ادامه فیلترها در توپولوژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 19:40

انگیزه [ ویرایش ]

نمونه ای کهن الگوی فیلتر

archetypical نمونه ای از یک فیلتر است فیلتر محله ${\ ریاضی {N}} (x)$ در یک نقطه $ایکس$ در یک فضای توپولوژیکی ${\ displaystyle (X ، \ tau) ،}$ که خانواده مجموعه متشکل از همه محله های $ایکس.$ طبق تعریف ، محله ای از برخی نقاط مشخص $ایکس$ هر زیرمجموعه ای است $B \ subseteq X$ داخلی توپولوژیکی آن شامل این نقطه است. یعنی چنین ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {Int} _ {X} B.}$ نکته مهم، محله ها نمی مورد نیاز به مجموعه باز؛ به آنها محله باز گفته می شود . ویژگیهای اساسی مشترک با فیلترهای محله ، که در زیر فهرست شده است ، در نهایت به تعریف "فیلتر" تبدیل شد. فیلتر بر روی $ایکس$ یک مجموعه است ${\ mathcal {B}}$ از زیر مجموعه های $ایکس$ که تمام شرایط زیر را برآورده می کند:

خالی نیست : ${\ displaystyle X \ در {\ ریاضی {B}}}$ - فقط به عنوان ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {N}} (x)،}$ از آنجا که $ایکس$ همیشه محله ای از $ایکس$ (و هر چیز دیگری که حاوی آن است) ؛
شامل مجموعه خالی نیست : ${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}}}$ - درست مانند هیچ محله ای از $ایکس$ خالی است؛
بسته در تقاطع های محدود : اگر ${\ displaystyle B، C \ in {\ mathcal {B}} {\ text {then}} B \ cap C \ in {\ mathcal {B}}}$ - درست مثل تقاطع هر دو محله از $ایکس$ دوباره محله ای از $ایکس$ ؛
بسته به بالا : اگر ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} B \ subseteq S \ subseteq X}$ سپس ${\ displaystyle S \ در {\ mathcal {B}}}$ - درست مانند هر زیر مجموعه ای از $ایکس$ که شامل محله ای از $ایکس$ لزوما شود یک محله از $ایکس$ (این از ${\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} B \ subseteq \ operatorname {Int} _ {X} S}$ و تعریف "محله ای از $ایکس$ ")

تعمیم همگرایی دنباله با استفاده از مجموعه - تعیین همگرایی دنباله بدون دنباله

همچنین ببینید: محدوده دنباله و شبکه (ریاضیات)

توالی در $ایکس$ طبق تعریف نقشه است ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ to X}$ از اعداد طبیعی به فضا $ایکس.$ مفهوم اصلی همگرایی در یک فضای توپولوژیکی این بود که دنباله ای به نقطه معینی از یک فضا مانند فضای متریک همگرا می شود . با استفاده از فضاهای متریز (یا عموماً فضاهای قابل شمارش اول یا فضاهای فرشت -اوریسون ) ، توالی ها معمولاً برای توصیف یا توصیف بیشتر ویژگی های توپولوژیکی مانند بسته شدن زیر مجموعه ها یا تداوم توابع کافی هستند. اما فضاهای زیادی وجود دارد که در آنها نمی توان از توالی ها برای توصیف حتی ویژگی های اصلی توپولوژیکی مانند بسته شدن یا تداوم استفاده کرد. این شکست توالی ها انگیزه ای برای تعریف مفاهیمی مانند شبکه و فیلتر بود ، که هرگز در توصیف خصوصیات توپولوژیکی ناکام هستند.

شبکه ها به طور مستقیم مفهوم یک دنباله را تعمیم می دهند ، زیرا شبکه ها به طور کلی نقشه هستند ${\ displaystyle I \ to X}$ از مجموعه هدایت شده دلخواه ${\ displaystyle (I ، \ leq)}$ به فضا $ایکس.$ یک دنباله فقط یک شبکه است که دامنه آن است ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ با دستور طبیعی شبکه ها مفهوم خود را برای همگرایی دارند که تعمیم مستقیم همگرایی توالی است.

فیلترها فقط با در نظر گرفتن مقادیر یک دنباله ، همگرایی توالی را به گونه ای دیگر تعمیم می دهند. برای مشاهده نحوه انجام این کار ، دنباله ای را در نظر بگیرید ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty} {\ text {in}} X،}$ که طبق تعریف فقط یک تابع است ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$ که ارزش آن در $i \ in \ mathbb {N}$ با نشان داده می شود $x_ {i}$ به جای علامت پرانتز معمولی ${\ displaystyle x _ {\ bullet} (i)}$ که معمولاً برای توابع دلخواه استفاده می شود. فقط دانستن تصویر (گاهی اوقات "محدوده" نامیده می شود) ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}: = \ left \ {x_ {i}: i \ in \ mathbb {N} \ right \} = \ left \ {x_ {1}، x_ {2} ، \ ldots \ right \}}$ دنباله برای توصیف همگرایی آن کافی نیست. مجموعه های متعدد مورد نیاز است به نظر می رسد مجموعه های مورد نیاز موارد زیر است ، [توجه 2] که دم های دنباله نامیده می شوند ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ :

${\ displaystyle {\ begin {harmonat} {8} & \ {&& x_ {1}، && x_ {2}، && x_ {3}، && x_ {4}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] و \ {&& x_ {2}، && x_ {3}، && x_ {4}، && x_ {5}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] & \ {&& x_ {3}، && x_ {4}، && x_ {5}، && x_ {6}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] &&&&&& \؛ \، \ vdots &&&&& \ \ [0.3ex] & \ {&& x_ {n}، \؛ \؛ \ ، && x_ {n+1}، \؛ && x_ {n+2}، \؛ && x_ {n+3}، && \ ldots && \، \} \\ [0.3ex] &&&&&& \؛ \، \ vdots &&&&&& \\ [0.3ex] \ end {alignat}}}$

این مجموعه ها همگرایی (یا عدم همگرایی) این دنباله را کاملاً تعیین می کنند زیرا با توجه به هر نقطه ، این دنباله اگر و فقط اگر برای هر محله به آن همگرا می شود $U$ (از این نقطه) ، مقداری صحیح وجود دارد $n$ به طوری که $U$ شامل همه نکات است ${\ displaystyle x_ {n} ، x_ {n+1} ، \ ldots.}$ این را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

هر محله $U$ باید حاوی مجموعه ای از فرم باشد ${\ displaystyle \ {x_ {n} ، x_ {n+1} ، \ ldots \}}$ به عنوان زیر مجموعه

این ویژگی فوق است که می تواند با خانواده دم های بالا برای تعیین همگرایی (یا عدم همگرایی) دنباله استفاده شود. ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X.}$ به طور خاص ، با این مجموعه ها در دست ، عملکرد ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$ دیگر نیازی به تعیین همگرایی این دنباله نیست (مهم نیست که چه توپولوژی روی آن قرار می گیرد $ایکس$ ) با تعمیم این مشاهده ، مفهوم "همگرایی" را می توان از توابع به خانواده مجموعه ها گسترش داد.

مجموعه فوق از دنباله های یک دنباله به طور کلی فیلتر نیست ، اما با بستن رو به بالا فیلتر را " تولید " می کند . همین امر در مورد سایر خانواده های مهم مجموعه مانند هر محله ای در یک نقطه معین صادق است ، که به طور کلی نیز فیلتر نیست اما از طریق بسته شدن آن به سمت بالا فیلتر ایجاد می کند (به ویژه ، فیلتر محله را در آن نقطه تولید می کند) . خواص که این خانواده به اشتراک گذاری به مفهوم یک رهبری پایه فیلتر ، نیز نامیده پیش فیلتر ، که به تعریف هر خانواده داشتن خواص حداقل لازم و کافی برای آن را به تولید یک فیلتر طریق در نظر گرفتن آن است بسته شدن به سمت بالا تنها .

توری در مقابل فیلترها - مزایا و معایب

فیلترها و شبکه ها هر کدام مزایا و معایب خاص خود را دارند و هیچ دلیلی برای استفاده منحصر به فرد از تصورات دیگر وجود ندارد. [توجه 3] بسته به آنچه در حال اثبات است ، ممکن است با استفاده از یکی از این مفاهیم به جای دیگری ، اثبات آن به میزان قابل توجهی آسان شود. [3] از هر دو فیلتر و تور می توان برای توصیف کامل هر توپولوژی مشخص استفاده کرد . شبکه ها تعمیم مستقیم توالی ها هستند و اغلب می توانند مشابه توالی ها استفاده شوند ، بنابراین منحنی یادگیری برای شبکه ها معمولاً بسیار کمتر از فیلترها است. با این حال ، فیلترها و به ویژه اولترافیلترها کاربردهای بیشتری خارج از توپولوژی دارند ، مانند نظریه مجموعه ها ، منطق ریاضی ، نظریه مدل( برای مثال فراورده ها ) ، جبر انتزاعی ، [4] نظریه نظم ، فضاهای همگرایی تعمیم یافته ، فضاهای کوشی ، و در تعریف و استفاده از اعداد هایپررئال .

مانند توالی ها ، شبکه ها توابع هستند و بنابراین مزایای توابع را دارند . به عنوان مثال ، مانند توالی ها ، شبکه ها را می توان به سایر توابع "متصل" کرد ، جایی که "اتصال" فقط ترکیب عملکرد است . قضایای مربوط به توابع و ترکیب عملکردها ممکن است در شبکه ها اعمال شوند. یک مثال ، ویژگی جهانی محدوده های معکوس است که بر اساس ترکیب توابع و نه مجموعه ها تعریف می شود و به راحتی بر روی توابع مانند شبکه اعمال می شود تا مجموعه هایی مانند فیلترها (نمونه بارز محدودیت معکوس محصول دکارتی است ) . استفاده از فیلترها ممکن است در موقعیت های خاصی ناخوشایند باشد ، مثلاً هنگام تعویض بین فیلتر روی یک فضا $ایکس$ و یک فیلتر در یک زیرفضا متراکم ${\ displaystyle S \ subseteq X.}$ [5]

بر خلاف شبکه ها ، فیلترها (و پیش فیلترها) مجموعه ای از مجموعه ها هستند و بنابراین مزایای مجموعه ها را دارند . به عنوان مثال ، اگر $f$ پس از تصور یا عقب کشیدن ، جزئی است ${\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {B}}): = \ left \ {f^{-1} (B) ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \ right \} }$ فیلتر یا پیش فیلتر دلخواه ${\ mathcal {B}}$ هم به راحتی تعریف می شود و هم ضمانت می شود که یک پیش فیلتر باشد ، در حالی که نحوه تعریف عقب نشینی یک دنباله دلخواه (یا خالص) کمتر مشخص است. ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ به طوری که بار دیگر دنباله یا شبکه است (مگر اینکه $f$ همچنین تزریقی و در نتیجه یک تزریق است ، که یک الزام شدید است). زیرا فیلترها از زیر مجموعه های فضای بسیار توپولوژیکی تشکیل شده اند $ایکس$ در حال بررسی است ، ممکن است عملیات مجموعه توپولوژیکی (مانند بسته شدن یا داخل ) روی مجموعه هایی که فیلتر را تشکیل می دهند اعمال شود. بستن همه مجموعه ها در یک فیلتر گاهی اوقات برای تجزیه و تحلیل عملکرد مفید است . قضایا و نتایج در مورد تصاویر یا پیش تصویر مجموعه ها تحت یک تابع نیز ممکن است برای مجموعه هایی که یک فیلتر را تشکیل می دهند اعمال شود. نمونه ای از چنین نتیجه ای ممکن است یکی از ویژگیهای تداوم از نظر پیش تصویر مجموعه های باز/بسته یا از نظر اپراتورهای داخلی/بسته باشد. انواع خاصی از فیلترها به نام اولترافیلتردارای خواص مفید بسیاری است که می تواند به طور قابل توجهی در اثبات نتایج کمک کند. یکی از جنبه های منفی شبکه ها وابستگی آنها به مجموعه های هدایت شده است که دامنه آنها را تشکیل می دهد ، که به طور کلی ممکن است کاملاً بی ارتباط با فضا باشد. $ایکس.$ در واقع ، کلاس شبکه ها در یک مجموعه معین $ایکس$ بسیار بزرگتر از آن است که حتی یک مجموعه باشد ( کلاس مناسبی است ) ؛ این به این دلیل است که شبکه ها در $ایکس$ می تواند دامنه های هر نوع اصلی را داشته باشد. در مقابل ، مجموعه ای از همه فیلترها (و همه پیش فیلترها) روشن است $ایکس$ مجموعه ای است که اصالت آن از آن بزرگتر نیست ${\ displaystyle \ wp (\ wp (X)).}$ مشابه توپولوژی در $ایکس،$ یک فیلتر روشن است $ایکس$ "ذاتی" است $ایکس$ "به این معنا که هر دو ساختار به طور کامل از زیر مجموعه هایی از $ایکس$ و هیچ یک از دو تعریف به مجموعه ای نیاز ندارند که از آنها ساخته نشود $ایکس$ (مانند $\ mathbb {N}$ یا سایر مجموعه های کارگردانی شده ، که دنباله ها و شبکه ها به آن نیاز دارند).

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی