مقدمات پیش فیلترها

اجازه دهید {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y).} با این فرض که f: X \ به Yاست پوشا :

{\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}پیش فیلتر (محدوده فیلتر subbase است π -System، تحت اتحادیه محدود بسته، مناسب) اگر و تنها اگر این درست باشد{\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}

با این حال ، اگر {\ mathcal {B}} یک فوق فیلتر روشن است Y سپس حتی اگر f جزئی است (که می تواند {\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})} یک پیش فیلتر) ، با این وجود هنوز هم برای پیش فیلتر امکان پذیر است {\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})} نه فوق العاده باشد و نه فیلتر ایکس [35] (برای مثال به پاورقیاین [توجه 9] مراجعه کنید ).

اگرf: X \ به Y غیرمنتظره است سپس نشان از ردپای {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} f (X)} توسط {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)} ،} جایی که در این مورد خاص ردیابی می کند:

 

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)} = f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {B}}) \ right)}

و در نتیجه نیز:

 

{\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {B}}) = f^{-1} \ چپ ({\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)} \ راست ).}

 

این برابری و این واقعیت که ردیابی{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}} خانواده ای از مجموعه ها به پایان رسیده است f (X) به این معنی که برای نتیجه گیری در مورد  ردیابی {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}} می تواند به جای استفاده شود {\ mathcal {B}}و سوژه{\ displaystyle f: X \ به f (X)} می تواند به جای استفاده شود {\ displaystyle f: X \ به Y.} به عنوان مثال: [14] [11] [36]

{\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}پیش فیلتر (محدوده فیلتر subbase است π -System، مناسب) اگر و تنها اگر این درست باشد{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}.}

به این ترتیب ، موردی که در آن f نمی توان (الزاماً) فاعلی را تا حد یک عملکرد تابع کاهش داد.

حتی اگر {\ mathcal {B}} یک فوق فیلتر روشن است Z ، اگر f غیرمنتظره است پس با این وجود ممکن است که{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}،} که باعث خواهد شد{\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})}هم منحط ویژگی بعدی نشان می دهد که انحطاط تنها مانع است. اگر{\ mathcal {B}}یک پیش فیلتر است ، سپس موارد زیر معادل هستند: [14] [11] [36]

  1. {\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})} یک پیش فیلتر است ؛
  2. {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}} یک پیش فیلتر است ؛
  3. {\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {f (X)}}؛
  4. {\ mathcal {B}} مش باf (X)

و علاوه بر این ، اگر{\ displaystyle f^{-1} ({\ ریاضی {B}})} یک پیش فیلتر است پس اینطور است {\ displaystyle f \ left (f^{-1} ({\ mathcal {B}}) \ right).}[14] [11]

اگر {\ displaystyle S \ subseteq Y} و اگر{\ displaystyle \ operatorname {In}: S \ to Y} نشان دهنده نقشه گنجاندن سپس اثری از{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S} برابر با پیش تصویر است {\ displaystyle \ operatorname {In} ^{-1} ({\ mathcal {B}}).}[11] این مشاهده اجازه می دهد تا نتایج موجود در این بخش برای بررسی آثار روی یک مجموعه استفاده شود.

تزریق ، تزریق و عمل جراحی

همه ویژگی های مربوط به فیلترها تحت عنوان فرضیه ها حفظ می شوند. این بدان معناست که اگر{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y) {\ text {و}} g: Y \ to Z} پس از آن یک بیژن است {\ mathcal {B}} یک پیش فیلتر است (resp. ultra ، ultra prefilter ، filter on) ایکس، فوق فیلتر روشن است ایکس،subbase فیلتر ، π –system ، ایده آل روشن استایکس، و غیره) اگر و تنها در صورتی که همین امر در مورد آن صادق باشد {\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}}) {\ متن {در}} Z.}[35]

نقشه g: Y \ به Z اگر و فقط اگر برای همه پیش فیلترها تزریقی باشد {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X، {\ mathcal {B}}} برابر است با {\ displaystyle g^{-1} (g ({\ mathcal {B}})).}[28] تصویر یک خانواده فوق العاده از مجموعه های تحت تزریق دوباره فوق العاده است.

نقشه f: X \ به Yاگر و فقط در هر زمان یک تخلف است{\ mathcal {B}} یک پیش فیلتر روشن است Y پس همین امر در مورد {\ displaystyle f^{-1} ({\ mathcal {B}}) {\ text {on}} X} (این نتیجه نیازی به لمای فوق فیلتر ندارد).