کنید ${\ displaystyle S _ {\ bullet} = \ چپ (S_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک شبکه از مجموعه های موجود است $ایکس.$ برای هر شاخص تعریف کنید $من$ دم ${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ شروع در $من$ مجموعه بودن

${\ displaystyle S _ {\ geq i}: = \ bigcup _ {i \، \ leq \، j \، \ in \، I} S_ {j}}$

و مجموعه یا خانواده دم های ایجاد شده توسط آنها را تعریف کنید ${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ خانواده بودن

${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right): = \ left \ {S _ {\ geq i}: i \ in I \ right \}}$

جایی که اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ notin \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right)}$ سپس این مجموعه پیش فیلتر یا پایه فیلتر دم های تولید شده توسط نامیده می شود ${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ در حالی که بسته شدن رو به بالا از ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right) {\ text {in}} X}$ به عنوان فیلتر دم یا فیلتر احتمالی در شناخته می شود $ایکس$ ایجاد شده توسط ${\ displaystyle S _ {\ bullet}.}$

با توجه به هر خالص ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ از نقاط در $ایکس،$ به آسانی دیده می شود که ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ operatornname {Tails} \ left (\ left \ {x _ {\ bullet} \ right \} _ {\ bullet} \ right) ، }$ جایی که ${\ displaystyle \ left \ {x _ {\ bullet} \ right \} _ {\ bullet}: = \ left (\ left [{x_ {i} \ right \} \ right) _ {i \ in I}}$ شبکه متعارف مجموعه های تک نفره مرتبط با است ${\ displaystyle x _ {\ bullet}.}$ این امر آشکار می سازد که تعریف زیر از "همگرایی یک شبکه مجموعه" در $ایکس$ در واقع تعمیم تعریف اصلی "همگرایی شبکه ای از نقاط" در است $ایکس$ (زیرا ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ به R}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle \ left (\ left \ {x_ {i} \ right \} \ right) _ {i \ in I} \ to R}$ )

توری از مجموعه ${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ گفته می شود در همگرایی دارد $(X ، \ tau)$ به یک زیر مجموعه ${\ displaystyle R \ subseteq X ،}$ نوشته شده است ${\ displaystyle S _ {\ bullet} \ to R {\ text {in}} (X، \ tau)،}$ اگر ${\ displaystyle \، \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right) \ to R {\ text {in}} (X، \ tau)،}$ که فراخوان به این معنا تعریف شد ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (R) \ leq \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right).}$ به طور مشابه ، ${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ گفته می شود در همگرایی دارد)} $(X ، \ tau)$ به یک نقطه $x \ در X$ اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right) \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ (یعنی اگر و فقط اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x) \ leq \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right)}$ )

توپولوژی مجموعه پیش فیلترها [ ویرایش ]

همچنین ببینید: فضای سنگی

با چیزی بیشتر از یک مجموعه شروع کنید $ایکس،$ می توان مجموعه را توپولوژی کرد

${\ displaystyle \ mathbb {P}: = \ operatorname {Prefilters} (X)}$

از همه پایه های فیلتر بر $ایکس$ با توپولوژی سنگ که به ناممارشال هاروی استوننامگذاری شده است.

برای کاهش سردرگمی ، این مقاله به قراردادهای اسناد زیر پایبند است:

حروف کوچک برای عناصر ${\ displaystyle x \ in X.}$
حروف بزرگ برای زیر مجموعه ها ${\ displaystyle S \ subseteq X.}$
حروف خط بزرگ برای زیر مجموعه ها ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ (یا معادل آن ، برای عناصر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ in \ wp (\ wp (X))،}$ مانند پیش فیلترها).
حروف بزرگ با دو ضربه برای زیر مجموعه ها ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ subseteq \ wp (\ wp (X)).}$

برای هر ${\ displaystyle S \ subseteq X،}$ اجازه دهید

${\ displaystyle \ mathbb {O} (S): = \ left \ {{\ mathcal {B}} \ in \ mathbb {P} ~: ~ S \ in {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} \درست\}}$

جایی که ${\ displaystyle \ mathbb {O} (X) = \ mathbb {P} {\ text {and}} \ mathbb {O} (\ varnothing) = \ varnothing.}$ [توجه 13] این مجموعه ها زیر مجموعه اصلی باز توپولوژی سنگ خواهند بود. اگر ${\ displaystyle R \ subseteq S \ subseteq X}$ سپس

${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {B}} \ in \ wp (\ wp (X)) ~: ~ R \ in {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} \ right \} ~ \ subseteq ~ \ left \ {{\ mathcal {B}} \ in \ wp (\ wp (X)) ~: ~ S \ in {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} \ right \}.}$

از این گنجاندن ، می توان همه موارد زیرمجموعه زیر را به استثنای موارد زیر استنباط کرد ${\ displaystyle \ mathbb {O} (R \ cap S) ~ \ supseteq ~ \ mathbb {O} (R) \ cap \ mathbb {O} (S).}$ [توجه 14] برای همه ${\ displaystyle R \ subseteq S \ subseteq X،}$

${\ displaystyle \ mathbb {O} (R \ cap S) ~ = ~ \ mathbb {O} (R) \ cap \ mathbb {O} (S) ~ \ subseteq ~ \ mathbb {O} (R) \ cup \ mathbb {O} (S) subs \ subseteq ~ \ mathbb {O} (R \ cup S)}$

جایی که به طور خاص ، برابری ${\ displaystyle \ mathbb {O} (R \ cap S) = \ mathbb {O} (R) \ cap \ mathbb {O} (S)}$ نشان می دهد که خانواده ${\ displaystyle \ {\ mathbb {O} (S) ~: ~ S \ subseteq X \}}$ هست یک $\ پی$ - سیستمی که مبنایی برای توپولوژی بر روی آن ایجاد می کند $\ mathbb {P}$ توپولوژی سنگ نامیده می شود . از این پس فرض بر این است که $\ mathbb {P}$ حامل این توپولوژی و هر زیر مجموعه ای از آن است $\ mathbb {P}$ حامل توپولوژی زیرفضا القا شده است .

برخلاف اکثر ساختارهای کلی دیگر توپولوژی (به عنوان مثال ، محصول ، ضریب ، توپولوژی های زیرفضا و غیره) ، این توپولوژی در $\ mathbb {P}$ با تعریف شد خارج با استفاده از هر چیزی غیر از مجموعه ${\ displaystyle X؛}$ هیچ ساختار یا مفروضی از پیش وجود نداشت $ایکس$ بنابراین این توپولوژی کاملاً مستقل از همه چیز به غیر از است $ایکس$ (و زیر مجموعه های آن).

از معیارهای زیر می توان برای بررسی نقاط بسته و محلات استفاده کرد. اگ ${\ displaystyle \ mathbb {B} \ subseteq \ mathbb {P} {\ text {and}} {\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {P}}$ سپس:

بسته شدن در $\ mathbb {P}$ : $\ \ ریاضی {F}$ متعلق به بسته شدن است ${\ displaystyle \ mathbb {B} {\ text {in}} \ mathbb {P}}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq \ bigcup _ {{\ mathcal {B}} \ in \ mathbb {B}} {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}.}$
محله ها در $\ mathbb {P}$ : ${\ displaystyle \ \ mathbb {B}}$ محله ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {in}} \ mathbb {P}}$ اگر و فقط در صورت وجود برخی $F \ در {\ ریاضی {F}}$ به طوری که ${\ displaystyle \ mathbb {O} (F) = \ left \ {{\ mathcal {B}} \ in \ mathbb {P} ~: ~ F \ in {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} \ راست \} \ subseteq \ mathbb {B}}$ (یعنی طوری که برای همه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ in \ mathbb {P}، {\ text {if}} F \ in {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} {\ text {then}} {\ mathcal {B}} \ in \ mathbb {B}}$ )

از این پس فرض بر این خواهد بود که $X \ neq \ لاک زدن$ زیرا در غیر این صورت ${\ displaystyle \ mathbb {P} = \ varnothing}$ و توپولوژی است ${\ displaystyle \ {\ varnothing \} ،}$ که جالب نیست

زیرفضای فوق فیلترها

مجموعه فیلترهای فوق فیلتر روشن است $ایکس$ (با توپولوژی زیرفضا) یک فضای سنگی است ، به این معنی که فشرده ، هاسدورف و کاملاً قطع است . اگر $ایکس$ دارای توپولوژی گسسته و سپس نقشه می باشد ${\ displaystyle \ beta: X \ به \ operatorname {UltraFilters} (X)،}$ با ارسال تعریف می شود $x \ در X$ به اولترافیلتر اصلی در $ایکس،$ یک جاسازی توپولوژیکی است که تصویر آن زیر مجموعه متراکمی از آن است ${\ displaystyle \ operatorname {UltraFilters} (X)}$ ( برای جزئیات بیشتر به مقاله فشرده سازی Stone – chech مراجعه کنید).

روابط بین توپولوژی ها در $ایکس$ و توپولوژی سنگ در $\ mathbb {P}$

هر ${\ displaystyle \ tau \ in \ operatorname {بالا} (X)}$ ایجاد یک نقشه متعارف ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau}: X \ به \ operatorname {Filters} (X)}$ تعریف شده بوسیله ی ${\ displaystyle x \ mapsto {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x) ،}$ که ارسال می کند $x \ در X$ به فیلتر محله از ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau).}$ نقشه ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau}: X \ به \ operatorname {Filters} (X)}$ اگر و فقط در صورت تزریقی باشد ${\ displaystyle \ tau {\ text {is}} T_ {0}}$ (یعنی فضای Kolmogorov ) و علاوه بر این ، اگر ${\ displaystyle \ tau ، \ sigma \ in \ operatorname {بالا} (X)}$ سپس ${\ displaystyle \ tau = \ sigma {\ text {if and only if}} {\ mathcal {N}} _ {\ tau} = {\ mathcal {N}} _ {\ sigma}.}$ بدین ترتیب هر ${\ displaystyle \ tau \ in \ operatorname {بالا} (X)}$ با نقشه متعارف قابل شناسایی است ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} ،}$ که اجازه می دهد ${\ displaystyle \ operatorname {بالا} (X)}$ به صورت متعارف به عنوان زیر مجموعه ای از ${\ displaystyle \ operatorname {Func} (X؛ \ mathbb {P})}$ (به عنوان یک نکته جانبی ، اکنون امکان قرار دادن روی آن وجود دارد ${\ displaystyle \ operatorname {Func} (X؛ \ mathbb {P})،}$ و در نتیجه نیز در ${\ displaystyle \ operatorname {بالا} (X) ،}$ توپولوژی همگرایی نقطه به نقطه در $ایکس$ بنابراین در حال حاضر منطقی است که در مورد مواردی مانند توپولوژی که به صورت نقطه ای به هم نزدیک می شوند صحبت کنیم $ایکس$ ) برای هر ${\ displaystyle \ tau \ in \ operatorname {Top} (X)،}$ حدس زدن ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} :( X، \ tau) \ به \ operatorname {image} {\ mathcal {N}} _ {\ tau}}$ پیوسته ، بسته و باز است . به طور خاص ، برای هر $T_ {0}$ توپولوژی ${\ displaystyle \ tau {\ text {در}} X ،}$ نقشه ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} :( X، \ tau) \ به \ mathbb {P}}$ است تعبیه توپولوژیکی .

علاوه بر این ، اگر ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: X \ به \ operatorname {Filters} (X)}$ نقشه ای است که ${\ displaystyle x \ in \ ker {\ mathfrak {F}} (x): = \ bigcap _ {F \ in {\ mathfrak {F}} (x)} F {\ text {for every}} x \ in ایکس}$ (که در مورد ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: = {\ mathcal {N}} _ {\ tau} ،}$ به عنوان مثال) ، سپس برای هر ${\ displaystyle x \ in X {\ text {و}} F \ in {\ mathfrak {F}} (x)،}$ مجموعه ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} (F): = \ {{\ mathfrak {F}} (f): f \ در F \}}$ محله ای از ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} (x) {\ text {in}} \ operatorname {image} {\ mathfrak {F}}}$ (جایی که ${\ displaystyle \ operatorname {image} {\ mathfrak {F}}}$ توپولوژی زیر فضایی از آن به ارث رسیده است $\ mathbb {P}$ )

همچنین ببینید [ ویرایش ]

خصوصیات طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی
فضای همگرایی - تعمیم مفهوم همگرایی که در توپولوژی عمومی یافت می شود
تصفیه (ریاضیات)
تصفیه (نظریه احتمال) - مدل اطلاعاتی که در یک نقطه معین از یک فرایند تصادفی در دسترس است
تصفیه (جبر انتزاعی)
فیلتر فرشه
فیلتر عمومی
ایده آل (نظریه مجموعه) -خانواده خالی مجموعه هایی که تحت اتحادیه ها و زیر مجموعه های محدود بسته شده اند
فشرده سازی Stone – chech#ساخت و ساز با استفاده از فوق فیلترها
قضیه اساسی فرا محصولات

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 20:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

ویژگی های توپولوژیکی و پیش فیلترها [ ویرایش ]

در سرتاسر $(X ، \ tau)$ یک فضای توپولوژیکی با ${\ displaystyle X \ neq \ varnothing.}$

محله ها و توپولوژی ها

فیلتر محله یک زیر مجموعه غیر خالی $S \ subseteq X$ در یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ برابر است با تقاطع همه فیلترهای محله از همه نقاط در $S.$ [28] اگر $S \ subseteq X$ سپس $س$ باز است در $ایکس$ اگر و فقط اگر هر زمان ${\ mathcal {F}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ و ${\ displaystyle s \ در S ،}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to s {\ text {in}} (X، \ tau) {\ text {implies}} S \ in {\ mathcal {F}}.}$

فرض کنید ${\ displaystyle \ sigma {\ text {و}} \ tau}$ توپولوژی ها در $ایکس.$ سپس $\ تاو$ ظریف تر از $\ سیگما$ (به این معنا که، ${\ displaystyle \ sigma \ subseteq \ tau}$ ) اگر و فقط اگر هر زمان ${\ displaystyle x \ in X {\ text {و}} {\ mathcal {B}}}$ فیلتر روشن است $ایکس،$ اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ sigma).}$ [40] در نتیجه ، ${\ displaystyle \ sigma = \ tau}$ اگر و فقط اگر برای هر فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ و هر ${\ displaystyle x \ in X، {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ sigma)}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau).}$ [29] با این حال ، ممکن است که ${\ displaystyle \ sigma \ neq \ tau}$ در حالی که همچنین برای هر فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X، {\ mathcal {B}}}$ همگرایی به برخی نقطه ${\ displaystyle X {\ متن {در}} (X ، \ sigma)}$ اگر و تنها اگر ${\ mathcal {B}}$ همگرایی به برخی نقطه ${\ displaystyle X {\ متن {در}} (X ، \ tau).}$ [29]

بسته

اگر ${\ displaystyle x \ in X {\ text {و}} S \ subseteq X {\ text {with}} S \ neq \ varnothing}$ بعدی ها برابر هستند:

${\ displaystyle x \ in \ operatorname {ck} _ {X} S}$
$ایکس$ یک نقطه محدود پیش فیلتر است $\ {S \}$ (به این معنا که، ${\ displaystyle \ {S \} \ to x {\ text {in}} X}$ )
یک پیش فیلتر وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (X) {\ text {on}} X}$ به طوری که ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {F}} {\ text {and}} {\ mathcal {F}} \ to x {\ text {in}} X.}$
یک پیش فیلتر وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (S) {\ text {on}} S}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to x {\ text {in}} X.}$ [43]
$ایکس$ یک نقطه خوشه ای از پیش فیلتر است ${\ displaystyle \ {S \}.}$
پیش فیلتر $\ {S \}$ مش با فیلتر محله ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x).}$
پیش فیلتر $\ {S \}$ مش با برخی از (یا معادل آن ، با هر) پیش فیلتر از ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x).}$

موارد زیر معادل هستند:

$ایکس$ نقاط محدود است ${\ displaystyle S {\ متن {در}} X.}$
یک پیش فیلتر وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (S) {\ text {on}} \ {S \} \ setminus \ {x \}}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to x {\ text {in}} X.}$ [43]

مجموعه های بسته

اگر $S \ subseteq X$ خالی نیست پس موارد زیر معادل هستند:

$س$ یک زیرمجموعه بسته از است $ایکس.$
اگر ${\ displaystyle x \ in X {\ text {and}} {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (S)}$ یک پیش فیلتر روشن است $س$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to x {\ text {in}} X،}$ سپس ${\ displaystyle x \ in S.}$
اگر ${\ displaystyle x \ in X {\ text {and}} {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (S)}$ یک پیش فیلتر روشن است $س$ به طوری که $ایکس$ نقاط تجمع از است ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {in}} X،}$ سپس ${\ displaystyle x \ in S.}$ [43]
اگر به گونه ای است که فیلتر محله است مش با سپس
- اثبات این مشخصه بستگی به لمای فوق فیلتر دارد که به اصل انتخاب بستگی دارد .

هاوسدرفنس

موارد زیر معادل هستند:

$ایکس$ است هاسدورف .
هر پیش فیلتر روشن است $ایکس$ حداکثر به یک نقطه در همگرا می شود $ایکس.$ [8]
عبارت بالا اما با کلمه "پیش فیلتر" با یکی از موارد زیر جایگزین شده است: فیلتر ، فوق پیش فیلتر ، فوق فیلتر. [8]

فشردگی

همانطور که در این مقاله مورد بحث قرار گرفت ، Ultrafilter Lemma با بسیاری از قضایای مهم مربوط به فشردگی ارتباط نزدیک دارد.

موارد زیر معادل هستند:

$(X ، \ tau)$ یک فضای فشرده .
هر فیلتر فوق فیلتر روشن است حداقل به یک نقطه در همگرا می شود
- این که این شرایط به معنای فشردگی است ، تنها با استفاده از لمای فوق فیلتر قابل اثبات است. این فشردگی دلالت بر این دارد که این شرایط را می توان بدون لمای فوق فیلتر (یا حتی بدیهیات انتخابی) اثبات کرد.
عبارت بالا اما با کلمات "پیش فیلتر" با یکی از موارد زیر جایگزین شده است: فیلتر ، فوق فیلتر. [46]
برای هر فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {on}} X}$ فیلتر وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {on}} X}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}}$ و ${\ mathcal {F}}$ به نقطه ای همگرا می شود $ایکس.$
برای هر فیلتر پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {on}} X}$ یک پیش فیلتر وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {on}} X}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}}$ و ${\ mathcal {F}}$ به نقطه ای همگرا می شود $ایکس.$
هر پیش فیلتر حداکثر (یعنی فوق العاده) روشن است $ایکس$ حداقل به یک نقطه در همگرا می شود $ایکس.$ [8]
عبارت فوق اما با کلمات "حداکثر پیش فیلتر" با یکی از موارد زیر جایگزین می شود: پیش فیلتر ، فیلتر ، فوق پیش فیلتر ، فوق فیلتر.
هر پیش فیلتر روشن است حداقل دارای یک نقطه خوشه در [8]
- این که این شرایط معادل فشردگی است را می توان تنها با استفاده از لمای فوق فیلتر ثابت کرد.
قضیه زیرپایه اسکندر : یک زیرپایه وجود دارد به گونه ای که هر جلد از توسط مجموعه در دارای یک زیرپوش محدود است
- این که این شرایط معادل فشردگی است را می توان تنها با استفاده از لمای فوق فیلتر ثابت کرد.

اگر $(X ، \ tau)$ فضای توپولوژیکی است و ${\ mathcal {F}}$ مجموعه ای از همه مکمل های زیر مجموعه های جمع و جور از است ${\ displaystyle (X ، \ tau) ،}$ سپس ${\ mathcal {F}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ اگر و تنها اگر $(X ، \ tau)$ است نه جمع و جور.

قضیه [46] - اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر بر روی یک فضای جمع و جور است ${\ displaystyle X {\ متن {و}} C}$ مجموعه نقاط خوشه است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ سپس هر محله ای از $ج$ متعلق به ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ بنابراین یک فیلتر در یک فضای جمع و جور هاسدورف اگر و تنها در صورتی که یک نقطه خوشه واحد داشته باشد ، همگرا می شود.

تداوم

اجازه دهید $f: X \ به Y$ نقشه ای بین فضاهای توپولوژیکی است ${\ displaystyle (X، \ tau) {\ text {and}} (Y، \ upsilon).}$

داده شده ${\ displaystyle x \ in X،}$ موارد زیر معادل هستند:

$f: X \ به Y$ است به طور مداوم در $ایکس.$
تعریف: برای هر محله $V$ از ${\ displaystyle f (x) {\ text {in}} Y}$ محله ای وجود دارد $N$ از ${\ displaystyle x {\ text {in}} X}$ به طوری که ${\ displaystyle f (N) \ subseteq V.}$
${\ displaystyle f ({\ ریاضی {N}} (x))}$ پایه فیلتر برای است ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (f (x))}$ ؛ یعنی بسته شدن رو به بالا از ${\ displaystyle f ({\ mathcal {N}} (x)) {\ text {in}} Y}$ برابر است با ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (f (x)).}$ [43]
${\ displaystyle f ({\ mathcal {N}} (x)) \ به f (x) {\ متن {در}} Y.}$ [43]
اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} X}$ سپس ${\ displaystyle f ({\ ریاضی {B}}) \ به f (x) {\ متن {در}} Y.}$
عبارت بالا اما با کلمه "filter" با "prefilter" جایگزین شده است.

موارد زیر معادل هستند:

$f: X \ به Y$ پیوسته است
اگر ${\ displaystyle x \ in X {\ text {و}} {\ mathcal {B}}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} X}$ سپس ${\ displaystyle f ({\ ریاضی {B}}) \ به f (x) {\ متن {در}} Y.}$
اگر $x \ در X$ نقطه محدود یک پیش فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ سپس $f (x)$ یک نقطه محدود است ${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) {\ text {in}} Y.}$
هر یک از دو عبارت بالا اما با کلمه "پیش فیلتر" با یکی از موارد زیر جایگزین شده است: فیلتر.

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است ${\ displaystyle X ، x \ در X}$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ، {\ text {و}} f: X \ به Y}$ پس پیوسته است $f (x)$ یک نقطه خوشه ای در $Y$ از پیش فیلتر ${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}).}$ [40]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 20:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

توپولوژی ها و پیش فیلترها [ ویرایش ]

در طول ، $(X ، \ tau)$ یک فضای توپولوژیک .

نمونه هایی از روابط بین فیلترها و توپولوژی [ ویرایش ]

پایه ها و پیش فیلترها

اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ خانواده ای از مجموعه باشد که پوشش می دهد $ایکس$ و تعریف کنید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {x} = \ {B \ in {\ mathcal {B}} ~: ~ x \ in B \}}$ برای هر ${\ displaystyle x \ in X.}$ تعریف پایه برای برخی توپولوژی را می توان بلافاصله به صورت زیر بازنویسی کرد: ${\ mathcal {B}}$ پایه ای برای برخی از توپولوژی ها است $ایکس$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {x}}$ پایه فیلتر برای هر کسی است ${\ displaystyle x \ in X.}$ اگر $\ تاو$ یک توپولوژی بر روی است $ایکس$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ tau}$ سپس تعاریف از ${\ mathcal {B}}$ یک پایه (resp. subbase ) برای است $\ تاو$ می تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

${\ mathcal {B}}$ یک پایگاه (resp. subbase) برای است $\ تاو$ اگر و فقط اگر برای هر ${\ displaystyle x \ in X ، {\ mathcal {B}} _ {x}}$ یک پایه فیلتر است (resp. subbase filter) که فیلتر محله را تولید می کند $(X ، \ tau)$ در $ایکس.$

فیلترهای محله

مثال کهن الگویی از فیلتر مجموعه همه محله های یک نقطه در یک فضای توپولوژیکی است. هر مبنای همسایگی یک نقطه در (یا زیرمجموعه ای) از یک فضای توپولوژیکی ، یک پیش فیلتر است. در واقع ، تعریف پایگاه محله را می توان به طور معادل به صورت زیر بیان کرد: "پایگاه محله هرگونه پیش فیلتر است که معادل فیلتر محله است."

پایگاه های محله در نقاط نمونه هایی از پیش فیلترها هستند که ثابت هستند اما ممکن است اصلی باشند یا نباشند. اگر ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ توپولوژی معمول خود را دارد و اگر ${\ displaystyle x \ in X،}$ سپس هر پایه فیلتر محله ${\ mathcal {B}}$ از $ایکس$ ثابت شده توسط $ایکس$ (در واقع ، حتی این درست است که ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ {x \}}$ ) ولی ${\ mathcal {B}}$ از آن زمان اصلی نیست ${\ displaystyle \ {x \} \ not \ in {\ mathcal {B}}.}$ در مقابل ، یک فضای توپولوژیکی دارای توپولوژی گسسته است اگر و فقط در صورتی که فیلتر همسایگی هر نقطه یک فیلتر اصلی باشد که دقیقاً توسط یک نقطه تولید می شود. این نشان می دهد که یک فیلتر غیر اصلی بر روی مجموعه ای بی نهایت لزوماً رایگان نیست.

فیلتر محله هر نقطه $ایکس$ در فضای توپولوژیکی $ایکس$ ثابت است زیرا هسته آن حاوی است $ایکس$ (و احتمالاً نکات دیگر اگر ، برای مثال ، $ایکس$ یک فضای T 1 نیست ). این امر در مورد هر محله ای نیز صادق است $ایکس.$ برای هر نکته ای $ایکس$ در یک فضای T 1 (به عنوان مثال ، یک فضای Hausdorff ) ، هسته فیلتر محله از $ایکس$ برابر با مجموعه تک نفره است ${\ displaystyle \ {x \}.}$

با این حال، ممکن است برای یک فیلتر محله در یک نقطه به اصلی اما نه گسسته (این است که، در یک اصل نیست و تنها نقطه). اساس محله ای ${\ mathcal {B}}$ از یک نقطه $ایکس$ در یک مکان توپولوژیکی اصلی است اگر و فقط اگر هسته از ${\ mathcal {B}}$ یک مجموعه باز است اگر علاوه بر فضا است T 1 پس از آن ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ {x \}}$ به طوری که این اساس ${\ mathcal {B}}$ اصلی است اگر و فقط اگر $\{ایکس\}$ یک مجموعه باز است

ایجاد توپولوژی از فیلترها و پیش فیلترها

فرض کنید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ خالی نیست (و $X \ neq \ لاک زدن$ ) اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle \ {\ varnothing \} \ cup {\ mathcal {B}}}$ یک توپولوژی بر روی است $ایکس$ اما عکس آن به طور کلی نادرست است. این نشان می دهد که به یک معنا ، فیلترها تقریباً توپولوژی هستند. توپولوژی های فرم ${\ displaystyle \ {\ varnothing \} \ cup {\ mathcal {B}}}$ جایی که ${\ mathcal {B}}$ یک فیلتر فوق العاده روشن است $ایکس$ یک زیر طبقه تخصصی تر از چنین توپولوژی هایی هستند. آنها دارای ویژگی هایی هستند که هر زیر مجموعه مناسب دارد ${\ displaystyle \ varnothing \ neq S \ subseteq X}$ است هم باز یا بسته، اما (برخلاف توپولوژی گسسته ) هرگز هر دو. این فضاها به ویژه نمونه هایی از فضاهای درب هستند .

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است (مربوط به زیر فیلتر ، سیستم π – ، مناسب) روشن است $ایکس$ سپس در مورد هر دو یکسان صادق است ${\ displaystyle \ {X \} \ cup {\ mathcal {B}}}$ و مجموعه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ cup}}$ همه اتحادیه های ممکن از یک یا چند عنصر از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ اگر ${\ mathcal {B}}$ تحت تقاطع های محدود و سپس مجموعه بسته می شود ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathcal {B}} = \ {\ varnothing، X \} \ cup {\ mathcal {B}} _ {\ cup}}$ یک توپولوژی بر روی است $ایکس$ با هر دو ${\ displaystyle \ {X \} \ cup {\ mathcal {B}} _ {\ cup} {\ text {and}} \ {X \} \ cup {\ mathcal {B}}}$ بودن پایگاه برای آن است. اگر π -System ${\ mathcal {B}}$ پوشش می دهد $ایکس$ سپس هر دو ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ cup} {\ text {و}} {\ mathcal {B}}}$ همچنین پایه هایی برای ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathcal {B}}.}$ اگر $\ تاو$ یک توپولوژی بر روی است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle \ tau \ setminus \ {\ varnothing \}}$ یک پیش فیلتر (یا معادل آن π –سیستم) است اگر و تنها در صورتی که دارای ویژگی تقاطع محدود (یعنی یک زیرپایه فیلتر است) باشد ، در این صورت یک زیر مجموعه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ tau}$ مبنایی برای $\ تاو$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ setminus \ {\ varnothing \}}$ برابر است با ${\ displaystyle \ tau \ setminus \ {\ varnothing \}،}$ که در این صورت ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ setminus \ {\ varnothing \}}$ یک پیش فیلتر خواهد بود

توپولوژی در مجموعه های هدایت شده و همگرایی خالص

همچنین ببینید: فضای همگرایی

اجازه دهید ${\ displaystyle (I ، \ leq)}$ یک مجموعه کارگردانی غیر خالی باشد و اجازه دهید ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} (I) = \ left \ {I _ {\ geq i} ~: ~ i \ in I \ right \}،}$ جایی که ${\ displaystyle I _ {\ geq i} = \ {j \ in I ~: ~ i \ leq j \}.}$ سپس ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} (I)}$ یک پیش فیلتر است که می پوشاند $من$ و اگر $من$ است کاملا مرتب و پس از آن ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} (I)}$ همچنین تحت تقاطع های محدود بسته می شود. این پیش فیلتر خاص ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} (I)}$ به شکل یک پایه برای یک توپولوژی در $من$ که در آن همه مجموعه های فرم ${\ displaystyle I _ {> i} = \ {j \ in I ~: ~ i <j \}}$ نیز باز هستند در مورد توپولوژی نیز همین امر صادق است ${\ displaystyle \ tau _ {I}: = \ {\ varnothing \} \ cup \ operatorname {FilterTails} (I) {\ text {on}} I،}$ جایی که ${\ displaystyle \ operatorname {FilterTails} (I)}$ فیلتر روشن است $من$ ایجاد شده توسط ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} (I).}$ با استفاده از این توپولوژی ، شبکه های همگرا را می توان به صورت توابع پیوسته به روش زیر مشاهده کرد. اجازه دهید $(X ، \ tau)$ یک فضای توپولوژیکی باشد ، اجازه دهید ${\ displaystyle x \ in X،}$ اجازه دهید ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I} ~: ~ I \ to X}$ یک خالص در $ایکس،$ و اجازه دهید ${\ displaystyle \ tau (x) \ subseteq \ tau}$ مجموعه همه محله های باز را نشان می دهد $ایکس.$ اگر شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ همگرا به ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ سپس ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: ~ \ left (I، \ tau _ {I} \ right) \ to \ left (X، \ {\ varnothing \} \ cup \ tau (x) \ right)}$ لزوماً پیوسته است اگرچه به طور کلی ، عکس معکوس غلط است (برای مثال ، اگر را در نظر بگیرید ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ ثابت است و برابر نیست $ایکس$ ) اما اگر علاوه بر تداوم ، preimage تحت ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ از هر ${\ displaystyle N \ in \ tau (x)}$ خالی نیست ، سپس شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ لزوماً همگرا خواهد شد ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau).}$ به این ترتیب ، مجموعه خالی تنها چیزی است که همگرایی و تداوم خالص را از هم جدا می کند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

عدم معادل سازی زیر شبکه ها و فیلترهای فرعی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: Net (ریاضیات) و Subnet (ریاضیات)

یک زیر مجموعه ${\ displaystyle R \ subseteq I}$ از یک فضای از پیش تعیین شده ${\ displaystyle (I ، \ leq)}$ است مکرر یا نهایی در $من$ اگر برای هر $من \ در من$ برخی وجود دارد ${\ displaystyle r \ در R {\ متن {به گونه ای که}} i \ leq r.}$ اگر ${\ displaystyle R \ subseteq I}$ شامل یک دم از $من$ سپس $R$ گفته می شود که در نهایت یاسرانجام در $من$ ؛ به صراحت ، این بدان معناست که برخی از آنها وجود دارد متن {به گونه ای که ${\ displaystyle i \ in I {\ متن {به گونه ای که}} I _ {\ geq i} \ subseteq R}$ (به این معنا که، ${\ displaystyle j \ in R {\ text {for all}} j \ in I {\ text {satisfying}} i \ leq j}$ ) یک زیرمجموعه در صورتی امکان پذیر است که فقط و فقط در صورتی که مکمل آن مکرر نباشد (که به آن اصطلاحاً گفته می شودنادر ) [44] نقشه ${\ displaystyle h: A \ to I}$ بین دو مجموعه از پیش تعیین شده است در هر زمان حفظ نظم ${\ displaystyle a، b \ in A {\ text {satisfy}} a \ leq b، {\ text {then}} h (a) \ leq h (b).}$

زیرشبکه ها به معنای ویلارد و زیرشبکه ها به معنای کلی رایج ترین تعاریف مورد استفاده از " زیر شبکه " هستند. [44] اولین تعریف یک زیر شبکه توسط جان L. Kleyley در سال 1955 ارائه شد. [44] استفان ویلارد نوع خود از تعریف کلی از زیر شبکه را در 1970 معرفی کرد. [44] AA -subnets به طور مستقل توسط Smiley (1957) معرفی شد. ، Aarnes and Andenaes (1972) ، و Murdeshwar (1983) ؛ زیر شبکه های AA توسط Aarnes و Andenaes با جزئیات بسیار مورد مطالعه قرار گرفت اما اغلب مورد استفاده قرار نمی گیرد. [44]

اجازه دهید ${\ displaystyle S = S _ {\ bullet}: ~ (A، \ leq) \ to X {\ text {and}} N = N _ {\ bullet} ~: ~ (I، \ leq) \ to X}$ تور باشید سپس [44]
${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ هست یک ویلارد - زیر شبکه از ${\ displaystyle N _ {\ bullet}}$ یا یک زیر شبکه به معنای ویلارد در صورت وجود نقشه حفظ نظم ${\ displaystyle h: A \ to I}$ به طوری که ${\ displaystyle S = N \ circ h {\ text {و}} ساعت (A)}$ نهایی است در ${\ displaystyle I.}$
${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ هست یک کلی - زیر شبکه از ${\ displaystyle N _ {\ bullet}}$ در صورت وجود نقشه ، یک زیر شبکه به معنای کلی ${\ displaystyle h ~: ~ A \ to I {\ text {such that}} S = N \ circ h}$ و هر زمان ${\ displaystyle E \ subseteq I}$ در نهایت در{\ displaystyle I} $من$ سپس ${\ displaystyle h^{-1} (E)}$ در نهایت در $آ.$
${\ displaystyle S _ {\ bullet}}$ هست یک AA - زیر شبکه از ${\ displaystyle N _ {\ bullet}}$ یا یک زیر شبکه به معنای آرنس و آندنس در صورت رعایت هر یک از شرایط معادل زیر:
${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (N _ {\ bullet} \ right) \ leq \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right).}$
${\ displaystyle \ operatorname {TailsFilter} \ left (N _ {\ bullet} \ right) \ subseteq \ operatorname {TailsFilter} \ left (S _ {\ bullet} \ right).}$
اگر $ج$ در نهایت در ${\ displaystyle I {\ text {then}} S^{-1} (N (J))}$ در نهایت در $آ.$
برای هر زیر مجموعه ${\ displaystyle R \ subseteq X ، {\ text {if}} \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right) {\ text {and}} \ {R \}}$ مش ، سپس این کار را انجام دهید ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (N _ {\ bullet} \ right) {\ text {and}} \ {R \}.}$
برای هر زیر مجموعه ${\ displaystyle R \ subseteq X ، {\ text {if}} \ operatorname {Tails} \ left (S _ {\ bullet} \ right) \ leq \ {R \} {\ text {then}} \ operatorname {Tails} \ چپ (N _ {\ bullet} \ راست) \ leq \ {R \}.}$

کلی به نقشه نیاز نداشت $ساعت$ حفظ نظم در حالی که تعریف زیر شبکه AA به طور کامل نقشه بین دامنه دو شبکه را از بین می برد و در عوض به طور کامل بر $ایکس$ - کد مشترک مشترک شبکه ها. هر زیر شبکه Willard یک زیر شبکه Kelley است و هر دو زیر شبکه AA هستند. [44] به ویژه ، اگر ${\ displaystyle y _ {\ bullet} = \ left (y_ {a} \ right) _ {a \ in A}}$ یک شبکه فرعی ویلارد یا زیر شبکه کلی است ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ سپس ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ leq \ operatorname {Tails} \ left (y _ {\ bullet} \ right).}$

زیر شبکه های AA دارای ویژگی مشخصی هستند که بلافاصله نشان می دهد که آنها کاملاً با فیلترهای زیر (مرتب) قابل تعویض هستند. [44] [45] به صراحت ، منظور این است که عبارت زیر برای زیر شبکه های AA صادق است:

اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ پس پیش فیلتر هستند ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {if and only if}} \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {F}}}$ یک زیر مجموعه AA است ${\ displaystyle \؛ \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}.}$

اگر "AA -subnet" با "Willard -subnet" یا "Kelley -subnet" جایگزین شود ، عبارت فوق نادرست می شود . به طور خاص ، مشکل این است که عبارت زیر به طور کلی نادرست است:

گزاره غلط : اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ پیش فیلترهایی هستند که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {then}} \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {F}}}$ کلی است - زیرمجموعه ای از ${\ displaystyle \؛ \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}.}$

از آنجا که هر زیر شبکه Willard یک زیر شبکه Kelley است ، اگر عبارت "Kelley -subnet" با "Willard -subnet" جایگزین شود ، این عبارت نادرست باقی می ماند.

مثال متقابل: برای همه ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}،}$ اجازه دهید ${\ displaystyle B_ {n} = \ {1 \} \ cup \ mathbb {N} _ {\ geq n}.}$ اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {B_ {n} ~: ~ n \ in \ mathbb {N} \}،}$ که یک سیستم π – مناسب است ، و اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {\ {1 \} \} \ cup {\ mathcal {B}}،}$ جایی که هر دو خانواده پیش فیلترهای اعداد طبیعی هستند ${\ displaystyle X: = \ mathbb {N} = \ {1،2، \ ldots \}.}$ زیرا ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {F}} ، {\ mathcal {F}}}$ است به ${\ mathcal {B}}$ به عنوان یک دنباله به دنباله است. بنابراین ایده آل ، ${\ displaystyle S = \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {F}}}$ باید زیر شبکه ای از ${\ displaystyle B = \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}.}$ اجازه دهید ${\ displaystyle I: = \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}})}$ حوزه ای باشد ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}،}$ بنابراین $من$ شامل یک زیرمجموعه نهایی است که به ترتیب ایزومورفیک است $\ mathbb {N}$ و در نتیجه نه دارای حداکثر و نه بزرگترین عنصر است. اجازه دهید ${\ displaystyle A: = \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {F}}) = \ {M \} \ cup I، {\ text {where}} M: = (1، \ {1 \})}$ هم حداکثر و هم بزرگترین عنصر است $آ.$ مجموعه کارگردانی شده $آ$ همچنین شامل زیرمجموعه ای است که به ترتیب ایزومورفیک است $\ mathbb {N}$ (چون حاوی $من،$ که حاوی چنین زیرمجموعه ای است) اما هیچ زیر مجموعه ای نمی تواند در آن نهایی باشد $آ$ به دلیل حداکثر عنصر ${\ displaystyle M.}$ در نتیجه ، هر نقشه حفظ نظم ${\ displaystyle h: A \ to I}$ باید در نهایت ثابت باشد (با مقدار ${\ displaystyle h (M)}$ ) جایی که ${\ displaystyle h (M)}$ سپس بزرگترین عنصر محدوده است ${\ displaystyle \ operatorname {image} ساعت.}$ به همین دلیل ، هیچ نقشه ای برای حفظ نظم وجود ندارد ${\ displaystyle h: A \ to I}$ که شرایط لازم برای آن را برآورده می کند ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {F}}}$ به عنوان یک شبکه فرعی ویلارد از ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ (زیرا محدوده چنین نقشه ای $ساعت$ نمی تواند به صورت نهایی در $من$ ) فرض کنید به خاطر تناقض وجود دارد که نقشه وجود دارد ${\ displaystyle h: A \ to I}$ به طوری که ${\ displaystyle h^{-1} \ چپ (I _ {\ geq i} \ راست)}$ در نهایت در $آ$ برای همه ${\ displaystyle i \ in I.}$ زیرا ${\ displaystyle h (M) \ در I ،}$ وجود دارد ${\ displaystyle n، n_ {0} \ in \ mathbb {N}}$ به طوری که ${\ displaystyle h (M) = \ چپ (n_ {0} ، B_ {n} \ راست) {\ متن {با}} n_ {0} \ در B_ {n}.}$ برای هر ${\ displaystyle i \ in I ،}$ زیرا ${\ displaystyle h^{-1} \ چپ (I _ {\ geq i} \ راست)}$ در نهایت در $آ،$ ضروری است که ${\ displaystyle h (M) \ in I _ {\ geq i}.}$ به طور خاص ، اگر ${\ displaystyle i: = \ چپ (n+2 ، B_ {n+2} \ راست)}$ سپس ${\ displaystyle h (M) \ geq i = \ left (n+2، B_ {n+2} \ right)،}$ که طبق تعریف معادل آن است ${\ displaystyle B_ {n} \ subseteq B_ {n+2} ،}$ که غلط است در نتیجه، ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {F}}}$ یک کلی -زیر شبکه نیست ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}.}$ [45]

اگر "زیر شبکه" به معنی Willard -subnet یا Kelley -subnet تعریف شده باشد ، شبکه ها و فیلترها کاملاً قابل تعویض نیستند زیرا یک رابطه فیلتر فیلتر - فرعی (مرتب) وجود دارد که نمی تواند بر حسب رابطه شبکه - زیر شبکه بین این دو بیان شود. تورهای القایی به طور خاص، مشکل این است که کلی-زیرشبکه و ویلارد-زیرشبکه هستند نه به طور کامل با فیلتر قابل تعویض تابع. اگر مفهوم "زیر شبکه" استفاده نشود یا اگر "زیر شبکه" به معنی AA -subnet تعریف شده باشد ، این دیگر مشکلی نخواهد داشت و بنابراین می توان گفت که شبکه ها و فیلترها قابل تعویض هستند. با وجود این واقعیت که زیرشبكه های AA مشكلی را كه زیرشبكه های ویلارد و كلی دارند ندارند ، اما به طور گسترده مورد استفاده قرار نمی گیرند و درباره آنها اطلاعاتی وجود ندارد. [44] [45]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

اولترانت ها و پیش فیلترهای فوق العاده

یک شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet} {\ text {in}} X}$ یک شبکه اولترانتیک یا جهانی در آن نامیده می شود $ایکس$ اگر برای هر زیر مجموعه ${\ displaystyle S \ subseteq X ، x _ {\ bullet}}$ در نهایت در $س$ یا در نهایت وارد می شود ${\ displaystyle X \ setminus S}$ ؛ این اتفاق می افتد اگر و فقط اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ یک پیش فیلتر فوق العاده است یک پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ یک پیش فیلتر فوق العاده است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ یک ultranet در است $ایکس.$

شبکه تا حدی سفارش داده شده [ ویرایش ]

دامنه شبکه متعارف ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ به طور کلی سفارش نشده است با این حال، در سال 1955 برنس و اشمیت کشف [42] ساخت و ساز است که اجازه می دهد تا برای خالص متعارف به یک دامنه است که هر دو پاره مرتب و کارگردانی؛ این به طور مستقل توسط کشف شد آلبرت Wilansky در سال 1970. [4] آن را با ساخت یک آغاز می شود ترتیب جزئی سخت (یعنی متعدی و رابطه irreflexive ) ${\ displaystyle \، <\،}$ در زیرمجموعه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X}$ که مشابه ترتیب واژه شناسی در است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N}}$ از دستورات جزئی جزئی ${\ displaystyle ({\ mathcal {B}}، \ supsetneq) {\ text {and}} (\ mathbb {N}، <).}$ برای هرچی ${\ displaystyle i = (B، m، b) {\ text {and}} j = (C، n، c)}$ که در ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X،}$ اعلام کنید که $من <ج$ اگر و تنها اگر

${\ displaystyle B \ supseteq C {\ text {و یا:}} {\ text {(1)}} B \ neq C {\ text {یا دیگری (2)}} B = C {\ text {and}} m <n،}$

یا معادل آن ، اگر و فقط اگر ${\ displaystyle {\ text {(1)}} B \ supseteq C ، {\ text {و (2) if}} B = C {\ text {then}} m <n.}$

غیر دقیق سفارش جزئی در ارتباط با ${\ displaystyle \، <،}$ نشان داده شده توسط ${\ displaystyle \، \ leq،}$ با اعلام آن تعریف می شود ${\ displaystyle i \ leq j \، {\ text {if and only if}} i <j {\ text {or}} i = j.}$ بازکردن این تعاریف ویژگی های زیر را ارائه می دهد:

$i \ leq j$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ text {(1)}} B \ supseteq C ، {\ text {و (2) if}} B = C {\ text {then}} m \ leq n،}$ و همچنین ${\ displaystyle {\ text {(3) if}} B = C {\ text {and}} m = n {\ text {then}} b = c،}$

که نشان می دهد که ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ فقط است سفارش واژه در ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X}$ ناشی از ${\ displaystyle ({\ mathcal {B}}، \ supseteq)، \، (\ mathbb {N}، \ leq)، {\ text {and}} (X، =)،}$ جایی که $ایکس$ تا حدی با برابری سفارش شده است ${\ displaystyle \، =. \،}$ [یادداشت 12] هر دو ${\ displaystyle \، <{\ text {and}} \ leq \،}$ سریال هستند و هیچ کدام دارای بزرگترین عنصر یا حداکثر عنصر نیستند . اگر هر کدام به زیر مجموعه ای محدود شوند ، این امر صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X}$ تعریف شده بوسیله ی

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {Poset} _ {\ mathcal {B}} \؛ &: = \؛ \ {\، (B، m، b) \؛ \ in \؛ { \ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X ~: ~ b \ in B \، \}، \\\ end {alignat}}}$

جایی که از این پس فرض می شود که آنها هستند. تعیین تکلیف ${\ displaystyle i = (B ، m ، b) \ mapsto به b}$ از این زیر مجموعه توسط:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}} \: \ && \ \ operatorname {Poset} _ {\ mathcal {B}} \ && \، \ به \ ؛ & X \\ [0.5ex] && \ (B، m، b) \ && \، \ mapsto \؛ & b \\ [0.5ex] \ end {alignat}}}$

اگر ${\ displaystyle i_ {0} = \ چپ (B_ {0} ، m_ {0} ، b_ {0} \ راست) \ در \ نام اپراتور {Poset} _ {\ mathcal {B}}}$ سپس درست مانند ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ قبل ، دم از ${\ displaystyle \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}}}$ شروع در $i_ {0}$ برابر است با ${\ displaystyle B_ {0}.}$ اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}}}$ یک خالص در است $ایکس$ دامنه آن ${\ displaystyle \ operatorname {Poset} _ {\ mathcal {B}}}$ یک مجموعه تا حدی سفارش داده شده است و علاوه بر این ، ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}} \ right) = {\ mathcal {B}}.}$ [4] چون دم از ${\ displaystyle \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}} {\ text {and}} \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ یکسان هستند (زیرا هر دو برابر با پیش فیلتر هستند ${\ mathcal {B}}$ ) ، معمولاً با فرض اینکه دامنه شبکه مرتبط با پیش فیلتر هم جهت دار و هم تا حدی مرتب شده است چیزی از دست نمی رود . [4] اگر مجموعه $\ mathbb {N}$ با اعداد منطقی مثبت و سپس دستور جزئی جزئی جایگزین می شود $<$ همچنین یک دستور متراکم خواهد بود

فیلترهای فرعی و زیر شبکه ها [ ویرایش ]

مفهوم " ${\ mathcal {B}}$ تابع است ${\ mathcal {C}}$ " (نوشته شده است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vdash {\ mathcal {C}}}$ ) برای فیلترها و پیش فیلترها چیست " ${\ displaystyle x_ {n _ {\ bullet}} = \ چپ (x_ {n_ {i}} \ راست) _ {i = 1}^{\ infty}}$ متعاقب آن است ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty}}$ "برای توالی است. [24] به عنوان مثال ، اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ left \ {x _ {\ geq i}: i \ in \ mathbb {N} \ right \}}$ مجموعه دم های را نشان می دهد ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ و اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right) = \ left \ {x_ {n _ {\ geq i}}: i \ in \ mathbb {N} \ right \}}$ مجموعه دم های بعدی را نشان می دهد ${\ displaystyle x_ {n _ {\ bullet}}}$ (جایی که ${\ displaystyle x_ {n _ {\ geq i}}: = \ left \ {x_ {n_ {i}} ~: ~ i \ in \ mathbb {N} \ right \}}$ ) سپس ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right) ~ \ vdash ~ \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ (به این معنا که، ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ leq \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right)}$ ) درست است اما ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) ~ \ vdash ~ \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right)}$ به طور کلی نادرست است اگر ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک شبکه در یک فضای توپولوژیکی است $ایکس$ و اگر ${\ ریاضی {N}} (x)$ است فیلتر محله در یک نقطه ${\ displaystyle x \ in X،}$ سپس ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to x {\ text {in}} X {\ text {if and only if}} {\ mathcal {N}} (x) \ leq \ operatornname {Tails} \ left (x_ {\ bullet} \ right).}$

آنالوگ های تبعی از نتایج شامل زیرمجموعه ها [ ویرایش ]

نتایج زیر آنالوگ های پیش فیلتر گزاره هایی هستند که شامل موارد فرعی هستند. [43] شرط " ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}} ،}$ "که آن نیز نوشته شده است ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ vdash {\ mathcal {B}} ،}$ آنالوگ "است ${\ mathcal {C}}$ متعاقب آن است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ "بنابراین" ظریف تر "و" تابع "، آنالوگ پیش فیلتر" متعاقب "است. برخی افراد ترجیح می دهند به جای" ظریف تر از "گفتن" تابع "، زیرا بیشتر یادآور" متعاقب "است.

پیشنهاد [43] [39] - اجازه دهید ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روی آن باشید $ایکس$ و اجازه دهید ${\ displaystyle x \ in X.}$

فرض کنید ${\ mathcal {C}}$ یک پیش فیلتر است به گونه ای که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}}.}$
1. اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} X {\ text {then}} {\ mathcal {C}} \ to x {\ text {in}} X.}$ [اثبات 4]
  - این آنالوگ "اگر دنباله ای به همگرایی داشته باشد" است $ایکس$ پس هر فرعی نیز چنین می کند. "
2. اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {in}} X}$ سپس $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X.}$
  - این قیاس "اگر" است $ایکس$ پس یک نقطه خوشه ای از برخی فرعیات است $ایکس$ یک نقطه خوشه از دنباله اصلی است. "
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} X}$ اگر و فقط اگر برای هر پیش فیلتر ظریف تر ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}}}$ حتی یک پیش فیلتر دقیق تر نیز وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ geq {\ mathcal {C}}}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to x {\ text {in}} X.}$ [39]
- این آنالوگ "دنباله ای به همگرا است" است $ایکس$ اگر و فقط در صورتی که هر فرعی دارای یک فرعی فرعی است که به آن همگرا می شود $ایکس.$ "
$ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X}$ اگر و تنها در صورتی که پیش فیلتر دقیق تری وجود داشته باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}}}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ to x {\ text {in}} X.}$
- این آنالوگ " $ایکس$ یک نقطه خوشه از یک دنباله است اگر و تنها در صورتی که دارای یک فرعی باشد که به آن همگرا می شود $ایکس.$ "

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:57 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

فیلترها و شبکه ها [ ویرایش ]

این مقاله روابط بین پیش فیلترها و شبکه ها را با جزئیات بسیار توصیف می کند تا بعداً فهمیدن اینکه چرا زیر شبکه ها (با بیشترین تعاریف مورد استفاده آنها) به طور کلی با "پیش فیلترهای فرعی" معادل نیستند ، آسان تر شود.

شبکه به پیش فیلترها [ ویرایش ]

در تعاریف زیر ، اولین گزاره تعریف استاندارد نقطه محدود یک شبکه (به عنوان نقطه خوشه یک شبکه) است و به تدریج آن را بازنویسی می کند تا به مفهوم فیلتر مربوطه برسیم.

یک شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I} {\ text {in}} X}$ گفته می شود در همگرایی دارد $(X ، \ tau)$ به یک نقطه ${\ displaystyle x \ in X،}$ نوشته شده است ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)،}$ و $ایکس$ است که به نام حد و یا حد نقطه از ${\ displaystyle x _ {\ bullet} ،}$ [41] در صورت وجود هر یک از شرایط معادل زیر:
تعریف: برای هر ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x)،}$ برخی وجود دارد $من \ در من$ طوری که اگر ${\ displaystyle i \ leq j \ in I {\ text {then}} x_ {j} \ in N.}$
برای هر ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x)،}$ برخی وجود دارد $من \ در من$ به گونه ای که دم از ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ شروع در $من$ موجود است در $N$ (یعنی چنین ${\ displaystyle x _ {\ geq i} \ subseteq N}$ )
برای هر ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x)،}$ برخی وجود دارد ${\ displaystyle B \ in \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ به طوری که ${\ displaystyle B \ subseteq N.}$
${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x) \ leq \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right).}$
${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ ؛ یعنی پیش فیلتر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ همگرا به ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau).}$
مثل همیشه، ${\ displaystyle \ lim x _ {\ bullet} = x}$ به این معنا تعریف شده است ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ و $ایکس$ است تنها نقطه محدود از ${\ displaystyle x _ {\ bullet} {\ text {in}} (X، \ tau)؛}$ یعنی اگر هم ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to z {\ text {in}} (X، \ tau) {\ text {then}} z = x.}$ [41]

یک نقطه $x \ در X$ نقطه خوشه ای یا نقطه تجمع یک شبکه نامیده می شود ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I} {\ text {in}} (X، \ tau)}$ در صورت وجود هر یک از شرایط معادل زیر:
تعریف: برای هر ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x)}$ و هر ${\ displaystyle i \ in I ،}$ برخی وجود دارد ${\ displaystyle i \ leq j \ in I}$ به طوری که ${\ displaystyle x_ {j} \ در N.}$
برای هر ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x)}$ و هر ${\ displaystyle i \ in I ،}$ دم از ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ شروع در $من$ تلاقی می کند ${\ displaystyle N.}$
برای هر ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x)}$ و هر ${\ displaystyle B \ in \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) ، B \ cap N \ neq \ varnothing.}$
${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x) {\ text {and}} \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ مش (با تعریف "مش").
$ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) {\ text {in}} (X، \ tau).}$

اگر $f: X \ به Y$ نقشه است و ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ یک خالص در است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (f \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ right) = f \ left (\ operatornname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ right) .}$ [4]

پیش فیلترهای شبکه ها [ ویرایش ]

یک ست نوک تیز یک جفت است ${\ displaystyle (S، s)}$ شامل یک مجموعه غیر خالی $س$ و یک عنصر ${\ displaystyle s \ in S.}$ برای هر خانواده ای ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ اجازه دهید

${\ displaystyle \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}}): = \ left \ {(B، b) ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} b \ در B \ right \}.}$

یک پیش سفارش متعارف تعریف کنید ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ در مجموعه های نوک تیز با اعلام

${\ displaystyle (R، r) \ leq (S، s) \ quad {\ text {if and only if}} \ quad R \ supseteq S.}$

${\ displaystyle s_ {0} ، s_ {1} \ in S {\ text {then}} \ left (S، s_ {0} \ right) \ leq \ left (S، s_ {1} \ right) {\ پیام {و}} \ چپ (S ، s_ {1} \ راست) \ leq \ left (S ، s_ {0} \ right)}$ حتی اگر ${\ displaystyle s_ {0} \ neq s_ {1} ،}$ بنابراین این پیش سفارش نامتقارن نیست و به مجموعه ای از مجموعه ها داده می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ ${\ displaystyle (\ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}}) ، \ leq)}$ است تا حدی دستور داد اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ به طور کامل از مجموعه های تک نفره تشکیل شده است. اگر ${\ displaystyle \ {x \} \ in {\ mathcal {B}} {\ text {then}} (\ {x \}، x)}$ یک عنصر حداکثر از ${\ displaystyle \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}})}$ ؛ علاوه بر این ، همه عناصر حداکثر از این شکل هستند. اگر ${\ displaystyle \ left (B، b_ {0} \ right) \ in \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}}) {\ text {then}} \ left (B، b_ {0} \ right) }$ است بزرگترین عنصر اگر و تنها اگر ${\ displaystyle B = \ ker {\ mathcal {B}} ،}$ که در این صورت ${\ displaystyle \ {(B، b) ~: ~ b \ in B \}}$ مجموعه همه بزرگترین عناصر است با این حال ، بزرگترین عنصر ${\ displaystyle (B ، b)}$ یک عنصر حداکثر است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle B = \ {b \} = \ ker {\ mathcal {B}}،}$ بنابراین حداکثر یک عنصر وجود دارد که هم حداکثر است و هم بزرگترین. یک نقشه متعارف وجود دارد ${\ displaystyle \ operatorname {Point} _ {\ mathcal {B}} ~: ~ \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}}) \ to X}$ تعریف شده بوسیله ی ${\ displaystyle i_ {0} = \ چپ (B_ {0} ، b_ {0} \ راست) \ در \ نام اپراتور {PointedSets} ({\ mathcal {B}})}$ سپس دم تکلیف ${\ displaystyle \ operatorname {Point} _ {\ mathcal {B}}}$ شروع در $i_ {0}$ است ${\ displaystyle \ left \ {c ~: ~ (C، c) \ in \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}}) {\ text {and}} \ left (B_ {0}، b_ {0 } \ right) \ leq (C، c) \ right \} = B_ {0}.}$

با اينكه ${\ displaystyle (\ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}}) ، \ leq)}$ به طور کلی یک مجموعه تا حدی مرتب نیست ، یک مجموعه هدایت شده است اگر (و فقط اگر) ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است بنابراین فوری ترین انتخاب برای تعریف " $ایکس$ ناشی از پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ "تکلیف است ${\ displaystyle (B ، b) \ mapsto b}$ از جانب ${\ displaystyle \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}})}$ به $ایکس.$

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است ${\ displaystyle X {\ text {then}} \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ یک خالص در است $ایکس$ و پیش فیلتر مربوط به ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ است ${\ mathcal {B}}$ ؛ یعنی: [یادداشت 11]

${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}} \ right) = {\ mathcal {B}}.}$

اگر این امر لزوماً درست نبود ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ در زیرمجموعه مناسب تعریف شده است ${\ displaystyle \ operatorname {PointedSets} ({\ mathcal {B}}).}$ برای مثال ، فرض کنید $ایکس$ حداقل دو عنصر متمایز دارد ، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ {X \}}$ فیلتر نامشخص است و $x \ در X$ دلخواه است داشته است ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ در عوض در مجموعه تک نفره تعریف شده است ${\ displaystyle D: = \ {(X ، x) \} ،}$ جایی که محدودیت از ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ به $د$ به طور موقت با نشان داده می شود ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {D}: D \ to X،}$ سپس پیش فیلتر دم های مرتبط با ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {D}: D \ to X}$ پیش فیلتر اصلی خواهد بود ${\ displaystyle \ {\، \ {x \} \، \}}$ به جای فیلتر اصلی ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {X \}}$ ؛ این بدان معناست که برابری ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {Net} _ {D} \ right) = {\ mathcal {B}}}$ است نادرست ، بنابراین بر خلاف ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}،}$ پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ می توانید نه از توان بازیافت ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {D}.}$ بدتر از آن ، در حالی که ${\ mathcal {B}}$ حداقل فیلتر منحصر به فرد است $ایکس،$ پیش فیلتر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {Net} _ {D} \ right) = \ {\ {x \} \}}$ در عوض حداکثر فیلتر (یعنی یک فوق فیلتر) روشن می کند $ایکس.$

با این حال ، اگر ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک خالص در است $ایکس$ سپس آن را نمی در کل درست است که ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}}$ برابر است با ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ به عنوان مثال ، دامنه از ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ ممکن است دارای اصالت کاملاً متفاوتی با آن باشد ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}}$ (از آنجا که بر خلاف حوزه از ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)} ،}$ حوزه یک شبکه دلخواه در $ایکس$ می تواند هرگونه بدیهی داشته باشد)

پیشنهاد - اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس$ و $x \ در X$ سپس

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau) {\ text {if and only if}} \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}} \ به x {\ متن {در}} (X ، \ tau).}$
$ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ mathcal {B}}$ اگر و تنها اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}.}$

اثبات -

به یاد بیاورید که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}} \ right)}$ و اگر اگر ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ یک خالص در است $ایکس$ سپس (1) ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to x {\ text {if and only if}} \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ to x،}$ و (2) $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ اگر و تنها اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right).}$ با استفاده از ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: = \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {B}} = \ operatorname {Tails} \ left (\ operatornname {Net } _ {\ mathcal {B}} \ راست) ،}$ نتیجه می شود که

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x \ quad {\ text {if and only if}} \ quad \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}} \ right ) \ to x \ quad {\ text {if and only if}} \ quad \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}} \ to x.}$ همچنین از آن پیروی می کند $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ mathcal {B}}$ اگر و تنها اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}} \ right)}$ اگر و تنها اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}.}$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:56 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

محدودیت عملکردها به عنوان محدوده پیش فیلترها [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: محدوده یک تابع و محدودیت یک طرفه

اگر $f: X \ به Y$ یک نقشه از مجموعه ای به یک فضای توپولوژیکی است ${\ displaystyle Y ، y \ در Y ، {\ text {و}} {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ سپس $y$ یک نقطه محدود یا حد (به ترتیب ، یک نقطه خوشه ) از است $f$ با توجه به ${\ mathcal {B}}$ [39] اگر $y$ یک نقطه محدود (به عنوان نقطه خوشه) است ${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) {\ text {in}} Y،}$ در این صورت این امر ممکن است با نوشتن بیان شود ${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ به y ، {\ text {یا}} \ lim f ({\ mathcal {B}}) \ به y {\ text {in}}> Y.}$ اگر حد $y$ پس از پیکان منحصر به فرد است $\به$ ممکن است با علامت برابر جایگزین شود ${\ displaystyle =.}$ [29]

به صراحت ، $y$ محدودیتی است از $f$ با توجه به ${\ mathcal {B}}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (y) \ leq f ({\ mathcal {B}}).}$

تعریف شبکه همگرا یک مورد خاص از تعریف فوق از حد یک تابع است. به طور خاص ، اگر ${\ displaystyle x \ in X {\ text {and}} \ chi: (I، \ leq) \ to X}$ پس یک شبکه است

${\ displaystyle \ chi \ to x {\ text {in}} X \ quad {\ text {if and only if}} \ quad \ chi (\ operatorname {Tails} (I، \ leq)) \ to x {\ پیام {در}} X ،}$

جایی که سمت چپ آن را بیان می کند $ایکس$ یک حد از خالص $\ چی$ در حالی که سمت راست آن را بیان می کند $ایکس$ محدودیت عملکرد است $\ چی$ با توجه به ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ operatorname {Tails} (I ، \ leq)}$ (همانطور که در بالا مشخص شد).

جدول زیر نشان می دهد که چگونه می توان انواع مختلف محدودیت های موجود در تجزیه و تحلیل و توپولوژی را از نظر همگرایی تصاویر تعریف کرد (زیر $f$ ) پیش فیلترهای خاص در دامنه $ایکس.$ این نشان می دهد که پیش فیلترها یک چارچوب کلی را ارائه می دهند که بسیاری از تعاریف مختلف محدودیت در آن مناسب است. [38] محدودیت های موجود در ستون چپ - بیشتر به روش معمول با تعاریف واضح آنها تعریف شده است.

در سراسر ، اجازه دهید $f: X \ به Y$ نقشه ای بین فضاهای توپولوژیکی باشد ، ${\ displaystyle x_ {0} \ in X ، {\ text {و}} y \ در Y.}$ اگر $Y$ این هاسدورف است پس همه فلش ها " ${\ displaystyle \ به y}$ " در جدول ممکن است با علائم برابر جایگزین شود " $= y$ " و " ${\ displaystyle \ lim f ({\ mathcal {B}}) \ به y}$ " ممکن است با " جایگزین شود ${\ displaystyle \ lim f ({\ ریاضی {B}}) = y}$ ". [29]


نوع محدودیت	اگر و تنها اگر	تعریف از نظر پیش فیلترها [38]	مفروضات
${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، {\ mathcal {N}} \ left (x_ {0} \درست)}$
${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x \ neq x_ {0}}} f (x) \ به y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ به y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ left \ {N \ setminus \ left \ {x_ {0 } \ right \}: N \ in {\ mathcal {N}} \ left (x_ {0} \ right) \ right \}}$
${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x \ in S}} f (x) \ to y}$ یا ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f {\ big \ vert} _ {S} (x) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ left \ {N \ cap S: N \ in {\ ریاضی {N}} \ چپ (x_ {0} \ راست) \ راست \}}$	${\ displaystyle S \ subseteq X {\ text {and}} x_ {0} \ in \ operatorname {cl} _ {X} S}$
${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x \ neq x_ {0}}} f (x) \ به y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ left \ {\ left (x_ {0} -r، x_ {0} \ right) \ cup \ left (x_ {0} ، x_ {0}+r \ right): 0 <r \ in \ mathbb {R} \ right \}}$	${\ displaystyle x_ {0} \ in X = \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x <x_ {0}}} f (x) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ left \ {\ left (x، x_ {0} \ راست): x <x_ {0} \ right \}}$	${\ displaystyle x_ {0} \ in X = \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x \ leq x_ {0}}} f (x) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ left \ {\ left (x، x_ {0} \ right]: x <x_ {0} \ right \}}$	${\ displaystyle x_ {0} \ in X = \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x> x_ {0}}} f (x) \ به y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ left \ {\ left (x_ {0}، x \ راست): x_ {0} <x \ right \}}$	${\ displaystyle x_ {0} \ in X = \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x \ geq x_ {0}}} f (x) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ left \ {\ left [x_ {0}، x \ راست): x_ {0} \ leq x \ right \}}$	${\ displaystyle x_ {0} \ in X = \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f (n) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ به y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ {\ {n، n+1، \ ldots \} ~: \ n \ in \ mathbb {N} \} \}}$	${\ displaystyle X = \ mathbb {N} {\ text {so}} f: \ mathbb {N} \ به Y}$ دنباله ای در $Y$
${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ {(x، \ infty): x \ in \ mathbb {R} \}}$	${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} f (x) \ to y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ {(-\ infty، x): x \ in \ mathbb {R} \}}$	${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ lim _ {\| x \| \ به \ infty} f (x) \ به y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ to y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ {X \ cap [(-\ infty، x) \ cup (x، \ infty)]: x \ in \ mathbb {R} \}}$	${\ displaystyle X = \ mathbb {R} {\ text {یا}} X = \ mathbb {Z}}$ برای یک سکانس دو پایان
${\ displaystyle \ lim _ {\ \| x \ \| \ به \ infty} f (x) \ به y}$	⇔	${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ به y {\ text {where}} {\ mathcal {B}} \،: = \، \ {\ {x \ in X: \ \| x \ \| > r \} ~: ~ 0 <r \ in \ mathbb {R} \}}$	${\ displaystyle (X، \ \| \ cdot \ \|) {\ text {is}}}$ یک فضای نیمه هشدار ؛ به عنوان مثال ، فضای Banach ${\ displaystyle {\ text {like}} X = \ mathbb {C}}$

با تعریف پیش فیلترهای مختلف ، بسیاری از مفاهیم دیگر محدودیت ها را می توان تعریف کرد. مثلا، ${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {| x | \ to | x_ {0} |} {| x | \ neq | x_ {0} |}} f (x) \ به y.}$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

همگرایی ، محدودیت ها و نقاط خوشه ای [ ویرایش ]

در طول ، $(X ، \ tau)$ یک فضای توپولوژیک .

پیش فیلترها در مقابل فیلترها

با توجه به نقشه ها و زیر مجموعه ها ، ویژگی پیش فیلتر بودن به طور کلی رفتار بهتری دارد و بهتر از ویژگی فیلتر بودن حفظ می شود. به عنوان مثال ، تصویر پیش فیلتر در زیر نقشه دوباره پیش فیلتر است. اما تصویر یک فیلتر در زیر یک نقشه غیرحرفه ای هرگز فیلتر در حوزه کد نیست ، اگرچه یک پیش فیلتر خواهد بود. وضعيت پيش تصويرها در نقشه هاي غير تزريقي (حتي اگر نقشه بصورت تصوري باشد) نيز همين گونه است. اگر $S \ subseteq X$ یک زیرمجموعه مناسب است سپس هر فیلتری روشن است $س$ فیلتر روشن نخواهد بود $ایکس،$ اگرچه یک پیش فیلتر خواهد بود

یکی از مزایای فیلترها این است که آنها نمایندگان ممتاز کلاس معادل سازی خود هستند (نسبت به ${\ displaystyle \، \ leq}$ ) ، به این معنی که هر کلاس معادل پیش فیلتر حاوی یک فیلتر منحصر به فرد است. این ویژگی ممکن است هنگام برخورد با کلاسهای معادل پیش فیلتر مفید باشد (برای مثال ، آنها در تکمیل ساخت با استفاده از فیلترهای کوشی مفید هستند). خواص زیادی که برای فیلترهای فوق فیلتر مشخص می شود نیز اغلب مفید هستند. آنها برای مثال برای ساخت فشرده سازی Stone -chch استفاده می شوند . استفاده از اولترافیلترها به طور کلی مستلزم این است که لمای فوق فیلتر تصور شود. اما در بسیاری از زمینه ها که بدیهیات انتخاب (یا قضیه هان باناخ ) فرض می شود ، لمای فوق فیلتر لزوماً وجود دارد و نیازی به فرض اضافی ندارد.

نکته ای در مورد شهود

فرض کنید که ${\ mathcal {F}}$ یک فیلتر غیر اصلی در مجموعه ای نامتناهی است $ایکس.$ ${\ mathcal {F}}$ دارای یک ویژگی "بالا" (خاص بسته شدن به سمت بالا) و یک ویژگی "نزولی" (جهت هدایت به سمت پایین) است. شروع با هر ${\ displaystyle F_ {0} \ in {\ mathcal {F}}،}$ همیشه برخی وجود دارد ${\ displaystyle F_ {1} \ in {\ mathcal {F}}}$ که زیر مجموعه مناسب آن است $F_ {0}$ ؛ این ممکن است تا بی نهایت ادامه یابد تا دنباله ای به دست آید ${\ displaystyle F_ {0} \ supset F_ {1} \ supset \ cdots}$ مجموعه ها در ${\ mathcal {F}}$ با هریک $F _ {{i+1}}$ یک مناسب زیر مجموعه ای از ${\ displaystyle F_ {i}.}$ "صعود" به همین ترتیب درست نیست ، برای اگر ${\ displaystyle F_ {0} = X \ در {\ mathcal {F}}}$ سپس هیچ راه اندازی وجود ندارد ${\ mathcal {F}}$ که حاوی $ایکس$ به عنوان زیر مجموعه مناسب بنابراین وقتی نوبت به محدود کردن رفتار می رسد (که موضوعی اصلی در زمینه توپولوژی است) ، "بالا رفتن" به بن بست می انجامد ، در حالی که رفتن به "پایین" به طور معمول مثمر ثمر است. بنابراین برای به دست آوردن درک و شهود در مورد نحوه ارتباط فیلترها (و پیش فیلتر) با مفاهیم توپولوژی ، ویژگی "رو به پایین" معمولاً باید روی آن متمرکز شود. به همین دلیل است که می توان بسیاری از خواص توپولوژیکی را فقط با استفاده از پیش فیلترها توصیف کرد ، نه اینکه به فیلترها نیاز داشته باشیم (این فیلترها فقط با فیلترهای پیش فیلتر متفاوت هستند زیرا بسته هستند). ویژگی "بالا" فیلترها برای شهود توپولوژیکی اهمیت کمتری دارد اما گاهی اوقات به دلایل فنی مفید است. به عنوان مثال ، با توجه به{\ displaystyle \، \ subseteq،} ${\ displaystyle \، \ subseteq،}$ هر زیر فیلتر در یک کوچکترین فیلتر منحصر به فرد موجود است اما ممکن است کوچکترین پیش فیلتر منحصر به فرد حاوی آن وجود نداشته باشد.

محدودیت ها و همگرایی [ ویرایش ]

تعریف معروف زیر به پیش فیلترها تعمیم داده می شود. یک نقطه $x \ در X$ نقطه محدود ، نقطه خوشه یا نقطه تجمع یک زیر مجموعه نامیده می شود $S \ subseteq X$ اگر هر محله ای از ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ حاوی یک نکته از $س$ متفاوت از $ایکس،$ یا معادل آن ، اگر ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {(X، \ tau)} (S \ setminus \ {x \}).}$ مجموعه ای از تمام نقاط محدود از $س$ مجموعه مشتق شده از آن نامیده می شود ${\ displaystyle S {\ متن {در}} (X ، \ tau).}$ بسته شدن یک مجموعه $S \ subseteq X$ برابر است با اتحاد $س$ همراه با مجموعه ای از تمام نقاط محدود از $S.$

یک خانواده ${\ mathcal {B}}$ گفته می شود به به یک نقطه همگرا شود ${\ displaystyle x \ in X {\ text {in}} (X، \ tau)،}$ [8] نوشته شده است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {or}} \ lim {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)،}$ [29] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ geq {\ mathcal {N}} (x) ،}$ که در این صورت $ایکس$ گفته می شود a محدود کردن یانقطه محدود [37]از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} (X، \ tau).}$ معنی [8] مجموعه ای از تمام این نقاط حد ${\ displaystyle \ lim {} _ {(X، \ tau)} {\ mathcal {B}} {\ text {and}} \ lim {\ mathcal {B}}.}$

مثل همیشه، ${\ displaystyle \ lim {\ mathcal {B}} = x}$ به این معنا تعریف شده است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ و $ایکس$ است تنها نقطه محدود از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} (X، \ tau)؛}$ یعنی اگر هم ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to z {\ text {in}} (X، \ tau) {\ text {then}} z = x.}$ [29] (اگر علامت " ${\ displaystyle \ lim {\ mathcal {B}} = x}$ "همچنین نیازی به محدودیت نداشت $ایکس$ منحصر به فرد باشد سپس علامت مساوی = دیگر گذرا نخواهد بود ).

به حروف، ${\ mathcal {B}}$ اگر و فقط اگر به یک نقطه می رسد ${\ mathcal {B}}$ است ظریف نسبت به فیلتر محله در آن نقطه. به صراحت ، ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) \ leq {\ mathcal {B}}}$ به این معنی که هر محله ${\ displaystyle N {\ متن {از}} x}$ حاوی برخی $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به عنوان زیر مجموعه (یعنی $B \ subseteq N$ )؛ بنابراین موارد زیر صادق است: ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ ni N \ supseteq B \ in {\ mathcal {B}}.}$

به طور کلی تر ، با توجه به ${\ displaystyle S \ subseteq X،}$

اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ geq {\ mathcal {N}} (S)}$ سپس ${\ mathcal {B}}$ گفته می شود که به همگرا می شود ${\ displaystyle S {\ متن {در}} (X ، \ tau)}$ و $س$ است که به نام حد از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ جایی که این امر با نوشتن بیان می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to S {\ text {in}} (X، \ tau).}$

در تعاریف بالا ، بررسی آن کافی است ${\ mathcal {B}}$ بهتر از برخی (یا معادل بهتری از هر) است پایه محله در $(X ، \ tau)$ نقطه یا مجموعه (برای مثال ، مانند ${\ displaystyle \ tau (x) = \ {U \ in \ tau: x \ in U \}}$ یا ${\ displaystyle \ tau (S) = \ bigcap _ {s \ in S} \ tau (s)}$ ) اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ neq S \ subseteq X}$ سپس به دلیل ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (S) = \ bigcap _ {s \ in S} {\ mathcal {N}} (s)،}$ یک خانواده ${\ mathcal {B}}$ همگرا به $س$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to s {\ text {for all}} s \ in S.}$ یک خانواده ${\ mathcal {B}}$ همگرا به ${\ displaystyle S: = \ varnothing}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}}،}$ به همین دلیل است که هنگام برخورد با همگرایی پیش فیلترها (یا فیلترهای فرعی) ، معمولاً فرض می شود (اغلب بدون ذکر) ${\ displaystyle S \ neq \ varnothing.}$

داده شده ${\ displaystyle x \ in X،}$ موارد زیر برای پیش فیلتر معادل هستند ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}:}$

${\ mathcal {B}}$ همگرا به $ایکس.$
${\ mathcal {B}}$ به مجموعه همگرا می شود ${\ displaystyle \ {x \}.}$
${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ همگرا به $ایکس.$
خانواده ای معادل وجود دارد ${\ mathcal {B}}$ که همگرا می شود به $ایکس.$

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است و $B \ در {\ ریاضی {B}}$ سپس ${\ mathcal {B}}$ به یک نقطه (یا زیر مجموعه) از همگرا می شود $ایکس$ اگر و فقط اگر این در مورد ردیابی صادق باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {B}.}$ [38] اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پایگاه فرعی فیلتر است که به آن همگرا می شود ${\ displaystyle x {\ text {یا}} S}$ این امر در مورد فیلتری که تولید می کند نیز صادق است (و همچنین هر پیش فیلتر معادل این فیلتر ، مانند سیستم π ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ )

چون تابع گذرا است ، اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {C}} {\ text {then}} \ lim {} _ {(X، \ tau)} {\ mathcal {B}} \ subseteq \ lim {} _ {(X، \ tau)} {\ ریاضی {C}}}$ و علاوه بر این ، برای هر ${\ displaystyle x \ in X،}$ هر دو $\{ایکس\}$ و حداکثر/فوق فیلتر ${\ displaystyle \ {x \}^{\ uparrow X}}$ همگرا به ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau).}$ بنابراین هر فضای توپولوژیکی $(X ، \ tau)$ باعث ایجاد همگرایی متعارف می شود ${\ displaystyle \ xi \ subseteq X \ times \ operatorname {Filters} (X)}$ تعریف شده بوسیله ی ${\ displaystyle (x، {\ mathcal {B}}) \ in \ xi {\ text {if and only if}} x \ in \ lim {} _ {(X، \ tau)} {\ mathcal {B} }.}$ در طرف دیگر ، فیلتر محله ${\ ریاضی {N}} (x)$ کوچکترین (درشت ترین) فیلتر روشن است $ایکس$ که همگرا می شود به ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau)؛}$ یعنی هر فیلتر همگرا به $ایکس$ باید شامل ${\ ریاضی {N}} (x)$ به عنوان زیر مجموعه به طور متفاوتی ، خانواده فیلترهایی که با هم همگرایی دارند $ایکس$ دقیقاً شامل فیلترهای روشن است $ایکس$ که حاوی ${\ ریاضی {N}} (x)$ به عنوان زیر مجموعه در نتیجه ، توپولوژی بهتر است $ایکس$ سپس پیش فیلترهای کمتری وجود دارد که دارای نقاط محدودیت باشند $ایکس.$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

نقاط خوشه ای [ ویرایش ]

آن را بگو $x \ در X$ هست یک نقطه خوشه یانقطه تجمع یک خانواده ${\ mathcal {B}}$ [8] اگر ${\ mathcal {B}}$ مش با فیلتر محله در $ایکس$ ؛ یعنی اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \#{\ mathcal {N}} (x).}$ مجموعه تمام نقاط خوشه ای از ${\ mathcal {B}}$ با نشان داده می شود ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} {\ mathcal {B}} {\ text {or}} \ operatorname {cl} {\ mathcal {B}}.}$

به صراحت ، این بدان معناست که ${\ displaystyle B \ cap N \ neq \ varnothing {\ text {for every}} B \ in {\ mathcal {B}}}$ و هر محله $N$ از $ایکس.$ چه زمانی ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است سپس تعریف " ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {N}}}$ مش "را می توان کاملاً از نظر پیش سفارش مشخص کرد ${\ displaystyle \، \ leq \ ،.}$

به طور کلی تر ، با توجه به ${\ displaystyle S \ subseteq X،}$ آن را بگو

${\ mathcal {B}}$ خوشه ها در $س$ اگر ${\ mathcal {B}}$ مش با فیلتر محله از $س$ ؛ یعنی اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \#{\ mathcal {N}} (S).}$

در تعاریف بالا ، بررسی آن کافی است ${\ mathcal {B}}$ مش با برخی از (یا معادل مش با هر) پایه محله در $(X ، \ tau)$ از ${\ displaystyle x {\ text {یا}} S.}$ دو خانواده معادل مجموعه دارای نقاط محدود دقیقاً مشابه و همچنین نقاط خوشه ای یکسانی هستند. صرف نظر از توپولوژی ، برای هر کدام ${\ displaystyle x \ in X،}$ هر دو $\{ایکس\}$ و اولترافیلتر اصلی ${\ displaystyle \ {x \}^{\ uparrow X}}$ خوشه در $ایکس.$ برای هرچی ${\ displaystyle S \ subseteq X،}$ اگر ${\ mathcal {B}}$ خوشه ها در برخی $s \ در S$ سپس ${\ mathcal {B}}$ خوشه ها در $S.$ بدون خوشه های خانوادگی در ${\ displaystyle S: = \ varnothing}$ و اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}} {\ text {then}} \ varnothing = \ operatorname {cl} {\ mathcal {B}}.}$

داده شده ${\ displaystyle x \ in X،}$ موارد زیر برای پیش فیلتر معادل هستند ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ :

${\ mathcal {B}}$ خوشه ها در $ایکس.$
${\ mathcal {B}}$ خوشه های موجود در مجموعه ${\ displaystyle \ {x \}.}$
خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ خوشه ها در $ایکس.$
خانواده ای معادل وجود دارد ${\ mathcal {B}}$ که در $ایکس.$
${\ displaystyle x \ in \ bigcap _ {F \ in {\ mathcal {B}}} \ operatorname {cl} _ {X} F.}$
برای هر محله از
- اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {X} {\ mathcal {B}} {\ text {if and only if}} X \ setminus N \ not \ in {\ mathcal {B}}}$ برای هر محله ${\ displaystyle N {\ متن {از}} x.}$
یک پیش فیلتر وجود دارد تابع به (به این معنا که، ) به طوری که
- این معادل فیلتر " $ایکس$ یک نقطه خوشه از یک دنباله است اگر و فقط در صورت وجود یک پسوند همگرا به $ایکس.$
- به طور خاص ، اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از یک پیش فیلتر است ${\ mathcal {B}}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {N}} (x)}$ یک پیش فیلتر وابسته به است ${\ mathcal {B}}$ که همگرا می شود به ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau).}$

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر فوق العاده روشن است ${\ displaystyle X {\ text {و}} x \ in X ،}$ سپس $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {if and only if}} {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau).}$ [30]

مجموعه ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} {\ mathcal {B}}}$ از تمام نقاط خوشه یک پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} (X، \ tau)}$ ارضا می کند

${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} {\ mathcal {B}} = \ bigcap _ {B \ in {\ mathcal {B}}} \ operatorname {cl} _ {X} B}$

که به طور خاص نشان می دهد که مجموعه ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} {\ mathcal {B}}}$ از تمام نقاط خوشه هر پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ یک زیرمجموعه بسته از است $ایکس.$ [39] [8] این همچنین نشان را توجیه می کند ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} {\ mathcal {B}}}$ برای مجموعه نقاط خوشه [8]

خواص و روابط [ ویرایش ]

درست مانند توالی ها و شبکه ها ، ممکن است یک فیلتر پیش فیلتر در یک فضای توپولوژیکی با اصالت نامحدود هیچ نقطه خوشه ای یا نقطه محدودیتی نداشته باشد. [39]

اگر $ایکس$ یک نقطه محدود است ${\ mathcal {B}}$ سپس $ایکس$ لزوماً نقطه محدود هر خانواده است ${\ mathcal {C}}$ ظریف تر از ${\ mathcal {B}}$ (یعنی اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) \ leq {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {C}}}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) \ leq {\ mathcal {C}}}$ ) [39] در مقابل ، اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ mathcal {B}}$ سپس $ایکس$ لزوماً نقطه خوشه ای از هر خانواده است ${\ mathcal {C}}$ درشت تر از ${\ mathcal {B}}$ (یعنی اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) {\ text {و}} {\ mathcal {B}}}$ مش و ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}}}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ مش)

خانواده های معادل و تابع

هر دو خانواده معادل ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ می تواند به جای یکدیگر در تعاریف "محدوده" و "خوشه در" استفاده شود زیرا معادل بودن آنها تضمین می کند که ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ leq {\ mathcal {B}}}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ leq {\ mathcal {C}}،}$ و همچنین آن ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \#{\ mathcal {B}}}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \#{\ mathcal {C}}.}$ در اصل ، پیش سفارش ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ قادر به تمایز بین خانواده های معادل نیست. با توجه به دو پیش فیلتر ، مشبک بودن یا نبودن آنها را می توان به طور کامل از نظر تابعیت مشخص کرد. بنابراین دو اساسی ترین مفهوم مربوط به (پیش) فیلترهای مربوط به توپولوژی (یعنی محدوده و نقاط خوشه ای) هر دو را می توان به طور کامل بر اساس رابطه تبعیت تعریف کرد. به همین دلیل پیش سفارش است ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ در اعمال (پیش) فیلترهای توپولوژی از اهمیت فوق العاده ای برخوردار است.

روابط محدود و خوشه ای و شرایط کافی

هر نقطه محدود یک پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ همچنین یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ از آنجا که اگر $ایکس$ نقطه محدود یک پیش فیلتر است ${\ mathcal {B}}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) {\ text {و}} {\ mathcal {B}}}$ مش ، [19] [39] که باعث می شود $ایکس$ نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ [8] هر نقطه تجمع یکفیلتر فوق العاده نیز یک نقطه محدود است.

اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ neq {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X) {\ text {and}} {\ mathcal {S}} \ geq {\ mathcal {B}}}$ یک زیر پایگاه فیلتر است به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ to x {\ text {in}} (X، \ tau)}$ سپس ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {X} {\ mathcal {B}}.}$ به طور خاص ، هر نقطه محدود یک زیر فیلتر فرعی زیرمجموعه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ لزوماً یک نقطه خوشه ای نیز می باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از یک پیش فیلتر است ${\ mathcal {B}}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {N}} (x)}$ یک پیش فیلتر وابسته به است ${\ mathcal {B}}$ که همگرا می شود به ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau).}$

اگر $S \ subseteq X$ و اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است $س$ سپس هر نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X}$ متعلق به ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$ و هر نکته ای در ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$ نقطه محدود فیلتر روشن است $S.$ [39]

مجموعه های اولیه

یک زیر مجموعه ${\ displaystyle P \ subseteq X}$ نامیده میشود اولیه [40] اگر مجموعه ای از نقاط محدود برخی از فوق فیلتر روشن باشد $ایکس.$ یعنی اگر یک اولتر فیلتر وجود داشته باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ به طوری که $پ$ برابر است با ${\ displaystyle \ operatorname {lim} _ {X} {\ mathcal {B}}،}$ که فراخوان مجموعه ای از نقاط محدود را نشان می دهد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} (X، \ tau).}$

هر زیرمجموعه تک نفره بسته ای از $ایکس$ یک زیرمجموعه اولیه از است $ایکس.$ [40] تصویر زیرمجموعه اولیه ای از $ایکس$ تحت یک نقشه پیوسته $f: X \ به Y$ در زیرمجموعه اولیه ای موجود است $Y.$ [40]

فرض کن که ${\ displaystyle P ، Q \ subseteq X}$ دو زیرمجموعه اولیه از $ایکس.$ اگر $U$ زیر مجموعه باز از است $ایکس$ به طوری که ${\ displaystyle P \ cap Q \ neq \ varnothing،}$ سپس ${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {B}}}$ برای هر فیلتر اولترافیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ به طوری که ${\ displaystyle P = \ operatorname {lim} _ {X} {\ mathcal {B}}.}$ [40] علاوه بر این ، اگر ${\ displaystyle P {\ متن {و}} Q}$ متمایز هستند سپس برخی وجود دارد $S \ subseteq X$ و برخی از فوق فیلترها ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {P} {\ text {and}} {\ mathcal {B}} _ {Q} {\ text {on}} X}$ به طوری که ${\ displaystyle P = \ operatorname {lim} _ {X} {\ mathcal {B}} _ {P}، Q = \ operatorname {lim} _ {X} {\ mathcal {B}} _ {Q}، S \ در {\ ریاضی {B}} _ {P} ،}$ و ${\ displaystyle X \ setminus S \ در {\ mathcal {B}} _ {Q}.}$ [40]

نتایج دیگر

همچنین نگاه کنید به: محدود کردن سطح برتر و محدود کردن سطح پایین § تعریف برای پایه های فیلتر

اگر $ایکس$ یک شبکه کامل است : [ نیاز به ذکر منبع ]

حد تحتانی از $ب$ است infimum از مجموعه ای از تمام نقاط خوشه $ب.$
حد برتر از $ب$ است سوپریمم از مجموعه ای از تمام نقاط خوشه $ب.$
$ب$ اگر و فقط در صورتی که حد پایین و پایین مافوق آن موافق باشد ، یک پیش فیلتر همگرا است . در این مورد ، مقداری که آنها روی آن توافق می کنند حد پیش فیلتر است.

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

زیرمجموعه بودن با تصاویر و پیش نمایش ها حفظ می شود [ ویرایش ]

ارتباط ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ تحت هر دو تصویر و پیش نمایش خانواده های مجموعه حفظ می شود. [11] این بدان معناست که برای هر خانواده ای[36]

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}} \ quad {\ text {implies}} \ quad g ({\ mathcal {C}}) \ leq g ({\ mathcal {F} }) \ quad {\ text {and}} \ quad f^{-1} ({\ mathcal {C}}) \ leq f^{-1} ({\ mathcal {F}}).}$

علاوه بر این ، روابط زیر همیشه برای هر مجموعه ای از مجموعه ها صادق است ${\ mathcal {C}}$ : [36]

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {C}}) \ right)}$

اگر برابری برقرار باشد اگر $f$ جزئی است [36] علاوه بر این ،

${\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {C}}) = f^{-1} \ left (f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {C}}) \ right) \ راست) \ quad {\ text {and}} \ quad g ({\ mathcal {C}}) = g \ left (g^{-1} (g ({\ mathcal {C}})) \ right) .}$

اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X) {\ text {و}} {\ mathcal {C}} \ subseteq \ wp (Y)}$ سپس [10]

${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ leq {\ mathcal {C}} \ quad {\ text {if and only if}} \ quad {\ mathcal {B}} \ leq f^{-1 } ({\ ریاضی {C}})}$

و ${\ displaystyle g^{-1} (g ({\ mathcal {C}})) \ leq {\ mathcal {C}}}$ [36] که در آن برابری برقرار خواهد بود اگر $g$ تزریقی است [36]

محصولات پیش فیلترها [ ویرایش ]

فرض کنید ${\ displaystyle X _ {\ bullet} = \ چپ (X_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ خانواده ای از یک یا چند مجموعه غیر خالی است که محصول آنها با آن مشخص می شود ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i} ،}$ و برای هر شاخص ${\ displaystyle i \ in I ،}$ اجازه دهید

${\ displaystyle \ Pr {} _ {X_ {i}}: \ prod X _ {\ bullet} \ به X_ {i}}$

نشان دهنده پیش بینی قانونی است اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}: = \ left ({\ mathcal {B}} _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ خانواده های غیر خالی باشند ، همچنین بر اساس فهرست بندی شده اند $من،$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i} \ subseteq \ wp \ left (X_ {i} \ right)}$ برای هر ${\ displaystyle i \ in I.}$ کالا از خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ [11] یکسان با نحوه تعریف زیر مجموعه های باز اصلی توپولوژی محصول تعریف شده است (همه این موارد را داشت) ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$ توپولوژی بوده است) یعنی هر دو نماد

${\ displaystyle \ prod _ {} {\ mathcal {B}} _ {\ bullet} = \ prod _ {i \ in I} {\ mathcal {B}} _ {i}}$

خانواده همه زیر مجموعه ها را نشان می دهد ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i} \ subseteq \ prod _ {} X _ {\ bullet}}$ به طوری که ${\ displaystyle S_ {i} = X_ {i}}$ برای همه اما بی نهایت $من \ در من$ و جایی که ${\ displaystyle S_ {i} \ in {\ mathcal {B}} _ {i}}$ برای هر یک از این موارد استثنائی بسیار زیاد (یعنی برای هر $من$ به طوری که ${\ displaystyle S_ {i} \ neq X_ {i} ،}$ لزوما ${\ displaystyle S_ {i} \ in {\ mathcal {B}} _ {i}}$ ) این خانواده نیز برابر است با [11]

${\ displaystyle \ prod _ {} {\ mathcal {B}} _ {\ bullet} = \ bigcup _ {i \ in I} \ Pr {} _ {X_ {i}}^{-1} \ چپ ({ \ mathcal {B}} _ {i} \ right).}$

اگر ${\ displaystyle \ prod {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ زیر فیلتر است و سپس فیلتر روشن است ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}}$ فیلتر تولید شده توسط آن فیلتر نامیده می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ . [11] اگر هر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$ یک پیش فیلتر روشن است $X_ {i}$ سپس ${\ displaystyle \ prod {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ یک پیش فیلتر روشن خواهد بود ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}}$ و علاوه بر این ، این پیش فیلتر با درشت ترین پیش فیلتر برابر است ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {on}} \ prod X _ {\ bullet}}$ به طوری که ${\ displaystyle \ Pr {} _ {X_ {i}} ({\ mathcal {F}}) = {\ mathcal {B}} _ {i}}$ برای هر ${\ displaystyle i \ in I.}$ [11] با این حال ، ${\ displaystyle \ prod {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ ممکن است فیلتر روشن نباشد ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}}$ حتی اگر هر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$ فیلتر روشن است ${\ displaystyle X_ {i}.}$ [11]

تنظیم تفریق و چند مثال [ ویرایش ]

کسری از زیرمجموعه هسته را حذف کنید

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است ${\ displaystyle X، S \ subseteq \ ker {\ mathcal {B}}، {\ text {و}} S \ not \ in {\ mathcal {B}}}$ سپس ${\ displaystyle \ {B \ setminus S ~: ~ B \ در {\ mathcal {B}} \}}$ یک پیش فیلتر است ، جایی که این مجموعه اخیر یک فیلتر است اگر و فقط اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر است و ${\ displaystyle S = \ varnothing.}$ به طور خاص ، اگر ${\ mathcal {B}}$ اساس محله در یک نقطه است $ایکس$ در یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ پس حداقل 2 امتیاز داشته باشید ${\ displaystyle \ {B \ setminus \ {x \} ~: ~ B \ در {\ mathcal {B}} \}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس.$ این ساختار برای تعریف استفاده می شود ${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x \ neq x_ {0}}} f (x) \ به y}$ از نظر همگرایی پیش فیلتر

استفاده از دوگانگی بین ایده آل ها و آرمان های دوگانه

رابطه دوگانه وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vartriangleleft {\ mathcal {C}}}$ یا ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ vartriangleright {\ mathcal {B}} ،}$ که به این معنا تعریف شده است که هر $B \ در {\ ریاضی {B}}$ در برخی موجود است $C \ in \ mathcal {C}.$ به صراحت ، این بدان معناست که برای هر کسی $B \ در {\ ریاضی {B}}$ ، برخی وجود دارد $C \ در {\ mathcal {C}}$ به طوری که ${\ displaystyle B \ subseteq C.}$ این رابطه دوگانه است ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ به این معنا که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vartriangleleft {\ mathcal {C}}}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle (X \ setminus {\ mathcal {B}}) \ leq (X \ setminus {\ mathcal {C}}).}$ [6] رابطه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vartriangleleft {\ mathcal {C}}}$ ارتباط تنگاتنگی با بسته شدن سقوط یک خانواده به شیوه ای مشابه دارد ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ مربوط به خانواده بسته شدن رو به بالا است.

برای مثال که از این دوگانگی استفاده می کند ، فرض کنید $f: X \ به Y$ نقشه است و ${\ displaystyle \ Xi \ subseteq \ wp (Y).}$ تعريف كردن

${\ displaystyle \ Xi _ {f}: = \ {I \ subseteq X ~: ~ f (I) \ in \ Xi \}}$

که شامل مجموعه خالی if و only if است $\ شی$ میکند. امکان دارد برای $\ شی$ یک فوق فیلتر و برای ${\ displaystyle \ Xi _ {f}}$ خالی یا بسته نشدن در تقاطع های محدود (برای مثال به پاورقی مراجعه کنید). [یادداشت 10] اگرچه ${\ displaystyle \ Xi _ {f}}$ اگر خواص فیلترها را به خوبی حفظ نکند ، $\ شی$ به سمت بسته بسته می شود (در شرایطی که تحت اتحادیه های محدود ، یک ایده آل بسته شده است) ، این مورد در مورد آن نیز صادق خواهد بود ${\ displaystyle \ Xi _ {f}.}$ استفاده از دوگانگی بین ایده آل ها و ایده آل های دوگانه امکان ساخت فیلتر زیر را می دهد.

فرض کنید ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $Y$ و اجازه دهید ${\ displaystyle \ Xi: = Y \ setminus {\ mathcal {B}}}$ دوگانه آن باشد $Y.$ اگر ${\ displaystyle X \ not \ in \ Xi _ {f}}$ سپس ${\ displaystyle \ Xi _ {f}}$ دوگانه است ${\ displaystyle X \ setminus \ Xi _ {f}}$ فیلتر خواهد شد

سایر نمونه های مرتبط با توپولوژی

مثال: مجموعه ${\ mathcal {B}}$ از همه زیر مجموعه های متراکم باز یک فضای توپولوژیکی ، سیستم π – مناسب و پیش فیلتر است. اگر فضا یک فضای Baire باشد ، مجموعه همه تقاطع های قابل شمارش زیر مجموعه های متراکم باز یک سیستم π – و یک پیش فیلتر است که از آن بهتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

مثال: خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ از همه مجموعه های متراکم باز ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ داشتن اندازه محدود Lebesgue یک سیستم π π مناسب و یک پیش فیلتر رایگان است. پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ به درستی در پیش فیلتر قرار دارد و معادل آن نیست ، شامل تمام زیر مجموعه های متراکم باز از ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ از آنجا که $ایکس$ یک فضای بایر است ، هر تقاطع قابل شمارش مجموعه ها در آن قرار دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ متراکم است در $ایکس$ (و همچنین غنی و غیر ناچیز) بنابراین مجموعه ای از تمام تقاطع های قابل شمارش عناصر از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ یک پیش فیلتر و π –سیستم است. همچنین بهتر از آن است و معادل آن نیست ، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}.}$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:53 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

مقدمات پیش فیلترها

اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y).}$ با این فرض که $f: X \ به Y$ است پوشا :

${\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}$ پیش فیلتر (محدوده فیلتر subbase است π -System، تحت اتحادیه محدود بسته، مناسب) اگر و تنها اگر این درست باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

با این حال ، اگر ${\ mathcal {B}}$ یک فوق فیلتر روشن است $Y$ سپس حتی اگر $f$ جزئی است (که می تواند ${\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}$ یک پیش فیلتر) ، با این وجود هنوز هم برای پیش فیلتر امکان پذیر است ${\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}$ نه فوق العاده باشد و نه فیلتر $ایکس$ [35] (برای مثال به پاورقیاین [توجه 9] مراجعه کنید ).

اگر $f: X \ به Y$ غیرمنتظره است سپس نشان از ردپای ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} f (X)}$ توسط ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)} ،}$ جایی که در این مورد خاص ردیابی می کند:

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)} = f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {B}}) \ right)}$

و در نتیجه نیز:

${\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {B}}) = f^{-1} \ چپ ({\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)} \ راست ).}$

این برابری و این واقعیت که ردیابی ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}}$ خانواده ای از مجموعه ها به پایان رسیده است $f (X)$ به این معنی که برای نتیجه گیری در مورد ردیابی ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}}$ می تواند به جای استفاده شود ${\ mathcal {B}}$ و سوژه ${\ displaystyle f: X \ به f (X)}$ می تواند به جای استفاده شود ${\ displaystyle f: X \ به Y.}$ به عنوان مثال: [14] [11] [36]

${\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}$ پیش فیلتر (محدوده فیلتر subbase است π -System، مناسب) اگر و تنها اگر این درست باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}.}$

به این ترتیب ، موردی که در آن $f$ نمی توان (الزاماً) فاعلی را تا حد یک عملکرد تابع کاهش داد.

حتی اگر ${\ mathcal {B}}$ یک فوق فیلتر روشن است $Z ،$ اگر $f$ غیرمنتظره است پس با این وجود ممکن است که ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}،}$ که باعث خواهد شد ${\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}$ هم منحط ویژگی بعدی نشان می دهد که انحطاط تنها مانع است. اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است ، سپس موارد زیر معادل هستند: [14] [11] [36]

${\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}$ یک پیش فیلتر است ؛
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}}$ یک پیش فیلتر است ؛
${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}}$ ؛
${\ mathcal {B}}$ مش با $f (X)$

و علاوه بر این ، اگر ${\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}$ یک پیش فیلتر است پس اینطور است ${\ displaystyle f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {B}}) \ right).}$ [14] [11]

اگر ${\ displaystyle S \ subseteq Y}$ و اگر ${\ displaystyle \ operatorname {In}: S \ to Y}$ نشان دهنده نقشه گنجاندن سپس اثری از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S}$ برابر با پیش تصویر است ${\ displaystyle \ operatorname {In} ^{-1} ({\ mathcal {B}}).}$ [11] این مشاهده اجازه می دهد تا نتایج موجود در این بخش برای بررسی آثار روی یک مجموعه استفاده شود.

تزریق ، تزریق و عمل جراحی

همه ویژگی های مربوط به فیلترها تحت عنوان فرضیه ها حفظ می شوند. این بدان معناست که اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y) {\ text {و}} g: Y \ to Z}$ پس از آن یک بیژن است ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است (resp. ultra ، ultra prefilter ، filter on) $ایکس،$ فوق فیلتر روشن است $ایکس،$ subbase فیلتر ، π –system ، ایده آل روشن است $ایکس،$ و غیره) اگر و تنها در صورتی که همین امر در مورد آن صادق باشد ${\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}}) {\ متن {در}} Z.}$ [35]

نقشه $g: Y \ به Z$ اگر و فقط اگر برای همه پیش فیلترها تزریقی باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X، {\ mathcal {B}}}$ برابر است با ${\ displaystyle g^{-1} (g ({\ mathcal {B}})).}$ [28] تصویر یک خانواده فوق العاده از مجموعه های تحت تزریق دوباره فوق العاده است.

نقشه $f: X \ به Y$ اگر و فقط در هر زمان یک تخلف است ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است $Y$ پس همین امر در مورد ${\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {B}}) {\ text {on}} X}$ (این نتیجه نیازی به لمای فوق فیلتر ندارد).

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

تنظیم خصوصیات نظری و ساختارهای مربوط به توپولوژی [ ویرایش ]

ردیابی و مشبک [ ویرایش ]

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر (resp. filter) است ${\ displaystyle X {\ text {و}} S \ subseteq X}$ سپس ردپای ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S ،}$ که خانواده است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {S}: = {\ mathcal {B}} (\ cap) \ {S \}،}$ اگر و فقط اگر یک پیش فیلتر (مانند فیلتر) است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S}$ مش (یعنی ، ${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}} (\ cap) \ {S \}}$ [11] ) ، در این صورت اثری از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S}$ گفته می شود که ناشی از $س$ . اگر ${\ mathcal {B}}$ فوق العاده است و اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S}$ مش سپس ردیابی ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {S}}$ فوق العاده است اگر ${\ mathcal {B}}$ یک فوق فیلتر روشن است $ایکس$ سپس ردپای ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S}$ فیلتر روشن است $س$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {B}}.}$

به عنوان مثال ، فرض کنید که ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است ${\ displaystyle X {\ text {و}} S \ subseteq X}$ چنین است که ${\ displaystyle S \ neq X {\ text {و}} X \ setminus S \ not \ in {\ mathcal {B}}.}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S}$ مش و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cup \ {S \}}$ فیلتر روشن می کند $ایکس$ که بسیار دقیق تر از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ [11]

وقتی پیش فیلترها مشبک می شوند

با توجه به خانواده های غیر خالی ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}،}$ خانواده

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}: = \ {B \ cap C ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} C \ در {\ ریاضی {C}} \}}$

ارضا می کند ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}.}$ اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ مناسب است (به عنوان مثال ، یک پیش فیلتر ، یک زیر فیلتر) ، این در مورد هر دو نیز صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}.}$ به منظور هر گونه استنباط معنی دار در مورد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ از جانب ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {C}}، {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ باید مناسب باشد (یعنی ${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}،}$ که انگیزه ای برای تعریف "مش" است. در این مورد، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ اگر و فقط در صورتی که این مورد در مورد هر دو صادق باشد ، یک پیش فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}.}$ اگر متفاوت باشد ، گفت: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ پیش فیلتر هستند و اگر و فقط اگر مش باشند ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ یک پیش فیلتر است تعمیم یک ویژگی شناخته شده از "مش" را کاملاً از نظر تبعیت ارائه می دهد (یعنی ، ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ ):

دو پیش فیلتر (زیر فیلترهای مربوطه). ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ مش در صورت وجود و تنها در صورت وجود پیش فیلتر (مربوطه. زیر فیلتر) ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}.}$

اگر حداقل فیلتر بالای دو فیلتر باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ در وجود دارد ${\ displaystyle \ operatorname {فیلترها} (X)}$ سپس این حداقل حد بالا برابر است با ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}.}$ [28]

تصاویر و تصاویر پیش فرض تحت توابع [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: فهرست هویت ها و روابط مجموعه و جبر مجموعه ها

در طول ، ${\ displaystyle f: X \ به Y {\ متن {و}} g: Y \ به Z}$ نقشه بین مجموعه های غیر خالی خواهد بود.

تصاویر پیش فیلترها

اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y).}$ بسیاری از خواصی که ${\ mathcal {B}}$ ممکن است تحت تصاویر نقشه ها حفظ شود. استثنائات قابل توجه شامل بسته شدن به سمت بالا ، بسته شدن در تقاطع های محدود و فیلتر بودن است که لزوماً حفظ نشده اند.

به صراحت ، اگر یکی از ویژگی های زیر صادق باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} Y،}$ سپس لزوماً در مورد آن نیز صادق خواهد بود ${\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}}) {\ متن {در}} g (Y)}$ (هرچند احتمالاً روی دامنه کد نیست $Z$ مگر اینکه $g$ احتمالی است): [11] [14] [34] [35] [36] [32]

ویژگی های فیلتر: فوق العاده ، فوق فیلتر ، فیلتر ، پیش فیلتر ، زیر فیلتر ، ایده آل دوگانه ، بسته به سمت بالا ، مناسب/غیر متخلخل.
ویژگی های ایده آل: ایده آل ، تحت اتحادیه های محدود بسته ، به سمت پایین بسته ، به سمت بالا هدایت می شود.

علاوه بر این ، اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y)}$ یک پیش فیلتر است پس هر دو نیز هستند ${\ displaystyle g ({\ mathcal {B}}) {\ text {and}} g^{-1} (g ({\ mathcal {B}})).}$ [11] تصویر زیر نقشه $f: X \ به Y$ از یک مجموعه فوق العاده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ دوباره فوق العاده است و اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر فوق العاده است ، بنابراین نیز چنین است ${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}).}$

اگر ${\ mathcal {B}}$ پس فیلتر است ${\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}})}$ یک فیلتر در محدوده است ${\ displaystyle g (Y) ،}$ اما یک فیلتر روی کدوم است $Z$ اگر و تنها اگر $g$ جزئی است [34] در غیر این صورت فقط یک پیش فیلتر روشن است $Z$ و بسته شدن آن به سمت بالا باید انجام شود $Z$ برای به دست آوردن فیلتر بسته شدن رو به بالا از ${\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}}) {\ متن {در}} Z}$ است

${\ displaystyle g ({\ mathcal {B}})^{\ uparrow Z} = \ left \ {S \ subseteq Z ~: ~ B \ subseteq g^{-1} (S) {\ text {for some} } B \ in {\ mathcal {B}} \ right \}}$

جایی که اگر ${\ mathcal {B}}$ به سمت بالا بسته شده است $Y$ (یعنی یک فیلتر) سپس این امر ساده می شود:

${\ displaystyle g ({\ mathcal {B}})^{\ uparrow Z} = \ left = {S \ subseteq Z ~: ~ g^{-1} (S) \ in {\ mathcal {B}} \ درست\}.}$

اگر $X \ subseteq Y$ سپس گرفتن $g$ نقشه گنجاندن باشد $X \ به Y$ نشان می دهد که هر پیش فیلتر (resp. ultra prefilter ، subbase filter) روشن است $ایکس$ همچنین یک پیش فیلتر (resp. ultra prefilter ، subbase filter) روشن است $Y.$ [11]

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

خواص نسبی تبعیت

ارتباط ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ است بازتابی و متعدی ، که آن را به یک پیش فروش در ${\ displaystyle \ wp (\ wp (X)).}$ [33]

تقارن : برای هر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X) ، {\ mathcal {B}} \ leq \ {X \} {\ text {if and only if}} \ {X \} = {\ ریاضی {B}}.}$ بنابراین مجموعه $ایکس$ اگر و فقط در صورت وجود رابطه ، دارای بیش از یک نقطه است ${\ displaystyle \، \ leq \، {\ text {on}} \ operatorname {Filters} (X)}$ است نه متقارن .

عدم تقارن : اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {C}} {\ text {and}} {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {C}}}$ اما در حالی که عکس معکوس به طور کلی صادق نیست ، اگر وجود دارد ${\ mathcal {C}}$ به سمت بالا بسته شده است (مانند اگر ${\ mathcal {C}}$ فیلتر است) دو فیلتر اگر و تنها در صورت مساوی بودن معادل هستند ، که باعث محدودیت می شود ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ به ${\ displaystyle \ operatorname {فیلترها} (X)}$ پادمتقارن . اما به طور کلی ، ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ است نه پادمتقارن در ${\ displaystyle \ operatorname {Prefilters} (X)}$ و نه در ${\ displaystyle \ wp (\ wp (X))}$ ؛ به این معنا که، ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {C}}}$ لزوماً دلالت نمی کن ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = {\ mathcal {C}}}$ ؛ حتی اگر هر دو ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {B}}}$ پیش فیلتر هستند [13] به عنوان مثال ، اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است اما پس از آن فیلتر نیست ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} {\ text {and}} {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} \ leq {\ mathcal {B}} {\ متن {اما}} {\ mathcal {B}} \ neq {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}.}$

خانواده های معادل مجموعه ها [ ویرایش ]

پیش سفارش ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ باعث متعارف آن رابطه هم ارزی در ${\ displaystyle \ wp (\ wp (X)) ،}$ کجا برای همه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}، {\ mathcal {C}} \ in \ wp (\ wp (X))،}$ ${\ mathcal {B}}$ است معادل به ${\ mathcal {C}}$ در صورت وجود هر یک از شرایط معادل زیر: [9] [6]

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {C}}.}$
بسته شدن های صعودی از ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {B}}}$ برابر هستند

دو بسته به سمت بالا (در $ایکس$ ) زیر مجموعه های ${\ displaystyle \ wp (X)}$ اگر و تنها در صورت مساوی بودن معادل هستند. [9] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ سپس لزوما ${\ displaystyle \ varnothing \ leq {\ mathcal {B}} \ leq \ wp (X)}$ و ${\ mathcal {B}}$ برابر است با ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}.}$ هر کلاس معادل سازی غیر از $\ {\ رنگ آمیزی \}$ شامل یک نماینده منحصر به فرد (یعنی عنصری از کلاس معادل سازی) است که به سمت بالا بسته شده است $ایکس.$ [9]

خواص بین خانواده های معادل حفظ شده است

اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ، {\ mathcal {C}} \ in \ wp (\ wp (X))}$ دلخواه باشید و اجازه دهید ${\ mathcal {F}}$ هر خانواده مجموعه ای باشد اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ معادل هستند (که دلالت بر آن دارد ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ ker {\ mathcal {C}}}$ ) سپس برای هر یک از دستورات/خواص ذکر شده در زیر ، یا در مورد هر دو صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ وگرنه هر دو نادرست است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ : [33]

خالی نیست
مناسب (یعنی یک عنصر نیست)
- علاوه بر این ، هر دو خانواده منحط الزاماً برابر هستند.
زیر فیلتر
پیش فیلتر
- که در این صورت ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ ایجاد همان فیلتر در $ایکس$ (یعنی بسته شدن آنها به سمت بالا در $ایکس$ برابر هستند)
رایگان
اصلی
فوق العاده
برابر با فیلتر بی اهمیت است
- در کلمات ، این بدان معناست که تنها زیر مجموعه ای از ${\ displaystyle \ wp (X)}$ که معادل فیلتر بی اهمیت است ، فیلتر بی اهمیت است. به طور کلی ، این نتیجه گیری از برابری به فیلترهای بی اهمیت نمی رسد (مگر اینکه هر دو خانواده فیلتر باشند).
مش با ${\ mathcal {F}}$
ظریف تر از ${\ mathcal {F}}$
درشت تر از ${\ mathcal {F}}$
برابر است با ${\ mathcal {F}}$

کلمه "filter" در لیست بالا وجود ندارد زیرا این ویژگی با معادل سازی حفظ نمی شود. با این حال ، اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ فیلترها روشن هستند $ایکس،$ سپس معادل هستند اگر و فقط اگر مساوی باشند ؛ این ویژگی به پیش فیلترها تعمیم نمی یابد.

برابری پیش فیلترها و زیرمجموعه های فیلتر

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس$ سپس خانواده های زیر همیشه برابر یکدیگر هستند:

${\ mathcal {B}}$ ؛
پی -System توسط تولید ${\ mathcal {B}}$ ؛
فیلتر روشن است $ایکس$ ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ ؛

و علاوه بر این ، این سه خانواده همه یک فیلتر مشابه ایجاد می کنند $ایکس$ (یعنی بسته شدن رو به بالا در $ایکس$ از این خانواده ها برابر است).

به طور خاص ، هر پیش فیلتر معادل فیلتری است که تولید می کند. از نظر گذرا بودن ، دو پیش فیلتر اگر و فقط در صورتی که فیلتر یکسانی ایجاد کنند ، معادل هستند. [9] [اثبات 3] هر پیش فیلتر دقیقاً معادل یک فیلتر روشن است $ایکس،$ که فیلتری است که تولید می کند (یعنی بسته شدن فیلتر پیش فیلتر به سمت بالا). به عبارت دیگر ، هر کلاس معادل پیش فیلتر حاوی دقیقاً یک نماینده است که یک فیلتر است. به این ترتیب ، فیلترها را می توان به عنوان عناصری متمایز از این دسته از معادلات پیش فیلترها در نظر گرفت. [9]

subbase فیلتر است که نمی نیز پیش فیلتر می توانید نه شود معادل پیش فیلتر (یا فیلتر) که آن را تولید. در مقابل ، هر پیش فیلتر معادل فیلتری است که تولید می کند. به همین دلیل است که پیش فیلترها به طور کلی می توانند به جای فیلترهایی که تولید می کنند به جای یکدیگر استفاده شوند در حالی که زیرفیلترهای فیلتر نمی توانند. هر فیلتر هم یک π –سیستم و هم یک حلقه مجموعه است .

نمونه هایی از تعیین هم ارز/غیر هم ارز

مثالها: اجازه دهید ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ و اجازه دهید $ه$ مجموعه باشد $\ mathbb {Z}$ از اعداد صحیح (یا مجموعه) $\ mathbb {N}$ ) مجموعه ها را تعریف کنید

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {[e، \ infty) ~: ~ e \ in E \} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ mathcal {C}} _ {\ operatorname {open}} = \ {(-\ infty، e) \ cup (1+e، \ infty) ~: ~ e \ in E \} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ mathcal {C} } _ {\ operatorname {close}} = \ {(-\ infty، e] \ cup [1+e، \ infty) ~: ~ e \ in E \}.}$

هر سه مجموعه فرعی زیر فیلتر هستند اما هیچ کدام فیلتر روشن نیستند $ایکس$ و فقط ${\ mathcal {B}}$ پیش فیلتر است (در واقع ، ${\ mathcal {B}}$ حتی آزاد است و تحت تقاطع های محدود بسته می شود). مجموعه ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ operatorname {close}}}$ ثابت است در حالی که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ operatornname {open}}}$ رایگان است (مگر اینکه ${\ displaystyle E = \ mathbb {N}}$ ) ارضا می کنند ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ operatorname {close}} \ leq {\ mathcal {C}} _ {\ operatorname {open}} \ leq {\ mathcal {B}}،}$ اما هیچ یک از این دو خانواده معادل نیستند. علاوه بر این ، هیچ دو فیلتری که توسط این سه زیر فیلتر ایجاد می شوند معادل/مساوی نیستند. این نتیجه را می توان با نشان دادن اینکه سیستم های π تولید شده آنها معادل نیستند ، به دست آورد. برخلاف با ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ operatornname {open}} ،}$ هر مجموعه ای در سیستم های π ایجاد شده توسط ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ operatorname {close}}}$ حاوی $\ mathbb {Z}$ به عنوان زیرمجموعه ، [توجه داشته باشید 8] چیزی است که مانع از معادل بودن سیستم های π – (و در نتیجه فیلترهای تولید شده آنها) می شود. اگر $ه$ به جای آن بود ${\ displaystyle \ mathbb {Q} {\ text {یا}} \ mathbb {R}}$ سپس هر سه خانواده آزاد خواهند بود و اگرچه مجموعه ها ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ operatorname {بسته}} {\ متن {و}} {\ mathcal {C}} _ {\ operatorname {open}}}$ باقی خواهد ماند نه به یکدیگر معادل، تولید خود را π -systems خواهد بود معادل و در نتیجه، آنها را فیلتر همان در تولید $ایکس$ ؛ با این حال ، این فیلتر معمولی هنوز بسیار درشت تر از فیلتر ایجاد شده توسط آن است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

لمای فوق فیلتر

قضیه مهم زیر ناشی از آلفرد تارسکی (1930) است. [32]

لمای فوق فیلتر/اصل/قضیه [11] ( تارسکی ) - هر فیلتر روی یک مجموعه $ایکس$ زیر مجموعه ای از برخی از فوق فیلترهای روشن است $ایکس.$

پیامد لمای فوق فیلتر این است که هر فیلتر برابر با تقاطع همه اولترافیلترهای حاوی آن است. [11] [اثبات 1] با فرض بدیهیات Zermelo -Fraenkel (ZF) ، لمای فوق فیلتر از اصل انتخابی (به ویژه از لمای زورن ) ناشی می شود ، اما از آن ضعیف تر است. لمای فوق فیلتر دلالت بر اصل انتخابی برای مجموعه های محدود دارد. اگر تنها با هاسدورف فاصله، پس از آن نتایج اساسی ترین (به عنوان در دوره های مقدماتی مواجه می شوند) در توپولوژی (مانند قضیه Tychonoff را برای فضاهای هاسدورف فشرده و الکساندر قضیه subbase ) و در تجزیه و تحلیل عملکرد(مانند قضیه هان باناچ ) تنها با استفاده از لمای فوق فیلتر می توان اثبات کرد. قدرت کامل اصل انتخاب ممکن است مورد نیاز نباشد.

هسته [ ویرایش ]

هسته در طبقه بندی خواص پیش فیلترها و سایر مجموعه های مجموعه مفید است.

اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ سپس برای هر نقطه ${\ displaystyle x، x \ not \ in \ ker {\ mathcal {B}} {\ text {if and only if}} X \ setminus \ {x \} \ in {\ mathcal {B}}^{\ uparrow ایکس}.}$

خواص هسته

اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ سپس ${\ displaystyle \ ker \ left ({\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} \ right) = \ ker {\ mathcal {B}}}$ و این مجموعه نیز برابر است با هسته سیستم π که توسط آن ایجاد می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ به طور خاص ، اگر ${\ mathcal {B}}$ زیر فیلتر است و هسته همه مجموعه های زیر برابر است:

(1) ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ (2) π –سیستم ایجاد شده توسط ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ و (3) فیلتر ایجاد شده توسط ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

اگر $f$ نقشه است پس ${\ displaystyle f (\ ker {\ mathcal {B}}) \ subseteq \ ker f ({\ mathcal {B}}) {\ text {and}} f^{-1} (\ ker {\ mathcal {B }}) = \ ker f^{-1} ({\ mathcal {B}}).}$ اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {C}} {\ text {then}} \ ker {\ mathcal {C}} \ subseteq \ ker {\ mathcal {B}}}$ در حالی که اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ پس معادل هستند ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ ker {\ mathcal {C}}.}$ اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ اصلی هستند پس اگر و فقط اگر معادل باشند معادل هستند ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ ker {\ mathcal {C}}.}$

طبقه بندی خانواده ها بر اساس هسته آنها [ ویرایش ]

یک خانواده ${\ mathcal {B}}$ مجموعه ها عبارتند از:
رایگان [7] اگر ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ varnothing،}$ یا معادل آن ، اگر ${\ displaystyle \ {X \ setminus \ {x \} ~: ~ x \ in X \} \ subseteq {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}؛}$ این را می توان به عنوان دوباره بیان کرد ${\ displaystyle \ {X \ setminus \ {x \} ~: ~ x \ in X \} \ leq {\ mathcal {B}}.}$
یک فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {on}} X}$ اگر و فقط اگر رایگان است $ایکس$ بی نهایت است و ${\ mathcal {F}}$ حاوی فیلتر Fréchet روشن است $ایکس$ به عنوان زیر مجموعه
برطرف شد اگر ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ که در این صورت، ${\ mathcal {B}}$ گفته می شود که با هر نقطه ای ثابت می شود ${\ displaystyle x \ in \ ker {\ mathcal {B}}.}$
هر خانواده ثابت لزوماً یک پایگاه فرعی فیلتر است.
اصلی [7] اگر ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} \ in {\ mathcal {B}}.}$
یک خانواده اصلی از مجموعه ها لزوماً یک پیش فیلتر است.
گسسته یااصلی در $x \ در X$ [25] اگر ${\ displaystyle \ {x \} = \ ker {\ mathcal {B}} \ in {\ mathcal {B}}.}$
فیلتر اصلی در ${\ displaystyle x {\ text {در}} X}$ فیلتر است ${\ displaystyle \ {x \}^{\ uparrow X}.}$ یک فیلتر ${\ mathcal {F}}$ اصلی است در $ایکس$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {x \}^{\ uparrow X}.}$
در هر زمان عمیقاً قابل شمارش است ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$ پس یک زیر مجموعه قابل شمارش است ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {C}} \ in {\ mathcal {B}}.}$ [10]

خانواده مثالها: برای موارد غیر خالی ${\ displaystyle C \ subseteq \ mathbb {R} ،}$ خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {C} = \ {\ mathbb {R} \ setminus (r+C) ~: ~ r \ in \ mathbb {R} \}}$ رایگان است اما اگر و تنها در صورتی که اتحادی محدود از فرم وجود نداشته باشد ، یک پایگاه فرعی فیلتر است ${\ displaystyle \ left (r_ {1}+C \ right) \ cup \ cdots \ cup \ left (r_ {n}+C \ right)}$ پوشش می دهد ${\ displaystyle \ mathbb {R} ،}$ در این صورت فیلتری که تولید می کند نیز رایگان خواهد بود. به خصوص، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {C}}$ زیر فیلتر است اگر $ج$ قابل شمارش است (برای مثال ، ${\ displaystyle C = \ mathbb {Q} ، \ mathbb {Z} ،}$ primes) ، ناچیز شروع شد ${\ displaystyle \ mathbb {R} ،}$ مجموعه ای از اندازه محدود ، یا زیرمجموعه ای محدود از ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ اگر $ج$ سپس یک مجموعه تک نفره است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {C}}$ یک زیرمجموعه برای فیلتر Fréchet روشن است ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

برای هر فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {on}} X}$ یک جفت ایده آل دوگانه وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{*} {\ text {and}} {\ mathcal {F}}^{\ bullet} {\ text {on}} X}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{*}}$ رایگان است، ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{\ bullet}}$ اصلی است و ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{*} \ wedge {\ mathcal {F}}^{\ bullet} = {\ mathcal {F}}،}$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{*} {\ text {and}} {\ mathcal {F}}^{\ bullet}}$ مش نکنید (یعنی ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{*} \ vee {\ mathcal {F}}^{\ bullet} = \ wp (X)}$ ) ایده آل دوگانه ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{*}}$ نامیده می شود بخش آزاد از ${\ mathcal {F}}$ در حالی که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{\ bullet}}$ قسمت اصلی [10] نامیده می شود که حداقل یکی از این ایده آل های دوگانه فیلتر است. اگر ${\ mathcal {F}}$ پس اصلی است { ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{\ bullet}: = {\ mathcal {F}} {\ text {and}} {\ mathcal {F}}^{*}: = \ wp (X)؛ }$ در غیر این صورت، ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{\ bullet}: = \ {\ ker {\ mathcal {F}} \}^{\ uparrow X}}$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{*}: = {\ mathcal {F}} \ vee \ {X \ setminus \ left (\ ker {\ mathcal {F}} \ right) \}^{\ بالارو X}}$ یک فیلتر رایگان (غیر انحطاط) است. [10]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

پیش فیلترهای محدود و مجموعه های متناهی

اگر فیلتر فرعی باشد ${\ mathcal {B}}$ محدود است سپس ثابت است (یعنی رایگان نیست) ؛ این به دلیل این هست که ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ bigcap _ {B \ in {\ mathcal {B}}} B}$ یک تقاطع محدود و زیر فیلتر است ${\ mathcal {B}}$ دارای ویژگی تقاطع محدود است. یک پیش فیلتر محدود لزوماً اصلی است ، اگرچه لازم نیست تحت تقاطع های محدود بسته شود.

اگر $ایکس$ متناهی است پس همه نتیجه گیری های بالا برای هر کدام صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X).}$ به طور خاص ، در مجموعه ای محدود $ایکس،$ هیچ زیر فیلتر رایگان (یا پیش فیلتر) وجود ندارد ، همه پیش فیلترها اصلی هستند و همه فیلترها روشن هستند $ایکس$ فیلترهای اصلی تولید شده توسط هسته (غیر خالی) آنها هستند.

فیلتر بی اهمیت $\{ایکس\}$ همیشه یک فیلتر محدود روشن است $ایکس$ و اگر $ایکس$ نامتناهی است ، بنابراین تنها فیلتر محدود است زیرا یک فیلتر محدود غیر پیش پا افتاده روی یک مجموعه است $ایکس$ اگر و فقط اگر امکان پذیر است $ایکس$ متناهی است با این حال ، در هر مجموعه ای نامحدود ، زیر فیلترها و پیش فیلترهای پیش پا افتاده ای وجود دارند که محدود هستند (اگرچه نمی توانند فیلتر باشند). اگر $ایکس$ یک مجموعه تک نفره و سپس فیلتر بی اهمیت است $\{ایکس\}$ تنها زیر مجموعه مناسب آن است ${\ displaystyle \ wp (X).}$ این مجموعه $\{ایکس\}$ یک فیلتر فوق فیلتر اصلی و هر مجموعه ای فوق العاده است ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ supseteq {\ mathcal {B}}}$ (جایی که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (Y) {\ text {و}} X \ subseteq Y}$ ) با ویژگی تقاطع محدود ، یک پیش فیلتر فوق العاده اصلی نیز خواهد بود (حتی اگر $Y$ بی نهایت است)

مشخصه پیش فیلترهای فوق العاده ثابت [ ویرایش ]

اگر خانواده ای از مجموعه ها ${\ mathcal {B}}$ ثابت است (یعنی ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ ) سپس ${\ mathcal {B}}$ فوق العاده است اگر و فقط اگر برخی از عناصر از ${\ mathcal {B}}$ یک مجموعه تک نفره است ، در این صورت ${\ mathcal {B}}$ لزوماً یک پیش فیلتر خواهد بود. هر پیش فیلتر اصلی ثابت است ، بنابراین یک پیش فیلتر اصلی ${\ mathcal {B}}$ فوق العاده است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}}}$ یک مجموعه تک نفره است

هر فیلتر روشن است $ایکس$ که در یک نقطه اصلی یک فیلتر اولترا فیلتر است ، و اگر علاوه بر آن $ایکس$ محدود است ، پس هیچ فیلتر اولترافیلتری روی آن وجود ندارد $ایکس$ غیر از اینها [7]

قضیه بعدی نشان می دهد که هر فیلتر فوق فیلتر به یکی از دو دسته تقسیم می شود: یا رایگان است یا فیلتر اصلی است که توسط یک نقطه ایجاد می شود.

پیشنهاد - اگر ${\ mathcal {F}}$ یک فوق فیلتر روشن است $ایکس$ بعدی ها برابر هستند:

${\ mathcal {F}}$ به معنی ثابت یا معادل آن رایگان نیست ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} \ neq \ varnothing.}$
${\ mathcal {F}}$ اصلی است ، یعنی ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} \ in {\ mathcal {F}}.}$
برخی از عناصر از ${\ mathcal {F}}$ مجموعه ای محدود است
برخی از عناصر از ${\ mathcal {F}}$ یک مجموعه تک نفره است
${\ mathcal {F}}$ در مقطعی اصلی است $ایکس،$ که به معنی ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} = \ {x \} \ in {\ mathcal {F}} {\ text {for some}} x \ in X.}$
${\ mathcal {F}}$ کند نه شامل فیلتر فریشه در $ایکس.$
${\ mathcal {F}}$ متوالی است [10]

ریزتر/درشت تر ، تابع و مشبک [ ویرایش ]

پیش سفارش ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ که در زیر تعریف شده است اهمیت اساسی برای استفاده از پیش فیلترها (و فیلترها) در توپولوژی دارد. به عنوان مثال ، این پیش سفارش برای تعریف معادل پیش فیلتر "فرعی" استفاده می شود ، [24] جایی که " ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ geq {\ mathcal {C}}}$ "می توان اینگونه تفسیر کرد" ${\ mathcal {F}}$ متعاقب آن است ${\ mathcal {C}}$ "(بنابراین" تابع "معادل پیش فیلتر" پسوند ") است. همچنین برای تعریف همگرایی پیش فیلتر در یک فضای توپولوژیکی استفاده می شود. ${\ mathcal {B}}$ مش با ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ،}$ که ارتباط تنگاتنگی با پیش سفارش دارد ${\ displaystyle \، \ leq،}$ در توپولوژی برای تعریف نقاط خوشه استفاده می شود .

دو خانواده مجموعه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ مش [8] و سازگار هستند ، با نوشتن نشان داده می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \#{\ mathcal {C}}،}$ اگر ${\ displaystyle B \ cap C \ neq \ varnothing {\ text {for all}} B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} C \ in {\ mathcal {C}}.}$ اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ مش نکنید سپس جدا می شوند . اگر ${\ displaystyle S \ subseteq X {\ text {و}} {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S}$ گفته می شود اگر مش ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} \ {S \}}$ مش ، یا معادل آن ، اگر اثری از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S ،}$ که خانواده است

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {S} = \ {B \ cap S ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \}،}$

شامل مجموعه خالی نیست ، جایی که ردیف نیز نامیده می شود محدودیت از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ متن {به}} S.}$

آن را اعلام کنید ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}} ، {\ mathcal {F}} \ geq {\ mathcal {C}} ، {\ text {و}} {\ mathcal {F} } \ vdash {\ mathcal {C}} ،}$ عنوان شده به عنوان ${\ mathcal {C}}$ است درشت تر ${\ mathcal {F}}$ و ${\ mathcal {F}}$ است بهتر از (یا تابع ) ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ،}$ [11] [12] [13] [9] [10] در صورت وجود هر یک از شرایط معادل زیر:
تعریف: هر $C \ در {\ mathcal {C}}$ حاوی برخی ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}.}$ به صراحت ، این بدان معناست که برای هر کسی ${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {C}}،}$ برخی وجود دارد $F \ در {\ ریاضی {F}}$ به طوری که ${\ displaystyle F \ subseteq C.}$
به زبان انگلیسی ساده تر ، ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}}$ اگر هر مجموعه ای در ${\ mathcal {C}}$ است بزرگتر از برخی از مجموعه ای در ${\ mathcal {F}}.$ در اینجا ، "مجموعه بزرگتر" به معنی یک مجموعه بزرگ است.
${\ displaystyle \ {C \} \ leq {\ mathcal {F}} {\ متن {برای هر}} C \ در {\ mathcal {C}}.}$
به حروف، ${\ displaystyle \ {C \} \ leq {\ mathcal {F}}}$ دقیقاً همین را بیان می کند $ج$ بزرگتر از برخی از تنظیمات است ${\ mathcal {F}}.$ معادل (الف) و (ب) بلافاصله دنبال می شود.
از این خصوصیات ، نتیجه می شود که اگر ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {C}} _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ خانواده های مجموعه هستند ، پس ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} {\ mathcal {C}} _ {i} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {if and only if}} {\ mathcal {C}} _ {i} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {for all}} i \ in I.}$
${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}،}$ که معادل آن است ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}}$ ؛
${\ displaystyle {\ mathcal {C}}^{\ uparrow X} \ leq {\ mathcal {F}}}$ ؛
${\ displaystyle {\ mathcal {C}}^{\ uparrow X} \ leq {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}،}$ که معادل آن است؛
و اگر بعلاوه ${\ mathcal {F}}$ به سمت بالا بسته شده است ، به این معنی که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}،}$ سپس این لیست را می توان به موارد زیر گسترش داد:
${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {F}}.}$ [6]
بنابراین در این مورد ، این تعریف از " ${\ mathcal {F}}$ است ظریف از ${\ mathcal {C}}$ "مشابه تعریف توپولوژیکی" finer " بود{\ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ توپولوژی در $ایکس.$
اگر یک خانواده بسته به بالا ${\ mathcal {F}}$ ظریف تر از ${\ mathcal {C}}$ (به این معنا که، ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}}$ ) ولی ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ neq {\ mathcal {F}}}$ سپس ${\ mathcal {F}}$ گفته می شود که بسیار دقیق تر از ${\ mathcal {C}}$ و ${\ mathcal {C}}$ است به شدت درشت از ${\ mathcal {F}}.$
اگر یکی از این مجموعه ها از دیگری بهتر باشد ، دو خانواده قابل مقایسه هستند . [11]

فرض کن که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ خانواده های مجموعه ای هستند که رضایت بخش هستند { ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {and}} {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}.}$ سپس ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} \ subseteq \ ker {\ mathcal {C}}،}$ و و همچنین اگر علاوه بر یک زیر پایه فیلتر است و سپس ${\ mathcal {C}}$ یک زیر فیلتر [9] است و همچنین ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ مش [19] [اثبات 2] به طور کلی ، اگر هر دو و اگر تقاطع هر دو عنصر از ${\ mathcal {F}}$ خالی نیست ، پس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ مش [اثبات 2] هر زیرپایه فیلتر هم از سیستم π تولید شده و هم از فیلتری که تولید می کند درشت تر است . [9]

اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ آیا خانواده ها به گونه ای هستند که خانواده ${\ mathcal {C}}$ فوق العاده است ، و سپس ${\ mathcal {F}}$ لزوما فوق العاده است نتیجه می گیرد که هر خانواده ای که معادل یک خانواده فوق العاده باشد ، لزوماً فوق العاده خواهد بود . به طور خاص ، اگر ${\ mathcal {C}}$ یک پیش فیلتر است یا هر دو ${\ mathcal {C}}$ و فیلترتولید می کند فوق العاده و یا هیچ یک فوق العاده است. اگر یک زیر فیلتر فوق العاده باشد ، لزوماً یک پیش فیلتر است ، در این صورت فیلتری که تولید می کند نیز فوق العاده خواهد بود. یک زیر فیلتر ${\ mathcal {B}}$ که پیش فیلتر نیست نمی تواند فوق العاده باشد. اما با این وجود هنوز هم برای پیش فیلتر و فیلتر ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ فوق العاده بودن اگر ${\ displaystyle S \ subseteq X {\ text {و}} {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ به سمت بالا بسته شده است $ایکس$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

فوق فیلترها [ ویرایش ]

مقالات اصلی: Ultrafilter (نظریه مجموعه) و Ultrafilter

بسیاری از خصوصیات دیگر از "Ultrafilter را" و "پیش فیلتر فوق العاده،" که در مقاله ذکر شده وجود دارد در ultrafilters . خواص مهم اولترافیلترها نیز در آن مقاله توضیح داده شده است.

{\ displaystyle {\ begin {harmonat} {8} {\ textrm {Ultrafilters}} (X) \؛ & = \؛ {\ textrm {Filters}} (X) \، \ cap \، {\ textrm {UltraPrefilters} } (X) \\ & \ subseteq \؛ {\ textrm {فیلترها}} (X) \، \ cup \، {\ textrm {UltraPrefilters}} (X) \\ & \ subseteq \؛ {\ textrm {پیش فیلترها} } (X). \ end {چینش}}}

${\ displaystyle {\ begin {harmonat} {8} {\ textrm {Ultrafilters}} (X) \؛ & = \؛ {\ textrm {Filters}} (X) \، \ cap \، {\ textrm {UltraPrefilters} } (X) \\ & \ subseteq \؛ {\ textrm {فیلترها}} (X) \، \ cup \، {\ textrm {UltraPrefilters}} (X) \\ & \ subseteq \؛ {\ textrm {پیش فیلترها} } (X). \ end {چینش}}}$

یک خانواده غیر خالی {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)} ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ مجموعه ها عبارتند از:
فوق العاده [8] [30] اگر{\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}}} ${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}}}$ و هر یک از شرایط معادل زیر برآورده می شود:
برای هر مجموعه $S \ subseteq X$ مجموعه ای وجود دارد $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به طوری که ${\ displaystyle B \ subseteq S {\ text {یا}} B \ subseteq X \ setminus S}$ (یا معادل آن ، به گونه ای که ${\ displaystyle B \ cap S {\ text {equals}} B {\ text {یا}} \ varnothing}$ )
برای هر مجموعه ${\ displaystyle S \ subseteq \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {B}}} B}$ مجموعه ای وجود دارد $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به طوری که ${\ displaystyle B \ cap S {\ text {equals}} B {\ text {یا}} \ varnothing.}$
این ویژگی ${\ mathcal {B}}$ فوق العاده است "به مجموعه بستگی ندارد $ایکس،$ بنابراین ذکر مجموعه $ایکس$ هنگام استفاده از عبارت "فوق العاده" اختیاری است.
برای هر مجموعه $س$ (لزوما حتی زیر مجموعه ای از $ایکس$ ) مجموعه ای وجود دارد $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به طوری که ${\ displaystyle B \ cap S {\ text {equals}} B {\ text {یا}} \ varnothing.}$
اگر ${\ mathcal {B}}$ این شرط را برآورده می کند ، بنابراین هر سوپرست نیز انجام می دهد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ supseteq {\ mathcal {B}}.}$ به عنوان مثال ، اگر $تی$ هر است مجموعه ای تک قلو پس از آن $\ {T \}$ فوق العاده و در نتیجه ، هر مجموعه غیر متزلزل از $\ {T \}$ (مانند بسته شدن آن به سمت بالا) نیز فوق العاده است.
فوق فیلتر [8] [30] اگر پیش فیلتری است که فوق العاده نیز هست. به طور برابر ، یک زیر فیلتر فوق العاده است. یک پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ فوق العاده است و تنها در صورتی که یکی از شرایط معادل زیر را برآورده کند:
${\ displaystyle {\ text {برای همه}} {\ mathcal {C}} \ in \ operatorname {Filters} (X) ، {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {C}} {\ text {دلالت دارد }} {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}}.}$
اگرچه این عبارت مشابه آنچه در زیر برای فیلترهای فوق فیلتر ذکر شده است ، است ${\ mathcal {B}}$ فقط تصور می شود که یک پیش فیلتر است. لازم نیست فیلتر باشد
${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ فوق العاده است (و بنابراین یک فوق فیلتر).
${\ mathcal {B}}$ معادل است (با توجه به $\ تراز$ ) به برخی از فوق فیلترها
یک زیر فیلتر که فوق العاده است لزوماً یک پیش فیلتر است. یک زیر فیلتر فوق العاده است اگر و فقط در صورتی که حداکثر زیر فیلتر نسبت به آن باشد ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ (مانند بالا). [31]
اولترافیلتر روشن است $ایکس$ [8] [30] اگر فیلتر روشن است $ایکس$ که فوق العاده است به طور برابر ، یک فوق فیلتر روشن است $ایکس$ فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ که دارای هر یک از شرایط معادل زیر است:
${\ mathcal {B}}$ توسط یک پیش فیلتر فوق العاده ایجاد می شود.
برای هرچی ${\ displaystyle S \ subseteq X، S \ in {\ mathcal {B}} {\ text {or}} X \ setminus S \ in {\ mathcal {B}}.}$ [17]
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cup (X \ setminus {\ mathcal {B}}) = \ wp (X).}$ این شرایط را می توان به صورت زیر بیان کرد: ${\ displaystyle \ wp (X)}$ توسط پارتیشن بندی شده است ${\ mathcal {B}}$ و دوگانه آن ${\ displaystyle X \ setminus {\ mathcal {B}}.}$
مجموعه ها ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} X \ setminus {\ mathcal {B}}}$ هر زمان از هم جدا می شوند ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است
${\ displaystyle \ wp (X) \ setminus {\ mathcal {B}} = \ {S \ in \ wp (X): S \ not \ in {\ mathcal {B}} \}}$ ایده آل است [31]
برای هرچی ${\ displaystyle R ، S \ subseteq X ،}$ اگر ${\ displaystyle R \ cup S = X}$ سپس ${\ displaystyle R \ in {\ mathcal {B}} {\ text {or}} S \ in {\ mathcal {B}}.}$
برای هرچی ${\ displaystyle R ، S \ subseteq X ،}$ اگر ${\ displaystyle R \ cup S \ in {\ mathcal {B}}}$ سپس ${\ displaystyle R \ in {\ mathcal {B}} {\ text {or}} S \ in {\ mathcal {B}}}$ (فیلتری با این ویژگی فیلتر اولیه نامیده می شود ).
این ویژگی به هر اتحاد محدود دو یا چند مجموعه گسترش می یابد.
برای هرچی ${\ displaystyle R ، S \ subseteq X ،}$ اگر ${\ displaystyle R \ cup S \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} R \ cap S = \ varnothing}$ سپس یا ${\ displaystyle R \ in {\ mathcal {B}} {\ text {or}} S \ in {\ mathcal {B}}.}$
${\ mathcal {B}}$ است حداکثر فیلتر بر روی $ایکس$ ؛ به این معنی که اگر ${\ mathcal {C}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {C}}}$ سپس لزوما ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = {\ mathcal {B}}}$ (این برابری ممکن است با ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {B}} {\ text {یا توسط}} {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}}}$ )
زیرا $\ geq$ برای فیلترها آنالوگ "زیر شبکه ای است" ، (به طور خاص ، "زیر شبکه" باید به معنی " AA -subnet " باشد ، که در زیر تعریف شده است) یک فوق فیلتر را می توان شبیه به نوعی "حداکثر شبکه" دانست. این ایده در واقع توسط ابر شبکه ها بسیار دقیق شده است .

هر خانواده غیر متزلزل که دارای یک مجموعه تک نفره به عنوان عنصر است فوق العاده است ، در این صورت اگر و تنها در صورتی که دارای ویژگی تقاطع محدود نیز باشد ، یک پیش فیلتر فوق العاده خواهد بود. فیلتر بی اهمیت ${\ displaystyle \ {X \} {\ text {on}} X}$ فوق العاده است اگر و فقط اگر $ایکس$ یک مجموعه تک نفره است

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

نمونه های دیگر

اجازه دهید ${\ displaystyle X = \ {p ، 1،2،3 \}}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {\ {p \}، \ {p، 1،2 \}، \ {p، 1،3 \} \}،}$ که باعث می شود ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر و یک زیر فیلتر که زیر تقاطع محدود بسته نشده است. زیرا ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است ، کوچکترین پیش فیلتر حاوی ${\ mathcal {B}}$ است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ سیستم π ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ است ${\ displaystyle \ {\ {p، 1 \} \} \ cup {\ mathcal {B}}.}$ به ویژه ، کوچکترین پیش فیلتر حاوی زیر فیلتر ${\ mathcal {B}}$ است نه به مجموعه ای از تمام تقاطع ها محدود از مجموعه های در برابر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ فیلتر روشن است $ایکس$ ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} = \ {S \ subseteq X: p \ in S \} = \ {\ {p \} \ cup T ~: ~ T \ subseteq \ {1 ، 2،3 \} \}.}$ هر سه از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ π -System }} ${\ mathcal {B}}$ ایجاد می کند ، و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ نمونه هایی از پیش فیلترهای ثابت ، اصلی و فوق العاده هستند که در محل اصلی هستند ${\ displaystyle p؛ {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ همچنین یک فوق فیلتر روشن است $ایکس.$
اجازه دهید $(X ، \ tau)$ یک فضای توپولوژیکی باشد ، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)،}$ و تعریف کنید ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}: = \ left \ {\ operatornname {cl} _ {X} B ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \ right \}،}$ جایی که ${\ mathcal {B}}$ لزوماً بهتر از ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}.}$ [29] اگر ${\ mathcal {B}}$ غیر خالی است (نسبتاً غیر انحطاط ، یک زیر فیلتر ، یک پیش فیلتر ، تحت اتحادیه های محدود بسته می شود) ، در مورد ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}.}$ اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}}$ یک پیش فیلتر است اما لزوماً یک فیلتر روشن نیست $ایکس$ با اينكه ${\ displaystyle \ left ({\ overline {\ mathcal {B}}} \ right)^{\ uparrow X}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ معادل با ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}.}$
مجموعه ${\ mathcal {B}}$ از همه زیر مجموعه های متراکم باز یک فضای توپولوژیکی (غیر خالی) $ایکس$ یک سیستم π – مناسب و همچنین یک پیش فیلتر است. اگر ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^{n}}$ (با ${\ displaystyle 1 \ leq n \ in \ mathbb {N}}$ ) ، سپس مجموعه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {LebFinite}}}$ از همه $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به طوری که $ب$ دارای اندازه پایانی Lebesgue یک سیستم π و پیش فیلتر مناسب است که همچنین زیرمجموعه مناسبی از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ پیش فیلترها ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {LebFinite}} {\ text {and}} {\ mathcal {B}}}$ ایجاد همان فیلتر در $ایکس.$
این مثال کلاس زیر فیلترهای زیر فیلتر را نشان می دهد ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}}$ جایی که همه چیز در هر دو تنظیم می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}}$ و سیستم π ایجاد شده آن را می توان به عنوان مجموعه ای از فرم توصیف کرد ${\ displaystyle B_ {r، s}،}$ به طور خاص ، بیش از دو متغیر (به طور خاص ، ${\ displaystyle r {\ text {and}} s}$ ) برای توصیف سیستم π – تولید شده مورد نیاز است . با این حال ، این معمولی نیست و به طور کلی ، نباید از یک زیر فیلتر انتظار داشت ${\ mathcal {S}}$ که یک سیستم π نیست . بیشتر اوقات ، یک تقاطع ${\ displaystyle S_ {1} \ cap \ cdots \ cap S_ {n}}$ از $n$ مجموعه از ${\ mathcal {S}}$ معمولاً نیاز به توصیفی شامل $n$ متغیرهایی که نمی توان آنها را به دو مورد کاهش داد (برای مثال ، اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ {(0، r) \ cup (r، \ infty) ~: ~ r> 0 \}}$ ) برای همه ${\ displaystyle r، s \ in \ mathbb {R}،}$ اجازه دهید ${\ displaystyle B_ {r، s} = (r، 0) \ cup (s، \ infty)،}$ جایی که ${\ displaystyle B_ {r، s} = B _ {\ min (r، s)، s}}$ بنابراین با افزودن فرض هیچ کلیتی از بین نمی رود ${\ displaystyle r \ leq s.}$ برای همه واقعی ${\ displaystyle r \ leq s {\ text {و}} u \ leq v،}$ اگر ${\ displaystyle s \ geq 0 {\ text {یا}} v \ geq 0}$ سپس ${\ displaystyle B _ {-r، s} \ cap B _ {-u، v} = B _ {-\ min (r، u)، \ max (s، v)}.}$ [یادداشت 6] برای هر ، ${\ displaystyle R \ subseteq \ mathbb {R} ،}$ اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R} = \ left \ {B _ {-r، r} ~: ~ r \ in R \ right \}}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {R} = \ left \ {B _ {-r، s} ~: ~ r \ leq s {\ text {with}} r، s \ in R \ right \} .}$ [یادداشت 7] اجازه دهید ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ و فرض کنید ${\ displaystyle \ varnothing \ neq R \ subseteq (0 ، \ infty)}$ یک مجموعه تک نفره نیست سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}}$ زیر فیلتر است اما پیش فیلتر نیست و ${\ mathcal {B}} _ {R}$ است که پی -System آن را تولید، به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {R}^{\ uparrow X}}$ کوچکترین فیلتر منحصر به فرد در است ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ حاوی ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}.}$ با این حال، ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}^{\ uparrow X}}$ است نه یک فیلتر بر روی $ایکس$ (و همچنین فیلتر پیش فیلتر نیست زیرا به سمت پایین هدایت نمی شود ، هرچند که زیرپایه فیلتر است) و ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}^{\ uparrow X}}$ زیر مجموعه مناسب فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {R}^{\ uparrow X}.}$ اگر ${\ displaystyle R، S \ subseteq (0، \ infty)}$ فواصل غیر خالی هستند و زیرمجموعه فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R} {\ text {and}} {\ mathcal {S}} _ {S}}$ ایجاد همان فیلتر در $ایکس$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle R = S.}$ اگر ${\ mathcal {C}}$ خانواده ای است که ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0، \ infty)} \ subseteq {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {B}} _ {(0، \ infty)}}$ سپس ${\ mathcal {C}}$ اگر و فقط اگر برای همه واقعی باشد یک پیش فیلتر است ${\ displaystyle 0 <r \ leq s}$ واقعی وجود دارد ${\ displaystyle 0 <u \ leq v}$ به طوری که ${\ displaystyle u \ leq r \ leq s \ leq v {\ text {and}} B _ {-u، v} \ in {\ mathcal {C}}.}$ اگر ${\ mathcal {C}}$ پس از آن برای هر کسی چنین پیش فیلتری است ${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {C}} \ setminus {\ mathcal {S}} _ {(0، \ infty)}،}$ خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ setminus \ {C \}}$ همچنین یک پیش فیلتر رضایت بخش است ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0، \ infty)} \ subseteq {\ mathcal {C}} \ setminus \ {C \} \ subseteq {\ mathcal {B}} _ {(0، \ ناقص)}.}$ این نشان می دهد که نمی توان حداقل (با توجه به $\ subseteq$ ) پیش فیلتر که هر دو شامل می شوند ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0 ، \ infty)}}$ و زیر مجموعه ای از سیستم π است که توسط تولید می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0 ، \ infty)}.}$ این امر حتی اگر شرایطی که پیش فیلتر زیر مجموعه ای از آن باشد ، صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {(0 ، \ infty)}}$ حذف شده است.

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

مثالهای اساسی [ ویرایش ]

نمونه های نام برده شده

مجموعه تک نفره ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {X \}}$ نامیده می شود پیوسته و یافیلتر بی اهمیت روشن است $ایکس.$ [25] [11] این حداقل فیلترمنحصر به فرد است $ایکس$ زیرا زیر مجموعه ای از هر فیلتر روشن است $ایکس$ ؛ با این حال ، نیازی نیست که زیر مجموعه هر پیش فیلتر روشن باشد $ایکس.$
ایده آل دوگانه ${\ displaystyle \ wp (X)}$ همچنین فیلتر منحط روشن نامیده می شود $ایکس$ [10] (با وجود اینکه در واقع فیلتر نیست). این تنها ایده آل دوگانه در است $ایکس$ که فیلتر نیست $ایکس.$
اگر $(X ، \ tau)$ یک فضای توپولوژیکی است و ${\ displaystyle x \ in X،}$ سپس فیلتر محله ${\ ریاضی {N}} (x)$ در $ایکس$ فیلتر روشن است $ایکس.$ طبق تعریف ، یک خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ به عنوان محله (به عنوان زیرمجموعه یک زیر محله ) در نامیده می شود ${\ displaystyle x {\ text {for}} (X، \ tau)}$ اگر و تنها اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است (پاسخ ${\ mathcal {B}}$ زیر فیلتر است) و فیلتر روشن است $ایکس$ که ${\ mathcal {B}}$ تولید می کند برابر با فیلتر محله است ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x).}$ زیرخانواده ${\ displaystyle \ tau (x) \ subseteq {\ mathcal {N}} (x)}$ محله های باز یک پایگاه فیلتر برای است ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x).}$ هر دو پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) {\ text {و}} \ tau (x)}$ همچنین مبنایی برای توپولوژی ها در $ایکس،$ با توپولوژی تولید شده ${\ displaystyle \ tau (x)}$ بودن درشت از $\ تاو$ این مثال بلافاصله از محلات نقاط به محله های زیر مجموعه های غیر خالی تعمیم می یابد ${\ displaystyle S \ subseteq X.}$
${\ mathcal {B}}$ هست یک پیش فیلتر اولیه [26] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ برای برخی دنباله ها ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty} {\ text {in}} X.}$
${\ mathcal {B}}$ هست یک فیلتر اولیه یا aفیلتر متوالی روشن است $ایکس$ [27] اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ ایجاد شده توسط برخی از پیش فیلترهای اولیه فیلتر از دم تولید شده توسط یک دنباله است که در نهایت ثابت نیست لزوما نمی Ultrafilter را. [28] هر فیلتر اصلی بر روی یک مجموعه قابل شمارش به ترتیب مانند هر فیلتر کوفینیت در یک مجموعه بی نهایت قابل شمارش است. [10] تقاطع بسیاری از فیلترهای متوالی مجدداً متوالی است. [10]
مجموعه ${\ mathcal {F}}$ از همه زیر مجموعه های cofinite از $ایکس$ (منظور مجموعه هایی است که مکمل آنها در $ایکس$ محدود است) مناسب است اگر و فقط اگر ${\ mathcal {F}}$ بی نهایت است (یا معادل آن ، $ایکس$ بی نهایت است) ، در این صورت ${\ mathcal {F}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ به عنوان فیلتر Fréchet یا the شناخته می شودفیلتر کوفینیت روشن است $ایکس.$ [11] [25] اگر $ایکس$ پس متناهی است ${\ mathcal {F}}$ برابر با ایده آل دوگانه است ${\ displaystyle \ wp (X) ،}$ که فیلتر نیست اگر $ایکس$ پس از آن نامحدود است ${\ displaystyle \ {X \ setminus \ {x \} ~: ~ x \ in X \}}$ از مکمل های مجموعه های تک نفره یک زیر پایگاه فیلتر است که فیلتر Fréchet را تولید می کند $ایکس.$ مانند هر خانواده از مجموعه های بیش از $ایکس$ که حاوی ${\ displaystyle \ {X \ setminus \ {x \} ~: ~ x \ in X \}،}$ هسته فیلتر Fréchet روشن است $ایکس$ مجموعه خالی است: ${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} = \ varnothing.}$
تقاطع همه عناصر در هر خانواده غیر خالی خود فیلتر روشن است نام infimum یا بزرگترین کران پایین از (X)،} به همین دلیل ممکن است با آن نشان داده شود متفاوت گفت ، زیرا هر فیلتری روشن است دارد به عنوان زیر مجموعه ، این تقاطع هرگز خالی نیست. طبق تعریف ، حداقل بهترین/بزرگترین (نسبت به) فیلتر به عنوان زیر مجموعه ای از هر یک از اعضای موجود است [11]
- اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ فیلتر هستند و سپس حداقل آنها وارد می شوند ${\ displaystyle \ operatorname {فیلترها} (X)}$ فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}}.}$ [9] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ پس پیش فیلتر هستند یک پیش فیلتر و یکی از بهترین (با توجه به ${\ displaystyle \، \ leq}$ ) پیش فیلترها را درشتتر می کند (با توجه به ${\ displaystyle \، \ leq}$ ) از هر دو ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}؛}$ یعنی اگر ${\ mathcal {S}}$ یک پیش فیلتر است به گونه ای که ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {F}}}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}}.}$ [9] به طور کلی تر ، اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ خانواده های خالی هستند و اگر ${\ displaystyle \ mathbb {S}: = \ {{\ mathcal {S}} \ subseteq \ wp (X) ~: {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {B}} {\ text {و }} {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {F}} \}}$ سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {S}}$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}}}$ است بزرگترین عنصر (با توجه به $\ تراز$ ) از ${\ displaystyle \ mathbb {S}.}$ [9]
اجازه دهید ${\ displaystyle \ varnothing \ neq \ mathbb {F} \ subseteq \ operatorname {DualIdeals} (X)}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle \ cup \ mathbb {F} = \ bigcup _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}.}$ سوپریمم و یا کوچکترین کران از ${\ displaystyle \ mathbb {F} {\ text {in}} \ operatorname {DualIdeals} (X)،}$ نشان داده شده توسط ${\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}،}$ کوچکترین است (نسبت به $\ subseteq$ ) ایده آل دوگانه در $ایکس$ شامل هر عنصر از $\ mathbb {F}$ به عنوان زیر مجموعه ؛ یعنی کوچکترین (نسبت به $\ subseteq$ ) ایده آل دوگانه در $ایکس$ حاوی ${\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}}$ به عنوان زیر مجموعه این ایده آل دوگانه است ${\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}} = \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right)^{\ uparrow X } ،}$ جایی که ${\ displaystyle \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right): = \ left \ {F_ {1} \ cap \ cdots \ cap F_ {n} ~: ~ n \ in \ mathbb {N} { \ text {و هر}} F_ {i} {\ text {متعلق به برخی}} {\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F} \ right \}}$ است پی -System توسط تولید ${\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}.}$ مانند سایر مجموعه های غیر خالی مجموعه ، ${\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}}$ در برخی از فیلترهای موجود است $ایکس$ اگر و فقط در صورتی که یک زیر فیلتر باشد ، یا معادل آن ، اگر و تنها اگر ${\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}} = \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right)^{\ uparrow X }}$ فیلتر روشن است $ایکس،$ در این صورت این خانواده کوچکترین (نسبت به $\ subseteq$ ) فیلتر کنید $ایکس$ شامل هر عنصر از $\ mathbb {F}$ به عنوان زیر مجموعه و لزوما ${\ displaystyle \ mathbb {F} \ subseteq \ operatorname {فیلترها} (X).}$
اجازه دهید و اجازه دهید سوپریمم و یا کوچکترین کران از نشان داده شده توسط {F}}} اگر وجود داشته باشد ، طبق تعریف کوچکترین (نسبت به ) فیلتر کنید شامل هر عنصر از به عنوان زیر مجموعه اگر وجود داشته باشد ، لزوماً[11] (همانطور که در بالا مشخص شد) و همچنین برابر با تقاطع همه فیلترهای روشن است حاوی این برتری از اگر و فقط در صورت ایده آل دوگانه وجود داشته باشد فیلتر روشن است کمترین حد بالای خانواده فیلترها ممکن است فیلتر نباشد [11] در واقع ، اگر شامل حداقل 2 عنصر متمایز است ، سپس فیلترها وجود دارد که وجود دارد می کند نه یک فیلتر وجود دارد که حاوی هر دو است اگر یک زیرمجموعه فیلتر نیست سپس supremum از وجود ندارد و همین امر در مورد برتری آن در اما برتری آنها در مجموعه همه ایده آل های دوگانه در وجود خواهد داشت (این فیلتر منحط است ) [10]
- اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ پیش فیلتر هستند (پاسخ فیلترها روشن است $ایکس$ ) سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {F}}}$ اگر و فقط در صورت عدم انحطاط پیش فیلتر (نسبت به فیلتر) است (یا اگر و اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}$ مش) ، در این صورت یکی از درشت ترین پیش فیلترها (نسبت به درشت ترین فیلتر) در $ایکس$ (با توجه به ${\ displaystyle \، \ leq}$ ) که بهتر است (با توجه به ${\ displaystyle \، \ leq}$ ) از هر دو ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}؛}$ این بدان معناست که اگر ${\ mathcal {S}}$ هر پیش فیلتر (نسبت به هر فیلتر) به گونه ای است که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {S}} {\ text {and}} {\ mathcal {F}} \ leq {\ mathcal {S}}}$ سپس لزوما ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {F}} \ leq {\ mathcal {S}}،}$ [9] که در این صورت با آن مشخص می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vee {\ mathcal {F}}.}$ [10]
اجازه دهید ${\ displaystyle I {\ متن {و}} X}$ مجموعه های غیر خالی و برای هر کدام باشید $من \ در من$ اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {i}}$ ایده آل دوگانه در باشد $ایکس.$ اگر ${\ ریاضی {I}}$ آیا ایده آل دوگانه در $من$ سپس ${\ displaystyle \ bigcup _ {\ Xi \ in {\ mathcal {I}}} \؛ \؛ \ bigcap _ {i \ in \ Xi} \؛ {\ mathcal {D}} _ {i}}$ یک ایده آل دوگانه در است $ایکس$ ایده آل دوگانه کوالسکی یا فیلتر کوالسکی نامیده می شود . [17]

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

یک خانواده ${\ mathcal {B}}$ is/is a (n):
ایده آل [17][18]اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ تحت اتحادیه های محدود بسته و بسته می شود.
ایده آل دوگانه روشن است $ایکس$ [19] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ به سمت بالا بسته شده است $ایکس$ و همچنین تحت تقاطع های محدود بسته می شود. هم ارز ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ اگر برای همه ایده آل باشد ${\ displaystyle R ، S \ subseteq X ،}$ ${\ displaystyle R \ cap S \ in {\ mathcal {B}} \؛ {\ text {if and only if}} \؛ R، S \ in {\ mathcal {B}}.}$ [10]
فیلتر روشن است $ایکس$ [19] [8] اگر ${\ mathcal {B}}$ است مناسب ایده آل دو در $ایکس.$ یعنی یک فیلتر روشن است $ایکس$ یک زیرمجموعه غیر خالی از است ${\ displaystyle \ wp (X) \ setminus \ {\ varnothing \}}$ که تحت تقاطع های محدود بسته شده و به سمت بالا بسته شده است $ایکس.$ به طور برابر ، این یک پیش فیلتر است که به سمت بالا بسته شده است $ایکس.$ به عبارت دیگر ، یک فیلتر روشن است $ایکس$ خانواده ای از مجموعه ها به پایان رسیده است $ایکس$ که (1) خالی نیست (یا معادل آن ، شامل می شود $ایکس$ ) ، (2) تحت تقاطع های محدود بسته شده است ، (3) به سمت بالا بسته شده است $ایکس،$ و (4) مجموعه خالی را به عنوان یک عنصر ندارد.
هشدار : برخی از نویسندگان ، به ویژه جبرگران ، از "فیلتر" به معنای ایده آل دوگانه استفاده می کنند. دیگران ، به ویژه توپولوژیست ها ، از "فیلتر" به معنای یک ایده آل دوگانه مناسب / غیرمتزلزل استفاده می کنند . [20] توصیه می شود که خوانندگان همیشه هنگام خواندن ادبیات ریاضی نحوه تعریف "فیلتر" را بررسی کنند. با این حال ، تعاریف "فوق فیلتر" ، "پیش فیلتر" و "زیر فیلتر" همیشه مستلزم عدم انحطاط است . این مقاله از تعریف اولیه هنری کارتان از فیلتر استفاده می کند که مستلزم عدم انحطاط است.
دو فیلتر در $ایکس$ یک خانواده است ${\ mathcal {B}}$ که دوگانه آن ${\ displaystyle X \ setminus {\ mathcal {B}}}$ فیلتر روشن است $ایکس.$ به طور برابر ، ایده آل در $ایکس$ که شامل نمی شود $ایکس$ به عنوان یک عنصر
پیش فیلتر و یاپایه فیلتر [8] [21] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ مناسب است و به سمت پایین هدایت می شود هم ارز، ${\ mathcal {B}}$ در صورت بسته شدن به سمت بالا یک پیش فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ فیلتر است همچنین می توان آن را به عنوان خانواده ای معادل (با توجه به $\ تراز$ ) به برخی فیلتر. [9] یک خانواده مناسب ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ اگر و فقط اگر یک پیش فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {B}}.}$ [9]
اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است سپس بسته شدن آن به سمت بالا ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ کوچکترین منحصر به فرد است (نسبت به $\ subseteq$ ) فیلتر کنید $ایکس$ حاوی ${\ mathcal {B}}$ و فیلتر تولید شده توسط آن نامیده می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ یک فیلتر ${\ mathcal {F}}$ گفته می شود که توسط یک پیش فیلتر ایجاد می شود ${\ mathcal {B}}$ اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}،}$ که در آن ${\ mathcal {B}}$ برای آن فیلتر پایه نامیده می شود ${\ mathcal {F}}.$
بر خلاف فیلتر ، پیش فیلتر لزوماً تحت تقاطع های محدود بسته نمی شود.
زیر فیلتر فیلتر [8] [22] ومرکز [9] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}$ و ${\ mathcal {B}}$ دارای هر یک از شرایط معادل زیر است:
${\ mathcal {B}}$ دارای ویژگی تقاطع محدود است ، به این معنی که تقاطع هر خانواده محدود (یک یا چند) در ${\ mathcal {B}}$ خالی نیست ؛ به صراحت ، این بدان معناست که هر زمان ${\ displaystyle n \ geq 1 {\ متن {و}} B_ {1} ، \ ldots ، B_ {n} \ in {\ mathcal {B}}}$ سپس ${\ displaystyle \ varnothing \ neq B_ {1} \ cap \ cdots \ cap B_ {n}.}$
سیستم π ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ مناسب است (یعنی $\ لاک زدن$ یک عنصر نیست)
سیستم π ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است
${\ mathcal {B}}$ زیر مجموعه برخی از پیش فیلترها است.
${\ mathcal {B}}$ زیر مجموعه برخی از فیلترها است.
با فرض اینکه ${\ mathcal {B}}$ یک پایگاه فرعی فیلتر است ، فیلتر ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ کوچکترین منحصر به فرد است (نسبت به $\ subseteq$ ) فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ mathcal {B}} {\ متن {در}} X}$ حاوی ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ برابر با تقاطع همه فیلترهای روشن است $ایکس$ که فوق مجموعه هستند ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ سیستم π ایجاد شده توسط ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ نشان داده شده توسط ${\ displaystyle \ pi ({\ ریاضی {B}}) ،}$ یک پیش فیلتر و زیرمجموعه ای خواهد بود ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ mathcal {B}}.}$ علاوه بر این ، فیلتر تولید شده توسط ${\ mathcal {B}}$ بسته شدن رو به بالا است ${\ displaystyle \ pi ({\ ریاضی {B}}) ،}$ معنی ${\ displaystyle \ pi ({\ mathcal {B}})^{\ uparrow X} = {\ mathcal {F}} _ {\ mathcal {B}}.}$ [9]
$\ subseteq$ - کوچکترین (به معنی کوچکترین نسبت به $\ subseteq$ ) پیش فیلتر حاوی یک زیرپایه فیلتر ${\ mathcal {B}}$ فقط در شرایط خاصی وجود خواهد داشت به عنوان مثال ، اگر زیر فیلتر زیر فیلتر وجود داشته باشد ${\ mathcal {B}}$ اتفاق می افتد که یک پیش فیلتر نیز باشد. همچنین اگر فیلتر (یا معادل آن سیستم π ) ایجاد شده توسط وجود داشته باشد ${\ mathcal {B}}$ است اصلی که در این صورت ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cup \ {\ ker {\ mathcal {B}} \}}$ کوچکترین پیش فیلتر حاوی است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ در غیر این صورت ، به طور کلی ، الف $\ subseteq$ - کوچکترین پیش فیلتر حاوی ${\ mathcal {B}}$ ممکن است وجود نداشته باشد به همین دلیل ، برخی از نویسندگان ممکن است به سیستم π -ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ مانند پیش فیلتر ایجاد شده توسط ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ با این حال ، همانطور که در مثال زیر نشان داده شده است ، اگر a $\ subseteq$ -smallest پیش فیلتر وجود پس از آن به انتظارات معمول خلاف، آن است که نه لزوما به "برابر پیش فیلتر تولید شده توسط ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ "بنابراین متأسفانه ،" پیش فیلتر ایجاد شده توسط "یک پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ شاید نباشد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ همین دلیل است که این مقاله به اصطلاحات دقیق و بدون ابهام از "ترجیح می دهند π -System تولید شده توسط ${\ mathcal {B}}$ "
زیرفیلتر یک فیلتر ${\ mathcal {F}}$ و آن ${\ mathcal {F}}$ هست یک فوق فیلتر از ${\ mathcal {B}}$ [17] [23] اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر است و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {F}} {\ text {if and only if}} {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {F}}}}$
نکته مهم این است که عبارت "یک فیلتر فوق العاده است " برای فیلترهایی است که آنالوگ " زیر دنباله ای از" است. بنابراین با وجود داشتن پیشوند "زیر" مشترک "است زیر فیلتر" است که در واقع معکوس از "است زیر دنباله ای از." با این حال، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {F}}}$ همچنین می توان نوشت ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ vdash {\ mathcal {B}}}$ که با گفتن "توصیف می شود ${\ mathcal {F}}$ تابع است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ "با این اصطلاحات،" است زیر هماهنگ به "می شود برای فیلتر (و همچنین برای prefilters) آنالوگ" است زیر دنباله ای از " [24] که باعث می شود این وضعیت که در آن با استفاده از اصطلاح" تابع "و نماد ${\ displaystyle \، \ vdash \،}$ ممکن است مفید باشد

هیچ پیش فیلتری روی آن وجود ندارد ${\ displaystyle X = \ varnothing}$ (و هیچ گونه تور ارزشیابی نشده است $\ لاک زدن$ ) ، به همین دلیل است که این مقاله ، مانند اکثر نویسندگان ، به طور خودکار بدون اظهار نظر چنین تصور می کند $X \ neq \ لاک زدن$ هر زمان که این فرض لازم باشد

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:45 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

تورها و دم آنها

مجموعه به کارگردانی یک مجموعه است $من$ همراه با یک پیش سفارش ، که با آن مشخص می شود ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ (مگر اینکه صراحتاً چیز دیگری ذکر شده باشد) ، این باعث می شود ${\ displaystyle (I ، \ leq)}$ به مجموعه هدایت شده ( به سمت بالا ) ؛ [15] این بدان معناست که برای همه ${\ displaystyle i، j \ in I،}$ برخی وجود دارد $k \ در I$ به طوری که ${\ displaystyle i \ leq k {\ text {و}} j \ leq k.}$ برای هر شاخص ${\ displaystyle i {\ text {و}} j ،}$ نماد ${\ displaystyle j \ geq i}$ به معنی تعریف شده است $i \ leq j$ در حالی که $من <ج$ به این معنا تعریف شده است $i \ leq j$ دارای بلکه آن است که نیست درست است که $j \ leq i$ (اگر ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ است پادمتقارن سپس این معادل است به ${\ displaystyle i \ leq j {\ text {و}} i \ neq j}$ )

یک شبکه در $ایکس$ [15] نقشه ای است از مجموعه ای غیر خالی که به آن هدایت شده است $ایکس.$


نشانه گذاری و تعریف	مفروضات	نام
${\ displaystyle I _ {\ geq i} = \ {j \ in I ~: ~ i \ leq j \}}$	${\ displaystyle i \ in I {\ text {and}} (I، \ leq)}$ یک مجموعه به کارگردانی	دم یا قسمتی از $من$ شروع در $من$
${\ displaystyle x _ {\ geq i} = \ left \ {x_ {j} ~: ~ i \ leq j {\ text {and}} j \ in I \ right \}}$	${\ displaystyle i \ in I {\ text {and}} x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ یک شبکه است	دم یا قسمتی از ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ شروع در $من$
${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ left \ {x _ {\ geq i} ~: ~ i \ in I \ right \}}$	${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک شبکه است	تنظیم یاپیش فیلتر دم /مقاطعاز ${\ displaystyle x _ {\ bullet}.}$ همچنین به عنوان پایه فیلتر احتمالی ایجاد شده توسط (دم های) نامیده می شود ${\ displaystyle x _ {\ bullet}.}$ اگر ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ یک دنباله است پس ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ نامیده می شود در عوض پایه فیلتر متوالی [16]
${\ displaystyle \ operatorname {TailsFilter} \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ operatornname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)^{\ uparrow X}}$	${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک شبکه است	( احتمال ) فیلتر از / تولید شده توسط (دم از) ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ [16]
${\ displaystyle f \ left (I _ {\ geq i} \ right) = \ {f (j) ~: ~ i \ leq j {\ text {and}} j \ in I \}}$	${\ displaystyle i \ in I {\ text {and}} f ~: ~ (I، \ leq) \ to X}$ یک شبکه است	دم یا قسمتی از $f$ شروع در $من$ [16]

هشدار در مورد استفاده از مقایسه دقیق

اگر ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک شبکه است و $من \ در من$ سپس برای مجموعه امکان پذیر است ${\ displaystyle x _ {> i} = \ left \ {x_ {j} \ in I ~: ~ i> j {\ text {and}} j \ in I \ right \}،}$ که به آن دم می گویند ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ بعد از $من$ ، خالی بودن (برای مثال ، این اتفاق می افتد اگر $من$ یک کران بالا از مجموعه ای به کارگردانی $من$ ) در این مورد ، خانواده ${\ displaystyle \ left \ {x _ {> i} ~: ~ i \ in I \ right \}}$ شامل مجموعه خالی است که مانع از پیش فیلتر شدن آن (بعداً تعریف می شود) می شود. این دلیل (مهم) تعریف است ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ مانند ${\ displaystyle \ left \ {x _ {\ geq i} ~: ~ i \ in I \ right \}}$ به جای ${\ displaystyle \ left \ {x _ {> i} ~: ~ i \ in I \ right \}}$ یا حتی ${\ displaystyle \ left \ {x _ {> i} ~: ~ i \ in I \ right \} \ cup \ left \ {x _ {\ geq i} ~: ~ i \ in I \ right \}}$ و به همین دلیل است که به طور کلی ، هنگام برخورد با پیش فیلتر دم های یک شبکه ، نابرابری شدید ${\ displaystyle \، <\،}$ ممکن است بجای نابرابری استفاده نشود ${\ displaystyle \، \ leq.}$

فیلترها و پیش فیلترها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فیلتر (ریاضیات)

در زیر لیستی از املاک یک خانواده آمده است ${\ mathcal {B}}$ مجموعه ها ممکن است دارای ویژگی های تعیین کننده فیلترها ، پیش فیلترها و زیرمجموعه های فیلتر باشند. هر زمان که لازم باشد ، باید تصور کرد که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X).}$

خانواده مجموعه ها ${\ mathcal {B}}$ است:
مناسب یاnondegenerate اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}}.}$ در غیر این صورت ، اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}}،}$ سپس نامناسب [17] یا انحطاط نامیده می شود .
در هر زمان به سمت پایین [15] هدایت می شود ${\ displaystyle A، B \ in {\ mathcal {B}}}$ سپس برخی وجود دارد ${\ displaystyle C \ در {\ mathcal {B}}}$ به طوری که ${\ displaystyle C \ subseteq A \ cap B.}$
این ویژگی را می توان از نظر جهت دار بودن مشخص کرد ، که کلمه "جهت دار" را توضیح می دهد: یک رابطه دوتایی ${\ displaystyle \، \ preceq \،}$ بر ${\ mathcal {B}}$ در صورت وجود دو مورد (رو به بالا) نامیده می شود ${\ displaystyle A {\ text {و}} B ،}$ برخی وجود دارد $ج$ رضایت بخش ${\ displaystyle A \ preceq C {\ text {و}} B \ preceq C.}$ استفاده كردن ${\ displaystyle \، \ supseteq \،}$ در محل ${\ displaystyle \، \ preceq \،}$ در حالی که استفاده می شود ، تعریف هدایت به سمت پایین را ارائه می دهد ${\ displaystyle \، \ subseteq \،}$ در عوض تعریف هدایت به سمت بالا را ارائه می دهد . به صراحت ${\ mathcal {B}}$ است به سمت پایین هدایت (محدوده کارگردانی رو به بالا ) اگر و تنها اگر برای همه ${\ displaystyle A، B \ in {\ mathcal {B}}،}$ برخی "بزرگتر" وجود دارد ${\ displaystyle C \ در {\ mathcal {B}}}$ به طوری که ${\ displaystyle A \ supseteq C {\ text {و}} B \ supseteq C}$ (مانند آنکه ${\ displaystyle A \ subseteq C {\ text {و}} B \ subseteq C}$ ) - جایی که عنصر "بزرگتر" همیشه در سمت راست قرار دارد ، [توجه 5] - که می تواند به صورت زیر بازنویسی شود ${\ displaystyle A \ cap B \ supseteq C}$ (نسبت به عنوان ${\ displaystyle A \ cup B \ subseteq C}$ )
اگر یک خانواده ${\ mathcal {B}}$ دارای بزرگترین عنصر در رابطه با ${\ displaystyle \، \ supseteq \،}$ (به عنوان مثال ، اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}}}$ ) سپس لزوماً به سمت پایین هدایت می شود.
بسته تحت تقاطع محدود (محدودهاتحادیه) اگر تقاطع (محدوده اتحادیه) از هر دو عنصر ${\ mathcal {B}}$ عنصری از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$
اگر ${\ mathcal {B}}$ سپس در تقاطع محدود بسته می شود ${\ mathcal {B}}$ لزوماً به سمت پایین هدایت می شود برعکس به طور کلی نادرست است.
بسته به بالا یاایزوتونداخل $ایکس$ [6] اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X) {\ text {and}} {\ mathcal {B}} = {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}،}$ یا معادل آن ، اگر هر زمان $B \ در {\ ریاضی {B}}$ و مقداری ست $ج$ ارضا می کند ${\ displaystyle B \ subseteq C \ subseteq X ، {\ text {then}} C \ in {\ mathcal {B}}.}$ به طور مشابه ، ${\ mathcal {B}}$ است رو به پایین بسته اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = {\ mathcal {B}}^{\ downarrow}.}$ یک مجموعه بسته به سمت بالا (به ترتیب، رو به پایین) نیز نامیده می شود مجموعه ای بالا و یا ناراحت (RESP یک مجموعه کمتر و یا پایین مجموعه ).
خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} ،}$ که بسته شدن آن به سمت بالا است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X،}$ منحصر به فرد است کوچکترین (با توجه به ${\ displaystyle \، \ subseteq}$ ) خانواده ایزوتون مجموعه های بیش از $ایکس$ داشتن ${\ mathcal {B}}$ به عنوان زیر مجموعه

بسیاری از خواص ${\ mathcal {B}}$ در بالا و پایین تعریف شده است ، مانند "مناسب" و "جهت پایین" ، بستگی ندارد $ایکس،$ بنابراین ذکر مجموعه $ایکس$ هنگام استفاده از چنین شرایطی اختیاری است. تعاریف شامل "بسته شدن به سمت بالا $ایکس،$ "مانند فیلتر" فیلتر روشن شود $ایکس،$ "بستگی به $ایکس$ بنابراین مجموعه $ایکس$ اگر از زمینه مشخص نیست باید ذکر شود.

${\ displaystyle {\ textrm {فیلترها}} (X) \ quad = \ quad {\ textrm {DualIdeals}} (X) \، \ setminus \، \ {\ wp (X) \} \ quad \ subseteq \ quad { \ textrm {Prefilters}} (X) \ quad \ subseteq \ quad {\ textrm {FilterSubbases}} (X).}$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

مقدمات ، نماد و مفاهیم اساسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فیلتر (ریاضیات)

در این مقاله حروف بزرگ رومی مانند ${\ displaystyle S {\ متن {و}} X}$ مجموعه ها را نشان می دهد (اما نه خانواده ها مگر اینکه خلاف آن مشخص شده باشد) و ${\ displaystyle \ wp (X)}$ خواهد دلالت مجموعه توانی از $ایکس.$ زیر مجموعه ای از مجموعه ای قدرت است که به نام خانواده از مجموعه (یا به سادگی، یک خانواده ) که در آن است بیش از $ایکس$ اگر زیر مجموعه ای از ${\ displaystyle \ wp (X).}$ خانواده مجموعه ها با حروف خط بزرگ مانند: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،> {\ mathcal {C}} ، {\ text {و}} {\ mathcal {F}}.}$ هر زمان که این مفروضات مورد نیاز است ، باید آن را فرض کرد $ایکس$ غیر خالی است و آن ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ، {\ mathcal {F}} ،}$ و غیره خانواده مجموعه بیش از $ایکس.$

اصطلاحات "پیش فیلتر" و "پایه فیلتر" مترادف هستند و به جای یکدیگر استفاده خواهند شد.

هشدار در مورد تعاریف و علائم رقابتی

متأسفانه اصطلاحات متعددی در نظریه فیلترها وجود دارد که توسط نویسندگان مختلف متفاوت تعریف شده است. اینها شامل برخی از مهمترین اصطلاحات مانند "فیلتر" است. در حالی که تعاریف مختلف یک اصطلاح معمولاً با هم تداخل قابل توجهی دارند ، به دلیل ماهیت بسیار فنی فیلترها (و توپولوژی نقطه ای) ، این تفاوتها در تعاریف اغلب پیامدهای مهمی به همراه دارد. هنگام خواندن ادبیات ریاضی ، توصیه می شود که خوانندگان نحوه تعریف اصطلاحات مربوط به فیلترها توسط نویسنده را بررسی کنند. به همین دلیل ، این مقاله به وضوح تمام تعاریفی را که در این مقاله استفاده می شود بیان می کند. متأسفانه ، همه علائم مربوط به فیلترها به خوبی ثابت نشده اند و برخی از علائم در ادبیات بسیار متفاوت است (به عنوان مثال ،

نظریه فیلترها و پیش فیلترها به خوبی توسعه یافته است و دارای تعداد زیادی تعاریف و علامت است که بسیاری از آنها در حال حاضر به صورت غیرمتعارف فهرست شده اند تا از تبدیل شدن این مقاله جلوگیری کرده و به آسانی نمادها و تعاریف را جستجو کنند. خواص مهم آنها بعداً شرح داده می شود.

عملیات را تنظیم می کند

بسته شدن رو به بالا یاایزوتونی شدن در $ایکس$ [6] [7] از خانواده مجموعه ها ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}$ است

${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}: = \ {S \ subseteq X ~: ~ B \ subseteq S {\ text {for some}} B \ in {\ mathcal {B}} \ ، \} = \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {B}}} \ {S ~: ~ B \ subseteq S \ subseteq X \}}$

و به طور مشابه بسته شدن رو به پایین از ${\ mathcal {B}}$ است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ downarrow}: = \ {S \ subseteq B ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \، \} = \ bigcup _ {B \ in {\ ریاضی {B}}} \ wp (B).}$


نشانه گذاری و تعریف	مفروضات	نام
${\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ bigcap _ {B \ in {\ mathcal {B}}} B}$		هسته از ${\ mathcal {B}}$ [7]
${\ displaystyle S \ setminus {\ mathcal {B}}: = \ {S \ setminus B ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \} = \ {S \} (\ setminus) {\ mathcal { B}}}$	$س$ یک مجموعه است	دوگانه از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} S}$ [8]
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {S}: = \ {B \ cap S ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \} = {\ mathcal {B} } (\ cap) \ {S \}}$	$س$ یک مجموعه است	ردپای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S}$ [8] یا محدودیت ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ متن {به}} S}$ ؛ گاهی اوقات با ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cap S}$
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}} = \ {B \ cap C ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} C \ در {\ ریاضی {C}} \}}$ [9]		تقاطع عنصری ( تنظیم )( ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cap {\ mathcal {C}}}$ تقاطع معمول را نشان می دهد)
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {C}} = \ {B \ cup C ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} C \ در {\ ریاضی {C}} \}}$ [9]		Elementwise ( set ) اتحادیه ( ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cup {\ mathcal {C}}}$ اتحاد معمول را نشان می دهد)
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ setminus) {\ mathcal {C}} = \ {B \ setminus C ~: ~ B \ در {\ mathcal {B}} {\ text {و}} C \ در {\ ریاضی {C}} \}}$		Elementwise ( set ) تفریق ( ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ setminus {\ mathcal {C}}}$ تفریق مجموعه معمولی را نشان می دهد )
${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\#X} = {\ mathcal {B}}^{\#} = \ {S \ subseteq X ~: ~ S \ cap B \ neq \ varnothing {\ text {برای همه}} B \ در {\ ریاضی {B}} \}}$		گریل از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X}$ [10]
${\ displaystyle \ wp (X) = \ {S ~: ~ S \ subseteq X \}}$		مجموعه قدرت یک مجموعه $ایکس$ [7]

پیش فروش ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ بر اساس خانواده مجموعه ها تعریف می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {and}} {\ mathcal {F}}،}$ با اعلام آن ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}}$ اگر و فقط اگر برای هر $C \ در {\ mathcal {C}}$ برخی وجود دارد ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {such}} F \ subseteq C}$ در این صورت چنین گفته می شود ${\ mathcal {C}}$ است درشت تر ${\ mathcal {F}} ،$ ${\ mathcal {F}}$ است بهتر از (یا تابع ) ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ،}$ [11] [12] [13] و ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ vdash {\ mathcal {C}} {\ text {or}} {\ mathcal {F}} \ geq {\ mathcal {C}}}$ همچنین ممکن است نوشته شود دو خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}$ مش [8] اگر ${\ displaystyle B \ cap C \ neq \ varnothing {\ text {for all}} B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} C \ in {\ mathcal {C}}.}$

در طول ، {\ displaystyle f} $f$ یک نقشه است


نشانه گذاری و تعریف	مفروضات	نام
${\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {B}}) = \ left \ {f^{-1} (B) ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \ right \}}$		پیش نمایش از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {under}} f}$ [14]
${\ displaystyle f^{-1} (S) = \ {x \ in \ operatorname {domain} f ~: ~ f (x) \ in S \}}$	$س$ مجموعه ای دلخواه است	پیش نمایش از ${\ displaystyle S {\ text {under}} f}$
${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) = \ {f (B) ~: ~ B \ در {\ mathcal {B}} \}}$		تصویر از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {under}} f}$ [14]
${\ displaystyle f (S) = \ {f (s) ~: ~ s \ in S \ cap \ operatorname {domain} f \}}$	$س$ مجموعه ای دلخواه است	تصویر از ${\ displaystyle S {\ text {under}} f}$
${\ displaystyle \ operatorname {image} f = f (\ operatorname {domain} f)}$		تصویر از $f$

نماد توپولوژی

مجموعه تمام توپولوژی های یک مجموعه را مشخص کنید ${\ displaystyle X {\ متن {توسط}} \ operatorname {بالا} (X).}$ فرض کنید ${\ displaystyle \ tau \ in \ operatorname {بالا} (X).}$


نشانه گذاری و تعریف	مفروضات	نام
${\ displaystyle \ tau (S) = \ {O \ in \ tau ~: ~ S \ subseteq O \}}$	$S \ subseteq X$	مجموعه ای و یا پیش فیلتر [توجه داشته باشید 4] از محله باز از ${\ displaystyle S {\ متن {در}} (X ، \ tau)}$
${\ displaystyle \ tau (x) = \ {O \ in \ tau ~: ~ x \ in O \}}$	$x \ در X$	تنظیم یا پیش فیلتر محله های باز از ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau)}$
${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (S) = {\ mathcal {N}} (S): = \ tau (S)^{\ uparrow X}}$	$S \ subseteq X$	مجموعه ای و یا فیلتر [توجه داشته باشید 4] از محله از ${\ displaystyle S {\ متن {در}} (X ، \ tau)}$
${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (x) = {\ mathcal {N}} (x): = \ tau (x)^{\ uparrow X}}$	$x \ در X$	تنظیم یا فیلتر محله های ${\ displaystyle x {\ text {in}} (X، \ tau)}$

اگر ${\ displaystyle \ varnothing \ neq S \ subseteq X}$ سپس ${\ displaystyle \ tau (S) = \ bigcap _ {s \ in S} \ tau (s) {\ text {and}} {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (S) = \ bigcap _ { s \ in S} {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (s).}$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فیلترها در توپولوژی

انگیزه [ ویرایش ]

نمونه ای کهن الگوی فیلتر

همچنین ببینید: فیلتر (ریاضیات)

archetypical نمونه ای از یک فیلتر است فیلتر محله ${\ ریاضی {N}} (x)$ در یک نقطه $ایکس$ در یک فضای توپولوژیکی ${\ displaystyle (X ، \ tau) ،}$ که خانواده مجموعه متشکل از همه محله های $ایکس.$ طبق تعریف ، محله ای از برخی نقاط مشخص $ایکس$ هر زیرمجموعه ای است $B \ subseteq X$ داخلی توپولوژیکی آن شامل این نقطه است. یعنی چنین ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {Int} _ {X} B.}$ نکته مهم، محله ها نمی مورد نیاز به مجموعه باز؛ به آنها محله باز گفته می شود . ویژگیهای اساسی مشترک با فیلترهای محله ، که در زیر فهرست شده است ، در نهایت به تعریف "فیلتر" تبدیل شد. فیلتر بر روی $ایکس$ یک مجموعه است ${\ mathcal {B}}$ از زیر مجموعه های $ایکس$ که تمام شرایط زیر را برآورده می کند:

خالی نیست : ${\ displaystyle X \ در {\ ریاضی {B}}}$ - فقط به عنوان ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {N}} (x)،}$ از آنجا که $ایکس$ همیشه محله ای از $ایکس$ (و هر چیز دیگری که حاوی آن است) ؛
شامل مجموعه خالی نیست : ${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}}}$ - درست مانند هیچ محله ای از $ایکس$ خالی است؛
بسته در تقاطع های محدود : اگر ${\ displaystyle B، C \ in {\ mathcal {B}} {\ text {then}} B \ cap C \ in {\ mathcal {B}}}$ - درست مثل تقاطع هر دو محله از $ایکس$ دوباره محله ای از $ایکس$ ؛
بسته به بالا : اگر ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} B \ subseteq S \ subseteq X}$ سپس ${\ displaystyle S \ در {\ mathcal {B}}}$ - درست مانند هر زیر مجموعه ای از $ایکس$ که شامل محله ای از $ایکس$ لزوما شود یک محله از $ایکس$ (این از ${\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} B \ subseteq \ operatorname {Int} _ {X} S}$ و تعریف "محله ای از $ایکس$ ")

تعمیم همگرایی دنباله با استفاده از مجموعه - تعیین همگرایی دنباله بدون دنباله

همچنین ببینید: محدوده دنباله و شبکه (ریاضیات)

توالی در $ایکس$ طبق تعریف نقشه است ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ to X}$ از اعداد طبیعی به فضا $ایکس.$ مفهوم اصلی همگرایی در یک فضای توپولوژیکی این بود که دنباله ای به نقطه معینی از یک فضا مانند فضای متریک همگرا می شود . با استفاده از فضاهای متریز (یا عموماً فضاهای قابل شمارش اول یا فضاهای فرشت -اوریسون ) ، توالی ها معمولاً برای توصیف یا توصیف بیشتر ویژگی های توپولوژیکی مانند بسته شدن زیر مجموعه ها یا تداوم توابع کافی هستند. اما فضاهای زیادی وجود دارد که در آنها نمی توان از توالی ها برای توصیف حتی ویژگی های اصلی توپولوژیکی مانند بسته شدن یا تداوم استفاده کرد. این شکست توالی ها انگیزه ای برای تعریف مفاهیمی مانند شبکه و فیلتر بود ، که هرگز در توصیف خصوصیات توپولوژیکی ناکام هستند.

شبکه ها به طور مستقیم مفهوم یک دنباله را تعمیم می دهند ، زیرا شبکه ها به طور کلی نقشه هستند ${\ displaystyle I \ to X}$ از مجموعه هدایت شده دلخواه ${\ displaystyle (I ، \ leq)}$ به فضا $ایکس.$ یک دنباله فقط یک شبکه است که دامنه آن است ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ با دستور طبیعی شبکه ها مفهوم خود را برای همگرایی دارند که تعمیم مستقیم همگرایی توالی است.

فیلترها فقط با در نظر گرفتن مقادیر یک دنباله ، همگرایی توالی را به گونه ای دیگر تعمیم می دهند. برای مشاهده نحوه انجام این کار ، دنباله ای را در نظر بگیرید ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty} {\ text {in}} X،}$ که طبق تعریف فقط یک تابع است ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$ که ارزش آن در $i \ in \ mathbb {N}$ با نشان داده می شود $x_ {i}$ به جای علامت پرانتز معمولی ${\ displaystyle x _ {\ bullet} (i)}$ که معمولاً برای توابع دلخواه استفاده می شود. فقط دانستن تصویر (گاهی اوقات "محدوده" نامیده می شود) ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}: = \ left \ {x_ {i}: i \ in \ mathbb {N} \ right \} = \ left \ {x_ {1}، x_ {2} ، \ ldots \ right \}}$ دنباله برای توصیف همگرایی آن کافی نیست. مجموعه های متعدد مورد نیاز است به نظر می رسد مجموعه های مورد نیاز موارد زیر است ، [توجه 2] که دم های دنباله نامیده می شوند ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ :

${\ displaystyle {\ begin {harmonat} {8} & \ {&& x_ {1}، && x_ {2}، && x_ {3}، && x_ {4}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] و \ {&& x_ {2}، && x_ {3}، && x_ {4}، && x_ {5}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] & \ {&& x_ {3}، && x_ {4}، && x_ {5}، && x_ {6}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] &&&&&& \؛ \، \ vdots &&&&& \ \ [0.3ex] & \ {&& x_ {n}، \؛ \؛ \ ، && x_ {n+1}، \؛ && x_ {n+2}، \؛ && x_ {n+3}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] &&&&&& \؛ \، \ vdots &&&&&& \\ [0.3ex] \ end {alignat}}}$

این مجموعه ها همگرایی (یا عدم همگرایی) این دنباله را کاملاً تعیین می کنند زیرا با توجه به هر نقطه ، این دنباله اگر و فقط اگر برای هر محله به آن همگرا می شود $U$ (از این نقطه) ، مقداری صحیح وجود دارد $n$ به طوری که $U$ شامل همه نکات است ${\ displaystyle x_ {n} ، x_ {n+1} ، \ ldots.}$ این را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

هر محله $U$ باید حاوی مجموعه ای از فرم باشد ${\ displaystyle \ {x_ {n} ، x_ {n+1} ، \ ldots \}}$ به عنوان زیر مجموعه

این ویژگی فوق است که می تواند با خانواده دم های بالا برای تعیین همگرایی (یا عدم همگرایی) دنباله استفاده شود. ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X.}$ به طور خاص ، با این مجموعه ها در دست ، عملکرد ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$ دیگر نیازی به تعیین همگرایی این دنباله نیست (مهم نیست که چه توپولوژی روی آن قرار می گیرد $ایکس$ ) با تعمیم این مشاهده ، مفهوم "همگرایی" را می توان از توابع به خانواده مجموعه ها گسترش داد.

مجموعه فوق از دنباله های یک دنباله به طور کلی فیلتر نیست ، اما با بستن رو به بالا فیلتر را " تولید " می کند . همین امر در مورد سایر خانواده های مهم مجموعه مانند هر محله ای در یک نقطه معین صادق است ، که به طور کلی نیز فیلتر نیست اما از طریق بسته شدن آن به سمت بالا فیلتر ایجاد می کند (به ویژه ، فیلتر محله را در آن نقطه تولید می کند) . خواص که این خانواده به اشتراک گذاری به مفهوم یک رهبری پایه فیلتر ، نیز نامیده پیش فیلتر ، که به تعریف هر خانواده داشتن خواص حداقل لازم و کافی برای آن را به تولید یک فیلتر طریق در نظر گرفتن آن است بسته شدن به سمت بالا تنها .

توری در مقابل فیلترها - مزایا و معایب

فیلترها و شبکه ها هر کدام مزایا و معایب خاص خود را دارند و هیچ دلیلی برای استفاده منحصر به فرد از تصورات دیگر وجود ندارد. [توجه 3] بسته به آنچه در حال اثبات است ، ممکن است با استفاده از یکی از این مفاهیم به جای دیگری ، اثبات آن به میزان قابل توجهی آسان شود. [3] از هر دو فیلتر و تور می توان برای توصیف کامل هر توپولوژی مشخص استفاده کرد . شبکه ها تعمیم مستقیم توالی ها هستند و اغلب می توانند مشابه توالی ها استفاده شوند ، بنابراین منحنی یادگیری برای شبکه ها معمولاً بسیار کمتر از فیلترها است. با این حال ، فیلترها و به ویژه اولترافیلترها کاربردهای بیشتری خارج از توپولوژی دارند ، مانند نظریه مجموعه ها ، منطق ریاضی ، نظریه مدل( برای مثال فراورده ها ) ، جبر انتزاعی ، [4] نظریه نظم ، فضاهای همگرایی تعمیم یافته ، فضاهای کوشی ، و در تعریف و استفاده از اعداد هایپررئال .

مانند توالی ها ، شبکه ها توابع هستند و بنابراین مزایای توابع را دارند . به عنوان مثال ، مانند توالی ها ، شبکه ها را می توان به سایر توابع "متصل" کرد ، جایی که "اتصال" فقط ترکیب عملکرد است . قضایای مربوط به توابع و ترکیب عملکردها ممکن است در شبکه ها اعمال شوند. یک مثال ، ویژگی جهانی محدوده های معکوس است که بر اساس ترکیب توابع و نه مجموعه ها تعریف می شود و به راحتی بر روی توابع مانند شبکه اعمال می شود تا مجموعه هایی مانند فیلترها (نمونه بارز محدودیت معکوس محصول دکارتی است ) . استفاده از فیلترها ممکن است در موقعیت های خاصی ناخوشایند باشد ، مثلاً هنگام تعویض بین فیلتر روی یک فضا $ایکس$ و یک فیلتر در یک زیرفضا متراکم ${\ displaystyle S \ subseteq X.}$ [5]

بر خلاف شبکه ها ، فیلترها (و پیش فیلترها) مجموعه ای از مجموعه ها هستند و بنابراین مزایای مجموعه ها را دارند . به عنوان مثال ، اگر $f$ پس از تصور یا عقب کشیدن ، جزئی است ${\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {B}}): = \ left \ {f^{-1} (B) ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \ right \} }$ فیلتر یا پیش فیلتر دلخواه ${\ mathcal {B}}$ هم به راحتی تعریف می شود و هم ضمانت می شود که یک پیش فیلتر باشد ، در حالی که نحوه تعریف عقب نشینی یک دنباله دلخواه (یا خالص) کمتر مشخص است. ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ به طوری که بار دیگر دنباله یا شبکه است (مگر اینکه $f$ همچنین تزریقی و در نتیجه یک تزریق است ، که یک الزام شدید است). زیرا فیلترها از زیر مجموعه های فضای بسیار توپولوژیکی تشکیل شده اند $ایکس$ در حال بررسی است ، ممکن است عملیات مجموعه توپولوژیکی (مانند بسته شدن یا داخل ) روی مجموعه هایی که فیلتر را تشکیل می دهند اعمال شود. بستن همه مجموعه ها در یک فیلتر گاهی اوقات برای تجزیه و تحلیل عملکرد مفید است . قضایا و نتایج در مورد تصاویر یا پیش تصویر مجموعه ها تحت یک تابع نیز ممکن است برای مجموعه هایی که یک فیلتر را تشکیل می دهند اعمال شود. نمونه ای از چنین نتیجه ای ممکن است یکی از ویژگیهای تداوم از نظر پیش تصویر مجموعه های باز/بسته یا از نظر اپراتورهای داخلی/بسته باشد. انواع خاصی از فیلترها به نام اولترافیلتردارای خواص مفید بسیاری است که می تواند به طور قابل توجهی در اثبات نتایج کمک کند. یکی از جنبه های منفی شبکه ها وابستگی آنها به مجموعه های هدایت شده است که دامنه آنها را تشکیل می دهد ، که به طور کلی ممکن است کاملاً بی ارتباط با فضا باشد. $ایکس.$ در واقع ، کلاس شبکه ها در یک مجموعه معین $ایکس$ بسیار بزرگتر از آن است که حتی یک مجموعه باشد ( کلاس مناسبی است ) ؛ این به این دلیل است که شبکه ها در $ایکس$ می تواند دامنه های هر نوع اصلی را داشته باشد. در مقابل ، مجموعه ای از همه فیلترها (و همه پیش فیلترها) روشن است $ایکس$ مجموعه ای است که اصالت آن از آن بزرگتر نیست ${\ displaystyle \ wp (\ wp (X)).}$ مشابه توپولوژی در $ایکس،$ یک فیلتر روشن است $ایکس$ "ذاتی" است $ایکس$ "به این معنا که هر دو ساختار به طور کامل از زیر مجموعه هایی از $ایکس$ و هیچ یک از دو تعریف به مجموعه ای نیاز ندارند که از آنها ساخته نشود $ایکس$ (مانند $\ mathbb {N}$ یا سایر مجموعه های کارگردانی شده ، که دنباله ها و شبکه ها به آن نیاز دارند).

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:40 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فیلترها در توپولوژی

شبکه قدرت مجموعه از مجموعه $X:=\{1,2,3,4\},$ با مجموعه بالا $\{1,4\}^{\uparrow X}$ سبز تیره رنگی این یک فیلتر و حتی یک فیلتر اصلی است . این یک فیلتر اولترافیلتر نیست ، زیرا می توان آن را تا فیلتر غیرحقیقی بزرگتر نیز گسترش داد $\{1\}^{\uparrow X}$ با درج عناصر سبز روشن. زیرا $\{1\}^{\uparrow X}$ نمی توان آن را بیشتر تمدید کرد ، این یک فوق فیلتر است.

از فیلترهای توپولوژی ، زیر شاخه ای از ریاضیات ، می توان برای مطالعه فضاهای توپولوژیکی و تعریف تمام مفاهیم اولیه توپولوژیکی مانند همگرایی ، تداوم ، فشردگی و موارد دیگر استفاده کرد. فیلترها ، که خانواده های خاصی از زیر مجموعه های برخی از مجموعه های معین هستند ، همچنین چارچوبی مشترک برای تعریف انواع مختلف محدوده توابع مانند محدودیت های چپ/راست ، بی نهایت ، نقطه یا مجموعه و بسیاری دیگر ارائه می دهند. انواع خاصی از فیلترها به نام اولترافیلترها دارای ویژگی های فنی مفید بسیاری هستند و اغلب ممکن است به جای فیلترهای دلخواه مورد استفاده قرار گیرند.

فیلترها دارای کلیاتی به نام پیش فیلتر (که به عنوان پایه های فیلتر نیز شناخته می شوند ) و زیرمجموعه فیلترها هستند که همه آنها به طور طبیعی و مکرر در طول توپولوژی ظاهر می شوند. مثالها شامل فیلترها / پایه ها / زیرمجموعه های محله و یکنواختی است . هر فیلتر یک پیش فیلتر است و هر دو زیر فیلتر هستند. هر زیر فیلتر پیش فیلتر و زیر فیلتر در یک کوچکترین فیلتر منحصر به فرد وجود دارد که گفته می شود این فیلتر را ایجاد می کند . این یک رابطه بین فیلترها و پیش فیلترها ایجاد می کند که اغلب ممکن است برای استفاده از هر کدام از این دو مفهوم از نظر فنی مناسب تر مورد استفاده قرار گیرد. یک پیش سفارش $\,\leq \,$ در خانواده مجموعه ها ، تعیین دقیق زمان و چگونگی استفاده از یک مفهوم (فیلتر ، پیش فیلتر ، و غیره) به جای مفهوم دیگر کمک می کند. اهمیت این پیش سفارش با این واقعیت افزایش می یابد که مفهوم همگرایی فیلتر را تعریف می کند ، جایی که طبق تعریف ، فیلتر (یا پیش فیلتر) ${\mathcal {B}}$ همگرا به یک نقطه اگر و تنها اگر ${\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},$ جایی که ${\mathcal {N}}$ فیلتر محله آن نقطه است . در نتیجه ، تبعیت نقش مهمی در بسیاری از مفاهیم مرتبط با همگرایی ، مانند نقاط خوشه ای و محدوده توابع دارد. علاوه بر این ، رابطه ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ geq {\ mathcal {B}} ،}$ که نشان می دهد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {S}}}$ و با بیان آن بیان می شود ${\ mathcal {S}}$ تابع است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ همچنین رابطه ای برقرار می کند که در آن ${\ mathcal {S}}$ است به ${\ mathcal {B}}$ به عنوان یک دنباله به دنباله ای (یعنی رابطه ${\ displaystyle \ geq،}$ که فرعی نامیده می شود ، برای فیلترها آنالوگ "یک فرعی از" است).

فیلترها توسط هنری کارتان در سال 1937 معرفی شد [1] [2] و متعاقباً توسط بورباکی در کتاب Topologie Générale به عنوان جایگزینی برای تصور مشابه شبکه ای که در سال 1922 توسط EH مور و HL اسمیت ایجاد شد ، استفاده شد . فیلترها همچنین می توانند برای توصیف مفاهیم دنباله و همگرایی خالص استفاده شوند. اما برخلاف توالی و همگرایی خالص [یادداشت 1] ، همگرایی فیلتر کاملاً بر اساس زیر مجموعه های فضای توپولوژیکی تعریف شده است. $ایکس$ و بنابراین یک مفهوم همگرایی را ارائه می دهد که کاملاً ذاتی فضای توپولوژیکی است. هر توری یک فیلتر متعارف را القا می کند و به صورت دوتایی ، هر فیلتر یک شبکه متعارف را القا می کند ، جایی که این شبکه القایی (فیلتر ناشی از پاسخ) اگر و فقط در صورتی که در مورد فیلتر اصلی (شبکه پاسخ) صادق باشد به نقطه ای همگرا می شود. این توصیف همچنین برای بسیاری از تعاریف دیگر مانند نقاط خوشه ای صادق است . این روابط امکان تعویض بین فیلترها و شبکه ها را فراهم می کند و اغلب این امکان را به فرد می دهد که هر کدام از این دو مفهوم (فیلتر یا شبکه) را برای مشکل موجود مناسب تر انتخاب کند. با این حال ، با فرض اینکه " زیر شبکه " با استفاده از یکی از محبوب ترین تعاریف آن (که توسط ویلارد و کلی ارائه شده است) تعریف شده است.) ، بنابراین به طور کلی ، این رابطه به فیلترها و زیرشبکه های فرعی گسترش نمی یابد زیرا همانطور که در زیر توضیح داده شده است ، فیلترهای فرعی وجود دارد که رابطه فیلتر/زیرمجموعه -فیلتر را نمی توان بر اساس رابطه متناظر با شبکه/زیر شبکه توصیف کرد. با این حال ، می توان با استفاده از تعریف کمتر متداول "زیر شبکه" ، که مربوط به زیر شبکه AA است ، این مسئله را حل کرد .

فهرست

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

طیف زیگلر

در ریاضیات ، (سمت راست) طیف زیگلر یک حلقه R است فضای توپولوژیک که امتیاز (کلاس های isomorphism) هستند نپاشیدنی خالص تزریقی راست R -modules. آن زیر مجموعه بسته به نظریه های ماژول تحت محصولات خودسرانه و جمعوند مستقیم بسته مطابقت دارد. طیف های زیگلر به نام مارتین زیگلر نامگذاری شده است ، که اولین بار آنها را در سال 1984 تعریف و مطالعه کرد. [1]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

بگذارید R یک حلقه باشد (همراه ، با 1 ، لزوماً عوض کننده نیست). A (سمت راست) pp- N -formula یک فرمول در زبان (سمت راست) است R -modules از فرم

${\ displaystyle \ exist {\ overline {y}} \ ({\ overline {y}} ، {\ overline {x}}) A = 0}$

جایی که ${\ displaystyle \ ell، n، m}$ اعداد طبیعی هستند ، $آ$ هست یک ${\ displaystyle (\ ell +n) \ بار m}$ ماتریسی با مدخل های R و ${\ overline {y}}$ هست یک $\ ell$ -چندین متغیر و ${\ overline {x}}$ هست یک $n$ -چندین متغیر

طیف زیگلر (راست) ، ${\ displaystyle \ operatorname {Zg} _ {R}}$ ، از R فضای توپولوژیکی است که نقاط آن کلاسهای ایزومورفیسم از ماژولهای راست تجزیه ناپذیر خالص راست است که با ${\ displaystyle \ operatorname {pinj} _ {R}}$ ؛ توپولوژی مجموعه هایی دارد

${\ displaystyle (\ varphi /\ psi) = \ {N \ in \ operatornname {pinj} _ {R} \ mid \ varphi (N) \ supsetneq \ psi (N) \ cap \ varphi (N) \}}$

به عنوان زیر مجموعه های باز ، جایی که ${\ displaystyle \ varphi، \ psi}$ دامنه بیش از (راست) pp-1-formulas و $\ varphi (N)$ زیر گروه را نشان می دهد $N$ شامل همه عناصری است که فرمول یک متغیر را برآورده می کند $\ varphi$ . می توان نشان داد که این مجموعه ها اساس را تشکیل می دهند.

خواص [ ویرایش ]

طیف های زیگلر به ندرت hausdorff هستند و اغلب از داشتن طیف وسیعی برخوردار نیستند $T_ {0}$ -property . با این حال آنها همیشه جمع و جور هستند و اساس مجموعه های باز جمع و جور ارائه شده توسط مجموعه ها را دارند ${\ displaystyle (\ varphi /\ psi)}$ جایی که ${\ displaystyle \ varphi، \ psi}$ فرمول pp-1 هستند.

هنگامی که حلقه R قابل شمارش است ${\ displaystyle \ operatorname {Zg} _ {R}}$ است هوشیار . [2] در حال حاضر مشخص نیست که آیا همه طیف های زیگلر هوشیار هستند.

تعمیم [ ویرایش ]

ایوو هرتزوگ در سال 1997 نشان داد که چگونه می توان طیف زیگلر را در یک گروه منسجم Grothendieck محلی تعریف کرد ، که ساختار بالا را تعمیم می دهد. [3]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Ziegler_spectrum

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ایده آل اولیه

نباید با اشتباه گرفته شود ایده آل اولیه یا اصلی ایده آل .

در ریاضیات ، به طور خاص نظریه حلقه ، یک چپ ایده آل بدوی است نابود یک (غیر صفر) ساده چپ ماژول . ایده آل اولیه اولیه نیز به همین ترتیب تعریف شده است. ایده آل های ابتدایی چپ و راست همیشه ایده آل های دو طرفه هستند.

آرمان بدوی نخست . خارج قسمت از یک حلقه توسط ایده آل بدوی چپ چپ است حلقه بدوی . برای حلقه های تعویض ، ایده آل های اولیه حداکثر هستند ، و بنابراین حلقه های ابتدایی عوض کننده همه زمینه ها هستند .

فهرست

طیف ابتدایی [ ویرایش ]

طیف ابتدایی از یک حلقه آنالوگ غیر مبادلهای است [تبصره 1] از طیف نخست از یک حلقه جابجایی.

اجازه دهید A یک حلقه باشد و ${\ displaystyle \ operatorname {Prim} (A)}$ مجموعه ای از همه آرمان اولیه . سپس یک توپولوژی روی آن وجود دارد ${\ displaystyle \ operatorname {Prim} (A)}$ ، به نام توپولوژی جاکوبسن ، تعریف به طوری که بسته شدن یک زیر مجموعه T مجموعه ای از آرمان های بدوی است حاوی تقاطع از عناصر T .

حال فرض کنید A یک جبر انجمنی در یک میدان است. سپس ، طبق تعریف ، یک ایده آل اولیه ، هسته نمایشی غیر قابل تقلیل است $\ پی$ از A و بنابراین یک سوژکشن وجود دارد

${\ displaystyle \ pi \ mapsto \ ker \ pi: {\ widehat {A}} \ to \ operatorname {Prim} (A).}$

مثال: طیف جبر واحد C* .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_spectrum

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:20 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3_طیف یک حلقه

دیدگاه نظریه نمایش[ ویرایش ]

از دیدگاه نظریه بازنمایی ، یک ایده آل اول مطابق با یک ماژول R / I است و طیف یک حلقه مربوط به بازنمایی های حلقوی کاهش ناپذیر R است ، در حالی که زیرگروه های کلی تر مربوط به بازنمایی های احتمالاً قابل کاهش هستند که نیازی به چرخه ندارند. به یاد بیاورید که به طور انتزاعی ، نظریه بازنمایی یک گروه مطالعه واحدهایی است که بر روی جبر گروهی آن انجام می شود .

اگر به حلقه چند جمله ای توجه شود ارتباط با نظریه بازنمایی واضح تر است $R = K [x_ {1} ، \ نقاط ، x_ {n}]$ یا بدون اساس ، $R = K [V].$ همانطور که فرمول اخیر مشخص می کند ، یک حلقه چند جمله ای جبر گروهی در یک فضای بردار است و نوشتن بر اساس $x_ {i}$ مربوط به انتخاب مبنایی برای فضای بردار است. سپس یک ایده آل ، یا معادل آن یک واحد $R/I ،$ یک نمایش چرخه ای از R است (معنای چرخه ای ایجاد شده توسط 1 عنصر به عنوان یک

R -module ؛ این نشانگرهای یک بعدی را تعمیم می دهد).

درصورتی که میدان به طور جبری بسته شود (مثلاً اعداد مختلط) ، هر ایده آل حداکثر مطابق با نقطه ای در n -space ، توسط nullstellensatz (حداکثر ایده آل ایجاد شده توسط $(x_ {1} -a_ {1}) ، (x_ {2} -a_ {2}) ، \ ldots ، (x_ {n} -a_ {n})$ مطابق با نکته است $(a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n})$ ) این بازنمایی ها از $K [V]$ سپس توسط فضای دوگانه پارامتر می شوند $V^{*} ،$ پنهان با ارسال هر یک داده می شود $x_ {i}$ به مربوطه $a_ {i}$ . بنابراین نمایشی از $K^{n}$ ( نقشه های خطی $K^{n} \ به K$ ) توسط مجموعه ای از n اعداد ، یا معادل یک پوشش داده می شود $K^{n} \ به K.$

بنابراین ، نقاطی در n -space که به عنوان حداکثر مشخصات در نظر گرفته می شوند $R = K [x_ {1} ، \ نقاط ، x_ {n}] ،$ دقیقاً با بازنمایی های 1 بعدی R مطابقت دارد ، در حالی که مجموعه های محدودی از نقاط مربوط به بازنمایی های ابعاد محدود است (که قابل تقلیل هستند ، به لحاظ هندسی با اتحاد مطابقت دارند ، و از نظر جبری به عنوان یک ایده آل اولیه). ایده آلهای غیر حداکثر پس از آن با بازنمایی های ابعاد نامتناهی مطابقت دارند .

دیدگاه تحلیل عملکردی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: طیف (تجزیه و تحلیل عملکردی)

اطلاعات بیشتر: نمایندگی جبر ights وزن

اصطلاح "طیف" از کاربرد در نظریه اپراتور گرفته شده است . با توجه به یک عملگر خطی T در یک فضای بردار ابعاد محدود V ، می توان فضای بردار را با عملگر به عنوان یک ماژول بر روی حلقه چند جمله ای در یک متغیر R = K [ T ] در نظر گرفت ، همانطور که در قضیه ساختار برای ماژول های تولید شده نهایی در یک دامنه اصلی ایده آل . سپس طیف K [ T ] (به صورت حلقه) برابر با طیف T (به عنوان یک عملگر) است.

علاوه بر این ، ساختار هندسی طیف حلقه (معادل آن ، ساختار جبری ماژول) رفتار طیف اپراتور ، مانند تعدد جبری و تعدد هندسی را به تصویر می کشد. به عنوان مثال ، ماتریس هویت 2 × 2 دارای مدول مربوطه است:

$K [T]/(T-1) \ oplus K [T]/(T-1)$

ماتریس صفر 2 × 2 دارای مدول است

$K [T]/(T-0) \ oplus K [T]/(T-0) ،$

تعدد هندسی 2 را برای مقدار ویژه صفر نشان می دهد ، در حالی که یک ماتریس بی اهمیت 2 × 2 بدون توان دارای ماژول است

$K [T]/T^{2} ،$

کثرت جبری 2 را نشان می دهد اما کثرت هندسی 1.

با جزئیات بیشتر:

مقادیر ویژه (با تعدد هندسی) اپراتور با نقاط (کاهش) تنوع ، با تعدد مطابقت دارد.
تجزیه اولیه ماژول مربوط به نقاط کاهش نیافته تنوع است.
یک اپراتور مورب (نیمه ساده) مربوط به تنوع کاهش یافته است.
یک ماژول حلقوی (یک ژنراتور) مربوط به اپراتور دارای بردار چرخه ای است (بردار که مدار آن تحت T فضا را پوشش می دهد).
آخرین عامل تغییر ناپذیر مدول برابر است با چند جمله ای حداقل عملگر ، و حاصلضرب عوامل تغییر ناپذیر برابر است با چند جمله ای مشخصه .

کلیات [ ویرایش ]

طیف را می توان از حلقه ها به جبرهای C* در نظریه عملگر تعمیم داد و مفهوم طیف یک جبر C*را به دست آورد . قابل توجه ، برای یک فضای هاسدورف ، جبر مقیاس ها (توابع پیوسته محدود شده در فضا ، مشابه عملکردهای معمولی) یک جبر C* جابجایی است و فضا به عنوان یک فضای توپولوژیکی از آن بازیابی می شود. ${\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec}}$ از جبر اسکالرها ، در واقع از نظر عملکردی. این محتوای قضیه باناخ استون است . در واقع ، هر جبر جابجایی C*را می توان به این ترتیب به عنوان جبر مقیاس های یک فضای هاسدورف در نظر گرفت و همان تناسب بین حلقه و طیف آن را به دست آورد. تعمیم به غیر C -commutative * جبری بازده توپولوژی غیر مبادلهای .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_of_a_ring

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

۲ _طیف یک حلقه

انگیزه از هندسه جبری [ ویرایش ]

در ادامه مثال ، در هندسه جبری ، مجموعه های جبری مورد مطالعه قرار می گیرند ، یعنی زیر مجموعه های K n (جایی که K یک میدان جبری بسته است ) که به عنوان صفرهای مشترک مجموعه ای از چند جمله ای در n متغیر تعریف می شوند. اگر A چنین مجموعه جبری باشد ، حلقه جابجایی R همه توابع چند جمله ای A → K را در نظر می گیرد . حداکثر آرمان از R متناظر با نقاط (چون K است جبری بسته)، وایده آل های اصلی R با زیرگروه های A مطابقت دارد (مجموعه جبری غیرقابل تقلیل یا تنوع نامیده می شود اگر نتوان آن را به عنوان اتحاد دو زیر مجموعه جبری مناسب نوشت).

بنابراین طیف R شامل نقاط A به همراه عناصری برای همه زیرگروه های A است . نقاط A در طیف بسته شده اند ، در حالی که عناصر متناظر با زیرگونه ها دارای یک بسته هستند که از تمام نقاط و زیرگوارهای آنها تشکیل شده است. اگر تنها نقاط A ، یعنی حداکثر آرمانها در R را در نظر بگیریم ، توپولوژی زاریسکی که در بالا تعریف شد ، منطبق با توپولوژی زاریسکی است که بر روی مجموعه های جبری (که دقیقاً زیر مجموعه های جبری را به عنوان مجموعه های بسته دارد) منطبق است. به طور خاص ، حداکثر ایده آل ها در R ، یعنی ${\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec} (R)}$ ، همراه با توپولوژی زاریسکی ، با A توپولوژی زاریسکی همومورفیک A است.

بنابراین می توان فضای توپولوژیکی را مشاهده کرد $\ operatorname {Spec} (R)$ به عنوان "غنی سازی" فضای توپولوژیکی A (با توپولوژی زاریسکی): برای هر زیر واریته A ، یک نقطه غیر بسته دیگر اضافه شده است ، و این نقطه "زیر نظر" زیر تنوع مربوطه را "پیگیری" می کند. یکی این نقطه را به عنوان نقطه عمومی برای انواع فرعی در نظر می گیرد. علاوه بر این ، شف در $\ operatorname {Spec} (R)$ و تعداد توابع چند جمله ای در A اساساً یکسان است. با مطالعه طیف حلقه های چند جمله ای به جای مجموعه های جبری با توپولوژی زاریسکی ، می توان مفاهیم هندسه جبری را به زمینه های بسته غیر جبری و فراتر از آن تعمیم داد و سرانجام به زبان طرح ها رسید .

مثالها [ ویرایش ]

طرح وابسته ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$ از آنجا که آخرین مورد در رده طرح های وابسته است $\ mathbb {Z}$ شیء اولیه در دسته حلقه های تعویض است.
طرح وابسته ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}}^{n} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}])}$ آنالوگ نظری طرح است $\ mathbb {C} ^{n}$ . از منظر عملکرد نقاط ، یک نقطه ${\ displaystyle (\ alpha _ {1} ، \ ldots ، \ alpha _ {n}) \ در \ mathbb {C} ^{n}}$ می توان با مورفیسم ارزیابی شناسایی کرد ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}] {\ xrightarrow {ev _ {(\ alpha _ {1}، \ ldots، \ alpha _ {n})}}} \ mathbb {C}}$ . این مشاهده اساسی به ما اجازه می دهد تا به سایر طرح های وابسته معنا دهیم.
${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x، y]/(xy))}$ از نظر توپولوژیکی شبیه تقاطع عرضی دو صفحه پیچیده در یک نقطه است ، اگرچه معمولاً این به صورت a نشان داده می شود $+$ از آنجا که تنها ریخت شناسی به خوبی تعریف شده است $\ mathbb {C}$ مورفیسم های ارزیابی مرتبط با نقاط هستند ${\ displaystyle \ {(\ alpha _ {1} ، 0) ، (0 ، \ alpha _ {2}): \ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} \ in \ mathbb {C} \}}$ .
طیف اصلی حلقه بولی (به عنوان مثال ، حلقه تنظیم قدرت ) یک فضای فشرده (هاوسدورف) است . [4]
(م. هوچستر) یک فضای توپولوژیکی در طیف اصلی یک حلقه تعویض (یعنی یک فضای طیفی ) در صورتی همومورفیک است که فقط و فقط در صورتی که شبه فشرده ، شبه جدا و هوشیار باشد. [5]

نمونه های غیر وابسته [ ویرایش ]

در اینجا چند نمونه از طرح هایی که طرح های وابسته نیستند آورده شده است. آنها از چسباندن طرح های آمین به یکدیگر ساخته شده اند.

پروژه ای ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k}^{n} = \ operatornname {Proj} k [x_ {0}، \ ldots، x_ {n}]}$ بیش از یک میدان $ک$ . این را می توان به راحتی به هر حلقه پایه تعمیم داد ، ساختار Proj را ببینید (در واقع ، ما می توانیم فضای پروژکتیو را برای هر طرح پایه تعریف کنیم). پروژه ای $n$ -فضا برای $n \ geq 1$ به عنوان بخش جهانی از آن استفاده نمی شود ${\ mathbb {P}} _ {k}^{n}$ است $ک$ .
صفحه آفین منهای مبدأ. [6] داخل ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k}^{2} = \ operatorname {Spec} \، k [x، y]}$ زیرمجموعه های آفین باز متمایز هستند ${\ displaystyle D_ {x} ، D_ {y}}$ . اتحادیه آنها ${\ displaystyle D_ {x} \ cup D_ {y} = U}$ صفحه آفین با مبدا خارج شده است. بخشهای جهانی از $U$ جفت چند جمله ای هستند ${\ displaystyle D_ {x} ، D_ {y}}$ که به همان چند جمله ای on محدود می شود ${\ displaystyle D_ {xy}}$ ، که می توان آن را نشان داد ${\ displaystyle k [x، y]}$ ، بخش جهانی از ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k}^{2}}$ . $U$ مانند این نیست ${\ displaystyle V _ {(x)} \ cap V _ {(y)} = \ varnothing}$ که در $U$ .

توپولوژی های غیر زاریسکی در طیف اصلی [ ویرایش ]

این بخش نیاز به توسعه دارد . با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( ژوئن 2020 )

برخی از نویسندگان (به ویژه M. Hochster) توپولوژی را در طیف های اصلی غیر از توپولوژی زاریسکی در نظر می گیرند.

اول ، مفهوم توپولوژی ساختنی وجود دارد : با توجه به حلقه A ، زیر مجموعه های $\ operatorname {Spec} (A)$ از فرم ${\ displaystyle \ varphi ^{*} (\ operatorname {Spec} B) ، \ varphi: A \ to B}$ برآوردن بدیهیات برای مجموعه های بسته در یک فضای توپولوژیکی. این توپولوژی در $\ operatorname {Spec} (A)$ توپولوژی ساختنی نامیده می شود. [7] [8]

در ( Hochster 1969 ) ، هوچستر آنچه را که توپولوژی پچ می نامد در طیف اصلی در نظر می گیرد. [9] [10] [11] طبق تعریف ، توپولوژی پچ کوچکترین توپولوژی است که در آن مجموعه اشکال ${\ displaystyle V (I)}$ و ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A) -V (f)}$ بسته هستند

مشخصات جهانی یا نسبی [ ویرایش ]

نسخه نسبی فانکتور وجود دارد $\ operatorname {Spec}$ جهانی نامیده می شود $\ operatorname {Spec}$ ، یا نسبی $\ operatorname {Spec}$ . اگر $س$ یک طرح است ، سپس نسبی است $\ operatorname {Spec}$ با نشان داده می شود ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S}}$ یا ${\ displaystyle \ mathbf {Spec} _ {S}}$ . اگر $س$ از زمینه روشن است ، سپس Spec نسبی ممکن است با ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}}}$ یا ${\ displaystyle \ mathbf {Spec}}$ . برای یک طرح $س$ و یک شبه شبه منسجم از ${\ mathcal {O}} _ {S}$ -جبرها ${\ mathcal {A}}$ ، یک طرح وجود دارد ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}})}$ و یک شکل شناسی ${\ displaystyle f: {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}}) \ به S}$ به گونه ای که برای هر وابستگی باز ${\ displaystyle U \ subseteq S}$ ، ایزومورفیسم وجود دارد ${\ displaystyle f^{-1} (U) \ cong \ operatorname {Spec} ({\ mathcal {A}} (U))}$ ، و به گونه ای که برای وابستگی های باز ${\ displaystyle V \ subseteq U}$ ، گنجایش ${\ displaystyle f^{-1} (V) \ به f^{-1} (U)}$ توسط نقشه محدودیت القا می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ به {\ mathcal {A}} (V)}$ . یعنی همانطور که همومورفیسم های حلقه باعث ایجاد نقشه های مخالف طیف می شوند ، نقشه های محدود کننده یک توده از جبرها باعث الحاق نقشه های طیفی می شود که مشخصات قوس را تشکیل می دهند.

Global Spec دارای یک ویژگی جهانی مشابه ویژگی جهانی برای Spec معمولی است. به طور دقیق تر ، همانطور که Spec و بخش جهانی متصل به هم هستند و بین دسته حلقه ها و طرح های تعویضی متصل هستند ، مشخصات عمومی و عملکرد مستقیم تصویر برای نقشه ساختار ، متقابل راست متقابل بین دسته جابجایی هستند. ${\ mathcal {O}} _ {S}$ جبر و طرح ها به پایان رسید $س$ . [ مشکوک - بحث کنید] در فرمول ها ،

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O}} _ {S} {\ text {-alg}}} ({\ mathcal {A}}، \ pi _ {*} {\ mathcal {O }} _ {X}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {{\ text {Sch}}/S} (X، \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {A}}))،}$

جایی که ${\ displaystyle \ pi \ روده بزرگ X \ به S}$ شکل یک طرح است

نمونه ای از مشخصات نسبی [ ویرایش ]

مشخصات نسبی ابزار درستی برای پارامتر بندی خانواده خطوط از طریق مبداء است ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}}^{2}}$ بر فراز ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a، b}^{1}.}$ توده جبر را در نظر بگیرید ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x، y]،}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = (ay-bx)}$ تکه ای از آرمان ها باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$ سپس مشخصات نسبی ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} ({\ mathcal {A}}/{\ mathcal {I}}) \ to \ mathbb {P} _ {a، b}^{ 1}}$ خانواده مورد نظر را پارامتر می کند. در واقع ، فیبر تمام شده است ${\ displaystyle [\ alpha: \ beta]}$ خط از طریق منشاء است ${\ mathbb {A}}^{2}$ حاوی نقطه ${\ displaystyle (\ alpha ، \ beta).}$ با فرض اینکه ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0،}$ با نگاه کردن به ترکیب نمودارهای عقب کش می توان فیبر را محاسبه کرد

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x، y]} {\ left (y-{\ frac {\ beta} {\ alpha}} x \ right)}} \ right) & \ to & operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] [x، y ]} {\ left (y-{\ frac {b} {a}} x \ right)}} \ right) & \ to & {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} \ left ({ \ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [x، y]} {\ left (ay-bx \ right)}} \ right) \\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \\\ operatornname { Spec} (\ mathbb {C}) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left (\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] \ right) = U_ {a} & \ to & \ mathbb {P} _ {a، b}^{1} \ end {matrix}}}$

جایی که ترکیب فلش های پایین است

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) {\ xrightarrow {[\ alpha: \ beta]}} \ mathbb {P} _ {a، b}^{1}}$

خط حاوی نقطه را می دهد $(\ آلفا ، \ بتا)$ و مبدا این مثال را می توان برای پارامترسازی خانواده خطوط از طریق مبداء تعمیم داد ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}}^{n+1}}$ بر فراز ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a_ {0} ، ... ، a_ {n}}^{n}}$ با اجازه دادن ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0} ، ... ، x_ {n}]}$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ left (2 \ بار 2 {\ text {minors of}} {\ begin {pmatrix} a_ {0} & \ cdots & a_ {n} \\ x_ {0} & \ cdots & x_ {n} \ end {pmatrix}} \ right).}$

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 19:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1_طیف یک حلقه

برای مفهوم طیف حلقه در نظریه هموتوپی ، طیف حلقه را ببینید .

در جبر جابجایی طیف نخست (و یا به سادگی طیف ) از یک حلقه مانند R مجموعه ای از تمام ایده آل های اول از R است که معمولا با نشان داده می شود ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} {R}}$ ، [1] در هندسه جبری به طور همزمان یک فضای توپولوژیکی است که مجهز به توده حلقه ها است ${\ mathcal {O}}$ . [2]

فهرست

توپولوژی زاریسکی [ ویرایش ]

برای هر گونه ایده آل I از R ، تعریف $V_ {I}$ مجموعه ایده آل های اصلی شامل I باشد. ما می توانیم توپولوژی را روی آن قرار دهیم $\ operatorname {Spec} (R)$ با تعریف مجموعه مجموعه های بسته به

$\ {V_ {I} \ colon I {\ text {ایده آل}} R \} است.$

این توپولوژی توپولوژی زاریسکی نامیده می شود .

اساس برای توپولوژی ملاقات زاریسکی می توان به شرح زیر ساخته شده است. برای f ∈ R ، d f را مجموعه ای از ایده آل های اصلی R که شامل f نیست تعریف کنید . سپس هر D f یک زیر مجموعه باز از است $\ operatorname {Spec} (R)$ ، و $\ {D_ {f}: f \ in R \}$ پایه ای برای توپولوژی زاریسکی است.

$\ operatorname {Spec} (R)$ یک فضای فشرده است ، اما تقریباً هیچ گاه هاسدورف : در واقع ، حداکثر ایده ال در R دقیقاً نقاط بسته در این توپولوژی هستند. با همان استدلال ، به طور کلی ، فضای T 1 نیست . [3] با این حال ، $\ operatorname {Spec} (R)$ همیشه یک فضای کولموگروف است ( بدیهیات T 0 را برآورده می کند ) ؛ آن را نیز یک فضای طیفی .

برش ها و طرح ها [ ویرایش ]

با توجه به فضا $X = \ operatorname {Spec} (R)$ با توپولوژی ملاقات Zariski از ساختار بافه O X بر زیر مجموعه باز برجسته تعریف D F با تنظیم Γ ( D F ، O X ) = R F از محلی سازی از R با قدرت ج . می توان نشان داد که این یک B-sheaf را تعریف می کند و بنابراین یک sheaf را تعریف می کند. به طور دقیق تر ، زیر مجموعه های باز متمایز اساس توپولوژی زاریسکی هستند ، بنابراین برای یک مجموعه باز دلخواه U ، که به عنوان اتحادیه { D fi } i ∈ I نوشته شده است، ما Γ ( U ، O X ) = lim i ∈ I R fi را تنظیم می کنیم . ممکن است کسی بررسی کند که این پیش قله یک قله است ، بنابراین $\ operatorname {Spec} (R)$ یک فضای حلقه ای است هر فضای حلقه ای ایزومورفیک به یکی از این شکل ها ، طرح آمین نامیده می شود . طرحهای کلی با چسباندن طرحهای آفین به یکدیگر بدست می آیند.

به طور مشابه ، برای یک مدول M روی حلقه R ، ممکن است یک شیف تعریف کنیم ${\ tilde {M}}$ بر $\ operatorname {Spec} (R)$ . در زیر مجموعه های باز برجسته مجموعه

Γ ( D f ، ${\ tilde {M}}$ ) = M f ، با استفاده از محلی سازی یک ماژول . همانطور که در بالا ذکر شد ، این ساختار به یک پیش آماده در همه زیر مجموعه های باز گسترش می یابد $\ operatorname {Spec} (R)$ و بدیهیات چسبندگی را برآورده می کند. برشی از این شکل را یک شبه شبه شبه گویند .

اگر P نقطه ای در $\ operatorname {Spec} (R)$ ، این است که، یک ایده آل اول، و سپس ساقه از بافه ساختار در P برابر با محلی سازی از R در ایده آل P ، و این یک است حلقه محلی . در نتیجه، $\ operatorname {Spec} (R)$ یک فضای حلقه ای محلی است

اگر R یک حوزه انتگرالی است ، با میدان کسرهای K ، می توانیم حلقه Γ ( U ، O X ) را بصورت دقیق تر به شرح زیر توصیف کنیم. ما می گوییم که یک عنصر f در K در نقطه P در X منظم است اگر بتوان آن را به صورت کسری f = a / b با b در P نشان داد . توجه داشته باشید که این امر با مفهوم یک تابع منظم در هندسه جبری موافق است. با استفاده از این تعریف ، می توانیم Γ ( U ، O X را توصیف کنیم) دقیقاً مجموعه ای از عناصر K است که در هر نقطه P در U منظم هستند .

دیدگاه کارکردی [ ویرایش ]

استفاده از زبان نظریه دسته بندی و رعایت آن مفید است $\ operatorname {Spec}$ یک فانکتور است همومورفیسم هر حلقه $f: R \ به S$ ایجاد نقشه پیوسته

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (f): \ operatorname {Spec} (S) \ به \ operatorname {Spec} (R)}$ (از مقدمه هر ایده آل برتر در $س$ ایده آل برتر در $R$ ) به این ترتیب ، $\ operatorname {Spec}$ می تواند به عنوان یک عامل متغیر از دسته حلقه های تعویض تا دسته فضاهای توپولوژیکی دیده شود. علاوه بر این ، برای هر نخست ${\ mathfrak {p}}$ همومورفیسم $f$ به همومورفیسم نزول می کند

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {f^{-1} ({\ mathfrak {p}})} \ به {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {p}}}$

از حلقه های محلی بدین ترتیب $\ operatorname {Spec}$ حتی یک فاکتور متغیر را از دسته حلقه های تعویض به دسته فضاهای حلقه دار محلی تعریف می کند . در واقع چنین فانکتوری جهانی است بنابراین می توان از آن برای تعریف فانکتور استفاده کرد $\ operatorname {Spec}$ تا ایزومورفیسم طبیعی [ نیازمند منبع ]

فانکتور $\ operatorname {Spec}$ یک معادل متقابل بین دسته حلقه های تعویض و طبقه بندی طرح های وابسته را ایجاد می کند . هر یک از این دسته ها اغلب به عنوان مقوله مقابل دسته دیگر تصور می شوند.

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 18:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه انواع آفین

ریخت شناسی انواع آفین [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ریخت شناسی انواع جبری

مورفیسم ، یا نقشه معمولی ، انواع و اقسام تابع بین انواع آفین است که در هر مختصات چند جمله ای است: به طور دقیق تر ، برای انواع آفین V ⊆ k n و W ⊆ k m ، یک مورفیسم از V به W یک نقشه φ است : V → W از شکل φ ( a 1 ، ...، a n ) = ( f 1 ( a 1 ، ...، a n )، ...، f m ( a 1 ، ...، N ))، که در آن F من ∈ ک [ X 1 ، ...، X N ] برای هر i= 1، ...، m. اینها مورفیسم های دسته واریته های آفین هستند.

است یک تناظر یک به یک بین مورفیسم ها انواع آفین به بیش از یک میدان بسته جبری وجود دارد ک ، و هممورفیسم مختصات حلقه از انواع آفین به بیش از K که در جهت مخالف است. به این دلیل، همراه با این واقعیت است که یک تناظر یک به یک بین انواع آفین به بیش از وجود دارد ک و هماهنگی خود حلقه، این دسته از انواع آفین به بیش از K است دو به این رده از مختصات حلقه از انواع آفین به بیش از K . دسته حلقه های مختصات انواع آفین روی k دقیقاً دسته جبرهای تولید نشده و بدون قدرت بر k است .

به طور دقیق تر ، برای هر مورفیسم φ : V → W از انواع آفین ، یک همومورفیسم φ # : k [ W ] → k [ V ] بین حلقه های مختصات (در جهت مخالف) وجود دارد ، و برای هر چنین همومورفیسم ، یک شکل از انواع مرتبط با حلقه مختصات است. این را می توان به صراحت نشان داد: اجازه دهید V ⊆ k n و W ⊆ k m انواع وابسته با حلقه های مختصات k [ V ] = k [ X باشند 1 ، ... ، X n ] / I و k [ W ] = k [ Y 1 ، ... ، Y m ] / J به ترتیب بگذارید φ : V → W یک شکل باشد. در واقع ، یک همومورفیسم بین حلقه های چند جمله ای θ : k [ Y 1 ، ... ، Y m ] / J → k [ X 1 ، ... ، X n ] / I به طور منحصر به فرد از طریق حلقه k [ X 1 ، ... ، X n ] ، و همومورفیسم ψ : k [ Y 1 ، ... ، Y m ] / J → k [ X 1 ، ... ، X n ] به طور منحصر به فرد توسط تصاویر Y 1 ، ... ، Y m . بنابراین ، هر همومورفیسم φ # : k [ W ] → k [ V ] به طور منحصر به فرد با انتخاب تصویر برای هر یک مطابقت دارد. Y i. سپس با توجه به هر مورفیسم φ = ( F 1 ، ...، Mj) از V به W ، همریخت می تواند ساخته شود φ # : K [ W ] → K [ V ] که می فرستد Y iبه ${\ displaystyle {\ overline {f_ {i}}} ،}$ جایی که ${\ displaystyle {\ overline {f_ {i}}}}$ کلاس معادل f i در k [ V ] است.

به طور مشابه ، برای هر همومورفیسم حلقه های مختصات ، یک شکل از انواع آفین را می توان در جهت مخالف ساخت. معکوس پاراگراف بالا، همریخت φ # : K [ W ] → K [ V ] می فرستد Y من به یک چند جمله ای ${\ displaystyle f_ {i} (X_ {1} ، \ نقاط ، X_ {n})}$ در k [ V ] . این مربوط به ریخت شناسی انواع φ : V → W تعریف شده با φ ( a 1 ، ...، a n ) = ( f 1 ( a 1 ، ...، a n )، ...، f m ( a 1 ، ... ، a n )).

ساختار ساختمان [ ویرایش ]

مجهز به ساختار ساختاری که در زیر توضیح داده شده است ، یک نوع آفین یک فضای حلقه ای محلی است .

با توجه به نوع آمین X با حلقه مختصات A ، برگه k -جبرها ${\ mathcal {O}} _ {X}$ با اجازه دادن تعریف می شود ${\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ گاما (U ، {\ mathcal {O}} _ {X})$ حلقه توابع منظم در U باشد.

اجازه دهید D ( f ) = { x | F ( X ) ≠ 0} برای هر F در . آنها پایه ای برای توپولوژی X و غیره تشکیل می دهند ${\ mathcal {O}} _ {X}$ با مقادیر آن در مجموعه های باز D ( f ) تعیین می شود. (همچنین نگاه کنید به: ماژول های#Sheaf مربوط به یک ماژول .)

واقعیت اصلی ، که به طور اساسی به Hilbert nullstellensatz متکی است ، موارد زیر است:

ادعا - $\ گاما (D (f) ، {\ mathcal {O}} _ {X}) = A [f^{-1}]$ برای هر F در .

اثبات: [5] شامل clear روشن است. در مقابل ، اجازه دهید g در سمت چپ باشد و $J = \ {h \ در A | hg \ در A \}$ ، که ایده آل است. اگر x در D ( f ) باشد ، از آنجا که g منظم نزدیک به x است ، مقداری وابسته باز D ( h ) از x وجود دارد که $g \ در k [D (h)] = A [h^{-1}]$ ؛ یعنی h m g در A است و بنابراین x در V ( J ) نیست. به عبارت دیگر، $V (J) \ زیرمجموعه \ {x | f (x) = 0 \}$ و بنابراین هیلبرت nullstellensatz نشان می دهد که f در رادیکال J است . یعنی ، $f^{n} g \ در A$ . $\مربع$

این ادعا ، اول از همه ، دلالت بر این دارد که X از آن زمان یک "حلقه محلی" است

${\ mathcal {O}} _ {X، x} = \ varinjlim _ {f (x) \ neq 0} A [f^{-1}] = A _ {{\ mathfrak {m}} _ {x}}$

جایی که ${\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {f \ in A | f (x) = 0 \}$ . ثانیاً ، ادعا دلالت بر این دارد ${\ mathcal {O}} _ {X}$ یک شاخ است ؛ در واقع ، می گوید اگر یک تابع در D ( f ) منظم (به صورت نقطه ای) باشد ، باید در حلقه مختصات D ( f ) باشد. یعنی "منظم بودن" را می توان با هم وصله کرد.

از این رو ، $(X ، {\ mathcal {O}} _ {X})$ یک فضای حلقه ای محلی است

قضیه سر در مورد قرابت [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه سر در مورد قرابت

یک قضیه از Serre یک ویژگی کوهومولوژیکی از انواع وابسته را ارائه می دهد. این می گوید که یک نوع جبری در صورت و فقط در صورت وجود دارد $H^{i} (X ، F) = 0$ برای هرچی $من> 0$ و هر شبه منسجم بافه F در X . (نک . قضیه کارتان B. ) این امر باعث می شود مطالعه کوهومولوژیک یک نوع آفین وجود نداشته باشد ، در تضاد شدید با مورد پیش بینی کننده که در آن گروههای دسته جمعی از بسته های خطی مورد توجه اصلی قرار می گیرند.

گروههای جبری وابسته [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه جبری خطی

یک نوع متغیر G در یک میدان بسته جبری k گروه جبری آفین نامیده می شود اگر دارای:

ضرب μ : G × G → G است، که یک مورفیسم به طور منظم که به پیروی از associativity اصل است که، به طوری که μ ( μ ( F ، G )، H) = μ ( F ، μ ( G، H)) برای تمام نقاط f ، g و h در G ؛
یک عنصر هویت e به طوری که μ ( e ، g ) = μ ( g ، e ) = g برای هر g در G ؛
مورفیسم معکوس ، پوشا و یکبهیک به طور منظم ι : G → G به طوری که μ ( ι (G)، G) = μ ( ι ( G)، G) = E برای هر gدر G .

اینها با هم ساختار گروهی را بر روی تنوع تعریف می کنند. مورفیسم ها فوق اغلب با استفاده از نماد های معمولی گروه نوشته شده است: μ ( F ، G ) می تواند به عنوان نوشته شده است F + G ، F ⋅ G، و یا FG ؛ معکوس ι ( g ) را می توان به صورت - g یا g −1 نوشت . با استفاده از نماد ضرب ، ارتباط ، هویت و قوانین معکوس را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: f ( gh ) = ( fg ) h، ge = eg = g و gg −1 = g −1 g = e .

بیشترین نمونه بارز از یک گروه جبری آفین است GL N ( K )، گروه خطی عمومی از درجه N . این گروه تبدیل خطی فضای بردار k n است . اگر پایه و اساس از K N ، ثابت است، این معادل به گروه است N × N ماتریس وارون با ورودی در ک . می توان نشان داد که هر گروه جبری وابسته به یک زیر گروه GL n ( k ) ایزومورف است. به همین دلیل ، گروه های جبری وابسته اغلب گروه های جبری خطی نامیده می شوند .

گروههای جبری وابسته نقش مهمی در طبقه بندی گروههای ساده محدود دارند ، زیرا گروههای نوع دروغ همه مجموعه ای از نقاط منطقی F q یک گروه جبری وابسته هستند ، که در آن F q یک محدوده محدود است.

کلیات [ ویرایش ]

اگر نویسنده ای نیاز داشته باشد که زمینه اصلی یک نوع آفین به صورت جبری بسته شود (مانند این مقاله) ، مجموعه های جبری آفین غیر قابل تقلیل در زمینه های بسته غیر جبری ، تعمیم انواع آفین است. این تعمیم به طور قابل توجهی شامل انواع وابسته به اعداد واقعی است .

یک نوع وابسته نقش یک نمودار محلی را برای انواع جبری ایفا می کند . به این معنی که انواع عمومی جبری مانند انواع پیش بینی شده با چسباندن انواع آفین به دست می آیند. ساختارهای خطی که به انواع متصل شده اند نیز انواع بی اهمیتی هستند. به عنوان مثال ، فضاهای مماس ، الیاف دسته های بردار جبری .

یک نوع آفین یک مورد خاص از یک طرح آفین است ، یک فضای حلقه ای محلی که در طیف یک حلقه تعویض (تا معادل دسته ها ) ایزومورف است . هر واریته آفین دارای یک طرح آمین مربوط به آن است: اگر V (I) یک نوع آفین در k n با حلقه مختصات R = k [ x 1 ، ... ، x n ] / I باشد ، سپس طرح مربوط به V ( I) است تنظیمات ( R )، مجموعه ای از ایده آل های اول از R . طرح آمین دارای "نقاط کلاسیک" است که با نقاط تنوع (و از این رو حداکثر ایده آلهای حلقه مختصات تنوع) مطابقت دارد ، و همچنین یک امتیاز برای هر زیرمجموعه بسته از تنوع (این نقاط مربوط به اولین و غیر حداکثر است ایده آل های حلقه مختصات). این امر با واگذاری نقطه باز به هر یک از زیر واریته های بسته که متراکم در زیر واریته است ، تصور واضح تری از "نقطه عمومی" یک نوع آفین ایجاد می کند. به طور کلی ، یک طرح آفین یک نوع آفین است اگر در یک میدان بسته جبری k کاهش ، کاهش ناپذیر و از نوع محدود باشد .

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ رید (1988)
^ Milne (2017) ، Ch. 5
^ رید (1988) ، ص. 94
^ این به این دلیل است که ، در یک زمینه جبری بسته ، محصول تنسور دامنه های انتگرال یک حوزه انتگرال است. دیدن جدایی ناپذیر دامنه # خواص .
^ مامفورد 1999 ، چ. I ، § 4. پیشنهاد 1.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_variety

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 17:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

انواع آفین

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

منحنی هواپیما مکعب داده شده توسط $y^{2} = x^{2} (x+1)$

در هندسه جبری ، یک انواع آفین ، و یا تنوع جبری و آفین ، بیش از یک میدان بسته جبری K صفر لوکوس در است فضای آفین به K N برخی از خانواده محدود از چند جمله ای از N متغیر با ضرایب در K که به تولید ایده آل اول . اگر شرایط ایجاد یک ایده آل اولیه حذف شود ، چنین مجموعه ای مجموعه جبری (آفین ) نامیده می شود . یک واریته باز Zariski از یک نوع آفین ، یک گونه شبه آفین نامیده می شود .

برخی از متون نیازی به ایده آل اصلی ندارند و غیرقابل تقلیل را نوعی جبری تعریف می کنند که توسط یک ایده آل برتر تعریف شده است. این مقاله به مکانهای صفر ایده های نه لزوماً اصلی به عنوان مجموعه های جبری وابسته اشاره می کند .

در برخی زمینه ها ، تشخیص میدان k که ضرایب در نظر گرفته می شود مفید است ، از میدان جبری بسته K (حاوی k ) که مکان صفر در آن در نظر گرفته شده است (یعنی نقاط تنوع آفین در K قرار دارند) ن ) در این مورد، تنوع است گفت: تعریف بیش از K و نقطه از انواع که متعلق به ک N گفته K -rational یا منطقی بیش از K . در مورد متداول که k میدان اعداد حقیقی است ، نقطه k -منطقی را نقطه واقعی می نامند. [1] هنگامی که میدان k مشخص نشده باشد ، نقطه منطقی نقطه ای است که بر اعداد گویا منطقی باشد. به عنوان مثال، آخرین قضیه فرما ادعا می کند که تنوع جبری آفین به (آن یک منحنی است) تعریف شده توسط X N + Y N - 1 = 0 است نقاط گویا برای هر عدد صحیح n را بیشتر از دو.

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

مجموعه جبری آفین به مجموعه ای از راه حل های در میدان بسته جبری است ک از یک سیستم معادلات چند جمله ای با ضرایب در ک . به طور دقیق تر ، اگر ${\ displaystyle f_ {1} ، \ ldots ، f_ {m}}$ چند جمله ای با ضریب در k هستند ، آنها مجموعه جبری وابسته را تعریف می کنند

${\ displaystyle V (f_ {1}، \ ldots، f_ {m}) = \ left \ {(a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) \ in k^{n} \؛ | \؛ f_ {1} (a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) = \ ldots = f_ {m} (a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) = 0 \ right \}.}$

یک نوع آفینی (جبری) یک مجموعه جبری آفین است که اتحادیه دو زیرمجموعه جبری آفین مناسب نیست. چنین مجموعه جبری وابسته اغلب گفته می شود که قابل کاهش نیست .

اگر X یک مجموعه جبری وابسته به یک I ایده آل باشد ، حلقه ضریب است ${\ displaystyle R = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]/I}$ نامیده می شود حلقه هماهنگ از X . اگر X یک نوع آفین باشد ، من اول هستم ، بنابراین حلقه مختصات یک حوزه انتگرال است. عناصر حلقه مختصات R نیز توابع منظم یا توابع چند جمله ای روی انواع نامیده می شوند . آنها حلقه عملکردهای منظم بر روی انواع یا به سادگی حلقه انواع را تشکیل می دهند . به عبارت دیگر (نگاه کنید به #ساختار ساختمان ) ، این فضای بخش های جهانی شف ساختار X است .

بعد از انواع یک عدد صحیح مربوط به هر انواع است، و حتی به هر مجموعه جبری، که اهمیت متکی بر تعداد زیادی از تعاریف معادل آن (نگاه کنید به ابعاد تنوع جبری ).

مثالها [ ویرایش ]

متمم یک hypersurface در انواع آفین به X (این است که X - { F = 0} برای برخی از چند جمله ای F ) آفین است. معادلات تعریف آن توسط دست آمده اشباع توسط F ایده آل تعریف X . بنابراین حلقه مختصات محلی سازی است $k [X] [f^{-1}]$ .
به خصوص، ${\ displaystyle \ mathbb {C} -0}$ (خط وابسته با مبدا حذف شده) آفین است.
از سوی دیگر، ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2} -0}$ (صفحه آفین با منشا حذف شده) یک نوع آفین نیست. نک Hartogs قضیه پسوند .
زیرگروه های codimension one در فضای وابسته $k^{n}$ دقیقاً ابر سطوح هستند ، یعنی گونه هایی که با یک چند جمله ای واحد تعریف می شوند.
عادی از تنوع و آفین غیر قابل تقلیل آفین است. حلقه مختصات نرمال شدن ، بستن یکپارچه حلقه مختصات انواع است. (به طور مشابه ، عادی سازی یک نوع فرافکنی یک نوع فرافکنی است.)

نکات منطقی [ ویرایش ]

رسم نقاط واقعی منحنی y 2 = x 3 - x 2 - 16 x .

این بخش نیاز به توسعه دارد . با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( مارس 2013 )

مقاله اصلی: نکته منطقی

برای انواع وابسته ${\ displaystyle V \ subseteq K^{n}}$ بیش از یک میدان بسته جبری K ، و یک رشته K از K ، یک ک - نقطه نظر منطقی از V یک نقطه است ${\ displaystyle p \ in V \ cap k^{n}.}$ یعنی نقطه ای از V که مختصات آن عناصر k هستند . مجموعه ای از K نقاط -rational از تنوع و آفین V اغلب نشان داده می شود ${\ displaystyle V (k).}$ اغلب، در صورتی که زمینه پایه اعداد مختلط است C ، نقاط که R -rational (که در آن R است اعداد حقیقی ) نامیده می شوند نقاط واقعی از تنوع، و Q نقاط -rational ( Q اعداد گویا ) اغلب به سادگی به نام منطقی نقاط .

به عنوان مثال، (1، 0) یک سوال -rational و R نقطه -rational از انواع ${\ displaystyle V = V (x^{2}+y^{2} -1) \ subseteq \ mathbf {C}^{2} ،}$ همانطور که در V است و همه مختصات آن صحیح هستند. نقطه ( √ 2 /2 ، √ 2 /2) یک نقطه واقعی V است که Q- منطقی نیست ، و ${\ displaystyle (i ، {\ sqrt {2}})}$ نقطه V است که R- منطقی نیست. این تنوع را دایره می نامند ، زیرا مجموعه نقاط R- منطقی آن دایره واحد است . این دارای بی نهایت نقاط Q- منطقی است که نقاط هستند

${\ displaystyle \ left ({\ frac {1-t^{2}} {1+t^{2}}} ، {\ frac {2t} {1+t^{2}}} \ right)}$

جایی که t یک عدد منطقی است.

دایره ${\ displaystyle V (x^{2}+y^{2} -3) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}}$ نمونه ای از منحنی جبری درجه دو است که هیچ نقطه عقلانی Q ندارد . این را می توان از این واقعیت استنباط کرد که ، modulo 4 ، مجموع دو مربع نمی تواند 3 باشد.

می توان ثابت کرد که منحنی جبری درجه دو با نقطه عقلانی Q دارای بی نهایت نقاط Q- منطقی دیگر است . هر یک از این نقاط دومین نقطه تقاطع منحنی و خطی با شیب منطقی است که از نقطه عقلانی عبور می کند.

تنوع پیچیده ${\ displaystyle V (x^{2}+y^{2} +1) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}}$ هیچ R نقاط -rational، اما بسیاری از نقاط مختلط.

اگر V انواع affine به است C 2 تعریف بیش از اعداد پیچیده C از R نقاط -rational از V را می توان در یک تکه کاغذ یا با نرم افزار نمودار کشیده شده است. شکل سمت راست نقاط منطقی R را نشان می دهد ${\ displaystyle V (y^{2} -x^{3}+x^{2}+16x) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}.}$

نقاط منفرد و فضای مماس [ ویرایش ]

بگذارید V یک نوع آفین باشد که توسط چند جمله ای ها تعریف شده است ${\ displaystyle f_ {1}، \ dots، f_ {r} \ in k [x_ {1}، \ dots، x_ {n}]،}$ و ${\ displaystyle a = (a_ {1} ، \ نقاط ، a_ {n})}$ نقطه V باشد.

ماتریس ژاکوبین J V ( ) از V در ماتریس مشتق جزئی است

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial {x_ {i}}}} (a_ {1} ، \ dots، a_ {n}).}$

نکته است به طور منظم در صورتی که رتبه از J V ( ) برابر با codimension از V و منحصر به فرد در غیر این صورت.

اگر به طور منظم است، فضای مماس به V در است فضا و آفین از $k^{n}$ تعریف شده توسط معادلات خطی [2]

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial {x_ {i}}}} (a_ {1} ، \ نقاط ، a_ {n} ) (x_ {i} -a_ {i}) = 0 ، \ quad j = 1 ، \ نقاط ، r.}$

اگر نقطه منفرد باشد ، زیرفضای متقابل تعریف شده توسط این معادلات را برخی نویسندگان فضای مماس نیز می نامند ، در حالی که نویسندگان دیگر می گویند در یک نقطه واحد فضای مماسی وجود ندارد. [3] یک تعریف ذاتی تر ، که از مختصات استفاده نمی کند ، توسط فضای مماس زاریسکی ارائه شده است .

توپولوژی زاریسکی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی زاریسکی

مجموعه های جبری وابسته k n مجموعه های بسته توپولوژی روی k n را تشکیل می دهند که توپولوژی زاریسکی نامیده می شود . این از این واقعیت ناشی می شود که ${\ displaystyle V (0) = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}] ،}$ ${\ displaystyle V (1) = \ تخلیه ،}$ ${\ displaystyle V (S) \ cup V (T) = V (ST) ،}$ و ${\ displaystyle V (S) \ cap V (T) = V (S+T)}$ (در واقع ، یک تقاطع قابل شمارش از مجموعه های جبری آفین یک مجموعه جبری آفین است).

توپولوژی زاریسکی را می توان با استفاده از مجموعه های باز اولیه نیز توصیف کرد ، جایی که مجموعه های باز شده زاریسکی اتحادیه های قابل شمارش مجموعه ای از فرم هستند{ ${\ displaystyle U_ {f} = \ {p \ in k^{n}: f (p) \ neq 0 \}}$ برای ${\ displaystyle f \ in k [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}].}$ این مجموعه های باز اولیه مکمل k n مجموعه های بسته هستند ${\ displaystyle V (f) = D_ {f} = \ {p \ in k^{n}: f (p) = 0 \} ،}$ صفر جایگاه یک چند جمله ای واحد اگر K است نوتری (به عنوان مثال، اگر K است درست یا دامنه اصلی ایده آل )، سپس هر ایده آل از K است متناهی-تولید، بنابراین هر مجموعه باز یک اتحادیه متناهی از مجموعه اولیه باز است.

اگر V یک زیرمجموعه وابسته از k n باشد ، توپولوژی زاریسکی در V به سادگی توپولوژی زیر فضایی است که از توپولوژی زاریسکی در k n به ارث رسیده است .

مطابقت هندسه - جبر [ ویرایش ]

ساختار هندسی یک نوع آفین به طور عمیقی با ساختار جبری حلقه مختصات آن مرتبط است. اجازه دهید I و J ایده آل k [V] ، حلقه مختصات یک نوع وابسته V باشند . اجازه دهید I (V) مجموعه همه چند جمله ای ها در باشد ${\ displaystyle k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}] ،}$ که در V ناپدید می شوند و اجازه می دهند ${\ sqrt {I}}$ نشان دهنده رادیکال I ایده آل ، مجموعه ای از چند جمله ای f است که مقداری قدرت f در I است . دلیل اینکه میدان پایه باید به صورت جبری بسته شود این است که انواع آفین به طور خودکار nullstellensatz هیلبرت را برآورده می کنند : برای یک J ایده آل در ${\ displaystyle k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}] ،}$ جایی که k یک میدان جبری بسته است ، ${\ displaystyle I (V (J)) = {\ sqrt {J}}.}$

آرمان رادیکال (آرمان که خود رادیکال خود هستند) از K [V] مربوط به زیر مجموعه های جبری V . در واقع ، برای ایده آل های رادیکال ${\ displaystyle I \ subseteq J}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle V (J) \ subseteq V (I).}$ بنابراین V (I) = V (J) اگر و فقط اگر I = J باشد. علاوه بر این ، تابع ای که یک مجموعه جبری W را با W جمع می کند و I (W) را بر می گرداند ، مجموعه ای از همه توابع که در تمام نقاط W محو می شوند ، معکوس تابع است که یک مجموعه جبری را به یک ایده آل رادیکال ، توسط nullstellensatz اختصاص می دهد. از این رو مطابقت بین مجموعه های جبری وابسته و ایده آل های رادیکال یک فرضیه است. حلقه مختصات یک مجموعه جبری وابسته کاهش می یابد (بدون نیرو) ، زیرا ایده آل من در حلقه R اگر و تنها در صورتی که حلقه ضریب R/I کاهش یابد رادیکال است.

ایده آل های اولیه حلقه مختصات مربوط به زیرگروه های وابسته است. مجموعه جبری وابسته V (I) را می توان به عنوان اتحاد دو مجموعه جبری دیگر نوشت اگر و تنها در صورتی که I = JK برای ایده آلهای مناسب J و K برابر با I نباشد (در این صورت ${\ displaystyle V (I) = V (J) \ cup V (K)}$ ) این در صورتی است که و تنها در صورتی که من اولین نفر نباشم . زیرگونه های وابسته دقیقاً آنهایی هستند که حلقه مختصات آنها یک حوزه جدایی ناپذیر است. این امر به این دلیل است که ایده آل اگر و تنها در صورتی که ضریب حلقه توسط ایده آل یک حوزه انتگرال باشد ، اول است.

حداکثر آرمانهای k [V] با نقاط V مطابقت دارد . اگر من و J آرمان های رادیکال هستیم ، پس ${\ displaystyle V (J) \ subseteq V (I)}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle I \ subseteq J.}$ از آنجا که ایده آل های حداکثر رادیکال هستند ، ایده آل های حداکثر با حداقل مجموعه های جبری (آنهایی که هیچ زیر مجموعه جبری مناسبی ندارند) مطابقت دارد ، که نقاط V هستند . اگر V یک نوع آفین با حلقه مختصات است ${\ displaystyle R = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]/\ langle f_ {1} ، \ ldots ، f_ {m} \ rangle ،}$ این مکاتبات از طریق نقشه صریح می شود $(a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) \ mapsto \ langle {\ overline {x_ {1} -a_ {1}}}، \ ldots، {\ overline {x_ {n} -a_ {n} }} \ rangle ،$ جایی که ${\ overline {x_ {i} -a_ {i}}}$ تصویر را در جبر ضریب R چند جمله ای نشان می دهد $x_ {i} -a_ {i}.$ یک زیر مجموعه جبری یک نقطه است اگر و فقط اگر حلقه مختصات زیرمجموعه یک میدان باشد ، زیرا ضریب یک حلقه توسط حداکثر ایده آل یک میدان است.

جدول زیر خلاصه این مکاتبات را برای زیر مجموعه های جبری از انواع مختلف و ایده آل های حلقه مختصات مربوطه نشان می دهد:

نوع مجموعه جبری	نوع ایده آل	نوع حلقه مختصات
زیر مجموعه جبری آفین	ایده آل رادیکال	حلقه کاهش یافته
واریته فرعی	ایده آل برتر	دامنه انتگرال
نقطه	حداکثر ایده آل	رشته

محصولات انواع آفین [ ویرایش ]

محصولی از انواع آفین را می توان با استفاده از ایزومورفیسم A n × A m = A n + m تعریف کرد ، سپس محصول را در این فضای آفین جدید جاسازی کرد. بگذارید A n و A m به ترتیب دارای حلقه های مختصات k [ x 1 ، ... ، x n ] و k [ y 1 ، ... ، y m ] باشند ، به طوری که محصول آنها A n + m دارای حلقه مختصات k [ x باشد1 ، ... ، x n ، y 1 ، ... ، y m ] . اجازه دهید V = V ( F 1 ، ...، ج N ) یک زیر مجموعه جبری N ، و W = V ( G 1 ، ...، GM ) یک زیر مجموعه جبری m . سپس هر f i چند جمله ای در k [ x 1 ، ... ، x n است] ، و هر g j در k [ y 1 ، ... ، y m ] است . ضرب از V و W به عنوان مجموعه جبری تعریف V × W = V ( F 1 ، ...، ج N ، G 1 ، ...، گرم M ) در N + m. اگر هر V ، W غیر قابل تقلیل باشد ، محصول قابل کاهش نیست. [4]

این مهم است که توجه داشته باشید که توپولوژی ملاقات زاریسکی در N × متر است که نمی کالا توپولوژیکی از توپولوژی ملاقات زاریسکی در دو فضا. در واقع ، توپولوژی محصول توسط محصولات مجموعه های باز اصلی U f = A n - V ( f ) و T g = A m - V ( g ) ایجاد می شود. بنابراین ، چند جمله ای هایی که در k [ x 1 ، ... ، x n ، y 1 ، ... ، y m ] اما نه در k [ x 1 ، ... ، x n ] یا k [ y 1 ، ... ، y m ] مجموعه های جبری را تعریف می کند که در توپولوژی زاریسکی در A n × A m هستند ، اما نه در توپولوژی محصول

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ ساعت 17:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

نمونه هایی از کاربردهای پیش فیلترها [ ویرایش ]

یکنواختی ها و پیش فیلترهای کوشی [ ویرایش ]

همگرایی شبکه های مجموعه [ ویرایش ]

توپولوژی مجموعه پیش فیلترها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ویژگی های توپولوژیکی و پیش فیلترها [ ویرایش ]

توپولوژی ها و پیش فیلترها [ ویرایش ]

نمونه هایی از روابط بین فیلترها و توپولوژی [ ویرایش ]

فیلترهای فرعی و زیر شبکه ها [ ویرایش ]

فیلترها و شبکه ها [ ویرایش ]

شبکه به پیش فیلترها [ ویرایش ]

پیش فیلترهای شبکه ها [ ویرایش ]

محدودیت عملکردها به عنوان محدوده پیش فیلترها [ ویرایش ]

همگرایی ، محدودیت ها و نقاط خوشه ای [ ویرایش ]

محدودیت ها و همگرایی [ ویرایش ]

نقاط خوشه ای [ ویرایش ]

خواص و روابط [ ویرایش ]

محصولات پیش فیلترها [ ویرایش ]

تنظیم تفریق و چند مثال [ ویرایش ]

تنظیم خصوصیات نظری و ساختارهای مربوط به توپولوژی [ ویرایش ]

ردیابی و مشبک [ ویرایش ]

تصاویر و تصاویر پیش فرض تحت توابع [ ویرایش ]

ریزتر/درشت تر ، تابع و مشبک [ ویرایش ]

فیلترها و پیش فیلترها [ ویرایش ]

مقدمات ، نماد و مفاهیم اساسی [ ویرایش ]

انگیزه [ ویرایش ]

فهرست

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

فهرست

طیف ابتدایی [ ویرایش ]

ریخت شناسی انواع آفین [ ویرایش ]

ساختار ساختمان [ ویرایش ]

قضیه سر در مورد قرابت [ ویرایش ]

گروههای جبری وابسته [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

نکات منطقی [ ویرایش ]

نقاط منفرد و فضای مماس [ ویرایش ]

توپولوژی زاریسکی [ ویرایش ]

مطابقت هندسه - جبر [ ویرایش ]

محصولات انواع آفین [ ویرایش ]

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها