برای مفهوم طیف حلقه در نظریه هموتوپی ، طیف حلقه را ببینید .

در جبر جابجایی طیف نخست (و یا به سادگی طیف ) از یک حلقه مانند R مجموعه ای از تمام ایده آل های اول از R است که معمولا با نشان داده می شود{\ displaystyle \ operatorname {Spec} {R}}، [1] در هندسه جبری به طور همزمان یک فضای توپولوژیکی است که مجهز به توده حلقه ها است {\ mathcal {O}}. [2]

فهرست

توپولوژی زاریسکی [ ویرایش ]

برای هر گونه ایده آل I از R ، تعریفV_ {I}مجموعه ایده آل های اصلی شامل I باشد. ما می توانیم توپولوژی را روی آن قرار دهیم\ operatorname {Spec} (R)با تعریف مجموعه مجموعه های بسته به

\ {V_ {I} \ colon I {\ text {ایده آل}} R \} است.

این توپولوژی توپولوژی زاریسکی نامیده می شود .

اساس برای توپولوژی ملاقات زاریسکی می توان به شرح زیر ساخته شده است. برای f ∈ R ، d f را مجموعه ای از ایده آل های اصلی R که شامل f نیست تعریف کنید . سپس هر D f یک زیر مجموعه باز از است\ operatorname {Spec} (R)، و \ {D_ {f}: f \ in R \} پایه ای برای توپولوژی زاریسکی است.

\ operatorname {Spec} (R)یک فضای فشرده است ، اما تقریباً هیچ گاه هاسدورف : در واقع ، حداکثر ایده ال در R دقیقاً نقاط بسته در این توپولوژی هستند. با همان استدلال ، به طور کلی ، فضای T 1 نیست . [3] با این حال ،\ operatorname {Spec} (R)همیشه یک فضای کولموگروف است ( بدیهیات T 0 را برآورده می کند ) ؛ آن را نیز یک فضای طیفی .

برش ها و طرح ها [ ویرایش ]

با توجه به فضا X = \ operatorname {Spec} (R)با توپولوژی ملاقات Zariski از ساختار بافه O X بر زیر مجموعه باز برجسته تعریف D F با تنظیم Γ ( D F ، O X ) = R F از محلی سازی از R با قدرت ج . می توان نشان داد که این یک B-sheaf را تعریف می کند و بنابراین یک sheaf را تعریف می کند. به طور دقیق تر ، زیر مجموعه های باز متمایز اساس توپولوژی زاریسکی هستند ، بنابراین برای یک مجموعه باز دلخواه U ، که به عنوان اتحادیه { D fi } i ∈ I نوشته شده است، ما Γ ( U ، O X ) = lim i ∈ I R fi را تنظیم می کنیم . ممکن است کسی بررسی کند که این پیش قله یک قله است ، بنابراین\ operatorname {Spec} (R)یک فضای حلقه ای است هر فضای حلقه ای ایزومورفیک به یکی از این شکل ها ، طرح آمین نامیده می شود . طرحهای کلی با چسباندن طرحهای آفین به یکدیگر بدست می آیند.

به طور مشابه ، برای یک مدول M روی حلقه R ، ممکن است یک شیف تعریف کنیم{\ tilde {M}} بر \ operatorname {Spec} (R). در زیر مجموعه های باز برجسته مجموعه

Γ ( D f ، {\ tilde {M}}) = M f ، با استفاده از محلی سازی یک ماژول . همانطور که در بالا ذکر شد ، این ساختار به یک پیش آماده در همه زیر مجموعه های باز گسترش می یابد\ operatorname {Spec} (R)و بدیهیات چسبندگی را برآورده می کند. برشی از این شکل را یک شبه شبه شبه گویند .

اگر P نقطه ای در\ operatorname {Spec} (R)، این است که، یک ایده آل اول، و سپس ساقه از بافه ساختار در P برابر با محلی سازی از R در ایده آل P ، و این یک است حلقه محلی . در نتیجه،\ operatorname {Spec} (R)یک فضای حلقه ای محلی است

اگر R یک حوزه انتگرالی است ، با میدان کسرهای K ، می توانیم حلقه Γ ( U ، O X ) را بصورت دقیق تر به شرح زیر توصیف کنیم. ما می گوییم که یک عنصر f در K در نقطه P در X منظم است اگر بتوان آن را به صورت کسری f = a / b با b در P نشان داد . توجه داشته باشید که این امر با مفهوم یک تابع منظم در هندسه جبری موافق است. با استفاده از این تعریف ، می توانیم Γ ( U ، O X را توصیف کنیم) دقیقاً مجموعه ای از عناصر K است که در هر نقطه P در U منظم هستند .

دیدگاه کارکردی [ ویرایش ]

استفاده از زبان نظریه دسته بندی و رعایت آن مفید است\ operatorname {Spec} یک فانکتور است همومورفیسم هر حلقه f: R \ به Sایجاد نقشه پیوسته

{\ displaystyle \ operatorname {Spec} (f): \ operatorname {Spec} (S) \ به \ operatorname {Spec} (R)} (از مقدمه هر ایده آل برتر در س ایده آل برتر در R) به این ترتیب ،\ operatorname {Spec} می تواند به عنوان یک عامل متغیر از دسته حلقه های تعویض تا دسته فضاهای توپولوژیکی دیده شود. علاوه بر این ، برای هر نخست{\ mathfrak {p}} همومورفیسم f به همومورفیسم نزول می کند

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {f^{-1} ({\ mathfrak {p}})} \ به {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {p}}}

از حلقه های محلی بدین ترتیب\ operatorname {Spec} حتی یک فاکتور متغیر را از دسته حلقه های تعویض به دسته فضاهای حلقه دار محلی تعریف می کند . در واقع چنین فانکتوری جهانی است بنابراین می توان از آن برای تعریف فانکتور استفاده کرد\ operatorname {Spec} تا ایزومورفیسم طبیعی [ نیازمند منبع ]

فانکتور \ operatorname {Spec} یک معادل متقابل بین دسته حلقه های تعویض و طبقه بندی طرح های وابسته را ایجاد می کند . هر یک از این دسته ها اغلب به عنوان مقوله مقابل دسته دیگر تصور می شوند.