تورها و دم آنها

مجموعه به کارگردانی یک مجموعه استمنهمراه با یک پیش سفارش ، که با آن مشخص می شود{\ displaystyle \، \ leq \،} (مگر اینکه صراحتاً چیز دیگری ذکر شده باشد) ، این باعث می شود {\ displaystyle (I ، \ leq)}به مجموعه هدایت شده ( به سمت بالا ) ؛ [15] این بدان معناست که برای همه{\ displaystyle i، j \ in I،} برخی وجود دارد k \ در I به طوری که{\ displaystyle i \ leq k {\ text {و}} j \ leq k.} برای هر شاخص {\ displaystyle i {\ text {و}} j ،} نماد {\ displaystyle j \ geq i} به معنی تعریف شده است i \ leq j در حالی که  من <ج به این معنا تعریف شده است i \ leq jدارای بلکه آن است که نیست درست است کهj \ leq i (اگر {\ displaystyle \، \ leq \،}است پادمتقارن سپس این معادل است به{\ displaystyle i \ leq j {\ text {و}} i \ neq j})

یک شبکه درایکس[15] نقشه ای است از مجموعه ای غیر خالی که به آن هدایت شده استایکس.

 
نشانه گذاری و تعریفمفروضاتنام
{\ displaystyle I _ {\ geq i} = \ {j \ in I ~: ~ i \ leq j \}}{\ displaystyle i \ in I {\ text {and}} (I، \ leq)}یک مجموعه به کارگردانیدم یا قسمتی ازمن شروع درمن
{\ displaystyle x _ {\ geq i} = \ left \ {x_ {j} ~: ~ i \ leq j {\ text {and}} j \ in I \ right \}}{\ displaystyle i \ in I {\ text {and}} x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}} یک شبکه استدم یا قسمتی از{\ displaystyle x _ {\ bullet}} شروع درمن
{\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ left \ {x _ {\ geq i} ~: ~ i \ in I \ right \}}{\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}} یک شبکه استتنظیم یاپیش فیلتر دم /مقاطعاز{\ displaystyle x _ {\ bullet}.}همچنین به عنوان پایه فیلتر احتمالی ایجاد شده توسط (دم های) نامیده می شود{\ displaystyle x _ {\ bullet}.} اگر{\ displaystyle x _ {\ bullet}} یک دنباله است پس{\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)} نامیده می شود در عوض پایه فیلتر متوالی [16]
{\ displaystyle \ operatorname {TailsFilter} \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ operatornname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)^{\ uparrow X}}{\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}} یک شبکه است( احتمال ) فیلتر از / تولید شده توسط (دم از){\ displaystyle x _ {\ bullet}}[16]
{\ displaystyle f \ left (I _ {\ geq i} \ right) = \ {f (j) ~: ~ i \ leq j {\ text {and}} j \ in I \}}{\ displaystyle i \ in I {\ text {and}} f ~: ~ (I، \ leq) \ to X} یک شبکه استدم یا قسمتی ازf شروع درمن[16]

هشدار در مورد استفاده از مقایسه دقیق

اگر {\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}} یک شبکه است ومن \ در من سپس برای مجموعه امکان پذیر است {\ displaystyle x _ {> i} = \ left \ {x_ {j} \ in I ~: ~ i> j {\ text {and}} j \ in I \ right \}،}که به آن دم می گویند{\ displaystyle x _ {\ bullet}} بعد از من، خالی بودن (برای مثال ، این اتفاق می افتد اگر منیک کران بالا از مجموعه ای به کارگردانی من) در این مورد ، خانواده{\ displaystyle \ left \ {x _ {> i} ~: ~ i \ in I \ right \}}شامل مجموعه خالی است که مانع از پیش فیلتر شدن آن (بعداً تعریف می شود) می شود. این دلیل (مهم) تعریف است{\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)} مانند {\ displaystyle \ left \ {x _ {\ geq i} ~: ~ i \ in I \ right \}} به جای {\ displaystyle \ left \ {x _ {> i} ~: ~ i \ in I \ right \}} یا حتی{\ displaystyle \ left \ {x _ {> i} ~: ~ i \ in I \ right \} \ cup \ left \ {x _ {\ geq i} ~: ~ i \ in I \ right \}} و به همین دلیل است که به طور کلی ، هنگام برخورد با پیش فیلتر دم های یک شبکه ، نابرابری شدید {\ displaystyle \، <\،} ممکن است بجای نابرابری استفاده نشود {\ displaystyle \، \ leq.}

فیلترها و پیش فیلترها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فیلتر (ریاضیات)

در زیر لیستی از املاک یک خانواده آمده است {\ mathcal {B}}مجموعه ها ممکن است دارای ویژگی های تعیین کننده فیلترها ، پیش فیلترها و زیرمجموعه های فیلتر باشند. هر زمان که لازم باشد ، باید تصور کرد که{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X).}

خانواده مجموعه ها{\ mathcal {B}} است:
  1. مناسب یاnondegenerate اگر{\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}}.} در غیر این صورت ، اگر{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}}،}سپس نامناسب [17] یا انحطاط نامیده می شود .
  2. در هر زمان به سمت پایین [15] هدایت می شود{\ displaystyle A، B \ in {\ mathcal {B}}} سپس برخی وجود دارد{\ displaystyle C \ در {\ mathcal {B}}} به طوری که{\ displaystyle C \ subseteq A \ cap B.}
    • این ویژگی را می توان از نظر جهت دار بودن مشخص کرد ، که کلمه "جهت دار" را توضیح می دهد: یک رابطه دوتایی{\ displaystyle \، \ preceq \،} بر{\ mathcal {B}}در صورت وجود دو مورد (رو به بالا) نامیده می شود{\ displaystyle A {\ text {و}} B ،} برخی وجود دارد ج رضایت بخش {\ displaystyle A \ preceq C {\ text {و}} B \ preceq C.} استفاده كردن {\ displaystyle \، \ supseteq \،} در محل{\ displaystyle \، \ preceq \،}در حالی که استفاده می شود ، تعریف هدایت به سمت پایین را ارائه می دهد{\ displaystyle \، \ subseteq \،}در عوض تعریف هدایت به سمت بالا را ارائه می دهد . به صراحت {\ mathcal {B}}است به سمت پایین هدایت (محدوده کارگردانی رو به بالا ) اگر و تنها اگر برای همه{\ displaystyle A، B \ in {\ mathcal {B}}،} برخی "بزرگتر" وجود دارد {\ displaystyle C \ در {\ mathcal {B}}} به طوری که {\ displaystyle A \ supseteq C {\ text {و}} B \ supseteq C} (مانند آنکه {\ displaystyle A \ subseteq C {\ text {و}} B \ subseteq C}) - جایی که عنصر "بزرگتر" همیشه در سمت راست قرار دارد ، [توجه 5] - که می تواند به صورت زیر بازنویسی شود{\ displaystyle A \ cap B \ supseteq C} (نسبت به عنوان {\ displaystyle A \ cup B \ subseteq C})
    • اگر یک خانواده {\ mathcal {B}}دارای بزرگترین عنصر در رابطه با{\ displaystyle \، \ supseteq \،} (به عنوان مثال ، اگر {\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}}}) سپس لزوماً به سمت پایین هدایت می شود.
  3. بسته تحت تقاطع محدود (محدودهاتحادیه) اگر تقاطع (محدوده اتحادیه) از هر دو عنصر{\ mathcal {B}} عنصری از {\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}
    • اگر {\ mathcal {B}} سپس در تقاطع محدود بسته می شود{\ mathcal {B}}لزوماً به سمت پایین هدایت می شود برعکس به طور کلی نادرست است.
  4. بسته به بالا یاایزوتونداخلایکس[6] اگر{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X) {\ text {and}} {\ mathcal {B}} = {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X}،} یا معادل آن ، اگر هر زمانB \ در {\ ریاضی {B}} و مقداری ستج ارضا می کند {\ displaystyle B \ subseteq C \ subseteq X ، {\ text {then}} C \ in {\ mathcal {B}}.} به طور مشابه ، {\ mathcal {B}}است رو به پایین بسته اگر{\ displaystyle {\ mathcal {B}} = {\ mathcal {B}}^{\ downarrow}.}یک مجموعه بسته به سمت بالا (به ترتیب، رو به پایین) نیز نامیده می شود مجموعه ای بالا و یا ناراحت (RESP یک مجموعه کمتر و یا پایین مجموعه ).
    • خانواده{\ displaystyle {\ mathcal {B}}^{\ uparrow X} ،} که بسته شدن آن به سمت بالا است {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X،}منحصر به فرد است کوچکترین (با توجه به{\ displaystyle \، \ subseteq}) خانواده ایزوتون مجموعه های بیش از ایکس داشتن {\ mathcal {B}} به عنوان زیر مجموعه

بسیاری از خواص {\ mathcal {B}} در بالا و پایین تعریف شده است ، مانند "مناسب" و "جهت پایین" ، بستگی ندارد ایکس، بنابراین ذکر مجموعه ایکسهنگام استفاده از چنین شرایطی اختیاری است. تعاریف شامل "بسته شدن به سمت بالاایکس،"مانند فیلتر" فیلتر روشن شود ایکس،"بستگی به ایکس بنابراین مجموعه ایکس اگر از زمینه مشخص نیست باید ذکر شود.

 

 

{\ displaystyle {\ textrm {فیلترها}} (X) \ quad = \ quad {\ textrm {DualIdeals}} (X) \، \ setminus \، \ {\ wp (X) \} \ quad \ subseteq \ quad { \ textrm {Prefilters}} (X) \ quad \ subseteq \ quad {\ textrm {FilterSubbases}} (X).}