انواع آفین

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 17:10

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

منحنی هواپیما مکعب داده شده توسط $y^{2} = x^{2} (x+1)$

در هندسه جبری ، یک انواع آفین ، و یا تنوع جبری و آفین ، بیش از یک میدان بسته جبری K صفر لوکوس در است فضای آفین به K N برخی از خانواده محدود از چند جمله ای از N متغیر با ضرایب در K که به تولید ایده آل اول . اگر شرایط ایجاد یک ایده آل اولیه حذف شود ، چنین مجموعه ای مجموعه جبری (آفین ) نامیده می شود . یک واریته باز Zariski از یک نوع آفین ، یک گونه شبه آفین نامیده می شود .

برخی از متون نیازی به ایده آل اصلی ندارند و غیرقابل تقلیل را نوعی جبری تعریف می کنند که توسط یک ایده آل برتر تعریف شده است. این مقاله به مکانهای صفر ایده های نه لزوماً اصلی به عنوان مجموعه های جبری وابسته اشاره می کند .

در برخی زمینه ها ، تشخیص میدان k که ضرایب در نظر گرفته می شود مفید است ، از میدان جبری بسته K (حاوی k ) که مکان صفر در آن در نظر گرفته شده است (یعنی نقاط تنوع آفین در K قرار دارند) ن ) در این مورد، تنوع است گفت: تعریف بیش از K و نقطه از انواع که متعلق به ک N گفته K -rational یا منطقی بیش از K . در مورد متداول که k میدان اعداد حقیقی است ، نقطه k -منطقی را نقطه واقعی می نامند. [1] هنگامی که میدان k مشخص نشده باشد ، نقطه منطقی نقطه ای است که بر اعداد گویا منطقی باشد. به عنوان مثال، آخرین قضیه فرما ادعا می کند که تنوع جبری آفین به (آن یک منحنی است) تعریف شده توسط X N + Y N - 1 = 0 است نقاط گویا برای هر عدد صحیح n را بیشتر از دو.

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

مجموعه جبری آفین به مجموعه ای از راه حل های در میدان بسته جبری است ک از یک سیستم معادلات چند جمله ای با ضرایب در ک . به طور دقیق تر ، اگر ${\ displaystyle f_ {1} ، \ ldots ، f_ {m}}$ چند جمله ای با ضریب در k هستند ، آنها مجموعه جبری وابسته را تعریف می کنند

${\ displaystyle V (f_ {1}، \ ldots، f_ {m}) = \ left \ {(a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) \ in k^{n} \؛ | \؛ f_ {1} (a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) = \ ldots = f_ {m} (a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) = 0 \ right \}.}$

یک نوع آفینی (جبری) یک مجموعه جبری آفین است که اتحادیه دو زیرمجموعه جبری آفین مناسب نیست. چنین مجموعه جبری وابسته اغلب گفته می شود که قابل کاهش نیست .

اگر X یک مجموعه جبری وابسته به یک I ایده آل باشد ، حلقه ضریب است ${\ displaystyle R = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]/I}$ نامیده می شود حلقه هماهنگ از X . اگر X یک نوع آفین باشد ، من اول هستم ، بنابراین حلقه مختصات یک حوزه انتگرال است. عناصر حلقه مختصات R نیز توابع منظم یا توابع چند جمله ای روی انواع نامیده می شوند . آنها حلقه عملکردهای منظم بر روی انواع یا به سادگی حلقه انواع را تشکیل می دهند . به عبارت دیگر (نگاه کنید به #ساختار ساختمان ) ، این فضای بخش های جهانی شف ساختار X است .

بعد از انواع یک عدد صحیح مربوط به هر انواع است، و حتی به هر مجموعه جبری، که اهمیت متکی بر تعداد زیادی از تعاریف معادل آن (نگاه کنید به ابعاد تنوع جبری ).

مثالها [ ویرایش ]

متمم یک hypersurface در انواع آفین به X (این است که X - { F = 0} برای برخی از چند جمله ای F ) آفین است. معادلات تعریف آن توسط دست آمده اشباع توسط F ایده آل تعریف X . بنابراین حلقه مختصات محلی سازی است $k [X] [f^{-1}]$ .
به خصوص، ${\ displaystyle \ mathbb {C} -0}$ (خط وابسته با مبدا حذف شده) آفین است.
از سوی دیگر، ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2} -0}$ (صفحه آفین با منشا حذف شده) یک نوع آفین نیست. نک Hartogs قضیه پسوند .
زیرگروه های codimension one در فضای وابسته $k^{n}$ دقیقاً ابر سطوح هستند ، یعنی گونه هایی که با یک چند جمله ای واحد تعریف می شوند.
عادی از تنوع و آفین غیر قابل تقلیل آفین است. حلقه مختصات نرمال شدن ، بستن یکپارچه حلقه مختصات انواع است. (به طور مشابه ، عادی سازی یک نوع فرافکنی یک نوع فرافکنی است.)

نکات منطقی [ ویرایش ]

رسم نقاط واقعی منحنی y 2 = x 3 - x 2 - 16 x .

این بخش نیاز به توسعه دارد . با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( مارس 2013 )

مقاله اصلی: نکته منطقی

برای انواع وابسته ${\ displaystyle V \ subseteq K^{n}}$ بیش از یک میدان بسته جبری K ، و یک رشته K از K ، یک ک - نقطه نظر منطقی از V یک نقطه است ${\ displaystyle p \ in V \ cap k^{n}.}$ یعنی نقطه ای از V که مختصات آن عناصر k هستند . مجموعه ای از K نقاط -rational از تنوع و آفین V اغلب نشان داده می شود ${\ displaystyle V (k).}$ اغلب، در صورتی که زمینه پایه اعداد مختلط است C ، نقاط که R -rational (که در آن R است اعداد حقیقی ) نامیده می شوند نقاط واقعی از تنوع، و Q نقاط -rational ( Q اعداد گویا ) اغلب به سادگی به نام منطقی نقاط .

به عنوان مثال، (1، 0) یک سوال -rational و R نقطه -rational از انواع ${\ displaystyle V = V (x^{2}+y^{2} -1) \ subseteq \ mathbf {C}^{2} ،}$ همانطور که در V است و همه مختصات آن صحیح هستند. نقطه ( √ 2 /2 ، √ 2 /2) یک نقطه واقعی V است که Q- منطقی نیست ، و ${\ displaystyle (i ، {\ sqrt {2}})}$ نقطه V است که R- منطقی نیست. این تنوع را دایره می نامند ، زیرا مجموعه نقاط R- منطقی آن دایره واحد است . این دارای بی نهایت نقاط Q- منطقی است که نقاط هستند

${\ displaystyle \ left ({\ frac {1-t^{2}} {1+t^{2}}} ، {\ frac {2t} {1+t^{2}}} \ right)}$

جایی که t یک عدد منطقی است.

دایره ${\ displaystyle V (x^{2}+y^{2} -3) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}}$ نمونه ای از منحنی جبری درجه دو است که هیچ نقطه عقلانی Q ندارد . این را می توان از این واقعیت استنباط کرد که ، modulo 4 ، مجموع دو مربع نمی تواند 3 باشد.

می توان ثابت کرد که منحنی جبری درجه دو با نقطه عقلانی Q دارای بی نهایت نقاط Q- منطقی دیگر است . هر یک از این نقاط دومین نقطه تقاطع منحنی و خطی با شیب منطقی است که از نقطه عقلانی عبور می کند.

تنوع پیچیده ${\ displaystyle V (x^{2}+y^{2} +1) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}}$ هیچ R نقاط -rational، اما بسیاری از نقاط مختلط.

اگر V انواع affine به است C 2 تعریف بیش از اعداد پیچیده C از R نقاط -rational از V را می توان در یک تکه کاغذ یا با نرم افزار نمودار کشیده شده است. شکل سمت راست نقاط منطقی R را نشان می دهد ${\ displaystyle V (y^{2} -x^{3}+x^{2}+16x) \ subseteq \ mathbf {C}^{2}.}$

نقاط منفرد و فضای مماس [ ویرایش ]

بگذارید V یک نوع آفین باشد که توسط چند جمله ای ها تعریف شده است ${\ displaystyle f_ {1}، \ dots، f_ {r} \ in k [x_ {1}، \ dots، x_ {n}]،}$ و ${\ displaystyle a = (a_ {1} ، \ نقاط ، a_ {n})}$ نقطه V باشد.

ماتریس ژاکوبین J V ( ) از V در ماتریس مشتق جزئی است

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial {x_ {i}}}} (a_ {1} ، \ dots، a_ {n}).}$

نکته است به طور منظم در صورتی که رتبه از J V ( ) برابر با codimension از V و منحصر به فرد در غیر این صورت.

اگر به طور منظم است، فضای مماس به V در است فضا و آفین از $k^{n}$ تعریف شده توسط معادلات خطی [2]

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial {x_ {i}}}} (a_ {1} ، \ نقاط ، a_ {n} ) (x_ {i} -a_ {i}) = 0 ، \ quad j = 1 ، \ نقاط ، r.}$

اگر نقطه منفرد باشد ، زیرفضای متقابل تعریف شده توسط این معادلات را برخی نویسندگان فضای مماس نیز می نامند ، در حالی که نویسندگان دیگر می گویند در یک نقطه واحد فضای مماسی وجود ندارد. [3] یک تعریف ذاتی تر ، که از مختصات استفاده نمی کند ، توسط فضای مماس زاریسکی ارائه شده است .

توپولوژی زاریسکی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی زاریسکی

مجموعه های جبری وابسته k n مجموعه های بسته توپولوژی روی k n را تشکیل می دهند که توپولوژی زاریسکی نامیده می شود . این از این واقعیت ناشی می شود که ${\ displaystyle V (0) = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}] ،}$ ${\ displaystyle V (1) = \ تخلیه ،}$ ${\ displaystyle V (S) \ cup V (T) = V (ST) ،}$ و ${\ displaystyle V (S) \ cap V (T) = V (S+T)}$ (در واقع ، یک تقاطع قابل شمارش از مجموعه های جبری آفین یک مجموعه جبری آفین است).

توپولوژی زاریسکی را می توان با استفاده از مجموعه های باز اولیه نیز توصیف کرد ، جایی که مجموعه های باز شده زاریسکی اتحادیه های قابل شمارش مجموعه ای از فرم هستند{ ${\ displaystyle U_ {f} = \ {p \ in k^{n}: f (p) \ neq 0 \}}$ برای ${\ displaystyle f \ in k [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}].}$ این مجموعه های باز اولیه مکمل k n مجموعه های بسته هستند ${\ displaystyle V (f) = D_ {f} = \ {p \ in k^{n}: f (p) = 0 \} ،}$ صفر جایگاه یک چند جمله ای واحد اگر K است نوتری (به عنوان مثال، اگر K است درست یا دامنه اصلی ایده آل )، سپس هر ایده آل از K است متناهی-تولید، بنابراین هر مجموعه باز یک اتحادیه متناهی از مجموعه اولیه باز است.

اگر V یک زیرمجموعه وابسته از k n باشد ، توپولوژی زاریسکی در V به سادگی توپولوژی زیر فضایی است که از توپولوژی زاریسکی در k n به ارث رسیده است .

مطابقت هندسه - جبر [ ویرایش ]

ساختار هندسی یک نوع آفین به طور عمیقی با ساختار جبری حلقه مختصات آن مرتبط است. اجازه دهید I و J ایده آل k [V] ، حلقه مختصات یک نوع وابسته V باشند . اجازه دهید I (V) مجموعه همه چند جمله ای ها در باشد ${\ displaystyle k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}] ،}$ که در V ناپدید می شوند و اجازه می دهند ${\ sqrt {I}}$ نشان دهنده رادیکال I ایده آل ، مجموعه ای از چند جمله ای f است که مقداری قدرت f در I است . دلیل اینکه میدان پایه باید به صورت جبری بسته شود این است که انواع آفین به طور خودکار nullstellensatz هیلبرت را برآورده می کنند : برای یک J ایده آل در ${\ displaystyle k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}] ،}$ جایی که k یک میدان جبری بسته است ، ${\ displaystyle I (V (J)) = {\ sqrt {J}}.}$

آرمان رادیکال (آرمان که خود رادیکال خود هستند) از K [V] مربوط به زیر مجموعه های جبری V . در واقع ، برای ایده آل های رادیکال ${\ displaystyle I \ subseteq J}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle V (J) \ subseteq V (I).}$ بنابراین V (I) = V (J) اگر و فقط اگر I = J باشد. علاوه بر این ، تابع ای که یک مجموعه جبری W را با W جمع می کند و I (W) را بر می گرداند ، مجموعه ای از همه توابع که در تمام نقاط W محو می شوند ، معکوس تابع است که یک مجموعه جبری را به یک ایده آل رادیکال ، توسط nullstellensatz اختصاص می دهد. از این رو مطابقت بین مجموعه های جبری وابسته و ایده آل های رادیکال یک فرضیه است. حلقه مختصات یک مجموعه جبری وابسته کاهش می یابد (بدون نیرو) ، زیرا ایده آل من در حلقه R اگر و تنها در صورتی که حلقه ضریب R/I کاهش یابد رادیکال است.

ایده آل های اولیه حلقه مختصات مربوط به زیرگروه های وابسته است. مجموعه جبری وابسته V (I) را می توان به عنوان اتحاد دو مجموعه جبری دیگر نوشت اگر و تنها در صورتی که I = JK برای ایده آلهای مناسب J و K برابر با I نباشد (در این صورت ${\ displaystyle V (I) = V (J) \ cup V (K)}$ ) این در صورتی است که و تنها در صورتی که من اولین نفر نباشم . زیرگونه های وابسته دقیقاً آنهایی هستند که حلقه مختصات آنها یک حوزه جدایی ناپذیر است. این امر به این دلیل است که ایده آل اگر و تنها در صورتی که ضریب حلقه توسط ایده آل یک حوزه انتگرال باشد ، اول است.

حداکثر آرمانهای k [V] با نقاط V مطابقت دارد . اگر من و J آرمان های رادیکال هستیم ، پس ${\ displaystyle V (J) \ subseteq V (I)}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle I \ subseteq J.}$ از آنجا که ایده آل های حداکثر رادیکال هستند ، ایده آل های حداکثر با حداقل مجموعه های جبری (آنهایی که هیچ زیر مجموعه جبری مناسبی ندارند) مطابقت دارد ، که نقاط V هستند . اگر V یک نوع آفین با حلقه مختصات است ${\ displaystyle R = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]/\ langle f_ {1} ، \ ldots ، f_ {m} \ rangle ،}$ این مکاتبات از طریق نقشه صریح می شود $(a_ {1}، \ ldots، a_ {n}) \ mapsto \ langle {\ overline {x_ {1} -a_ {1}}}، \ ldots، {\ overline {x_ {n} -a_ {n} }} \ rangle ،$ جایی که ${\ overline {x_ {i} -a_ {i}}}$ تصویر را در جبر ضریب R چند جمله ای نشان می دهد $x_ {i} -a_ {i}.$ یک زیر مجموعه جبری یک نقطه است اگر و فقط اگر حلقه مختصات زیرمجموعه یک میدان باشد ، زیرا ضریب یک حلقه توسط حداکثر ایده آل یک میدان است.

جدول زیر خلاصه این مکاتبات را برای زیر مجموعه های جبری از انواع مختلف و ایده آل های حلقه مختصات مربوطه نشان می دهد:

نوع مجموعه جبری	نوع ایده آل	نوع حلقه مختصات
زیر مجموعه جبری آفین	ایده آل رادیکال	حلقه کاهش یافته
واریته فرعی	ایده آل برتر	دامنه انتگرال
نقطه	حداکثر ایده آل	رشته

محصولات انواع آفین [ ویرایش ]

محصولی از انواع آفین را می توان با استفاده از ایزومورفیسم A n × A m = A n + m تعریف کرد ، سپس محصول را در این فضای آفین جدید جاسازی کرد. بگذارید A n و A m به ترتیب دارای حلقه های مختصات k [ x 1 ، ... ، x n ] و k [ y 1 ، ... ، y m ] باشند ، به طوری که محصول آنها A n + m دارای حلقه مختصات k [ x باشد1 ، ... ، x n ، y 1 ، ... ، y m ] . اجازه دهید V = V ( F 1 ، ...، ج N ) یک زیر مجموعه جبری N ، و W = V ( G 1 ، ...، GM ) یک زیر مجموعه جبری m . سپس هر f i چند جمله ای در k [ x 1 ، ... ، x n است] ، و هر g j در k [ y 1 ، ... ، y m ] است . ضرب از V و W به عنوان مجموعه جبری تعریف V × W = V ( F 1 ، ...، ج N ، G 1 ، ...، گرم M ) در N + m. اگر هر V ، W غیر قابل تقلیل باشد ، محصول قابل کاهش نیست. [4]

این مهم است که توجه داشته باشید که توپولوژی ملاقات زاریسکی در N × متر است که نمی کالا توپولوژیکی از توپولوژی ملاقات زاریسکی در دو فضا. در واقع ، توپولوژی محصول توسط محصولات مجموعه های باز اصلی U f = A n - V ( f ) و T g = A m - V ( g ) ایجاد می شود. بنابراین ، چند جمله ای هایی که در k [ x 1 ، ... ، x n ، y 1 ، ... ، y m ] اما نه در k [ x 1 ، ... ، x n ] یا k [ y 1 ، ... ، y m ] مجموعه های جبری را تعریف می کند که در توپولوژی زاریسکی در A n × A m هستند ، اما نه در توپولوژی محصول

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی