مثالهای اساسی [ ویرایش ]

نمونه های نام برده شده

  • مجموعه تک نفره {\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {X \}}نامیده می شود پیوسته و یافیلتر بی اهمیت روشن استایکس.[25] [11] این حداقل فیلترمنحصر به فرد استایکس زیرا زیر مجموعه ای از هر فیلتر روشن است ایکس؛ با این حال ، نیازی نیست که زیر مجموعه هر پیش فیلتر روشن باشدایکس.
  • ایده آل دوگانه {\ displaystyle \ wp (X)}همچنین فیلتر منحط روشن نامیده می شودایکس[10] (با وجود اینکه در واقع فیلتر نیست). این تنها ایده آل دوگانه در استایکس که فیلتر نیستایکس.
  • اگر(X ، \ tau) یک فضای توپولوژیکی است و {\ displaystyle x \ in X،}سپس فیلتر محله {\ ریاضی {N}} (x) درایکس فیلتر روشن است ایکس. طبق تعریف ، یک خانواده {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)}به عنوان محله (به عنوان زیرمجموعه یک زیر محله ) در نامیده می شود{\ displaystyle x {\ text {for}} (X، \ tau)} اگر و تنها اگر {\ mathcal {B}} یک پیش فیلتر است (پاسخ {\ mathcal {B}} زیر فیلتر است) و فیلتر روشن است ایکس که {\ mathcal {B}} تولید می کند برابر با فیلتر محله است {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x).} زیرخانواده {\ displaystyle \ tau (x) \ subseteq {\ mathcal {N}} (x)} محله های باز یک پایگاه فیلتر برای است {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x).} هر دو پیش فیلتر{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) {\ text {و}} \ tau (x)}همچنین مبنایی برای توپولوژی ها درایکس، با توپولوژی تولید شده {\ displaystyle \ tau (x)}بودن درشت از\ تاو این مثال بلافاصله از محلات نقاط به محله های زیر مجموعه های غیر خالی تعمیم می یابد {\ displaystyle S \ subseteq X.}
  • {\ mathcal {B}} هست یک پیش فیلتر اولیه [26] اگر{\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)} برای برخی دنباله ها {\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty} {\ text {in}} X.}
  • {\ mathcal {B}} هست یک فیلتر اولیه یا aفیلتر متوالی روشن استایکس[27] اگر{\ mathcal {B}} فیلتر روشن است ایکسایجاد شده توسط برخی از پیش فیلترهای اولیه فیلتر از دم تولید شده توسط یک دنباله است که در نهایت ثابت نیست لزوما نمی Ultrafilter را. [28] هر فیلتر اصلی بر روی یک مجموعه قابل شمارش به ترتیب مانند هر فیلتر کوفینیت در یک مجموعه بی نهایت قابل شمارش است. [10] تقاطع بسیاری از فیلترهای متوالی مجدداً متوالی است. [10]
  • مجموعه {\ mathcal {F}}از همه زیر مجموعه های cofinite ازایکس (منظور مجموعه هایی است که مکمل آنها در ایکس محدود است) مناسب است اگر و فقط اگر {\ mathcal {F}} بی نهایت است (یا معادل آن ، ایکس بی نهایت است) ، در این صورت {\ mathcal {F}} فیلتر روشن است ایکسبه عنوان فیلتر Fréchet یا the شناخته می شودفیلتر کوفینیت روشن استایکس.[11] [25] اگرایکس پس متناهی است {\ mathcal {F}} برابر با ایده آل دوگانه است {\ displaystyle \ wp (X) ،}که فیلتر نیست اگرایکس پس از آن نامحدود است {\ displaystyle \ {X \ setminus \ {x \} ~: ~ x \ in X \}} از مکمل های مجموعه های تک نفره یک زیر پایگاه فیلتر است که فیلتر Fréchet را تولید می کند ایکس. مانند هر خانواده از مجموعه های بیش از ایکس که حاوی{\ displaystyle \ {X \ setminus \ {x \} ~: ~ x \ in X \}،} هسته فیلتر Fréchet روشن است ایکس مجموعه خالی است: {\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} = \ varnothing.}
  • تقاطع همه عناصر در هر خانواده غیر خالی {\ displaystyle \ mathbb {F} \ subseteq \ operatorname {Filters} (X)} خود فیلتر روشن است ایکسنام infimum یا بزرگترین کران پایین از (X)،}{\ displaystyle \ mathbb {F} {\ text {in}} \ operatorname {Filters} (X)،} به همین دلیل ممکن است با آن نشان داده شود{\ displaystyle \ bigwedge _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}.} متفاوت گفت ،  {\ displaystyle \ ker \ mathbb {F} = \ bigcap _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}} \ in \ operatorname {Filters} (X).} زیرا هر فیلتری روشن است ایکس دارد \{ایکس\}به عنوان زیر مجموعه ، این تقاطع هرگز خالی نیست. طبق تعریف ، حداقل بهترین/بزرگترین (نسبت به{\ displaystyle \، \ subseteq \، {\ text {and}} \، \ leq \،}) فیلتر به عنوان زیر مجموعه ای از هر یک از اعضای موجود است {\ displaystyle \ mathbb {F}.}[11]
    • اگر {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}} فیلتر هستند و سپس حداقل آنها وارد می شوند {\ displaystyle \ operatorname {فیلترها} (X)} فیلتر است {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}}.}[9] اگر{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}} پس پیش فیلتر هستند یک پیش فیلتر و یکی از بهترین (با توجه به {\ displaystyle \، \ leq}) پیش فیلترها را درشتتر می کند (با توجه به {\ displaystyle \، \ leq}) از هر دو {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}؛} یعنی اگر {\ mathcal {S}} یک پیش فیلتر است به گونه ای که {\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {F}}} سپس {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}}.}[9] به طور کلی تر ، اگر{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}} خانواده های خالی هستند و اگر {\ displaystyle \ mathbb {S}: = \ {{\ mathcal {S}} \ subseteq \ wp (X) ~: {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {B}} {\ text {و }} {\ mathcal {S}} \ leq {\ mathcal {F}} \}} سپس {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {S}} و {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cup) {\ mathcal {F}}}است بزرگترین عنصر (با توجه به\ تراز ) از {\ displaystyle \ mathbb {S}.}[9]
  • اجازه دهید{\ displaystyle \ varnothing \ neq \ mathbb {F} \ subseteq \ operatorname {DualIdeals} (X)} و اجازه دهید  {\ displaystyle \ cup \ mathbb {F} = \ bigcup _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}.}سوپریمم و یا کوچکترین کران از{\ displaystyle \ mathbb {F} {\ text {in}} \ operatorname {DualIdeals} (X)،} نشان داده شده توسط   {\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}،} کوچکترین است (نسبت به \ subseteq ) ایده آل دوگانه درایکس شامل هر عنصر از \ mathbb {F} به عنوان زیر مجموعه ؛ یعنی کوچکترین (نسبت به\ subseteq ) ایده آل دوگانه در ایکس حاوی {\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}}به عنوان زیر مجموعه این ایده آل دوگانه است{\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}} = \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right)^{\ uparrow X } ،} جایی که {\ displaystyle \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right): = \ left \ {F_ {1} \ cap \ cdots \ cap F_ {n} ~: ~ n \ in \ mathbb {N} { \ text {و هر}} F_ {i} {\ text {متعلق به برخی}} {\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F} \ right \}}است پی -System توسط تولید{\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}.} مانند سایر مجموعه های غیر خالی مجموعه ، {\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}}در برخی از فیلترهای موجود استایکس اگر و فقط در صورتی که یک زیر فیلتر باشد ، یا معادل آن ، اگر و تنها اگر {\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}} = \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right)^{\ uparrow X }} فیلتر روشن است ایکس، در این صورت این خانواده کوچکترین (نسبت به \ subseteq ) فیلتر کنید ایکس شامل هر عنصر از\ mathbb {F}  به عنوان زیر مجموعه و لزوما {\ displaystyle \ mathbb {F} \ subseteq \ operatorname {فیلترها} (X).}
  • اجازه دهید{\ displaystyle \ varnothing \ neq \ mathbb {F} \ subseteq \ operatorname {Filters} (X)} و اجازه دهید {\ displaystyle \ cup \ mathbb {F} = \ bigcup _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}.}سوپریمم و یا کوچکترین کران از{\ displaystyle \ mathbb {F} {\ text {in}} \ operatorname {Filters} (X)،} نشان داده شده توسط  {F}}}{\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}} اگر وجود داشته باشد ، طبق تعریف کوچکترین (نسبت به \ subseteq ) فیلتر کنید ایکس شامل هر عنصر از \ mathbb {F} به عنوان زیر مجموعه اگر وجود داشته باشد ، لزوماً{\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}} = \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right)^{\ uparrow X }}[11] (همانطور که در بالا مشخص شد) و{\ displaystyle \ bigvee _ {{\ mathcal {F}} \ in \ mathbb {F}} {\ mathcal {F}}} همچنین برابر با تقاطع همه فیلترهای روشن است ایکس حاوی {\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}.} این برتری از {\ displaystyle \ mathbb {F} {\ text {in}} \ operatorname {Filters} (X)} اگر و فقط در صورت ایده آل دوگانه وجود داشته باشد {\ displaystyle \ pi \ left (\ cup \ mathbb {F} \ right)^{\ uparrow X}} فیلتر روشن است ایکس. کمترین حد بالای خانواده فیلترها \ mathbb {F} ممکن است فیلتر نباشد [11] در واقع ، اگرایکس شامل حداقل 2 عنصر متمایز است ، سپس فیلترها وجود دارد {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}} {\ text {on}} X}که وجود دارد می کند نه یک فیلتر وجود دارد{\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {on}} X} که حاوی هر دو است {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}.} اگر {\ displaystyle \ cup \ mathbb {F}} یک زیرمجموعه فیلتر نیست سپس supremum از {\ displaystyle \ mathbb {F} {\ text {in}} \ operatorname {Filters} (X)} وجود ندارد و همین امر در مورد برتری آن در {\ displaystyle \ operatorname {Prefilters} (X)} اما برتری آنها در مجموعه همه ایده آل های دوگانه در ایکس وجود خواهد داشت (این فیلتر منحط است {\ displaystyle \ wp (X)}) [10]
    • اگر {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}} پیش فیلتر هستند (پاسخ فیلترها روشن استایکس) سپس {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {F}}} اگر و فقط در صورت عدم انحطاط پیش فیلتر (نسبت به فیلتر) است (یا اگر و اگر {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}مش) ، در این صورت یکی از درشت ترین پیش فیلترها (نسبت به درشت ترین فیلتر) درایکس (با توجه به {\ displaystyle \، \ leq}) که بهتر است (با توجه به {\ displaystyle \، \ leq}) از هر دو {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}؛} این بدان معناست که اگر {\ mathcal {S}} هر پیش فیلتر (نسبت به هر فیلتر) به گونه ای است که {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {S}} {\ text {and}} {\ mathcal {F}} \ leq {\ mathcal {S}}} سپس لزوما {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {F}} \ leq {\ mathcal {S}}،}[9] که در این صورت با آن مشخص می شود{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vee {\ mathcal {F}}.}[10]
  • اجازه دهید {\ displaystyle I {\ متن {و}} X} مجموعه های غیر خالی و برای هر کدام باشید من \ در من اجازه دهید{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {i}} ایده آل دوگانه در باشد ایکس. اگر{\ ریاضی {I}} آیا ایده آل دوگانه در من سپس {\ displaystyle \ bigcup _ {\ Xi \ in {\ mathcal {I}}} \؛ \؛ \ bigcap _ {i \ in \ Xi} \؛ {\ mathcal {D}} _ {i}} یک ایده آل دوگانه در است ایکسایده آل دوگانه کوالسکی یا فیلتر کوالسکی نامیده می شود . [17]