ادامه فیلترها در توپولوژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 19:53

زیرمجموعه بودن با تصاویر و پیش نمایش ها حفظ می شود [ ویرایش ]

ارتباط ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ تحت هر دو تصویر و پیش نمایش خانواده های مجموعه حفظ می شود. [11] این بدان معناست که برای هر خانواده ای[36]

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}} \ quad {\ text {implies}} \ quad g ({\ mathcal {C}}) \ leq g ({\ mathcal {F} }) \ quad {\ text {and}} \ quad f^{-1} ({\ mathcal {C}}) \ leq f^{-1} ({\ mathcal {F}}).}$

علاوه بر این ، روابط زیر همیشه برای هر مجموعه ای از مجموعه ها صادق است ${\ mathcal {C}}$ : [36]

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {C}}) \ right)}$

اگر برابری برقرار باشد اگر $f$ جزئی است [36] علاوه بر این ،

${\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {C}}) = f^{-1} \ left (f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {C}}) \ right) \ راست) \ quad {\ text {and}} \ quad g ({\ mathcal {C}}) = g \ left (g^{-1} (g ({\ mathcal {C}})) \ right) .}$

اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X) {\ text {و}} {\ mathcal {C}} \ subseteq \ wp (Y)}$ سپس [10]

${\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}) \ leq {\ mathcal {C}} \ quad {\ text {if and only if}} \ quad {\ mathcal {B}} \ leq f^{-1 } ({\ ریاضی {C}})}$

و ${\ displaystyle g^{-1} (g ({\ mathcal {C}})) \ leq {\ mathcal {C}}}$ [36] که در آن برابری برقرار خواهد بود اگر $g$ تزریقی است [36]

محصولات پیش فیلترها [ ویرایش ]

فرض کنید ${\ displaystyle X _ {\ bullet} = \ چپ (X_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ خانواده ای از یک یا چند مجموعه غیر خالی است که محصول آنها با آن مشخص می شود ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i} ،}$ و برای هر شاخص ${\ displaystyle i \ in I ،}$ اجازه دهید

${\ displaystyle \ Pr {} _ {X_ {i}}: \ prod X _ {\ bullet} \ به X_ {i}}$

نشان دهنده پیش بینی قانونی است اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}: = \ left ({\ mathcal {B}} _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ خانواده های غیر خالی باشند ، همچنین بر اساس فهرست بندی شده اند $من،$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i} \ subseteq \ wp \ left (X_ {i} \ right)}$ برای هر ${\ displaystyle i \ in I.}$ کالا از خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ [11] یکسان با نحوه تعریف زیر مجموعه های باز اصلی توپولوژی محصول تعریف شده است (همه این موارد را داشت) ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$ توپولوژی بوده است) یعنی هر دو نماد

${\ displaystyle \ prod _ {} {\ mathcal {B}} _ {\ bullet} = \ prod _ {i \ in I} {\ mathcal {B}} _ {i}}$

خانواده همه زیر مجموعه ها را نشان می دهد ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i} \ subseteq \ prod _ {} X _ {\ bullet}}$ به طوری که ${\ displaystyle S_ {i} = X_ {i}}$ برای همه اما بی نهایت $من \ در من$ و جایی که ${\ displaystyle S_ {i} \ in {\ mathcal {B}} _ {i}}$ برای هر یک از این موارد استثنائی بسیار زیاد (یعنی برای هر $من$ به طوری که ${\ displaystyle S_ {i} \ neq X_ {i} ،}$ لزوما ${\ displaystyle S_ {i} \ in {\ mathcal {B}} _ {i}}$ ) این خانواده نیز برابر است با [11]

${\ displaystyle \ prod _ {} {\ mathcal {B}} _ {\ bullet} = \ bigcup _ {i \ in I} \ Pr {} _ {X_ {i}}^{-1} \ چپ ({ \ mathcal {B}} _ {i} \ right).}$

اگر ${\ displaystyle \ prod {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ زیر فیلتر است و سپس فیلتر روشن است ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}}$ فیلتر تولید شده توسط آن فیلتر نامیده می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ . [11] اگر هر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$ یک پیش فیلتر روشن است $X_ {i}$ سپس ${\ displaystyle \ prod {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ یک پیش فیلتر روشن خواهد بود ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}}$ و علاوه بر این ، این پیش فیلتر با درشت ترین پیش فیلتر برابر است ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ text {on}} \ prod X _ {\ bullet}}$ به طوری که ${\ displaystyle \ Pr {} _ {X_ {i}} ({\ mathcal {F}}) = {\ mathcal {B}} _ {i}}$ برای هر ${\ displaystyle i \ in I.}$ [11] با این حال ، ${\ displaystyle \ prod {\ mathcal {B}} _ {\ bullet}}$ ممکن است فیلتر روشن نباشد ${\ displaystyle \ prod X _ {\ bullet}}$ حتی اگر هر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$ فیلتر روشن است ${\ displaystyle X_ {i}.}$ [11]

تنظیم تفریق و چند مثال [ ویرایش ]

کسری از زیرمجموعه هسته را حذف کنید

اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است ${\ displaystyle X، S \ subseteq \ ker {\ mathcal {B}}، {\ text {و}} S \ not \ in {\ mathcal {B}}}$ سپس ${\ displaystyle \ {B \ setminus S ~: ~ B \ در {\ mathcal {B}} \}}$ یک پیش فیلتر است ، جایی که این مجموعه اخیر یک فیلتر است اگر و فقط اگر ${\ mathcal {B}}$ فیلتر است و ${\ displaystyle S = \ varnothing.}$ به طور خاص ، اگر ${\ mathcal {B}}$ اساس محله در یک نقطه است $ایکس$ در یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ پس حداقل 2 امتیاز داشته باشید ${\ displaystyle \ {B \ setminus \ {x \} ~: ~ B \ در {\ mathcal {B}} \}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس.$ این ساختار برای تعریف استفاده می شود ${\ displaystyle \ lim _ {\ stackrel {x \ to x_ {0}} {x \ neq x_ {0}}} f (x) \ به y}$ از نظر همگرایی پیش فیلتر

استفاده از دوگانگی بین ایده آل ها و آرمان های دوگانه

رابطه دوگانه وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vartriangleleft {\ mathcal {C}}}$ یا ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ vartriangleright {\ mathcal {B}} ،}$ که به این معنا تعریف شده است که هر $B \ در {\ ریاضی {B}}$ در برخی موجود است $C \ in \ mathcal {C}.$ به صراحت ، این بدان معناست که برای هر کسی $B \ در {\ ریاضی {B}}$ ، برخی وجود دارد $C \ در {\ mathcal {C}}$ به طوری که ${\ displaystyle B \ subseteq C.}$ این رابطه دوگانه است ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ به این معنا که ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vartriangleleft {\ mathcal {C}}}$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle (X \ setminus {\ mathcal {B}}) \ leq (X \ setminus {\ mathcal {C}}).}$ [6] رابطه ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vartriangleleft {\ mathcal {C}}}$ ارتباط تنگاتنگی با بسته شدن سقوط یک خانواده به شیوه ای مشابه دارد ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ مربوط به خانواده بسته شدن رو به بالا است.

برای مثال که از این دوگانگی استفاده می کند ، فرض کنید $f: X \ به Y$ نقشه است و ${\ displaystyle \ Xi \ subseteq \ wp (Y).}$ تعريف كردن

${\ displaystyle \ Xi _ {f}: = \ {I \ subseteq X ~: ~ f (I) \ in \ Xi \}}$

که شامل مجموعه خالی if و only if است $\ شی$ میکند. امکان دارد برای $\ شی$ یک فوق فیلتر و برای ${\ displaystyle \ Xi _ {f}}$ خالی یا بسته نشدن در تقاطع های محدود (برای مثال به پاورقی مراجعه کنید). [یادداشت 10] اگرچه ${\ displaystyle \ Xi _ {f}}$ اگر خواص فیلترها را به خوبی حفظ نکند ، $\ شی$ به سمت بسته بسته می شود (در شرایطی که تحت اتحادیه های محدود ، یک ایده آل بسته شده است) ، این مورد در مورد آن نیز صادق خواهد بود ${\ displaystyle \ Xi _ {f}.}$ استفاده از دوگانگی بین ایده آل ها و ایده آل های دوگانه امکان ساخت فیلتر زیر را می دهد.

فرض کنید ${\ mathcal {B}}$ فیلتر روشن است $Y$ و اجازه دهید ${\ displaystyle \ Xi: = Y \ setminus {\ mathcal {B}}}$ دوگانه آن باشد $Y.$ اگر ${\ displaystyle X \ not \ in \ Xi _ {f}}$ سپس ${\ displaystyle \ Xi _ {f}}$ دوگانه است ${\ displaystyle X \ setminus \ Xi _ {f}}$ فیلتر خواهد شد

سایر نمونه های مرتبط با توپولوژی

مثال: مجموعه ${\ mathcal {B}}$ از همه زیر مجموعه های متراکم باز یک فضای توپولوژیکی ، سیستم π – مناسب و پیش فیلتر است. اگر فضا یک فضای Baire باشد ، مجموعه همه تقاطع های قابل شمارش زیر مجموعه های متراکم باز یک سیستم π – و یک پیش فیلتر است که از آن بهتر است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

مثال: خانواده ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ از همه مجموعه های متراکم باز ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ داشتن اندازه محدود Lebesgue یک سیستم π π مناسب و یک پیش فیلتر رایگان است. پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ به درستی در پیش فیلتر قرار دارد و معادل آن نیست ، شامل تمام زیر مجموعه های متراکم باز از ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ از آنجا که $ایکس$ یک فضای بایر است ، هر تقاطع قابل شمارش مجموعه ها در آن قرار دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ متراکم است در $ایکس$ (و همچنین غنی و غیر ناچیز) بنابراین مجموعه ای از تمام تقاطع های قابل شمارش عناصر از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}}$ یک پیش فیلتر و π –سیستم است. همچنین بهتر از آن است و معادل آن نیست ، ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ operatorname {Open}}.}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی