حلقه ها و دیسک ها [ ویرایش ]

در هندسه هذلولی ، دور دایره شعاع r بیشتر از است2 \ pi r.

اجازه دهید R = {\ frac {1} {\ sqrt {-K}}}، جایی که کاست انحنای گاوسی از فضا. در هندسه هذلولی ،ک منفی است ، بنابراین ریشه مربع یک عدد مثبت است.

سپس محیط دایره شعاع r برابر است با:

2 \ pi R \ sinh {\ frac {r} {R}} \ ،.

و مساحت دیسک محصور شده:

{\ displaystyle 4 \ pi R ^ {2} \ sinh ^ {2} {\ frac {r} {2R}} = 2 \ pi R ^ {2} \ سمت چپ (\ cosh {\ frac {r} {R} } -1 \ راست) \ ،.}

بنابراین ، در هندسه هذلولی نسبت محیط یک دایره به شعاع آن همیشه کاملاً بیشتر از است 2 \ pi ، اگرچه می توان با انتخاب یک دایره به اندازه کافی کوچک خودسرانه آن را بست.

اگر انحنای صفحه گاوسی −1 باشد ، انحنای ژئودزیکی دایره شعاع r برابر است با:{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tanh (r)}}}[1]

هایپرچرخه و چرخه های حرارتی [ ویرایش ]

Hypercycle و pseudogon در مدل دیسک Poincare

مقالات اصلی: ابرچرخه (هندسه هذلولی) و چرخه فاز

در هندسه هذلولی ، هیچ خطی وجود ندارد که تمام نقاط آن از یک خط دیگر فاصله مساوی داشته باشند. در عوض ، نقاطی که همه دارای فاصله متعامد یکسان از یک خط معین هستند ، بر روی منحنی بنام ابرچرخه قرار دارند .

منحنی خاص دیگر ، چرخه چرخه است ، منحنی ای که شعاعهای طبیعی آن ( خطوط عمود ) همگی به طور موازی با یکدیگر محدود شده اند (همه به صورت مجانبی در یک جهت به همان نقطه ایده آل یعنی مرکز چرخه همسان جمع می شوند).

از طریق هر جفت نقطه ، دو چرخه چرخشی وجود دارد. مراکز horocycles هستند نقاط ایده آل از نیمساز و عمود بر خط قطعه بین آنها.

با توجه به هر سه نقطه مشخص ، همه آنها در یک خط ، ابرچرخه ، چرخه یا دایره قرار می گیرند.

طول خط قطعه کوتاه ترین طول بین دو نقطه است. طول قوس یک ابر موتور سیکلت که دو نقطه را به هم متصل می کند ، بیشتر از قطعه خط است و کوتاه تر از یک چرخه ساعت است و همان دو نقطه را به هم متصل می کند. طول چرخه هر دو چرخه متصل کننده دو نقطه برابر است. طول قوس دایره بین دو نقطه بزرگتر از طول قوس یک چرخه ساعت است که دو نقطه را بهم متصل می کند.

اگر انحنای صفحه گاوسی −1 باشد ، انحنای ژئودزیکی یک هوروسیکل 1 و یک ابرچرخه بین 0 تا 1 است. [1]

مثلث [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مثلث هذلولی

برخلاف مثلث اقلیدسی ، که زاویه ها همیشه به π شعاع (180 درجه ، یک زاویه مستقیم ) جمع می شوند ، در هندسه هذلولی مجموع زاویه های یک مثلث هذلولی همیشه به شدت کمتر از π شعاع (180 درجه ، یک زاویه مستقیم ) است. از این اختلاف به عنوان نقص یاد می شود .

مساحت یک مثلث هذلولی در اثر نقص آن در رادیان ضرب شده در R 2 داده می شود . در نتیجه، تمام مثلث هذلولی در منطقه است که کمتر از یا مساوی R 2 π. مساحت یک مثلث ایده آل هذلولی که در آن هر سه زاویه 0 درجه هستند برابر با این حداکثر است.

همانند هندسه اقلیدسی ، هر مثلث هذلولی دارای یک دایره است . در هندسه هذلولی ، اگر هر سه رئوس آن روی یک چرخه یا ابرچرخه قرار داشته باشد ، مثلث هیچ دایره محدودی ندارد .

همانند هندسه کروی و بیضوی ، در هندسه هذلولی اگر دو مثلث به هم شبیه باشند ، باید همخوان باشند.

آپیرون معمولی [ ویرایش ]

یک اپیروگون و یک چرخه محدود در مدل دیسک Poincare - سایپرز ، باشگاه دانش

مقاله اصلی: Apeirogon ge هندسه هذلولی

یک چند ضلعی خاص در هندسه هذلولی ، آپیروگون منظم است ، یک چند ضلعی یکنواخت با تعداد بی نهایت اضلاع.

در هندسه اقلیدسی ، تنها راه برای ساخت چنین چند ضلعی این است که طول ضلع ها به صفر برسد و آپیروگون از یک دایره قابل تشخیص نیست یا زاویه های داخلی را به 180 درجه متمایل کرده و آپیروگون به یک خط مستقیم نزدیک می شود.

با این حال ، در هندسه هذلولی ، یک آپیرون معمولی دارای اضلاع به هر طولی است (یعنی چند ضلعی باقی می ماند).

نیمسازهای کناری و زاویه ای ، بسته به طول ضلع و زاویه بین دو طرف ، موازی محدود یا واگرا هستند (به خطوط بالا مراجعه کنید ). اگر نیمسازها محدود موازی باشند ، می توان آپوایرگون را با چرخه های متحدالمرکز نوشت و آن را محدود کرد .

اگر نیمسازها به موازات هم اختلاف داشته باشند ، می توان یک شبه ضلع (کاملاً متفاوت از آپیروگون) را در ابرچرخه ها نوشت (همه رئوس فاصله یک خط ، محور ، و همچنین نقطه میانی بخش های کناری همه فاصله یکسانی با یک محور دارند. )

شاخه های گل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کاشی کاری یکنواخت در صفحه هذلولی

همچنین نگاه کنید به: کاشی کاری منظم هذلولی

کاشیکاری Rhombitriheptagonal صفحه هذلولی ، که در مدل دیسک Poincare دیده می شود

مانند صفحه اقلیدسی همچنین می توان سطح هذلولی را با چند ضلعی های منظم به صورت صورت جدا کرد .

تعداد نامحدودی از کاشی های یکنواخت براساس مثلث شوارتز وجود دارد ( p q r ) که در آن 1 / p + 1 / q + 1 / r <1 ، جایی که p ،  q ،  r هر یک از نظم های تقارن بازتاب در سه نقطه از مثلث دامنه اساسی ، گروه تقارن یک گروه مثلث هذلولی است . همچنین بی نهایت کاشی های یکنواخت وجود دارد که نمی توان از مثلث شوارتز تولید کرد ، بعضی به عنوان مثال چهار ضلعی ها را به عنوان حوزه های اساسی نیاز دارند. [2]

انحنای استاندارد گوسی [ ویرایش ]

اگرچه هندسه هذلولی برای هر سطحی با انحنای ثابت گوسی منفی اعمال می شود ، اما معمول است که مقیاسی را در نظر بگیریم که در آن انحنای K − 1 باشد.

این امر منجر به ساده شدن برخی فرمول ها می شود. برخی از نمونه ها عبارتند از:

  • مساحت یک مثلث برابر است با نقص زاویه آن در رادیان .
  • مساحت یک بخش حرارتی چرمی برابر است با طول قوس سیکل چرخشی آن.
  • یک قوس از یک چرخه چرخشی به طوری که خطی که در یک نقطه انتهایی مماس باشد به طور موازی با شعاع از طریق نقطه انتهایی دیگر محدود است و طول آن 1 است. [3]
  • نسبت طول قوس بین دو شعاع از دو چرخه متحدالمرکز که فاصله چرخه ها با فاصله 1 فاصله است e  : 1: 1. [3]

سیستم مختصات دکارتی مانند [ ویرایش ]

مقاله اصلی: سیستم های مختص صفحه هواپیمای هذلولی

در هندسه هذلولی ، مجموع زوایای چهار ضلعی همیشه کمتر از 360 درجه است و مستطیل های هذلولی با مستطیل های اقلیدسی تفاوت زیادی دارند ، زیرا هیچ خط مساوی وجود ندارد ، بنابراین یک مستطیل اقلیدسی مناسب باید توسط دو خط و دو ابرچرخه محصور شود . اینها همه سیستم های مختصات را پیچیده می کنند.

با این وجود سیستم های مختصات مختلفی برای هندسه صفحه هذلولی وجود دارد. همه مبتنی بر انتخاب یک نقطه (مبدا) بر روی یک خط کارگردانی انتخاب شده ( محور- x ) هستند و پس از آن گزینه های زیادی وجود دارد.

مختصات Lobachevski x و y با انداختن عمود بر محور x پیدا می شود . x برچسب پای عمود خواهد بود. y فاصله در امتداد عمود نقطه داده شده از پای آن خواهد بود (از یک طرف مثبت و از طرف دیگر منفی).

یک سیستم مختصات دیگر فاصله از نقطه تا چرخه را از طریق مبدا مرکز در اطراف اندازه گیری می کند(0 ، + \ ناکافی)و طول آن در طول این چرخه چرخه. [4]

سایر سیستم های مختصات از مدل کلاین یا دیسک Poincare که در زیر توضیح داده شده استفاده می کنند و مختصات اقلیدسی را هذلولی می دانند.

فاصله [ ویرایش ]

یک سیستم مختصات دکارتی مانند به شرح زیر بسازید. یک خط ( محور- x ) در صفحه هذلولی (با انحنای استاندارد −1) انتخاب کنید و نقاط روی آن را با فاصله آنها از مبدا ( x = 0) بر روی محور- x برچسب گذاری کنید (مثبت در یک طرف و منفی از طرف دیگر). برای هر نقطه از صفحه ، می توان مختلات x و y را با انداختن عمود بر روی محور x تعریف کرد . x برچسب پای عمود خواهد بود. y فاصله در امتداد عمود نقطه داده شده از پای آن خواهد بود (از یک طرف مثبت و از طرف دیگر منفی). سپس فاصله بین دو نقطه از این دست خواهد بود [نقل قول لازم است ]

\ operatorname {dist} (\ langle x_ {1} ، y_ {1} \ rangle ، \ ​​langle x_ {2} ، y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ سمت چپ (\ cosh y_ {1} \ cosh (x_ {2} -x_ {1}) \ cosh y_ {2} - \ sinh y_ {1} \ sinh y_ {2} \ right) \ ،.

این فرمول را می توان از فرمول های مربوط به مثلث هذلولی استخراج کرد .

سنسور متریک مربوطه:  (\ mathrm {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \ ، (\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2}.

در این سیستم مختصات ، خطوط مستقیم عمود بر محور x هستند (با معادله x = ثابت) یا با معادلات فرم توصیف می شوند

\ tanh y = A \ cosh x + B \ sinh x \ quad {\ text {when}} \ quad A ^ {2} <1 + B ^ {2}

که در آن A و B پارامترهای واقعی هستند که خط مستقیم را مشخص می کنند.

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: تاریخ هندسه غیر اقلیدسی

از زمان انتشار مقالات اقلیدس در حدود 300 سال قبل از میلاد ، بسیاری از هندسه ها سعی در اثبات فرض موازی داشتند . برخی با فرض نفی آن و تلاش برای ایجاد تناقض ، سعی در اثبات آن داشتند . مهمترین آنها پروکلوس ، ابن الحیثام (الهاچن ) ، عمر خیام ، [5] نصیرالدین التاسی ، ویتلو ، گرسونیدس ، آلفونسو و بعدا جیووانی جرولامو ساچری ، جان والیس ، یوهان هاینریش لمبرت و لجندر بودند . [6] تلاش های آنها محکوم به شکست بود (همانطور که اکنون می دانیم ، فرضیه موازی از سایر فرضیه ها قابل اثبات نیست) ، اما تلاش های آنها منجر به کشف هندسه هذلولی شد.

قضیه های الهاچن ، خیام و التصوی در مورد چهار ضلعی ، از جمله چهار ضلعی ابن هیثم – لمبرت و چهار ضلعی خیام – ساكری ، اولین قضیه ها در مورد هندسه هذلولی بودند. آثار آنها در هندسه هذلولی تأثیر قابل توجهی در توسعه آن در هندسه های بعدی اروپا ، از جمله ویتلو ، گرسونیدس ، آلفونسو ، جان والیس و ساچری داشت. [7]

در قرن 18، در یوهان هاینریش لامبرت معرفی توابع هذلولی [8] و مساحت یک محاسبه مثلث هذلولی . [9]

تحولات قرن نوزدهم [ ویرایش ]

در قرن نوزدهم ، هندسه هذلولی توسط نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی ، ژانوس بولیایی ، کارل فردریش گاوس و فرانتس تورینوس به طور گسترده کشف شد . برخلاف اسلاف خود ، که فقط می خواستند فرض موازی را از بدیهیات هندسه اقلیدسی حذف کنند ، این نویسندگان دریافتند که هندسه جدیدی کشف کرده اند. [10] [11] گاوس در نامه ای به سال 1824 به فرانتس تورینوس نوشت كه آن را ساخته است ، اما گاوس كار خود را منتشر نكرد. گاوس آن را " هندسه غیر اقلیدسی " نامید [12]باعث می شود چندین نویسنده مدرن همچنان "هندسه غیر اقلیدسی" و "هندسه هذلولی" را مترادف بدانند. Taurinus نتایج مربوط به مثلثات هذلولی را در سال 1826 منتشر كرد و استدلال كرد كه هندسه هذلولی از خود سازگار است ، اما هنوز هم به نقش ویژه هندسه اقلیدسی اعتقاد دارد. سیستم کامل هندسه هذلولی توسط لوباچفسکی در سال 1829/1830 منتشر شد ، در حالی که بولیایی آن را به طور مستقل کشف و در سال 1832 منتشر کرد.

در سال 1868 ، اوژنیو بلترامی مدل هایی از هندسه هذلولی (و به زیر را ببینید) ارائه داد و از این روش برای اثبات ثابت بودن هندسه هذلولی استفاده کرد اگر و فقط هندسه اقلیدسی بود.

اصطلاح "هندسه هذلولی" توسط فلیکس کلاین در سال 1871 مطرح شد. [13] کلاین به دنبال ابتکار آرتور کیلی مبنی بر استفاده از تحولات هندسه فرافکنی برای تولید isometries استفاده شد . این ایده از یک بخش مخروطی یا چهارم برای تعریف یک منطقه و از ضریب مقطع برای تعریف یک متریک استفاده می کرد . تحولات فرافکنی که قسمت مخروطی یا کوادریک را پایدار می گذارد ، همسنجها هستند. "كلین نشان داد كه اگر كایلی مطلق یك منحنی واقعی باشد ، آنگاه قسمت صفحه نمایشی در داخل آن با صفحه هذلولی ایزومتریک است ..."[14]

برای تاریخچه بیشتر ، به مقاله هندسه غیر اقلیدسی و منابع Coxeter [15] و Milnor مراجعه کنید . [16]

پیامدهای فلسفی [ ویرایش ]

کشف هندسه هذلولی پیامدهای مهم فلسفی داشت . قبل از کشف آن ، بسیاری از فلاسفه (به عنوان مثال هابز و اسپینوزا ) سخت گیری فلسفی را از نظر "روش هندسی" مشاهده می کردند و به روش استدلال مورد استفاده در عناصر اقلیدس اشاره می کردند .

کانت در نقد عقل ناب به این نتیجه رسید که فضا (در هندسه اقلیدسی ) و زمان توسط انسان به عنوان ویژگی های عینی جهان کشف نمی شود ، بلکه بخشی از یک چارچوب سیستماتیک اجتناب ناپذیر برای سازماندهی تجربیات ما است. [17]

گفته می شود که گاوس از ترس " هیاهوی بوئوتیان " چیزی را درباره هندسه هذلولی منتشر نکرده است ، که این باعث می شود وضعیت او به عنوان princeps mathematicorum (به لاتین ، "شاهزاده ریاضیدانان" از بین برود ). [18] "هیاهوی بوئوتیان" آمد و رفت ، و انگیزه ای برای پیشرفتهای بزرگ در سختگیری ریاضی ، فلسفه تحلیلی و منطق داد . هندسه هذلولی سرانجام ثابت شد و بنابراین یک هندسه معتبر دیگر است.

هندسه جهان (فقط ابعاد فضایی) [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فلسفه مکان و زمان

همچنین نگاه کنید به: شکل جهان § انحنای جهان

از آنجا که هندسه اقلیدسی ، هذلولی و بیضوی همه با هم سازگار هستند ، این سال پیش می آید: هندسه واقعی فضا کدام است و اگر هذلولی یا بیضوی باشد ، انحنای آن چقدر است؟

لباچفسکی در حال حاضر سعی کرده بود برای اندازه گیری انحنای جهان با اندازه گیری اختلاف منظر از سیریوس و درمان شباهنگ به عنوان نقطه ایده آل از زاویه موازی . او فهمید که اندازه گیری های وی به اندازه کافی دقیق نبوده تا بتواند پاسخ قطعی بدهد ، اما به این نتیجه رسید که اگر هندسه جهان هذلولی باشد ، طول مطلق آن حداقل یک میلیون برابر قطر مدار زمین است (2 000 000  AU ، 10 پارسك ). [19] برخی معتقدند که اندازه گیری های وی از نظر روش شناختی دارای نقص بوده است. [20]

هانری پوانکره با آزمایش تفکر کره و جهان خود به این نتیجه رسید که تجربه روزمره لزوماً سایر هندسه ها را منتفی نمی داند.

حدس هندسی می دهد یک لیست کامل از هشت احتمالات را برای هندسه اساسی فضای ما. مسئله در تعیین اینکه کدام یک اعمال می شود این است که ، برای رسیدن به یک پاسخ قطعی ، باید بتوانیم اشکال بسیار بزرگی را مشاهده کنیم - بسیار بزرگتر از هر چیزی روی زمین یا شاید حتی در کهکشان ما. [21]

هندسه جهان (نسبیت خاص) [ ویرایش ]

نسبیت خاص مکان و زمان را در موقعیت مساوی قرار می دهد ، به طوری که فرد به جای در نظر گرفتن مکان و زمان جداگانه ، هندسه یک زمان-زمان واحد را در نظر می گیرد. [22] [23] هندسه مینکوفسکی جای هندسه گالیله را می گیرد (که فضای اقلیدسی سه بعدی با زمان نسبیت گالیل است ). [24]

در نسبیت ، به جای در نظر گرفتن هندسه های اقلیدسی ، بیضوی و هذلولی ، هندسه های مناسب برای بررسی عبارتند از: فضای مینکوفسکی ، فضای دو سیتر و فضای ضد دی سیتر ، [25] [26] به ترتیب مربوط به انحنای صفر ، مثبت و منفی است.

هندسه هذلولی از طریق سرعت ، که به معنای سرعت است ، وارد نسبیت خاص می شود و با یک زاویه هذلولی بیان می شود . مطالعه این هندسه سرعت را هندسه حرکتی گفته اند . فضای سرعت های نسبی دارای هندسه هذلولی سه بعدی است ، جایی که تابع فاصله از سرعت نسبی نقاط "نزدیک" (سرعت) تعیین می شود. [27]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry