در ریاضیات ، فرمول ریمان-هورویتز ، به نام های برنارد ریمان و آدولف هورویتز ، روابط خصوصیات اویلر دو سطح را توصیف می کند که یکی پوشانده شده از دیگری است. از این رو ، در این حالت ، شکاف بندی را با توپولوژی جبری متصل می کند . این یک نتیجه نمونه اولیه برای بسیاری دیگر است ، و اغلب در تئوری سطوح ریمان (که منشأ آن است) و منحنی های جبری استفاده می شود .

 

فهرست

بیانیه [ ویرایش ]

برای جمع و جور ، متصل ، orientable سطحس، ویژگی اویلر \ چی (S) است

\ displaystyle \ chi (S) = 2-2g،

که در آن گرم است جنس (به تعداد دسته )، از اعداد بتی هستند{\ نمایشگر 1،2 گرم ، 1،0،0 ، \ نقطه. در مورد نقشه پوشش ( اصلاح نشده ) سطوح

\ displaystyle \ pi \ colone S '\ to S

که از نظر ظاهری و درجه است نفرمول را داریم

\ displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S).

دلیلش این است که هر سادگی س باید دقیقاً پوشانده شود ن که در  'S '، حداقل اگر ما با استفاده از جریمه کافی مثلث ازس، همانطور که ما حق داریم از آنجا که مشخصه اویلر یک تغییر توپولوژیک است انجام دهیم . آنچه فرمول ریمان-هورویتز انجام می دهد این است که در یک اصلاح اضافه کنید تا اصلاح ( ورق های جمع شده ) جمع شود .

اکنون این را فرض کنید س و 'S 'هستند سطوح ریمان ، و نقشه\ pi است تحلیلی مختلط . نقشه\ pi گفته می شود منشعب در یک نقطه P در S 'اگر وجود داشته باشد مختصات تحلیلی در نزدیکی وجود دارد P و π ( P ) به صورتی که π π طول می کشد شکل ( Z ) = Z N و N  > 1. یک راه معادل تفکر در مورد این این است که یک محله کوچک U از P وجود دارد به گونه ای که π ( P ) دقیقاً یک پیش نمایش در U دارد ، اما تصویر هر نقطه دیگر در U دقیقاً n اولویت های U دارد . عدد n را شاخص تشعشع می گوینددر P و همچنین توسط e P نشان داده شده است . در محاسبه ویژگی اویلر S ′ ما شاهد از دست دادن e- P  نسخه های P در بالای π ( P ) هستیم (یعنی در تصویر معکوس π ( P )). اکنون اجازه دهید مثلث های S و S ′ را با نقاطی در شاخه و محل عبور انتخاب کنید و از این ها برای محاسبه مشخصات اویلر استفاده کنیم. سپس S ' به همان تعداد از د چهره بعدی برای د از صفر است، اما کمتر از رئوس انتظار می رود. بنابراین ما یک فرمول "اصلاح شده" می یابیم

\ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) - \ sum _ {{P \ in S'}} (e_ {P} -1)

یا همانطور که معمولاً نیز نوشته شده است

{\ displaystyle 2g (S ') - 2 = N \ cdot (2g (S) -2) + \ sum _ {P \ in S'} (e_ {P} -1)

(همه اما به طور نهایی بسیاری از P دارای e P = 1 هستند ، بنابراین این کاملاً بی خطر است). این فرمول به عنوان فرمول ریمان-هورویتس و همچنین به عنوان قضیه هورویتز شناخته می شود .

فرم مفید دیگر این فرمول:

\ displaystyle \ chi (S ') - r = N \ cdot (\ chi (S) -b)}

در جایی که r تعداد نقاط S است که در آن پوشش دارای بزرگتر شدن غیرمستقیم ( نقاط بزرگ شدن ) و b تعداد نقاط S است که تصاویر چنین نقاطی ( نقاط شعبه ) است. در واقع ، برای به دست آوردن این فرمول ، محله های جدا کننده دیسک نقاط شعبه را از S جدا کرده و محلات دیسک نقاط اتصال را در S 'جدا کنید تا محدودیت\ pi پوششی است سپس فرمول درجه عمومی را روی محدودیت اعمال کنید ، از این واقعیت استفاده کنید که خصوصیات اویلر دیسک برابر با 1 باشد و از افزودنیهای مشخصه اویلر در زیر مبالغ متصل استفاده کنید.

مثالها [ ویرایش ]

وایرشتراس\ wp تابع ، به عنوان یک در نظر گرفته تابع مرومورفیک با ارزش در کره ریمان ، بازده نقشه از یک منحنی بیضوی (جنس 1) به خط تصویری (جنس 0). این یک پوشش دوتایی است ( N = 2) ، با تابش فقط در چهار نقطه ، که در آن e = 2. فرمول ریمان-هورویتز سپس می خواند.

0 = 2 \ cdot 2- \ Sigma \ 1

با جمع گرفته شده بیش از چهار مقدار از P .

این فرمول همچنین ممکن است برای محاسبه جنس منحنی های hyperelliptic استفاده شود .

به عنوان نمونه دیگر ، حوزه Riemann با استفاده از عملکرد z n ، که دارای ضریب تغییر n در 0 است ، برای هر عدد صحیح n > 1. نقشه را به خود اختصاص می دهد. به منظور تعادل معادله

2 = n \ cdot 2- (n-1) - (e _ {\ infty} -1)

ما باید در بی نهایت نیز دارای شاخص بزرگ شدن n باشیم .

پیامدهای [ ویرایش ]

چندین نتیجه در توپولوژی جبری و تجزیه و تحلیل پیچیده به دنبال می آید.

در مرحله اول ، هیچ نقشه پوشاننده متفاوتی از منحنی جنس پایین تا منحنی جنس بالاتر وجود ندارد - و بنابراین ، از آنجا که نقشه های مرومورفیک غیر ثابت از منحنی ها دارای فضاهای پوشاننده هستند ، هیچ نقشه مرومورفی غیر ثابت از منحنی پایین وجود ندارد. جنس به منحنی از جنس بالاتر.

به عنوان نمونه دیگر ، بلافاصله نشان می دهد كه منحنی از جنس 0 هیچ كاری با N > 1 ندارد كه در همه جا غیرقابل تصور است: زیرا این امر باعث ایجاد ویژگی اویلر> 2 می شود.

کلیات [ ویرایش ]

برای مکاتبات منحنی ها ، فرمول کلی تری وجود دارد ، قضیه زوتن ، که اصلاح تخریب را به اولین تقریب می دهد که ویژگی های اویلر در نسبت معکوس با درجات مکاتبات است.

یک پوشش مداری از درجه N بین سطوح مداری S 'و S یک پوشش انشعاب است ، بنابراین فرمول ریمان-هورویتز فرمول معمول برای پوشش ها را نشان می دهد.

\ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) \،

نشان دادن با\ چی \ ، مشخصه اویلر مداری.

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Hurwitz_formula