۲ _طیف یک حلقه

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 19:4

انگیزه از هندسه جبری [ ویرایش ]

در ادامه مثال ، در هندسه جبری ، مجموعه های جبری مورد مطالعه قرار می گیرند ، یعنی زیر مجموعه های K n (جایی که K یک میدان جبری بسته است ) که به عنوان صفرهای مشترک مجموعه ای از چند جمله ای در n متغیر تعریف می شوند. اگر A چنین مجموعه جبری باشد ، حلقه جابجایی R همه توابع چند جمله ای A → K را در نظر می گیرد . حداکثر آرمان از R متناظر با نقاط (چون K است جبری بسته)، وایده آل های اصلی R با زیرگروه های A مطابقت دارد (مجموعه جبری غیرقابل تقلیل یا تنوع نامیده می شود اگر نتوان آن را به عنوان اتحاد دو زیر مجموعه جبری مناسب نوشت).

بنابراین طیف R شامل نقاط A به همراه عناصری برای همه زیرگروه های A است . نقاط A در طیف بسته شده اند ، در حالی که عناصر متناظر با زیرگونه ها دارای یک بسته هستند که از تمام نقاط و زیرگوارهای آنها تشکیل شده است. اگر تنها نقاط A ، یعنی حداکثر آرمانها در R را در نظر بگیریم ، توپولوژی زاریسکی که در بالا تعریف شد ، منطبق با توپولوژی زاریسکی است که بر روی مجموعه های جبری (که دقیقاً زیر مجموعه های جبری را به عنوان مجموعه های بسته دارد) منطبق است. به طور خاص ، حداکثر ایده آل ها در R ، یعنی ${\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec} (R)}$ ، همراه با توپولوژی زاریسکی ، با A توپولوژی زاریسکی همومورفیک A است.

بنابراین می توان فضای توپولوژیکی را مشاهده کرد $\ operatorname {Spec} (R)$ به عنوان "غنی سازی" فضای توپولوژیکی A (با توپولوژی زاریسکی): برای هر زیر واریته A ، یک نقطه غیر بسته دیگر اضافه شده است ، و این نقطه "زیر نظر" زیر تنوع مربوطه را "پیگیری" می کند. یکی این نقطه را به عنوان نقطه عمومی برای انواع فرعی در نظر می گیرد. علاوه بر این ، شف در $\ operatorname {Spec} (R)$ و تعداد توابع چند جمله ای در A اساساً یکسان است. با مطالعه طیف حلقه های چند جمله ای به جای مجموعه های جبری با توپولوژی زاریسکی ، می توان مفاهیم هندسه جبری را به زمینه های بسته غیر جبری و فراتر از آن تعمیم داد و سرانجام به زبان طرح ها رسید .

مثالها [ ویرایش ]

طرح وابسته ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$ از آنجا که آخرین مورد در رده طرح های وابسته است $\ mathbb {Z}$ شیء اولیه در دسته حلقه های تعویض است.
طرح وابسته ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}}^{n} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}])}$ آنالوگ نظری طرح است $\ mathbb {C} ^{n}$ . از منظر عملکرد نقاط ، یک نقطه ${\ displaystyle (\ alpha _ {1} ، \ ldots ، \ alpha _ {n}) \ در \ mathbb {C} ^{n}}$ می توان با مورفیسم ارزیابی شناسایی کرد ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}] {\ xrightarrow {ev _ {(\ alpha _ {1}، \ ldots، \ alpha _ {n})}}} \ mathbb {C}}$ . این مشاهده اساسی به ما اجازه می دهد تا به سایر طرح های وابسته معنا دهیم.
${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x، y]/(xy))}$ از نظر توپولوژیکی شبیه تقاطع عرضی دو صفحه پیچیده در یک نقطه است ، اگرچه معمولاً این به صورت a نشان داده می شود $+$ از آنجا که تنها ریخت شناسی به خوبی تعریف شده است $\ mathbb {C}$ مورفیسم های ارزیابی مرتبط با نقاط هستند ${\ displaystyle \ {(\ alpha _ {1} ، 0) ، (0 ، \ alpha _ {2}): \ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} \ in \ mathbb {C} \}}$ .
طیف اصلی حلقه بولی (به عنوان مثال ، حلقه تنظیم قدرت ) یک فضای فشرده (هاوسدورف) است . [4]
(م. هوچستر) یک فضای توپولوژیکی در طیف اصلی یک حلقه تعویض (یعنی یک فضای طیفی ) در صورتی همومورفیک است که فقط و فقط در صورتی که شبه فشرده ، شبه جدا و هوشیار باشد. [5]

نمونه های غیر وابسته [ ویرایش ]

در اینجا چند نمونه از طرح هایی که طرح های وابسته نیستند آورده شده است. آنها از چسباندن طرح های آمین به یکدیگر ساخته شده اند.

پروژه ای ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k}^{n} = \ operatornname {Proj} k [x_ {0}، \ ldots، x_ {n}]}$ بیش از یک میدان $ک$ . این را می توان به راحتی به هر حلقه پایه تعمیم داد ، ساختار Proj را ببینید (در واقع ، ما می توانیم فضای پروژکتیو را برای هر طرح پایه تعریف کنیم). پروژه ای $n$ -فضا برای $n \ geq 1$ به عنوان بخش جهانی از آن استفاده نمی شود ${\ mathbb {P}} _ {k}^{n}$ است $ک$ .
صفحه آفین منهای مبدأ. [6] داخل ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k}^{2} = \ operatorname {Spec} \، k [x، y]}$ زیرمجموعه های آفین باز متمایز هستند ${\ displaystyle D_ {x} ، D_ {y}}$ . اتحادیه آنها ${\ displaystyle D_ {x} \ cup D_ {y} = U}$ صفحه آفین با مبدا خارج شده است. بخشهای جهانی از $U$ جفت چند جمله ای هستند ${\ displaystyle D_ {x} ، D_ {y}}$ که به همان چند جمله ای on محدود می شود ${\ displaystyle D_ {xy}}$ ، که می توان آن را نشان داد ${\ displaystyle k [x، y]}$ ، بخش جهانی از ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k}^{2}}$ . $U$ مانند این نیست ${\ displaystyle V _ {(x)} \ cap V _ {(y)} = \ varnothing}$ که در $U$ .

توپولوژی های غیر زاریسکی در طیف اصلی [ ویرایش ]

این بخش نیاز به توسعه دارد . با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( ژوئن 2020 )

برخی از نویسندگان (به ویژه M. Hochster) توپولوژی را در طیف های اصلی غیر از توپولوژی زاریسکی در نظر می گیرند.

اول ، مفهوم توپولوژی ساختنی وجود دارد : با توجه به حلقه A ، زیر مجموعه های $\ operatorname {Spec} (A)$ از فرم ${\ displaystyle \ varphi ^{*} (\ operatorname {Spec} B) ، \ varphi: A \ to B}$ برآوردن بدیهیات برای مجموعه های بسته در یک فضای توپولوژیکی. این توپولوژی در $\ operatorname {Spec} (A)$ توپولوژی ساختنی نامیده می شود. [7] [8]

در ( Hochster 1969 ) ، هوچستر آنچه را که توپولوژی پچ می نامد در طیف اصلی در نظر می گیرد. [9] [10] [11] طبق تعریف ، توپولوژی پچ کوچکترین توپولوژی است که در آن مجموعه اشکال ${\ displaystyle V (I)}$ و ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A) -V (f)}$ بسته هستند

مشخصات جهانی یا نسبی [ ویرایش ]

نسخه نسبی فانکتور وجود دارد $\ operatorname {Spec}$ جهانی نامیده می شود $\ operatorname {Spec}$ ، یا نسبی $\ operatorname {Spec}$ . اگر $س$ یک طرح است ، سپس نسبی است $\ operatorname {Spec}$ با نشان داده می شود ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S}}$ یا ${\ displaystyle \ mathbf {Spec} _ {S}}$ . اگر $س$ از زمینه روشن است ، سپس Spec نسبی ممکن است با ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}}}$ یا ${\ displaystyle \ mathbf {Spec}}$ . برای یک طرح $س$ و یک شبه شبه منسجم از ${\ mathcal {O}} _ {S}$ -جبرها ${\ mathcal {A}}$ ، یک طرح وجود دارد ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}})}$ و یک شکل شناسی ${\ displaystyle f: {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}}) \ به S}$ به گونه ای که برای هر وابستگی باز ${\ displaystyle U \ subseteq S}$ ، ایزومورفیسم وجود دارد ${\ displaystyle f^{-1} (U) \ cong \ operatorname {Spec} ({\ mathcal {A}} (U))}$ ، و به گونه ای که برای وابستگی های باز ${\ displaystyle V \ subseteq U}$ ، گنجایش ${\ displaystyle f^{-1} (V) \ به f^{-1} (U)}$ توسط نقشه محدودیت القا می شود ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ به {\ mathcal {A}} (V)}$ . یعنی همانطور که همومورفیسم های حلقه باعث ایجاد نقشه های مخالف طیف می شوند ، نقشه های محدود کننده یک توده از جبرها باعث الحاق نقشه های طیفی می شود که مشخصات قوس را تشکیل می دهند.

Global Spec دارای یک ویژگی جهانی مشابه ویژگی جهانی برای Spec معمولی است. به طور دقیق تر ، همانطور که Spec و بخش جهانی متصل به هم هستند و بین دسته حلقه ها و طرح های تعویضی متصل هستند ، مشخصات عمومی و عملکرد مستقیم تصویر برای نقشه ساختار ، متقابل راست متقابل بین دسته جابجایی هستند. ${\ mathcal {O}} _ {S}$ جبر و طرح ها به پایان رسید $س$ . [ مشکوک - بحث کنید] در فرمول ها ،

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O}} _ {S} {\ text {-alg}}} ({\ mathcal {A}}، \ pi _ {*} {\ mathcal {O }} _ {X}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {{\ text {Sch}}/S} (X، \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {A}}))،}$

جایی که ${\ displaystyle \ pi \ روده بزرگ X \ به S}$ شکل یک طرح است

نمونه ای از مشخصات نسبی [ ویرایش ]

مشخصات نسبی ابزار درستی برای پارامتر بندی خانواده خطوط از طریق مبداء است ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}}^{2}}$ بر فراز ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a، b}^{1}.}$ توده جبر را در نظر بگیرید ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x، y]،}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = (ay-bx)}$ تکه ای از آرمان ها باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$ سپس مشخصات نسبی ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} ({\ mathcal {A}}/{\ mathcal {I}}) \ to \ mathbb {P} _ {a، b}^{ 1}}$ خانواده مورد نظر را پارامتر می کند. در واقع ، فیبر تمام شده است ${\ displaystyle [\ alpha: \ beta]}$ خط از طریق منشاء است ${\ mathbb {A}}^{2}$ حاوی نقطه ${\ displaystyle (\ alpha ، \ beta).}$ با فرض اینکه ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0،}$ با نگاه کردن به ترکیب نمودارهای عقب کش می توان فیبر را محاسبه کرد

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x، y]} {\ left (y-{\ frac {\ beta} {\ alpha}} x \ right)}} \ right) & \ to & operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] [x، y ]} {\ left (y-{\ frac {b} {a}} x \ right)}} \ right) & \ to & {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} \ left ({ \ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [x، y]} {\ left (ay-bx \ right)}} \ right) \\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \\\ operatornname { Spec} (\ mathbb {C}) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left (\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] \ right) = U_ {a} & \ to & \ mathbb {P} _ {a، b}^{1} \ end {matrix}}}$

جایی که ترکیب فلش های پایین است

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) {\ xrightarrow {[\ alpha: \ beta]}} \ mathbb {P} _ {a، b}^{1}}$

خط حاوی نقطه را می دهد $(\ آلفا ، \ بتا)$ و مبدا این مثال را می توان برای پارامترسازی خانواده خطوط از طریق مبداء تعمیم داد ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}}^{n+1}}$ بر فراز ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a_ {0} ، ... ، a_ {n}}^{n}}$ با اجازه دادن ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0} ، ... ، x_ {n}]}$ و ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ left (2 \ بار 2 {\ text {minors of}} {\ begin {pmatrix} a_ {0} & \ cdots & a_ {n} \\ x_ {0} & \ cdots & x_ {n} \ end {pmatrix}} \ right).}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

۲ _طیف یک حلقه

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین