تنظیم خصوصیات نظری و ساختارهای مربوط به توپولوژی [ ویرایش ]

ردیابی و مشبک [ ویرایش ]

اگر{\ mathcal {B}} یک پیش فیلتر (resp. filter) است {\ displaystyle X {\ text {و}} S \ subseteq X} سپس ردپای {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S ،} که خانواده است {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {S}: = {\ mathcal {B}} (\ cap) \ {S \}،} اگر و فقط اگر یک پیش فیلتر (مانند فیلتر) است{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S} مش (یعنی ، {\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}} (\ cap) \ {S \}}[11] ) ، در این صورت اثری از{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S}گفته می شود که ناشی ازس. اگر{\ mathcal {B}} فوق العاده است و اگر {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S} مش سپس ردیابی{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ big \ vert} _ {S}}فوق العاده است اگر{\ mathcal {B}} یک فوق فیلتر روشن است ایکس سپس ردپای {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} S} فیلتر روشن است س اگر و تنها اگر {\ displaystyle S \ in {\ mathcal {B}}.}

به عنوان مثال ، فرض کنید که {\ mathcal {B}} فیلتر روشن است {\ displaystyle X {\ text {و}} S \ subseteq X} چنین است که {\ displaystyle S \ neq X {\ text {و}} X \ setminus S \ not \ in {\ mathcal {B}}.} سپس {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} S} مش و {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cup \ {S \}} فیلتر روشن می کند ایکس که بسیار دقیق تر از {\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}[11]

وقتی پیش فیلترها مشبک می شوند

با توجه به خانواده های غیر خالی {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}،} خانواده

 

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}: = \ {B \ cap C ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} {\ text {and}} C \ در {\ ریاضی {C}} \}}

ارضا می کند {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}} و {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}.} اگر {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}} مناسب است (به عنوان مثال ، یک پیش فیلتر ، یک زیر فیلتر) ، این در مورد هر دو نیز صادق است {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}.} به منظور هر گونه استنباط معنی دار در مورد{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}} از جانب {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {and}} {\ mathcal {C}}، {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}} باید مناسب باشد (یعنی{\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}،}که انگیزه ای برای تعریف "مش" است. در این مورد،{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}} اگر و فقط در صورتی که این مورد در مورد هر دو صادق باشد ، یک پیش فیلتر است {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}.} اگر متفاوت باشد ، گفت: {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}} پیش فیلتر هستند و اگر و فقط اگر مش باشند {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}}یک پیش فیلتر است تعمیم یک ویژگی شناخته شده از "مش" را کاملاً از نظر تبعیت ارائه می دهد (یعنی ،{\ displaystyle \، \ leq \،}):

 

     دو پیش فیلتر (زیر فیلترهای مربوطه). {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}} مش در صورت وجود و تنها در صورت وجود پیش فیلتر (مربوطه. زیر فیلتر) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}} به طوری که {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}} و{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ leq {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}.}

اگر حداقل فیلتر بالای دو فیلتر باشد{\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {و}} {\ mathcal {C}}} در وجود دارد{\ displaystyle \ operatorname {فیلترها} (X)} سپس این حداقل حد بالا برابر است با {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cap) {\ mathcal {C}}.}[28]

تصاویر و تصاویر پیش فرض تحت توابع [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: فهرست هویت ها و روابط مجموعه و جبر مجموعه ها

در طول ،{\ displaystyle f: X \ به Y {\ متن {و}} g: Y \ به Z} نقشه بین مجموعه های غیر خالی خواهد بود.

تصاویر پیش فیلترها

اجازه دهید {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y).} بسیاری از خواصی که{\ mathcal {B}}ممکن است تحت تصاویر نقشه ها حفظ شود. استثنائات قابل توجه شامل بسته شدن به سمت بالا ، بسته شدن در تقاطع های محدود و فیلتر بودن است که لزوماً حفظ نشده اند.

به صراحت ، اگر یکی از ویژگی های زیر صادق باشد {\ displaystyle {\ mathcal {B}} {\ text {on}} Y،} سپس لزوماً در مورد آن نیز صادق خواهد بود {\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}}) {\ متن {در}} g (Y)} (هرچند احتمالاً روی دامنه کد نیست Z مگر اینکه gاحتمالی است): [11] [14] [34] [35] [36] [32]

  • ویژگی های فیلتر: فوق العاده ، فوق فیلتر ، فیلتر ، پیش فیلتر ، زیر فیلتر ، ایده آل دوگانه ، بسته به سمت بالا ، مناسب/غیر متخلخل.
  • ویژگی های ایده آل: ایده آل ، تحت اتحادیه های محدود بسته ، به سمت پایین بسته ، به سمت بالا هدایت می شود.

علاوه بر این ، اگر {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (Y)} یک پیش فیلتر است پس هر دو نیز هستند {\ displaystyle g ({\ mathcal {B}}) {\ text {and}} g^{-1} (g ({\ mathcal {B}})).}[11] تصویر زیر نقشهf: X \ به Y از یک مجموعه فوق العاده {\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X)} دوباره فوق العاده است و اگر{\ mathcal {B}} یک پیش فیلتر فوق العاده است ، بنابراین نیز چنین است{\ displaystyle f ({\ mathcal {B}}).}

اگر{\ mathcal {B}} پس فیلتر است {\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}})} یک فیلتر در محدوده است {\ displaystyle g (Y) ،} اما یک فیلتر روی کدوم است Z اگر و تنها اگر gجزئی است [34] در غیر این صورت فقط یک پیش فیلتر روشن استZ و بسته شدن آن به سمت بالا باید انجام شود Zبرای به دست آوردن فیلتر بسته شدن رو به بالا از{\ displaystyle g ({\ ریاضی {B}}) {\ متن {در}} Z} است

 

{\ displaystyle g ({\ mathcal {B}})^{\ uparrow Z} = \ left \ {S \ subseteq Z ~: ~ B \ subseteq g^{-1} (S) {\ text {for some} } B \ in {\ mathcal {B}} \ right \}}

جایی که اگر {\ mathcal {B}} به سمت بالا بسته شده استY (یعنی یک فیلتر) سپس این امر ساده می شود:

 

{\ displaystyle g ({\ mathcal {B}})^{\ uparrow Z} = \ left = {S \ subseteq Z ~: ~ g^{-1} (S) \ in {\ mathcal {B}} \ درست\}.}

 

اگرX \ subseteq Y سپس گرفتن g نقشه گنجاندن باشد X \ به Y نشان می دهد که هر پیش فیلتر (resp. ultra prefilter ، subbase filter) روشن است ایکس همچنین یک پیش فیلتر (resp. ultra prefilter ، subbase filter) روشن است Y.[11]