ادامه مشتق هموردا یا مشتق کواریانت

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ | 9:44

توضیحات مختصات [ ویرایش ]

در این بخش از کنوانسیون جمع بندی انیشتین استفاده شده است .

با توجه به توابع مختصات

$x ^ i ، \ i = 0،1،2 ، \ نقطه$ ،

هر بردار مماس را می توان با استفاده از اجزای آن در اساس توصیف کرد

$\ mathbf {e} _i = {\ جزئی / بیش از \ جزئی x ^ i$ .

مشتق کواریانس یک بردار پایه در طول یک بردار پایه دوباره یک بردار است و می تواند به عنوان یک ترکیب خطی بیان شود $\ displaystyle \ گاما ^ {k} \ mathbf {e} _ {k} \،$ . برای مشخص کردن مشتقات کواریانس کافی است که مشتق کواریانس هر زمینه بردار پایه را مشخص کنید $\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \،$ در امتداد $\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j} \،}$ .

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k}،}$

ضرایب $\ گاما ^ ک _ {\ ij$ مؤلفه های ارتباط با توجه به سیستم مختصات محلی هستند. در نظریه منیفولدهای ریمانیان و شبه ریمانی ، مؤلفه های اتصال Levi-Civita با توجه به سیستم مختصات محلی به عنوان سمبل های کریستوفل خوانده می شوند .

سپس با استفاده از قوانین موجود در تعریف ، این مورد را برای فیلدهای بردار عمومی پیدا می کنیم $\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}$ و $\ displaystyle \ mathbf {u} = u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}$ ما گرفتیم

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} & = \ nabla _ {v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} + v ^ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} Gam \ گاما ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ { k} + v ^ {j} {\ جزئی u ^ {i} \ over \ partial x ^ {j}} \ mathbf {e} _ {i} \ end {تراز وسط}$

بنابراین

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ left (v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} + v ^ {j {\ جزئی جزئی u ^ {k} \ over \ partial x ^ {j}} \ درست) \ mathbf {e} _ {k}$

اصطلاح اول در این فرمول مسئول "پیچاندن" سیستم مختصات با توجه به مشتق کواریانس و دوم برای تغییر مؤلفه های میدان بردار u است . به خصوص

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {j} \ mathbf {u} = \ سمت چپ ({\ frac {\ جزئی u ^ {من} \ جزئی x ^ {j}}} + u ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj} \ درست) \ mathbf {e} _ {i}}$

در کلمات: مشتق کواریانس مشتق معمول در کنار مختصات با اصطلاحات اصلاح است که می گوید چگونه مختصات تغییر می کند.

برای مخفیان به طور مشابه ما

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} m \ mathbf {\ theta}} = \ left ({\ frac {\ partial \ theta _ {i}} {\ جزئی x ^ {j } - \ تتا _ {k} {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ درست) {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i}}$

جایی که $\ displaystyle {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ delta ^ {i}} _ {j}}$ .

مشتق کواریان از یک نوع ( r ، s ) زمینه تانسور در امتداد $e_c$ با این عبارت آورده شده است:

${\ displaystyle {\ آغاز {تراز شده {(\ nabla _ {e_ {c}} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} = {} & {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی x ^ {c}}} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} \ \ & + \، {\ گاما ^ {a_ {1}}} _ {dc} {T ^ {da_ {2} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} + \ cdots + {\ گاما ^ {a_ {r}}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} \\ & - \، {\ گاما ^ {d}} _ {b_ {1} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} \ ldots b_ {s } - \ cdots - {\ گاما ^ {d}} _ {b_ {s} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1 } d}. \ end {تراز شده}}}$

یا با کلمات: مشتقات جزئی تانسور را بگیرید و اضافه کنید: $\ displaystyle + {\ گاما ^ {a_ {i}}} _ {dc}}$ برای هر شاخص بالایی $a_ {من$ و $\ displaystyle - {\ گاما ^ {d}} _ {b_ {i} c}$ برای هر شاخص پایین $b_ {من$ .

اگر به جای تانسور ، سعی در متمایز کردن چگالی تنشور (از وزن 1+) دارید ، آنگاه شما یک اصطلاح را نیز اضافه کنید

$\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}.$

اگر این یک چگالی از وزن W وزن است ، پس آن را با W ضرب کنید . مثلا $\ sqrt {-g$ چگالی مقیاس (از وزن 1+) است ، بنابراین دریافت می کنیم:

$\ displaystyle \ left ({\ sqrt {-g}} \ Right) _ {؛ c} = \ left ({\ sqrt {-g}} \ Right) _ {، c - {\ sqrt {-g } \، {\ گاما ^ {d}} _ {dc}}$

که در آن تک رنگ "؛" نشان دهنده تمایز کواریا و کاما "" "نشانگر تمایز جزئی است. اتفاقاً این عبارت خاص برابر با صفر است ، زیرا مشتق کواریانس یک تابع فقط از متریک همیشه صفر است.

مثالها [ ویرایش ]

برای یک میدان مقیاس پذیر $\ displaystyle \ phi \،$ ، تمایز کواریان به سادگی تمایز جزئی است:

$\ displaystyle \ displaystyle \ phi _ {؛ a equ \ equiv \ partial _ {a} \ phi$

برای یک زمینه بردار مخالف $\ lambda ^ a \،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {؛ b} \ equiv \ part _ _} b} \ lambda ^ {a} + {\ Gamma ^ {a}} _ {bc} \ lambda ^ {c}}$

برای یک زمینه بردار کواریان $\ lambda_a \ ،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle \ lambda _ {a؛ c} \ equiv \ part _ _ {c} \ lambda _ {a} - {\ گاما ^ {b}} _ {ca} \ lambda _ {b}$

برای یک نوع (2،0) زمینه تانسور $\ tau ^ {ab} \،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {؛ c} \ equiv \ part _ _ c} \ tau ^ {ab} + {\ گاما ^ {a}} _ {cd} \ tau ^ {db} + {\ گاما ^ {b}} _ {سی دی} \ تاو ^ {تبلیغ}}$

برای یک نوع (۰ 2 ۲) زمینه تانسور $\ tau_ {ab} \،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle \ tau _ {ab؛ c} \ equiv \ part _ _ {c} \ tau _ {ab} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ca} \ tau _ {db} - {\ Gamma ^ d}} _ {cb} \ tau _ {ad}$

برای یک نوع (1،1) زمینه تانسور $\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b} \،}$ ، ما داریم:

$\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b؛ c} \ equiv \ part _ _ c} {\ tau ^ {a} {_ {b} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} {\ tau ^ {d}} _ {b} - {\ گاما ^ {d}} _ {cb} {\ tau ^ {a}} _ {d}}$

معنای فوق به معنای معناست

$\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {؛ c} \ equiv \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {c}} \ tau \ Right) ^ {ab}}$

مشتقات کواریانیت رفت و آمد نمی کنند. یعنی $\ displaystyle \ lambda _ {a؛ bc} \ neq \ lambda _ {a؛ cb} \،$ . نشان می دهد که:

$\ displaystyle \ lambda _ {a؛ bc - \ lambda _ {a؛ cb} = {R ^ {d}} _ {abc} \ lambda _ {d}}$

جایی که $\ displaystyle {R ^ {d}} _ {abc} \،$ است تانسور ریمان . به همین ترتیب ،

$\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {؛ bc - {\ lambda ^ {a}} _ {؛ cb} = - {R ^ {a}} _ {dbc} \ lambda ^ {d}}$

$\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {؛ cd} - {\ tau ^ {ab}} _ {؛ dc} = - {R ^ {a}} _ {ecd} \ tau ^ {eb} - {R ^ {b}} _ {ecd} \ tau ^ {ae}}$

حالت دوم را می توان با گرفتن (بدون از دست دادن کلی بودن) نشان داد $\ displaystyle \ tau ^ {ab} = \ lambda ^ {a} \ mu ^ {b} \،}$ .

نشانه گذاری [ ویرایش ]

در کتابهای درسی مربوط به فیزیک ، مشتق کواریانس گاهی اوقات به سادگی از نظر مؤلفه های آن در این معادله بیان می شود.

اغلب یک نماد استفاده شده است که در آن مشتق هموردا با توجه نقطه و ویرگول ، در حالی که طبیعی مشتق جزئی است که توسط یک نشان کاما از هم . در این نماد همان ما را می نویسیم:

$\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {؛ j} e_ {s} \ ؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛؛ v ^ {i}} _ {؛ j} = {v ^ {i}} _ {، j} + v ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj}}$

بار دیگر این نشان می دهد که مشتق کواریانس یک میدان بردار فقط با تمایز به مختصات به دست نمی آید. ${\ displaystyle {v ^ {i}} _ {، j}$ بلکه به خود بردار v نیز بستگی دارد $\ displaystyle v ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj}}$ .

در برخی از متون قدیمی (به ویژه آدلر ، بازین و شیففر ، مقدمه ای بر نسبیت عام ) ، مشتق کواریان توسط یک لوله دوتایی و مشتق جزئی توسط یک لوله مشخص شده است:

$\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {i}} _ {|| j} = {v ^ {i}} _ {| j} + v ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj}}$

مشتق در امتداد منحنی [ ویرایش ]

از آنجا که مشتق کواریان $\ nabla_XT$ یک میدان تانسور $تی$ در یک نقطه $پ$ فقط به مقدار میدان برداری بستگی دارد $ایکس$ در $پ$ می توان مشتق کواریان را در امتداد یک منحنی صاف تعریف کرد $\ گاما (t)$ در یک منیفولد:

$D_tT = \ nabla _ {\ dot \ gamma (t). T.$

توجه داشته باشید که زمینه تنش $تی$ فقط باید روی منحنی تعریف شود $\ گاما (t)$ برای این تعریف معنی دارد

به خصوص، $\ dot {\ gamma} (t)$ یک میدان بردار در امتداد منحنی است $\ گاما$ خودش اگر

$\ nabla _ {\ dot \ gamma (t)} \ dot \ gamma (t)$ از بین می رود و سپس منحنی ژئودزیک مشتق کواریان نامیده می شود. اگر مشتق هموردا است اتصال لوی چوی از برخی متریک ژئودزیک سپس برای اتصال دقیقا ژئودزیک از متریک است که توسط طول قوس پارامتری.

مشتقات در امتداد یک منحنی نیز برای تعریف انتقال موازی در امتداد منحنی استفاده می شود.

گاهی اوقات مشتق کواریان در امتداد یک منحنی مشتق مطلق یا ذاتی نامیده می شود .

رابطه با مشتقات لی[ ویرایش ]

یک مشتق کوواریانت یک ساختار هندسی اضافی را روی یک منیفولد ارائه می دهد که اجازه می دهد بردارها در فضاهای مماس همسایه قابل مقایسه باشند: هیچ روش متعارف برای مقایسه بردارها از فضاهای مماس مختلف وجود ندارد زیرا هیچ سیستم مختصات متعارف وجود ندارد.

با این حال تعمیم یکی دیگر از مشتقات جهت که وجود دارد این است که متعارف است: دروغ مشتق که تغییر یک میدان برداری در امتداد جریان میدان برداری یکی دیگر از ارزیابی می کند. بنابراین ، باید هر دو زمینه بردار را در یک محله باز ، نه فقط در یک نقطه واحد ، بدانیم. مشتق کوواریانت از طرف دیگر تغییر خود را برای بردارها در یک جهت معین معرفی می کند و فقط به یک جهت برداری در یک نقطه واحد بستگی دارد تا یک زمینه بردار در یک محله باز یک نقطه. به عبارت دیگر ، مشتق کواریان خطی (بیش از C ∞ ( M )) در استدلال جهت است ، در حالی که مشتق Lie در هیچ آرگومان خطی نیست.

توجه داشته باشید كه مشتق كواریانت ضد تقارن ∇ u v - ∇ v u ، و مشتق Lie L u v با پیچ خوردگی اتصال متفاوت است ، به طوری كه اگر یك اتصال بدون پیچ خوردگی باشد ، آنتی متقارن آن مشتق Lie است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی