شبکه قدرت مجموعه از مجموعه {\displaystyle X:=\{1,2,3,4\},}با مجموعه بالا {\displaystyle \{1,4\}^{\uparrow X}}سبز تیره رنگی این یک فیلتر و حتی یک فیلتر اصلی است . این یک فیلتر اولترافیلتر نیست ، زیرا می توان آن را تا فیلتر غیرحقیقی بزرگتر نیز گسترش داد{\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}با درج عناصر سبز روشن. زیرا{\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}} نمی توان آن را بیشتر تمدید کرد ، این یک فوق فیلتر است.

از فیلترهای توپولوژی ، زیر شاخه ای از ریاضیات ، می توان برای مطالعه فضاهای توپولوژیکی و تعریف تمام مفاهیم اولیه توپولوژیکی مانند همگرایی ، تداوم ، فشردگی و موارد دیگر استفاده کرد. فیلترها ، که خانواده های خاصی از زیر مجموعه های برخی از مجموعه های معین هستند ، همچنین چارچوبی مشترک برای تعریف انواع مختلف محدوده توابع مانند محدودیت های چپ/راست ، بی نهایت ، نقطه یا مجموعه و بسیاری دیگر ارائه می دهند. انواع خاصی از فیلترها به نام اولترافیلترها دارای ویژگی های فنی مفید بسیاری هستند و اغلب ممکن است به جای فیلترهای دلخواه مورد استفاده قرار گیرند.

فیلترها دارای کلیاتی به نام پیش فیلتر (که به عنوان پایه های فیلتر نیز شناخته می شوند ) و زیرمجموعه فیلترها هستند که همه آنها به طور طبیعی و مکرر در طول توپولوژی ظاهر می شوند. مثالها شامل فیلترها / پایه ها / زیرمجموعه های محله و یکنواختی است . هر فیلتر یک پیش فیلتر است و هر دو زیر فیلتر هستند. هر زیر فیلتر پیش فیلتر و زیر فیلتر در یک کوچکترین فیلتر منحصر به فرد وجود دارد که گفته می شود این فیلتر را ایجاد می کند . این یک رابطه بین فیلترها و پیش فیلترها ایجاد می کند که اغلب ممکن است برای استفاده از هر کدام از این دو مفهوم از نظر فنی مناسب تر مورد استفاده قرار گیرد. یک پیش سفارش {\displaystyle \,\leq \,}در خانواده مجموعه ها ، تعیین دقیق زمان و چگونگی استفاده از یک مفهوم (فیلتر ، پیش فیلتر ، و غیره) به جای مفهوم دیگر کمک می کند. اهمیت این پیش سفارش با این واقعیت افزایش می یابد که مفهوم همگرایی فیلتر را تعریف می کند ، جایی که طبق تعریف ، فیلتر (یا پیش فیلتر){\mathcal {B}} همگرا به یک نقطه اگر و تنها اگر{\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},} جایی که {\mathcal {N}}فیلتر محله آن نقطه است . در نتیجه ، تبعیت نقش مهمی در بسیاری از مفاهیم مرتبط با همگرایی ، مانند نقاط خوشه ای و محدوده توابع دارد. علاوه بر این ، رابطه {\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ geq {\ mathcal {B}} ،} که نشان می دهد {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {S}}} و با بیان آن بیان می شود{\ mathcal {S}} تابع است{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ،} همچنین رابطه ای برقرار می کند که در آن {\ mathcal {S}} است به{\ mathcal {B}} به عنوان یک دنباله به دنباله ای (یعنی رابطه {\ displaystyle \ geq،}که فرعی نامیده می شود ، برای فیلترها آنالوگ "یک فرعی از" است).

فیلترها توسط هنری کارتان در سال 1937 معرفی شد [1] [2] و متعاقباً توسط بورباکی در کتاب Topologie Générale به عنوان جایگزینی برای تصور مشابه شبکه ای که در سال 1922 توسط EH مور و HL اسمیت ایجاد شد ، استفاده شد . فیلترها همچنین می توانند برای توصیف مفاهیم دنباله و همگرایی خالص استفاده شوند. اما برخلاف توالی و همگرایی خالص [یادداشت 1] ، همگرایی فیلتر کاملاً بر اساس زیر مجموعه های فضای توپولوژیکی تعریف شده است.ایکسو بنابراین یک مفهوم همگرایی را ارائه می دهد که کاملاً ذاتی فضای توپولوژیکی است. هر توری یک فیلتر متعارف را القا می کند و به صورت دوتایی ، هر فیلتر یک شبکه متعارف را القا می کند ، جایی که این شبکه القایی (فیلتر ناشی از پاسخ) اگر و فقط در صورتی که در مورد فیلتر اصلی (شبکه پاسخ) صادق باشد به نقطه ای همگرا می شود. این توصیف همچنین برای بسیاری از تعاریف دیگر مانند نقاط خوشه ای صادق است . این روابط امکان تعویض بین فیلترها و شبکه ها را فراهم می کند و اغلب این امکان را به فرد می دهد که هر کدام از این دو مفهوم (فیلتر یا شبکه) را برای مشکل موجود مناسب تر انتخاب کند. با این حال ، با فرض اینکه " زیر شبکه " با استفاده از یکی از محبوب ترین تعاریف آن (که توسط ویلارد و کلی ارائه شده است) تعریف شده است.) ، بنابراین به طور کلی ، این رابطه به فیلترها و زیرشبکه های فرعی گسترش نمی یابد زیرا همانطور که در زیر توضیح داده شده است ، فیلترهای فرعی وجود دارد که رابطه فیلتر/زیرمجموعه -فیلتر را نمی توان بر اساس رابطه متناظر با شبکه/زیر شبکه توصیف کرد. با این حال ، می توان با استفاده از تعریف کمتر متداول "زیر شبکه" ، که مربوط به زیر شبکه AA است ، این مسئله را حل کرد .

 

فهرست

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology