ریاضیات

هواپیمای هذلولی صفحه ای است که در آن هر نقطه یک نقطه زین است . در فضای اقلیدسی شبه کره های مختلفی وجود دارد که دارای یک منطقه محدود از انحنای ثابت گوسی منفی هستند.

با قضیه هیلبرت ، غوطه ور شدن به صورت ایزومتریک صفحه کامل هذلولی (یک سطح منظم کامل از انحنای منفی ثابت گاوسی ) در یک فضای اقلیدسی سه بعدی امکان پذیر نیست.

مدلهای مفید دیگری از هندسه هذلولی در فضای اقلیدسی وجود دارد که در آنها متریک حفظ نمی شود. یک مدل کاغذی کاملاً مشهور و مبتنی بر شبه کره به دلیل ویلیام تورستون است .

مجموعه ای از هواپیماهای هذلولی قلاب بافی ، به تقلید از یک صخره مرجانی ، توسط موسسه شکل دادن

مرجانی با هندسه مشابه در صخره بزرگ سد

از هنر قلاب بافی استفاده شده است (رجوع کنید به ریاضیات و هنرهای الیاف ... بافندگی و قلاب بافی ) برای نشان دادن هواپیماهای هذلولی با اولین ساخته شده توسط Daina Taimiņa . [28]

در سال 2000 ، کیت هندرسون یک مدل کاغذی ساخت سریع به نام " فوتبال هذلولی " (دقیق تر ، کاشی مثلثی مرتبه 7 ). [29] [30]

دستورالعمل نحوه ساخت لحاف هذلولی ، طراحی شده توسط هلامان فرگوسن ، [31] توسط جف ویکس در دسترس قرار گرفته است . [32]

مدل های صفحه هذلولی [ ویرایش ]

هستند مختلف وجود دارد سطوح pseudospherical که برای یک منطقه بزرگ یک ثابت منفی گاوسی انحنای از pseudosphere بهترین بودن به خوبی از آنها شناخته شده است.

اما انجام هندسه هذلولی در مدل های دیگر آسان تر است.

مدل دیسک Poincare با کاشی کاری سه ضلعی کوتاه

خطوط از طریق یک نقطه داده شده و به موازات یک خط داده شده ، در مدل دیسک Poincare نشان داده شده است

چهار مدل معمولاً برای هندسه هذلولی استفاده می شود: مدل کلاین ، مدل دیسک Poincare ، مدل نیم صفحه Poincare ، و مدل Lorentz یا hyperboloid . این مدل ها یک صفحه هذلولی را تعریف می کنند که بدیهیات هندسه هذلولی را برآورده می کند. علیرغم نام آنها ، سه مورد اول ذکر شده در بالا به عنوان مدلهایی از فضای هذلولی توسط بلترامی معرفی شده اند ، نه توسط پوانکره یا کلاین . همه این مدل ها به ابعاد بیشتری قابل ارتقا هستند.

مدل Beltrami – Klein [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل Beltrami – Klein

مدل Beltrami – Klein ، همچنین به عنوان مدل دیسک پروژکتی ، مدل دیسک Klein و مدل Klein شناخته می شود ، از Eugenio Beltrami و Felix Klein نامگذاری شده است .

برای دو بعد این مدل از فضای داخلی دایره واحد برای صفحه هذلولی کامل استفاده می کند و آکوردهای این دایره خطوط هذلولی هستند.

برای ابعاد بالاتر این مدل از فضای داخلی توپ واحد استفاده می کند و آکوردهای این n- ball خطوط هذلولی هستند.

• این مدل این مزیت را دارد که خطوط مستقیم هستند ، اما عیب آن است که زاویه ها تحریف می شوند (نگاشت مطابق نیست ) و همچنین دایره ها به عنوان دایره نشان داده نمی شوند.
• فاصله در این مدل نصف لگاریتم مقطع است که توسط آرتور کیلی در هندسه تصویری معرفی شد .

مدل دیسک Poincare ( ویرایش )

مقاله اصلی: مدل دیسک Poincare

مدل قرص پوانکاره ، همچنین به عنوان مدل دیسک منسجم شناخته شده است، همچنین این استخدام داخل کشور، از دایره واحد ، اما خطوط توسط arcs از محافل که نشان متعامد به دایره مرز، به علاوه قطر دایره مرز.

• این مدل زوایا را حفظ می کند ، و بنابراین سازگار است . بنابراین تمام ایزومتریهای موجود در این مدل تبدیلات مبیوس هستند .
• دایره هایی که کاملاً درون دیسک هستند ، دایره هایی باقی می مانند اگرچه مرکز اقلیدسی دایره از مرکز هذلولی دایره به مرکز دیسک نزدیکتر است.
• چرخه های چرخشی دایره هایی درون دیسک هستند که با دایره مرزی منهای نقطه تماس مماس هستند .
• هایپرایکل ها وترهایی با انتهای باز و قوس های دایره ای درون دیسک هستند که در زاویه های غیر متعامد به دایره مرزی ختم می شوند.

مدل نیم فضای پوانکره [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل نیم فضای پوانکره

مدل نیم فضای پوانکره ، نیمی از صفحه اقلیدسی را که با یک خط B هواپیما محدود می شود ، می گیرد تا یک مدل از صفحه هذلولی باشد. خط B در مدل گنجانده نشده است.

صفحه اقلیدسی ممکن است یک صفحه با سیستم مختصات دکارتی باشد و محور x به عنوان خط B در نظر گرفته شود و نیمه صفحه نیمه بالایی ( y > 0) این صفحه باشد.

• خطوط هذلولی پس از آن یا نیم دایره های متعامد B یا پرتوهای عمود بر B هستند .
• طول یک فاصله بر روی یک اشعه با اندازه گیری لگاریتمی داده می شود ، بنابراین تحت یک تغییر هموتتیک ثابت است 
• مانند مدل دیسک Poincare ، این مدل زوایا را نیز حفظ می کند و بنابراین مطابق است . بنابراین تمام ایزومتریهای موجود در این مدل تبدیلات موبیوس صفحه هستند.
• مدل نیم صفحه محدودیت مدل دیسک Poincare است که مرز آن در همان نقطه مماس با B است در حالی که شعاع مدل دیسک تا بی نهایت می رود.

مدل هایپربلوئید [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل هیپربولوئید

مدل hyperboloid یا مدل لورنتس استخدام 2 بعدی hyperboloid از انقلاب (از دو ورق، اما با استفاده از یکی) جاسازی شده در 3 بعدی فضای مینکوفسکی . این مدل عموماً به پوانكاره نسبت داده می شود ، اما رینولدز [33] می گوید ویلهلم كیلینگ از این مدل در سال 1885 استفاده كرده است.

• این مدل برای نسبیت خاص کاربرد مستقیمی دارد ، زیرا مینکوفسکی 3-فضایی مدلی برای زمان-زمان است ، که یک بعد فضایی را سرکوب می کند. می توان hyperboloid را برای نمایش وقایعی در نظر گرفت که ناظران مختلف متحرک ، که از یک نقطه واحد به بیرون در یک صفحه فضایی تابش می کنند ، در یک زمان مناسب مشخص به آن می رسند .
• فاصله هذلولی بین دو نقطه روی هیپربولوئید را می توان با سرعت نسبی بین دو ناظر متناظر تشخیص داد.
• مدل به طور مستقیم به یک بعد اضافی تعمیم می یابد ، جایی که هندسه هذلولی سه بعدی مربوط به مینکوفسکی 4-فضای است.

مدل نیمکره [ ویرایش ]

نیمکره مدل اغلب به عنوان مدل خود به خود استفاده نمی کند، اما آن را به عنوان یک ابزار مفید برای تجسم تحولات بین مدل های دیگر عمل می کند.

مدل نیمکره از نیمه بالایی کره واحد استفاده می کند : 

خطوط هذلولی نیم دایره های متعامد تا مرز نیمکره هستند.

مدل نیمکره بخشی از کره ریمان است و پیش بینی های مختلف مدل های مختلفی از صفحه هذلولی را ارائه می دهد:

• پیش بینی استریوگرافی از  روی فضا   نقاط مربوط به مدل دیسک پوانکاره را طراحی می کند
• پیش بینی استریوگرافی از  روی سطح  نقاط مربوطه را در مدل هایپربولوئید پروژه می کند
• پیش بینی استریوگرافی از روی فضا نقاط مربوطه را در مدل نیم فضا پوانکاره پروژه می کند
• فرافکنی نگاری بر روی صفحهنقاط مربوط به مدل Beltrami – Klein را طراحی می کند .
• فرافکنی مرکزی از مرکز کره به صفحهنقاط مربوط به مدل Gans را طراحی می کند

به ادامه مطلب مراجعه کنید: اتصال بین مدل ها (در زیر)

مدل گانس [ ویرایش ]

در سال 1966 دیوید گانس یک مدل هیپربلوئید مسطح را در مجله American Mathematical Monthly ارائه داد . [34] این یک طرح نویسی از مدل هیپربولوئید بر روی صفحه xy است. این مدل به اندازه مدل های دیگر مورد استفاده قرار نمی گیرد اما با این وجود در درک هندسه هذلولی کاملاً مفید است.

• برخلاف مدل های کلاین یا پوانکره ، این مدل از کل صفحه اقلیدسی بهره می برد .
• خطوط موجود در این مدل به عنوان شاخه های یک هذلولی نشان داده می شوند . [35]

مدل باند [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل باند

مدل باند بخشی از صفحه اقلیدسی را بین دو خط موازی به کار می گیرد. [36] فاصله در امتداد یک خط از وسط باند حفظ می شود. با فرض اینکه گروه توسط، معیار داده شده توسط .

اتصال بین مدل ها [ ویرایش ]

مدل های دیسک Poincare ، نیم کره و هایپروبلوئید با طرح کلیشه ای از related1 مرتبط هستند . مدل بلترامی-کلین است تصویر ارتوگرافیک از مدل نیم کره. مدل نیم هواپیمای Poincare در اینجا از مدل نیم کره ای توسط اشعه های انتهای سمت چپ مدل دیسک Poincareé پیش بینی شده است.

همه مدل ها اساساً همان ساختار را توصیف می کنند. تفاوت بین آنها این است که آنها نمودارهای مختصات مختلفی را نشان می دهند که در همان فضای متریک قرار گرفته اند ، یعنی صفحه هذلولی. مشخصه مشخصه صفحه هذلولی این است که دارای انحنای منفی ثابت گوسی است که نسبت به نمودار مختصات بکار رفته بی تفاوت است. ژئودزیک مشابه ناوردا هستند: این است که، ژئودزیک نقشه به ژئودزیک تحت مختصات تحول. هندسه هذلولی به طور کلی از نظر ژئودزیک و تقاطع آنها در صفحه هذلولی معرفی می شود. [37]

زمانی که ما یک نمودار مختصات (یکی از "مدل") را انتخاب کنید، ما می توانیم همیشه جاسازی آن را در یک فضای اقلیدسی همان ابعاد، اما تعبیه است که به وضوح ایزومتریک نیست (از انحنای فضا اقلیدسی 0 است). فضای هذلولی را می توان با بی نهایت نمودارهای مختلف نشان داد. اما تعبیه شده در فضای اقلیدسی به دلیل این چهار نمودار خاص ویژگی های جالبی را نشان می دهد.

از آنجا که این چهار مدل فضای متریک یکسانی را توصیف می کنند ، می توان هر یک را به دیگری تبدیل کرد.

به عنوان مثال مشاهده کنید:

• رابطه مدل Beltrami – Klein با مدل هیپربلوئید ،
• رابطه مدل Beltrami – Klein با مدل دیسک Poincare ،
• و رابطه مدل دیسک پوانکاره با مدل هیپربلوئید .

ایزومتری های صفحه هذلولی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: هندسه حرکت و تبدیل هذلولی

هر ایزومتری ( تحول یا حرکت ) صفحه هذلولی به سمت خود می تواند به عنوان ترکیب حداکثر سه بازتاب تحقق یابد . در فضای هذلولی n بعدی ، ممکن است تا n +1 بازتاب لازم باشد. (اینها برای هندسه های اقلیدسی و کروی نیز صادق است ، اما طبقه بندی زیر متفاوت است)

تمام ایزومتری های صفحه هذلولی را می توان در این کلاس ها طبقه بندی کرد:

• حفظ جهت
  • همسان هویت - حرکت هیچ چیز، بازتاب صفر ؛ صفر درجه آزادی .
  • وارونگی از طریق یک نقطه (نیمه چرخش) - دو بازتاب از طریق خطوط متقابل عمود عبور از نقطه داده شده ، یعنی چرخش 180 درجه به دور نقطه ؛ دو درجه آزادی .
  • چرخش به دور یک نقطه عادی - دو بازتاب از طریق خطوط عبور از نقطه داده شده (شامل وارونگی به عنوان یک مورد خاص) ؛ نقاط بر روی دایره های اطراف مرکز حرکت می کنند. سه درجه آزادی.
  • "چرخش" حول یک نقطه ایده آل (هول کردن) - دو بازتاب از طریق خطوط منتهی به نقطه ایده آل. نقاط در امتداد چرخه های حرکتی متمرکز بر نقطه ایده آل حرکت می کنند. دو درجه آزادی.
  • ترجمه در امتداد یک خط مستقیم - دو بازتاب از طریق خطوط عمود بر خط داده شده. از خط حرکت داده شده در امتداد ابرچرخه ها امتیاز می گیرد. سه درجه آزادی.
• جهت گیری معکوس
  • بازتاب از طریق یک خط - یک بازتاب ؛ دو درجه آزادی.
  • بازتاب ترکیبی از طریق یک خط و ترجمه در همان خط - رفت و آمد بازتاب و ترجمه ؛ سه بازتاب مورد نیاز است. سه درجه آزادی. [ نیاز به منبع ]

هندسه هذلولی در هنر [ ویرایش ]

چاپهای مشهور MC Escher Circle Limit III و Circle Limit IV مدل دیسک مطابق ( مدل دیسک پوانکاره ) را به خوبی نشان می دهد. خطوط سفید در III کاملا ژئودزیک نیستند ( هایپر سایکل هستند ) ، اما به آنها نزدیک هستند. همچنین می توان انحنای منفی صفحه هذلولی را از طریق تأثیر آن بر مجموع زاویه ها در مثلث و مربع ها به وضوح مشاهده کرد .

به عنوان مثال ، در Circle Limit III هر راس متعلق به سه مثلث و سه مربع است. در صفحه اقلیدسی ، زاویه آنها به 450 درجه می رسد. یعنی یک دایره و یک چهارم. از این رو می بینیم که مجموع زاویه های یک مثلث در صفحه هذلولی باید کوچکتر از 180 درجه باشد. یکی دیگر از ویژگی های قابل مشاهده ، رشد نمایی است . به عنوان مثال در Circle Limit III ، می توان دریافت که تعداد ماهیان در فاصله n از مرکز به طور نمایی افزایش می یابد. سطح ماهیان دارای هذلولی مساوی است ، بنابراین مساحت یک توپ به شعاع n باید به صورت نمایی در n افزایش یابد .

هنر قلاب دوزی است استفاده شده است برای نشان دادن هواپیماهای هذلولی (تصویر بالا) با اولین بودن ساخته شده توسط Daina Taimiņa ، [28] که کتاب قلاب بافی ماجراهای با هواپیماها هذلولوی سال 2009 موفق به کسب جایزه نمودار کتاب فروش / برای عجیب ترین عنوان از سال . [38]

HyperRogue یک بازی roguelike است که در کج های مختلف صفحه هذلولی قرار دارد .

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای هذلولی

هندسه هذلولی به 2 بعد محدود نمی شود. هندسه هذلولی برای هر تعداد بالاتر از ابعاد وجود دارد.

ساختار همگن [ ویرایش ]

فضای هذلولی بعد n یک مورد خاص از یک فضای متقارن ریمانی از نوع غیر فشرده است ، زیرا نسبت به نصف یکسان نیست

گروه متعامد O (1، N ) عمل می کند توسط تحولات هنجار-حفظ و در مینکوفسکی فضای R 1، N ، و آن را عمل می کند transitively در hyperboloid دو ورق هنجار 1 بردار. زمانوار خطوط (به عنوان مثال، کسانی که با مماس مثبت هنجار) از طریق پاس منشاء از طریق نقاط واقع در طرف مقابل در hyperboloid، بنابراین فضای از این خطوط بازده مدل هذلولی N فضا-. تثبیت کننده هر خط خاص ریخت به است کالا از گروه های متعامد O ( N ) و O (1)، که در آن O ( N) بر روی فضای مماس یک نقطه در هایپروبلوئید عمل می کند ، و O (1) خط را از طریق مبدا منعکس می کند. بسیاری از مفاهیم ابتدایی در هندسه هذلولی را می توان با اصطلاحات جبری خطی توصیف کرد : مسیرهای ژئودزیک توسط تقاطع هایی با صفحات از طریق مبدا توصیف می شوند ، زاویه های دو وجهی بین ابر هواپیماها را می توان با محصولات داخلی بردارهای طبیعی توصیف کرد و به گروه های بازتاب هذلولی صریح می توان تحقق ماتریس

در ابعاد کوچک ، ایزومورفیسمهای استثنایی گروههای دروغ وجود دارد که روشهای اضافی را برای در نظر گرفتن تقارن فضاهای هذلولی ایجاد می کند. به عنوان مثال ، در بعد 2 ، ایزومورفیسم SO + (1 ، 2) ≅ PSL (2 ، R ) ≅ PSU (1 ، 1) به شخص اجازه می دهد مدل نیمه صفحه بالا را به عنوان ضریب SL (2 ، R ) / SO تفسیر کند (2) و مدل دیسک Poincare به عنوان ضریب SU (1 ، 1) / U (1) . در هر دو حالت ، گروه های تقارن با تغییر شکل خطی کسری عمل می کنند ، زیرا هر دو گروه تثبیت کننده های جهت گیری نگهدارنده در PGL هستند (2 ، C )از زیر فضاهای مربوطه حوزه ریمان. تحول کیلی نه تنها یک مدل از صفحه هذلولی را به مدل دیگر می برد ، بلکه به هم شکل بودن گروه های تقارن به عنوان مزدوج در یک گروه بزرگتر پی می برد. در بعد 3 ، عمل خطی کسری PGL (2 ، C ) در کره ریمان با اقدام در مرز انطباق 3-فضای هذلولی ناشی از ایزومورفیسم O + (1 ، 3) ≅ PGL (2 ، C) مشخص می شود ). این امکان را برای فرد فراهم می کند تا با در نظر گرفتن خصوصیات طیفی ماتریس های پیچیده نماینده ، اندازه گیری های 3-فضایی هذلولی را مطالعه کند. به عنوان مثال ، تبدیلات سهموی در مدل نیمه فضای بالایی با ترجمه های صلب ترکیب شده اند و دقیقاً همان تحولاتی هستند که می توانند توسط ماتریس های مثلثی مثلثی غیر توانا نشان داده شوند.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

• سازه ها در هندسه هذلولی
• هایپربولیک 3-چند برابر
• منیفولد هذلولی
• مجموعه هذلولی
• تحول هژلمسلو
• درخت هذلولی
• گروه کلینیان
• چهار ضلعی لمبرت
• جهان باز
• معیار پوانکره
• چهار ضلعی ساچری
• هندسه سیستولیک
• کاشی های یکنواخت در صفحه هذلولی
• فضای هذلولی δ
• مدل باند

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry