ادامه فیلترها در توپولوژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 19:47

نمونه های دیگر

اجازه دهید ${\ displaystyle X = \ {p ، 1،2،3 \}}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {\ {p \}، \ {p، 1،2 \}، \ {p، 1،3 \} \}،}$ که باعث می شود ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر و یک زیر فیلتر که زیر تقاطع محدود بسته نشده است. زیرا ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر است ، کوچکترین پیش فیلتر حاوی ${\ mathcal {B}}$ است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ سیستم π ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ است ${\ displaystyle \ {\ {p، 1 \} \} \ cup {\ mathcal {B}}.}$ به ویژه ، کوچکترین پیش فیلتر حاوی زیر فیلتر ${\ mathcal {B}}$ است نه به مجموعه ای از تمام تقاطع ها محدود از مجموعه های در برابر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ فیلتر روشن است $ایکس$ ایجاد شده توسط ${\ mathcal {B}}$ است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} = \ {S \ subseteq X: p \ in S \} = \ {\ {p \} \ cup T ~: ~ T \ subseteq \ {1 ، 2،3 \} \}.}$ هر سه از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،}$ π -System }} ${\ mathcal {B}}$ ایجاد می کند ، و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ نمونه هایی از پیش فیلترهای ثابت ، اصلی و فوق العاده هستند که در محل اصلی هستند ${\ displaystyle p؛ {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}}$ همچنین یک فوق فیلتر روشن است $ایکس.$
اجازه دهید $(X ، \ tau)$ یک فضای توپولوژیکی باشد ، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)،}$ و تعریف کنید ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}: = \ left \ {\ operatornname {cl} _ {X} B ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \ right \}،}$ جایی که ${\ mathcal {B}}$ لزوماً بهتر از ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}.}$ [29] اگر ${\ mathcal {B}}$ غیر خالی است (نسبتاً غیر انحطاط ، یک زیر فیلتر ، یک پیش فیلتر ، تحت اتحادیه های محدود بسته می شود) ، در مورد ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}.}$ اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}}$ یک پیش فیلتر است اما لزوماً یک فیلتر روشن نیست $ایکس$ با اينكه ${\ displaystyle \ left ({\ overline {\ mathcal {B}}} \ right)^{\ uparrow X}}$ فیلتر روشن است $ایکس$ معادل با ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}.}$
مجموعه ${\ mathcal {B}}$ از همه زیر مجموعه های متراکم باز یک فضای توپولوژیکی (غیر خالی) $ایکس$ یک سیستم π – مناسب و همچنین یک پیش فیلتر است. اگر ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^{n}}$ (با ${\ displaystyle 1 \ leq n \ in \ mathbb {N}}$ ) ، سپس مجموعه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {LebFinite}}}$ از همه $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به طوری که $ب$ دارای اندازه پایانی Lebesgue یک سیستم π و پیش فیلتر مناسب است که همچنین زیرمجموعه مناسبی از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ پیش فیلترها ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {LebFinite}} {\ text {and}} {\ mathcal {B}}}$ ایجاد همان فیلتر در $ایکس.$
این مثال کلاس زیر فیلترهای زیر فیلتر را نشان می دهد ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}}$ جایی که همه چیز در هر دو تنظیم می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}}$ و سیستم π ایجاد شده آن را می توان به عنوان مجموعه ای از فرم توصیف کرد ${\ displaystyle B_ {r، s}،}$ به طور خاص ، بیش از دو متغیر (به طور خاص ، ${\ displaystyle r {\ text {and}} s}$ ) برای توصیف سیستم π – تولید شده مورد نیاز است . با این حال ، این معمولی نیست و به طور کلی ، نباید از یک زیر فیلتر انتظار داشت ${\ mathcal {S}}$ که یک سیستم π نیست . بیشتر اوقات ، یک تقاطع ${\ displaystyle S_ {1} \ cap \ cdots \ cap S_ {n}}$ از $n$ مجموعه از ${\ mathcal {S}}$ معمولاً نیاز به توصیفی شامل $n$ متغیرهایی که نمی توان آنها را به دو مورد کاهش داد (برای مثال ، اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ {(0، r) \ cup (r، \ infty) ~: ~ r> 0 \}}$ ) برای همه ${\ displaystyle r، s \ in \ mathbb {R}،}$ اجازه دهید ${\ displaystyle B_ {r، s} = (r، 0) \ cup (s، \ infty)،}$ جایی که ${\ displaystyle B_ {r، s} = B _ {\ min (r، s)، s}}$ بنابراین با افزودن فرض هیچ کلیتی از بین نمی رود ${\ displaystyle r \ leq s.}$ برای همه واقعی ${\ displaystyle r \ leq s {\ text {و}} u \ leq v،}$ اگر ${\ displaystyle s \ geq 0 {\ text {یا}} v \ geq 0}$ سپس ${\ displaystyle B _ {-r، s} \ cap B _ {-u، v} = B _ {-\ min (r، u)، \ max (s، v)}.}$ [یادداشت 6] برای هر ، ${\ displaystyle R \ subseteq \ mathbb {R} ،}$ اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R} = \ left \ {B _ {-r، r} ~: ~ r \ in R \ right \}}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {R} = \ left \ {B _ {-r، s} ~: ~ r \ leq s {\ text {with}} r، s \ in R \ right \} .}$ [یادداشت 7] اجازه دهید ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ و فرض کنید ${\ displaystyle \ varnothing \ neq R \ subseteq (0 ، \ infty)}$ یک مجموعه تک نفره نیست سپس ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}}$ زیر فیلتر است اما پیش فیلتر نیست و ${\ mathcal {B}} _ {R}$ است که پی -System آن را تولید، به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {R}^{\ uparrow X}}$ کوچکترین فیلتر منحصر به فرد در است ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ حاوی ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}.}$ با این حال، ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}^{\ uparrow X}}$ است نه یک فیلتر بر روی $ایکس$ (و همچنین فیلتر پیش فیلتر نیست زیرا به سمت پایین هدایت نمی شود ، هرچند که زیرپایه فیلتر است) و ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R}^{\ uparrow X}}$ زیر مجموعه مناسب فیلتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {R}^{\ uparrow X}.}$ اگر ${\ displaystyle R، S \ subseteq (0، \ infty)}$ فواصل غیر خالی هستند و زیرمجموعه فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {R} {\ text {and}} {\ mathcal {S}} _ {S}}$ ایجاد همان فیلتر در $ایکس$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle R = S.}$ اگر ${\ mathcal {C}}$ خانواده ای است که ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0، \ infty)} \ subseteq {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {B}} _ {(0، \ infty)}}$ سپس ${\ mathcal {C}}$ اگر و فقط اگر برای همه واقعی باشد یک پیش فیلتر است ${\ displaystyle 0 <r \ leq s}$ واقعی وجود دارد ${\ displaystyle 0 <u \ leq v}$ به طوری که ${\ displaystyle u \ leq r \ leq s \ leq v {\ text {and}} B _ {-u، v} \ in {\ mathcal {C}}.}$ اگر ${\ mathcal {C}}$ پس از آن برای هر کسی چنین پیش فیلتری است ${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {C}} \ setminus {\ mathcal {S}} _ {(0، \ infty)}،}$ خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ setminus \ {C \}}$ همچنین یک پیش فیلتر رضایت بخش است ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0، \ infty)} \ subseteq {\ mathcal {C}} \ setminus \ {C \} \ subseteq {\ mathcal {B}} _ {(0، \ ناقص)}.}$ این نشان می دهد که نمی توان حداقل (با توجه به $\ subseteq$ ) پیش فیلتر که هر دو شامل می شوند ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0 ، \ infty)}}$ و زیر مجموعه ای از سیستم π است که توسط تولید می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {(0 ، \ infty)}.}$ این امر حتی اگر شرایطی که پیش فیلتر زیر مجموعه ای از آن باشد ، صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {(0 ، \ infty)}}$ حذف شده است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

ادامه فیلترها در توپولوژی

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین