پیش فیلترهای محدود و مجموعه های متناهی

اگر فیلتر فرعی باشد{\ mathcal {B}}محدود است سپس ثابت است (یعنی رایگان نیست) ؛ این به دلیل این هست که{\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} = \ bigcap _ {B \ in {\ mathcal {B}}} B} یک تقاطع محدود و زیر فیلتر است {\ mathcal {B}}دارای ویژگی تقاطع محدود است. یک پیش فیلتر محدود لزوماً اصلی است ، اگرچه لازم نیست تحت تقاطع های محدود بسته شود.

اگر ایکس متناهی است پس همه نتیجه گیری های بالا برای هر کدام صادق است {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X).} به طور خاص ، در مجموعه ای محدود ایکس، هیچ زیر فیلتر رایگان (یا پیش فیلتر) وجود ندارد ، همه پیش فیلترها اصلی هستند و همه فیلترها روشن هستندایکس فیلترهای اصلی تولید شده توسط هسته (غیر خالی) آنها هستند.

فیلتر بی اهمیت \{ایکس\} همیشه یک فیلتر محدود روشن است ایکس و اگرایکس نامتناهی است ، بنابراین تنها فیلتر محدود است زیرا یک فیلتر محدود غیر پیش پا افتاده روی یک مجموعه است ایکس اگر و فقط اگر امکان پذیر است ایکسمتناهی است با این حال ، در هر مجموعه ای نامحدود ، زیر فیلترها و پیش فیلترهای پیش پا افتاده ای وجود دارند که محدود هستند (اگرچه نمی توانند فیلتر باشند). اگرایکس یک مجموعه تک نفره و سپس فیلتر بی اهمیت است \{ایکس\} تنها زیر مجموعه مناسب آن است{\ displaystyle \ wp (X).} این مجموعه\{ایکس\} یک فیلتر فوق فیلتر اصلی و هر مجموعه ای فوق العاده است{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ supseteq {\ mathcal {B}}} (جایی که {\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (Y) {\ text {و}} X \ subseteq Y}) با ویژگی تقاطع محدود ، یک پیش فیلتر فوق العاده اصلی نیز خواهد بود (حتی اگر Y بی نهایت است)

مشخصه پیش فیلترهای فوق العاده ثابت [ ویرایش ]

اگر خانواده ای از مجموعه ها {\ mathcal {B}} ثابت است (یعنی {\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}} \ neq \ varnothing}) سپس{\ mathcal {B}} فوق العاده است اگر و فقط اگر برخی از عناصر از {\ mathcal {B}} یک مجموعه تک نفره است ، در این صورت {\ mathcal {B}}لزوماً یک پیش فیلتر خواهد بود. هر پیش فیلتر اصلی ثابت است ، بنابراین یک پیش فیلتر اصلی{\ mathcal {B}} فوق العاده است اگر و فقط اگر {\ displaystyle \ ker {\ mathcal {B}}} یک مجموعه تک نفره است

هر فیلتر روشن است ایکس که در یک نقطه اصلی یک فیلتر اولترا فیلتر است ، و اگر علاوه بر آن ایکس محدود است ، پس هیچ فیلتر اولترافیلتری روی آن وجود ندارد ایکسغیر از اینها [7]

قضیه بعدی نشان می دهد که هر فیلتر فوق فیلتر به یکی از دو دسته تقسیم می شود: یا رایگان است یا فیلتر اصلی است که توسط یک نقطه ایجاد می شود.

پیشنهاد  -  اگر{\ mathcal {F}} یک فوق فیلتر روشن استایکس بعدی ها برابر هستند:

  1. {\ mathcal {F}} به معنی ثابت یا معادل آن رایگان نیست {\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} \ neq \ varnothing.}
  2. {\ mathcal {F}} اصلی است ، یعنی {\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} \ in {\ mathcal {F}}.}
  3. برخی از عناصر از {\ mathcal {F}} مجموعه ای محدود است
  4. برخی از عناصر از {\ mathcal {F}} یک مجموعه تک نفره است
  5. {\ mathcal {F}} در مقطعی اصلی است ایکس، که به معنی{\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} = \ {x \} \ in {\ mathcal {F}} {\ text {for some}} x \ in X.}
  6. {\ mathcal {F}}کند نه شامل فیلتر فریشه درایکس.
  7. {\ mathcal {F}}متوالی است [10]

 

ریزتر/درشت تر ، تابع و مشبک [ ویرایش ]

پیش سفارش {\ displaystyle \، \ leq \،}که در زیر تعریف شده است اهمیت اساسی برای استفاده از پیش فیلترها (و فیلترها) در توپولوژی دارد. به عنوان مثال ، این پیش سفارش برای تعریف معادل پیش فیلتر "فرعی" استفاده می شود ، [24] جایی که "{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ geq {\ mathcal {C}}}"می توان اینگونه تفسیر کرد"{\ mathcal {F}} متعاقب آن است {\ mathcal {C}}"(بنابراین" تابع "معادل پیش فیلتر" پسوند ") است. همچنین برای تعریف همگرایی پیش فیلتر در یک فضای توپولوژیکی استفاده می شود.{\ mathcal {B}} مش با{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ،} که ارتباط تنگاتنگی با پیش سفارش دارد {\ displaystyle \، \ leq،}در توپولوژی برای تعریف نقاط خوشه استفاده می شود .

دو خانواده مجموعه{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}} مش [8] و سازگار هستند ، با نوشتن نشان داده می شود{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \#{\ mathcal {C}}،} اگر{\ displaystyle B \ cap C \ neq \ varnothing {\ text {for all}} B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} C \ in {\ mathcal {C}}.} اگر{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}مش نکنید سپس جدا می شوند . اگر{\ displaystyle S \ subseteq X {\ text {و}} {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)} سپس{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S}گفته می شود اگر مش{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} \ {S \}} مش ، یا معادل آن ، اگر اثری از{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S ،} که خانواده است

 

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {S} = \ {B \ cap S ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \}،}

شامل مجموعه خالی نیست ، جایی که ردیف نیز نامیده می شود محدودیت از{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ متن {به}} S.}

 

آن را اعلام کنید{\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}} ، {\ mathcal {F}} \ geq {\ mathcal {C}} ، {\ text {و}} {\ mathcal {F} } \ vdash {\ mathcal {C}} ،} عنوان شده به عنوان{\ mathcal {C}}است درشت تر{\ mathcal {F}} و {\ mathcal {F}}است بهتر از (یا تابع ){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ،}[11] [12] [13] [9] [10] در صورت وجود هر یک از شرایط معادل زیر:
  1. تعریف: هر C \ در {\ mathcal {C}} حاوی برخی{\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}.} به صراحت ، این بدان معناست که برای هر کسی {\ displaystyle C \ in {\ mathcal {C}}،} برخی وجود دارد F \ در {\ ریاضی {F}} به طوری که {\ displaystyle F \ subseteq C.}
    • به زبان انگلیسی ساده تر ، {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}} اگر هر مجموعه ای در{\ mathcal {C}}است بزرگتر از برخی از مجموعه ای در{\ mathcal {F}}. در اینجا ، "مجموعه بزرگتر" به معنی یک مجموعه بزرگ است.
  2. {\ displaystyle \ {C \} \ leq {\ mathcal {F}} {\ متن {برای هر}} C \ در {\ mathcal {C}}.}
    • به حروف،{\ displaystyle \ {C \} \ leq {\ mathcal {F}}} دقیقاً همین را بیان می کند ج بزرگتر از برخی از تنظیمات است{\ mathcal {F}}. معادل (الف) و (ب) بلافاصله دنبال می شود.
    • از این خصوصیات ، نتیجه می شود که اگر {\ displaystyle \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{i} \ right) _ {i \ in I}} خانواده های مجموعه هستند ، پس {\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} {\ mathcal {C}} _ ​​{i} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {if and only if}} {\ mathcal {C}} _ {i} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {for all}} i \ in I.}
  3. {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}،} که معادل آن است{\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}}؛
  4. {\ displaystyle {\ mathcal {C}}^{\ uparrow X} \ leq {\ mathcal {F}}}؛
  5. {\ displaystyle {\ mathcal {C}}^{\ uparrow X} \ leq {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}،} که معادل آن است؛

و اگر بعلاوه {\ mathcal {F}} به سمت بالا بسته شده است ، به این معنی که{\ displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {F}}^{\ uparrow X}،} سپس این لیست را می توان به موارد زیر گسترش داد:

  1. {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subseteq {\ mathcal {F}}.}[6]

اگر یک خانواده بسته به بالا{\ mathcal {F}} ظریف تر از{\ mathcal {C}} (به این معنا که، {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}}) ولی{\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ neq {\ mathcal {F}}} سپس {\ mathcal {F}}گفته می شود که بسیار دقیق تر از{\ mathcal {C}} و{\ mathcal {C}}است به شدت درشت از{\ mathcal {F}}.

اگر یکی از این مجموعه ها از دیگری بهتر باشد ، دو خانواده قابل مقایسه هستند . [11]

فرض کن که{\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}} خانواده های مجموعه ای هستند که رضایت بخش هستند {{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {F}} {\ text {and}} {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {F}}.} سپس {\ displaystyle \ ker {\ mathcal {F}} \ subseteq \ ker {\ mathcal {C}}،} و  و همچنین  اگر علاوه بر یک زیر پایه فیلتر است و سپس {\ mathcal {C}}یک زیر فیلتر [9] است و همچنین{\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}}مش [19] [اثبات 2] به طور کلی ، اگر هر دو و اگر تقاطع هر دو عنصر از {\ mathcal {F}} خالی نیست ، پس {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}}مش [اثبات 2] هر زیرپایه فیلتر هم از سیستم π تولید شده و هم از فیلتری که تولید می کند درشت تر است . [9]

اگر{\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ text {و}} {\ mathcal {F}}} آیا خانواده ها به گونه ای هستند که  خانواده {\ mathcal {C}} فوق العاده است ، و  سپس {\ mathcal {F}}لزوما فوق العاده است نتیجه می گیرد که هر خانواده ای که معادل یک خانواده فوق العاده باشد ، لزوماً فوق العاده خواهد بود . به طور خاص ، اگر{\ mathcal {C}} یک پیش فیلتر است یا هر دو {\ mathcal {C}} و فیلترتولید می کند فوق العاده و یا هیچ یک فوق العاده است. اگر یک زیر فیلتر فوق العاده باشد ، لزوماً یک پیش فیلتر است ، در این صورت فیلتری که تولید می کند نیز فوق العاده خواهد بود. یک زیر فیلتر{\ mathcal {B}}که پیش فیلتر نیست نمی تواند فوق العاده باشد. اما با این وجود هنوز هم برای پیش فیلتر و فیلتر ایجاد شده توسط{\ mathcal {B}}فوق العاده بودن اگر{\ displaystyle S \ subseteq X {\ text {و}} {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)} به سمت بالا بسته شده است ایکس