ادامه مشتق هموردا یا مشتق کواریانت

تعریف غیررسمی با استفاده از تعبیه در فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

فرض کنید منیفولد (شبه) ریمانی است $م$ ، در فضای اقلیدسی تعبیه شده است $(\ R ^ n ، \ langle cdot؛ \ cdot \ rangle)$ از طریق نقشه دو بار متمایز $\ vec \ Psi: \ R ^ d \ supset U \ rightarrow \ R ^ n$ به طوری که فضای مماس در $\ vec \ Psi (p) \ در م$ توسط بردارها پوشانده شده است

$\ چپ \ lbrace \ سمت چپ. {\ frac {\ جزئی rbrace \ right \ rbrace$

و محصول مقیاس دار در $\ mathbb {R} ^ {n$ با متریک موجود در M سازگار است :

$\ displaystyle g_ {ij} = \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}؛ {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi }}} {\ جزئی x ^ {j}}} \ Right \ rangle.$

(از آنجا که همیشه متریک منیفولد معمولی فرض می شود ، شرط سازگاری حاکی از استقلال خطی بردارهای مماس مشتق جزئی است.)

برای یک زمینه بردار مماس ، $\ displaystyle {\ vec {V}} = v ^ {j} {\ frac {\ جزئی {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی x ^ {j}}} \،}$ ، یک نفر دارد

$\ displaystyle {\ frac {\ جزئی \ frac {\ بخشی \ جزئی x ^ {من} \ ، \ جزئی x ^ {j}}}}$ .

اصطلاح آخر برای M ملموس نیست ، اما می تواند به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای پایه فضای مماس با استفاده از نمادهای کریستوفل به عنوان فاکتورهای خطی به همراه یک بردار متعامد به فضای مماس بیان شود:

$\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ part x x {i} \، \ part x x {j}}} = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}} + {\ vec {n}}}$ .

در مورد ارتباط Levi-Civita ، مشتق هموردا $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}}$ ، همچنین نوشته شده است $\ nabla _ {i} {\ ve V}$ ، به عنوان پیش بینی متعامد مشتق معمول روی فضای مماس تعریف شده است:

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i} {ve \ vec {V}}: = {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ جزئی x ^ {i}} - {\ vec {n}} = \ left ({\ frac {\ partial v ^ {k}} {\ جزئی x ^ {i}}} + v ^ {j} {\ گاما ^ {k}} _ ij} \ درست) {\ frac {\ جزئی$

از آنجا که $\ vec n$ فضای مماس متعامد است ، می توان معادلات عادی را حل کرد:

$\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ part ^ ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \، \ partial x ^ {j}}}؛ {\ frac { \ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ Right \ rangle = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ چپ \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}؛ {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ Right \ rangle = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ ، g_ {kl}}$ .

از سوی دیگر،

$\ frac {\ partial g_ {ab}} {\ partial x ^ c} = \ left \ langle \ frac {\ part ^ ^ 2 \ vec \ Psi} {\ partial x ^ c \، \ partial x ^ a}؛ \ frac {\ partial \ vec \ Psi} {\ partial x ^ b} \ Right \ rangle + \ left \ langle \ frac {\ partial \ vec \ Psi} {\ partial x ^ a}؛ \ frac {\ جزئی ^ 2 \ vec \ Psi} {\ جزئی x ^ c \ ، \ جزئی x ^ b} \ درست \ زنگ زدگی$

دلالت دارد

$\ displaystyle {\ آغاز {pmatrix} {\ frac {\ جزئی g_ {jk}} {\ جزئی x ^ {i {} \ \\ \ \ frac {\ جزئی g_ {ki}} {\ جزئی x ^ ^ j }}} \\ {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} \ end {pmatrix}} = {\ fill {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix }} {\ شروع {pmatrix} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی x ^ {i}}}؛ {\ frac {\ جزئی ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j} \، \ partial x ^ {k}}} \ Right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi} } {\ جزئی x ^ {j}}}؛ {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی x ^ {k} \ ، \ جزئی x ^ {i}}} \ right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ part x x {k}}}؛ {\ frac {\ جزئی ^ {2} {\ vec \ Psi}}} part \ جزئی x ^ {i} \، \ جزئی x ^ {j}}} \ درست \ rangle \ end {pmatrix}}}$

(استفاده از تقارن محصول Scalar و مبادله ترتیب تمایزات جزئی)

$\ displaystyle {\ frac {\ جزئی g_ {jk}} {\ جزئی x ^ {i}}} + {\ frac {\ جزئی g_ {ki}} {\ جزئی x ^ {j}}} - {\ frac \ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} = 2 \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی جزئی x ^ {k}}}؛ \ frac {\ جزئی ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \، \ partial x ^ {j}}} \ Right \ rangle}$

و نمادهای Christoffel را برای اتصال Levi-Civita از نظر متریک به ارمغان می آورد:

$\ displaystyle g_ {kl} {\ گاما ^ {k}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ سمت چپ ({\ frac {\ جزئی g_ {jl}} {\ جزئی x ^ من}}} + {\ frac {\ جزئی g_ {li}} {\ جزئی x ^ {j}}} - {\ frac {\ جزئی g_ {ij}} {\ جزئی x ^ {l}}} \ درست .$

برای یک مثال بسیار ساده که جوهر توضیحات فوق را ضبط می کند ، یک دایره را روی یک کاغذ صاف بکشید. در دور دایره با سرعت ثابت حرکت کنید. مشتق سرعت شما ، وکتور شتاب شما ، همواره به صورت شعاعی به سمت داخل اشاره می کند. این ورق کاغذ را درون یک استوانه بچرخانید. اکنون مشتق (اقلیدسی) سرعت شما دارای مؤلفه ای است که بسته به اینکه به یک محل ثابت یا اعتدال نزدیک باشید ، گاه به سمت محور استوانه حرکت می کند. (در نقطه دایره هنگامی که به موازات محور حرکت می کنید ، هیچ شتابی درونی وجود ندارد. برعکس ، در نقطه‌ای (1/4 دایره بعد) که سرعت در امتداد خم سیلندر است ، شتاب درونی حداکثر است .) این مؤلفه طبیعی (اقلیدسی) است. جزء مشتق کواریان جزء موازی با سیلندر است.

تعریف رسمی [ ویرایش ]

مشتق کوواریانت یک اتصال (Koszul) در بسته نرم افزاری مماس و سایر بسته های کششی است : این زمینه های بردار را به روشی مشابه با دیفرانسیل معمول در توابع متمایز می کند. این تعریف تا یک تمایز بر روی دوتایی از زمینه های بردار (یعنی زمینه های پنهانی ) و زمینه های دلخواه تانسور گسترش می یابد ، به روشی منحصر به فرد که سازگاری با محصول تانسور و عملیات ردیابی (انقباض تانسور) را تضمین می کند.

توابع [ ویرایش ]

با توجه به یک نقطه از p منیفولد ، یک تابع واقعی f بر روی منیفولد ، و یک بردار مماس بر v در p ، مشتق کواریانس f در p در امتداد v مقیاس در p است . ${\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p}$ ، که نشان دهنده قسمت اصلی تغییر در مقدار f است که آرگومان f توسط بردار جابجایی نامحدود v تغییر می کند . (این است دیفرانسیل از F برابر بردار ارزیابی V .) به طور رسمی، یک منحنی مشتق وجود دارد $\ displaystyle \ phi: [- 1،1] \ to M$ به طوری که $\ displaystyle \ phi (0) = p$ و $\ displaystyle \ phi '(0) = \ mathbf {v}$ ، و مشتق کواریانس از f در p تعریف شده است

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p} = \ left (f \ circ \ phi \ Right) '\ چپ (0 \ راست) = \ lim _ {t \ به 0} t ^ {- 1} \ left (f \ left [\ phi \ left (T \ Right) \ Right] -f \ left [p \ Right] \ Right).}$

وقتی v یک زمینه بردار است ، مشتق هموردا $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f$ تابعی است که با هر نقطه p در دامنه مشترک f و v مقیاس همراه است ${\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p}$ . این همزمان با مشتقات معمولی Lie از f در امتداد زمینه بردار v .

زمینه های برداری [ ویرایش ]

مشتق هموردا $\ nabla$ در نقطه p در یک منیفولد صاف یک بردار مماس اختصاص می دهد $\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}$ به هر جفت ${\ displaystyle (\ mathbf {u}، \ mathbf {v})}$ ، متشکل از یک بردار tangent v در p و زمینه بردار u در محله ای از p تعریف شده است ، به گونه ای که خواص زیر را در خود نگه می دارد (برای هر بردار v ، x و y در p ، زمینه های بردار u و w در یک محله از p تعریف می شود ، مقادیر مقیاس g و h در p و عملکرد مقیاس f تعریف شده در یک محله از p ):

$\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ خطی است $\ mathbf {v$ بنابراین
$\ displaystyle \ left (\ nabla _ {g \ mathbf {x} + h \ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} = \ چپ (\ nabla _ {\ mathbf {x} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} g + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} h$
\ نمایش صفحه \ سمت چپ $\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ افزودنی است $\ mathbf {u$ بنابراین:
$\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ Right] \ Right) _ {p} = \ چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} \ Right) _ {p}}$
$\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}$ از قانون محصول پیروی می کند . یعنی ، کجا $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f$ در بالا تعریف شده است ،
$\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [f \ mathbf {u} \ Right] \ Right) _ {p} = f (p) \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf v}} \ mathbf {u}) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p} \ mathbf {u} _ {p}}$ .

اگر u و v هر دو زمینه بردار در یک دامنه مشترک تعریف شده اند ، پس از آن $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}$ نشانگر فیلد برداری است که مقدار آن در هر نقطه از p دامنه ، بردار مماس است $\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ . توجه داشته باشید که $\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ نه تنها به مقدار v در p بلکه به مقدار u در یک محله بی نهایت از p بستگی دارد زیرا آخرین خاصیت ، قانون محصول است.

زمینه های کاوکتور [ ویرایش ]

با توجه به زمینه ای از covectors (یا یک فرم ) $\ آلفا$ تعریف شده در یک محله از P ، مشتق کواریانس آن است $\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}$ به روشی تعریف شده است تا عملكرد حاصل با انقباض تنشور و قاعده محصول سازگار باشد. به این معنا که، $\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}$ به عنوان یک فرم منحصر به فرد در p تعریف می شود که هویت زیر برای همه زمینه های بردار u در محله ای از p برآورده می شود

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha \ Right) _ {p} \ چپ (\ mathbf {u} _ {p} \ Right) = \ nabla _ {\ mathbf {v } \ left [\ alpha \ left (\ mathbf {u} \ Right) \ Right] _ {p} - \ alpha _ {p} \ left [\ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf شما} \ درست) _ {پ} \ درست].}$

مشتق کواریانس یک میدان مخفی در امتداد یک میدان بردار v دوباره یک میدان کاوکتور است.

زمینه های تنسور [ ویرایش ]

هنگامی که مشتق کوواریانت برای زمینه های بردارها و میخکوب ها تعریف شد ، می توان با تحمیل هویت های زیر برای هر جفت زمینه تانسور ، زمینه های دلخواه تانسور را تعریف کرد. $\ واریفی$ و، $\ psi \ ،$ در محله ای از نقطه p :

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left (\ varphi \ otimes \ psi \ Right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi \ Right) _ p} \ otimes \ psi (p) + \ varphi (p) \ otimes \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi \ درست) _ {p} ،}$

و برای $\ واریفی$ و $\ psi$ از همان ارزش

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (\ varphi + \ psi) _ {p} = (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi) _ {p}.$

مشتق کواریانس از یک میدان تانسور در امتداد یک میدان بردار v دوباره یک میدان تانسور از همان نوع است.

به طور واضح ، بگذارید T یک میدان تنشی از نوع ( p ، q ) باشد. در نظر بگیرید T به یک مشتق نقشه چند سال از صاف بخش α 1 ، α 2 ، ...، α Q از کتانژانت بسته نرم افزاری T * M و از بخش X 1 ، X 2 ، ... X ص از کلاف مماس TM ، نوشته شده T (α 1 ، α 2 ، ... ، X1 ، X 2 ، ...) به R . مشتق کواریان T در امتداد Y توسط این فرمول آورده شده است

${\ displaystyle {\ شروع {تراز وسط} (\ nabla _ {Y} T) & \ left (\ alpha _ {1}، \ alpha _ {2}، \ ldots، X_ {1}، X_ {2}، \ ldots \ Right) = Y \ چپ (T \ سمت چپ (\ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} ، \ ldots ، X_ {1} ، X_ {2} ، \ ldots \ Right) \ Right) \\ & -T \ سمت چپ (\ nabla _ {Y} \ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} ، \ ldots ، X_ {1} ، X_ {2 ، \ ldots \ Right) -T \ left (\ alpha _ {1}، \ nabla _ {Y} \ alpha _ {2}، \ ldots، X_ {1}، X_ {2}، \ ldots \ Right) - \ ldots \\ & - T \ left (\ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} ، \ ldots، \ nabla _ {Y} X_ {1}، X_ {2}، \ ldots \ Right) -T \ left (\ alpha _ {1}، \ alpha _ {2} ، \ ldots ، X_ {1} ، \ nabla _ {Y} X_ {2} ، \ ldots \ Right) - \ ldots \ end {تراز شده}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 9:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی