ادامه فیلترها در توپولوژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 19:57

اولترانت ها و پیش فیلترهای فوق العاده

یک شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet} {\ text {in}} X}$ یک شبکه اولترانتیک یا جهانی در آن نامیده می شود $ایکس$ اگر برای هر زیر مجموعه ${\ displaystyle S \ subseteq X ، x _ {\ bullet}}$ در نهایت در $س$ یا در نهایت وارد می شود ${\ displaystyle X \ setminus S}$ ؛ این اتفاق می افتد اگر و فقط اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ یک پیش فیلتر فوق العاده است یک پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} X}$ یک پیش فیلتر فوق العاده است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ یک ultranet در است $ایکس.$

شبکه تا حدی سفارش داده شده [ ویرایش ]

دامنه شبکه متعارف ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ به طور کلی سفارش نشده است با این حال، در سال 1955 برنس و اشمیت کشف [42] ساخت و ساز است که اجازه می دهد تا برای خالص متعارف به یک دامنه است که هر دو پاره مرتب و کارگردانی؛ این به طور مستقل توسط کشف شد آلبرت Wilansky در سال 1970. [4] آن را با ساخت یک آغاز می شود ترتیب جزئی سخت (یعنی متعدی و رابطه irreflexive ) ${\ displaystyle \، <\،}$ در زیرمجموعه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X}$ که مشابه ترتیب واژه شناسی در است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N}}$ از دستورات جزئی جزئی ${\ displaystyle ({\ mathcal {B}}، \ supsetneq) {\ text {and}} (\ mathbb {N}، <).}$ برای هرچی ${\ displaystyle i = (B، m، b) {\ text {and}} j = (C، n، c)}$ که در ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X،}$ اعلام کنید که $من <ج$ اگر و تنها اگر

${\ displaystyle B \ supseteq C {\ text {و یا:}} {\ text {(1)}} B \ neq C {\ text {یا دیگری (2)}} B = C {\ text {and}} m <n،}$

یا معادل آن ، اگر و فقط اگر ${\ displaystyle {\ text {(1)}} B \ supseteq C ، {\ text {و (2) if}} B = C {\ text {then}} m <n.}$

غیر دقیق سفارش جزئی در ارتباط با ${\ displaystyle \، <،}$ نشان داده شده توسط ${\ displaystyle \، \ leq،}$ با اعلام آن تعریف می شود ${\ displaystyle i \ leq j \، {\ text {if and only if}} i <j {\ text {or}} i = j.}$ بازکردن این تعاریف ویژگی های زیر را ارائه می دهد:

$i \ leq j$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle {\ text {(1)}} B \ supseteq C ، {\ text {و (2) if}} B = C {\ text {then}} m \ leq n،}$ و همچنین ${\ displaystyle {\ text {(3) if}} B = C {\ text {and}} m = n {\ text {then}} b = c،}$

که نشان می دهد که ${\ displaystyle \، \ leq \،}$ فقط است سفارش واژه در ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X}$ ناشی از ${\ displaystyle ({\ mathcal {B}}، \ supseteq)، \، (\ mathbb {N}، \ leq)، {\ text {and}} (X، =)،}$ جایی که $ایکس$ تا حدی با برابری سفارش شده است ${\ displaystyle \، =. \،}$ [یادداشت 12] هر دو ${\ displaystyle \، <{\ text {and}} \ leq \،}$ سریال هستند و هیچ کدام دارای بزرگترین عنصر یا حداکثر عنصر نیستند . اگر هر کدام به زیر مجموعه ای محدود شوند ، این امر صادق است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X}$ تعریف شده بوسیله ی

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {Poset} _ {\ mathcal {B}} \؛ &: = \؛ \ {\، (B، m، b) \؛ \ in \؛ { \ mathcal {B}} \ times \ mathbb {N} \ times X ~: ~ b \ in B \، \}، \\\ end {alignat}}}$

جایی که از این پس فرض می شود که آنها هستند. تعیین تکلیف ${\ displaystyle i = (B ، m ، b) \ mapsto به b}$ از این زیر مجموعه توسط:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}} \: \ && \ \ operatorname {Poset} _ {\ mathcal {B}} \ && \، \ به \ ؛ & X \\ [0.5ex] && \ (B، m، b) \ && \، \ mapsto \؛ & b \\ [0.5ex] \ end {alignat}}}$

اگر ${\ displaystyle i_ {0} = \ چپ (B_ {0} ، m_ {0} ، b_ {0} \ راست) \ در \ نام اپراتور {Poset} _ {\ mathcal {B}}}$ سپس درست مانند ${\ displaystyle \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ قبل ، دم از ${\ displaystyle \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}}}$ شروع در $i_ {0}$ برابر است با ${\ displaystyle B_ {0}.}$ اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روشن است $ایکس$ سپس ${\ displaystyle \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}}}$ یک خالص در است $ایکس$ دامنه آن ${\ displaystyle \ operatorname {Poset} _ {\ mathcal {B}}}$ یک مجموعه تا حدی سفارش داده شده است و علاوه بر این ، ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (\ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}} \ right) = {\ mathcal {B}}.}$ [4] چون دم از ${\ displaystyle \ operatorname {PosetNet} _ {\ mathcal {B}} {\ text {and}} \ operatorname {Net} _ {\ mathcal {B}}}$ یکسان هستند (زیرا هر دو برابر با پیش فیلتر هستند ${\ mathcal {B}}$ ) ، معمولاً با فرض اینکه دامنه شبکه مرتبط با پیش فیلتر هم جهت دار و هم تا حدی مرتب شده است چیزی از دست نمی رود . [4] اگر مجموعه $\ mathbb {N}$ با اعداد منطقی مثبت و سپس دستور جزئی جزئی جایگزین می شود $<$ همچنین یک دستور متراکم خواهد بود

فیلترهای فرعی و زیر شبکه ها [ ویرایش ]

مفهوم " ${\ mathcal {B}}$ تابع است ${\ mathcal {C}}$ " (نوشته شده است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vdash {\ mathcal {C}}}$ ) برای فیلترها و پیش فیلترها چیست " ${\ displaystyle x_ {n _ {\ bullet}} = \ چپ (x_ {n_ {i}} \ راست) _ {i = 1}^{\ infty}}$ متعاقب آن است ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1}^{\ infty}}$ "برای توالی است. [24] به عنوان مثال ، اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ left \ {x _ {\ geq i}: i \ in \ mathbb {N} \ right \}}$ مجموعه دم های را نشان می دهد ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ و اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right) = \ left \ {x_ {n _ {\ geq i}}: i \ in \ mathbb {N} \ right \}}$ مجموعه دم های بعدی را نشان می دهد ${\ displaystyle x_ {n _ {\ bullet}}}$ (جایی که ${\ displaystyle x_ {n _ {\ geq i}}: = \ left \ {x_ {n_ {i}} ~: ~ i \ in \ mathbb {N} \ right \}}$ ) سپس ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right) ~ \ vdash ~ \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ (به این معنا که، ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ leq \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right)}$ ) درست است اما ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right) ~ \ vdash ~ \ operatorname {Tails} \ left (x_ {n _ {\ bullet}} \ right)}$ به طور کلی نادرست است اگر ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک شبکه در یک فضای توپولوژیکی است $ایکس$ و اگر ${\ ریاضی {N}} (x)$ است فیلتر محله در یک نقطه ${\ displaystyle x \ in X،}$ سپس ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to x {\ text {in}} X {\ text {if and only if}} {\ mathcal {N}} (x) \ leq \ operatornname {Tails} \ left (x_ {\ bullet} \ right).}$

آنالوگ های تبعی از نتایج شامل زیرمجموعه ها [ ویرایش ]

نتایج زیر آنالوگ های پیش فیلتر گزاره هایی هستند که شامل موارد فرعی هستند. [43] شرط " ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}} ،}$ "که آن نیز نوشته شده است ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ vdash {\ mathcal {B}} ،}$ آنالوگ "است ${\ mathcal {C}}$ متعاقب آن است ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ "بنابراین" ظریف تر "و" تابع "، آنالوگ پیش فیلتر" متعاقب "است. برخی افراد ترجیح می دهند به جای" ظریف تر از "گفتن" تابع "، زیرا بیشتر یادآور" متعاقب "است.

پیشنهاد [43] [39] - اجازه دهید ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر روی آن باشید $ایکس$ و اجازه دهید ${\ displaystyle x \ in X.}$

فرض کنید ${\ mathcal {C}}$ یک پیش فیلتر است به گونه ای که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}}.}$
1. اگر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} X {\ text {then}} {\ mathcal {C}} \ to x {\ text {in}} X.}$ [اثبات 4]
  - این آنالوگ "اگر دنباله ای به همگرایی داشته باشد" است $ایکس$ پس هر فرعی نیز چنین می کند. "
2. اگر $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {in}} X}$ سپس $ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X.}$
  - این قیاس "اگر" است $ایکس$ پس یک نقطه خوشه ای از برخی فرعیات است $ایکس$ یک نقطه خوشه از دنباله اصلی است. "
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ to x {\ text {in}} X}$ اگر و فقط اگر برای هر پیش فیلتر ظریف تر ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}}}$ حتی یک پیش فیلتر دقیق تر نیز وجود دارد ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ geq {\ mathcal {C}}}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to x {\ text {in}} X.}$ [39]
- این آنالوگ "دنباله ای به همگرا است" است $ایکس$ اگر و فقط در صورتی که هر فرعی دارای یک فرعی فرعی است که به آن همگرا می شود $ایکس.$ "
$ایکس$ یک نقطه خوشه ای از ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {in}} X}$ اگر و تنها در صورتی که پیش فیلتر دقیق تری وجود داشته باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ geq {\ mathcal {B}}}$ به طوری که ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ to x {\ text {in}} X.}$
- این آنالوگ " $ایکس$ یک نقطه خوشه از یک دنباله است اگر و تنها در صورتی که دارای یک فرعی باشد که به آن همگرا می شود $ایکس.$ "

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Filters_in_topology

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی