مدل بلترامی-کلاین

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هشتم تیر ۱۴۰۰ | 18:36

بسیاری از خطوط هایپربولیک از طریق نقطه P که خط A را در مدل بلترامی-کلاین قطع نمی کند

کاشیکاری سه وجهی سه گانه هذلولی در طرح مدل بلترامی-کلاین

در هندسه ، مدل بلترامی-کلاین ، که به آن مدل فرافکنی ، مدل دیسک کلاین ، و مدل بلترامی-کلاین نیز گفته می شود ، یک مدل از هندسه هذلولی است که در آن نقاط با نقاط داخلی دیسک واحد نشان داده می شوند (یا n توپ واحد بعدی ) و خطوط توسط آکورد ، بخشهای مستقیم با نقاط انتهایی ایده آل در کره مرزی نشان داده می شوند .

مدل بلترامی-کلاین از هندسه ایتالیایی Eugenio Beltrami و Felix Klein آلمانی نامگذاری شده است در حالی که "Cayley" در مدل بلترامی-کلاین به هندسه انگلیسی آرتور کیلی اشاره دارد .

مدل بلترامی-کلین شبیه به است طرح gnomonic از هندسه کروی ، در آن ژئودزیک ( دایره بزرگ در هندسه کروی) به خطوط مستقیم نگاشت.

این مدل مطابق نیست ، به این معنی که زوایا و دایره ها تحریف می شوند ، در حالی که مدل دیسک Poincare اینها را حفظ می کند.

در این مدل ، خطوط و بخشها بخشهای اقلیدسی مستقیم هستند ، در حالی که در مدل دیسک Poincaré ، خطوط قوس هایی هستند که مرز را به صورت متعامد برآورده می کنند .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: معیار Cayley-Klein

این مدل اولین بار برای هندسه هذلولی در دو خاطره از اوژنیو بلترامی که در سال 1868 منتشر شد ، برای اولین بار برای بعد n = 2 و سپس برای n کلی ، این مقالات همخوانی هندسه هذلولی با هندسه اقلیدسی معمولی را اثبات کرد . [1] [2] [3]

مقالات Beltrami تا چندی پیش مورد توجه قرار نگرفتند و مدل از Klein نامگذاری شد ("مدل دیسک کلاین"). این به شرح زیر اتفاق افتاده است. در سال 1859 آرتور کیلی با استفاده از تعریف نسبت متقاطع از زاویه ناشی از لاگر برای نشان دادن چگونگی تعریف هندسه اقلیدسی با استفاده از هندسه فرافکنی استفاده کرد . [4] تعریف او از فاصله بعداً به عنوان معیار کایلی شناخته شد .

در سال 1869 ، فلیکس کلاین جوان (بیست ساله) با کارهای کیلی آشنا شد. وی یادآوری کرد که در سال 1870 در سمینار Weierstrass درباره کار کیلی سخنرانی کرد و نوشت:

"من با این سوال به پایان رسیدم که آیا ممکن است ارتباطی بین ایده های کیلی و لوباچفسکی وجود داشته باشد. به من پاسخ داده شد که این دو سیستم از نظر مفهومی به طور گسترده ای از هم جدا شده اند." [5]

بعداً ، فلیکس کلاین فهمید که ایده های کیلی باعث ایجاد یک مدل فرافکنی از هواپیمای غیر اقلیدسی می شود. [6]

همانطور که کلاین بیان می دارد ، "من به خودم اجازه دادم با این مخالفت ها قانع شوم و این ایده بالغ را کنار بگذارم." با این حال ، در سال 1871 ، او به این ایده بازگشت ، آن را به صورت ریاضی فرموله کرد و منتشر کرد. [7]

فرمول فاصله [ ویرایش ]

تابع فاصله برای مدل بلترامی-کلاین یک معیار مدل بلترامی-کلاین است . با توجه به دو نقطه متمایز p و q در توپ واحد باز ، خط مستقیم منحصر به فرد متصل به آنها مرز را در دو نقطه ایده آل ، a و b قطع می کند ، آنها را برچسب گذاری کنید تا نقاط به ترتیب a ، p ، q ، b و | aq | > | ap | و | سرب | > | qb | .

فاصله هذلولی بین p و q بدین ترتیب است: $d (p، q) = {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ left | aq \ right | \، \ left | pb \ right |} {\ left | ap \ right | \، \ چپ | qb \ راست |}}$

میله های عمودی نشان دهنده فاصله اقلیدسی بین نقاط بین آنها در مدل است ، log لگاریتم طبیعی است و ضریب یک نیمه برای دادن انحنای استاندارد model1 به مدل مورد نیاز است .

وقتی یکی از نقاط مبدا باشد و فاصله اقلیدسی بین نقاط r باشد ، فاصله هذلولی این است:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1 + r} {1-r}} \ right) = \ operatorname {artanh} r}$ که در آن artanh است تابع معکوس هایپربولیک از تانژانت هایپربولیک .

مدل دیسک کلاین [ ویرایش ]

خطوط در مدل تصویری صفحه هذلولی

در دو بعد مدل بلترامی-کلاین را مدل دیسک کلاین می نامند . این یک دیسک است و داخل دیسک یک مدل از کل صفحه هذلولی است . خطوط در این مدل با آکورد دایره مرزی ( مطلق نیز نامیده می شوند ) نشان داده می شوند. نقاط روی دایره مرزی را نقاط ایده آل می نامند . اگرچه کاملاً مشخص است ، اما آنها به هواپیمای هذلولی تعلق ندارند. همچنین نقاط خارج از دیسک که بعضاً نقاط فوق العاده ایده آل نامیده می شوند نیز وجود ندارد .

مدل مطابق نیست ، به این معنی که زوایا تحریف می شوند و دایره های صفحه هذلولی به طور کلی در مدل دایره ای نیستند. فقط حلقه هایی که مرکز آنها در مرکز دایره مرزی است تحریف نشده اند. سایر محافل ، و همچنین چرخه های موتور سیکلت و ابرچرخه ها ، تحریف شده اند

خصوصیات [ ویرایش ]

آکوردهایی که روی دایره مرزی قرار می گیرند خطوط موازی محدود کننده ای هستند .

اگر آکورد در خارج از دیسک گسترش یابد ، هر دو قطب عمود هستند . (قطب آکورد یک نقطه فوق العاده ایده آل است: نقطه خارج از دیسک جایی که مماس های دیسک در نقاط انتهایی آکورد به هم می رسند.) آکوردهایی که از مرکز دیسک عبور می کنند قطب خود را در بی نهایت ، متعامد با جهت وتر (این بدان معنی است که زاویه های راست قطرها مخدوش نمی شوند).

سازه های قطب نما و خط مستقیم [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: ساخت قطب نما و خط مستقیم

در اینجا چگونگی استفاده از سازه های قطب نما و جهته در مدل برای دستیابی به تأثیر ساختارهای اساسی در صفحه هذلولی وجود دارد .

قطب یک خط . در حالی که قطب نقطه ای در صفحه هذلولی نیست (یک نقطه فوق العاده ایده آل است ) اما بیشتر سازه ها از قطب یک خط به یک یا چند روش استفاده می کنند.

برای یک خط: از طریق نقاط ایده آل (انتهای) خط ، مماس ها را به دایره مرزی بسازید . نقطه تلاقی این مماس ها قطب است.

برای قطرهای دیسک: قطب در بی نهایت عمود بر قطر است.

برای ساخت یک عمود بر یک خط داده شده را از طریق یک نقطه داده شده رسم ری از قطب خط از نقطه داده شده است. بخشی از پرتو که داخل دیسک است عمود است.

وقتی خط یک قطر دیسک باشد ، عمود آن آکوردی است که (اقلیدسی) عمود بر آن قطر است و از نقطه داده شده عبور می کند.

برای یافتن نقطه میانی قطعه داده شده $AB$ : خطوط را از طریق A و B عمود بر آنها رسم کنید $AB$ . (نگاه کنید به بالا) خطوطی را که نقاط ایده آل این خطوط را به هم متصل می کند رسم کنید ، دو تا از این خط ها قطعه را قطع می کنند $AB$ و این کار را در همان نقطه انجام خواهد داد. این نقطه (هذلولی) است نقطه میانی از $AB$ . [8]
برای تقسیم کردن یک زاویه داده شده $\ BAC زاویه$ : پرتوهای AB و AC را بکشید . در دایره ای که پرتوهای دایره مرزی را قطع می کنند ، مماس بکشید. از A به نقطه ای که ماسک ها از یکدیگر تلاقی می کنند ، رسم کنید . بخشی از این خط بین A و دایره مرزی نیمساز است. [9]
عمود بر مشترک دو خط وتر است که هنگامی که گسترش می رود از طریق هر دو قطب از آکورد.

هنگامی که یکی از آکوردها به قطر دایره مرزی باشد ، عمود مشترک آن وتر است که عمود بر قطر است و هنگام طولانی شدن از قطب وتر دیگر عبور می کند.

برای انعکاس یک نقطه P در یک خط l : از یک نقطه R روی خط l پرتو را از طریق P رسم کنید. بگذارید X نقطه ایده آل محل تلاقی پرتوی مطلق باشد. پرتو را از قطب خط l از طریق X رسم کنید ، بگذارید Y نقطه تلاقی دیگر با مطلق باشد. قطعه RY را بکشید. بازتاب نقطه P نقطه ای است که پرتو از قطب خط l از طریق P با RY قطع می شود. [10]

حلقه ها ، هایپرچرخه ها و چرخه های حرارتی [ ویرایش ]

حلقه ها در مدل هندسه هذلولی کلین-بلترامی.

گرچه خطوط موجود در صفحه هذلولی در مدل دیسک کلاین به راحتی ترسیم می شوند ، اما با دایره ها ، ابرچرخه ها و چرخه های horocycles یکسان نیست .

دایره ها (مجموعه تمام نقاط یک صفحه که در یک فاصله معین از یک نقطه معین ، مرکز آن قرار دارند) در مدل به دلیل نزدیکتر شدن به لبه ، بیضه ها به طور فزاینده ای مسطح می شوند. همچنین زاویه ها در مدل دیسک کلاین تغییر شکل داده اند.

برای ساخت و سازهایی در صفحه هذلولی که حاوی دایره ها ، ابرچرخه ها ، چرخه های حرارتی یا زاویه های غیر راستاست ، بهتر است از مدل دیسک پوانکاره یا مدل نیم صفحه پوانکاره استفاده کنید .

ارتباط با مدل دیسک Poincare ( ویرایش )

مقاله اصلی: هندسه هذلولی § اتصال بین مدل ها

پیش بینی های ترکیبی از مدل دیسک کلاین (زرد) تا مدل دیسک پوانکاره (قرمز) از طریق مدل نیمکره (آبی)

مدل بلترامی-کلاین (K در تصویر) یک طرح نویسی از مدل نیم کره ای و یک طرح gnomonic از مدل هایپربولوئید (Hy) است که مرکز مرکز هایپربولوئید (O) است.

هر دو مدل دیسک پوانکاره و مدل دیسک Klein مدل هایی از صفحه هذلولی هستند. یک مزیت مدل دیسک پوانکاره این است که شکل آن یکنواخت است (دایره ها و زاویه ها مخدوش نمی شوند). یک نقطه ضعف این است که خطوط هندسی قوس های دایره ای متعامد دایره مرزی دیسک هستند.

این دو مدل از طریق یک برآمدگی از مدل نیمکره یا از آن مرتبط هستند . مدل کلاین یک طرح نویسی به مدل نیمکره است در حالی که مدل دیسک پوانکاره یک طرح کلیشه ای است .

هنگام نمایش خطوط یکسان در هر دو مدل بر روی یک دیسک ، هر دو خط از دو نقطه ایده آل عبور می کنند . (نقاط ایده آل در همان نقطه باقی می مانند) همچنین قطب آکورد مرکز دایره ای است که حاوی قوس است .

اگر P یک نقطه فاصله است $s$ از مرکز دایره واحد در مدل بلترامی-کلاین ، سپس نقطه مربوط به مدل دیسک پوانکاره فاصله u در همان شعاع:

$u = \ frac {s} {1+ \ sqrt {1-s ^ 2}} = \ frac {\ چپ (1- \ sqrt {1-s ^ 2} \ right)} {s}.$

برعکس ، اگر P یک نقطه فاصله دارد $تو$ از مرکز دایره واحد در مدل دیسک پوانکاره، سپس نقطه مربوط به مدل بلترامی-کلاین فاصله s در شعاع یکسان است:

$s = \ frac {2u} {1 + u ^ 2}.$

ارتباط مدل دیسک با مدل هیپربولوئید [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هندسه هذلولی § اتصال بین مدل ها

هر دو مدل هایپربولویید و مدل دیسک کلاین مدل هایی از صفحه هذلولی هستند.

دیسک کلاین (K ، در تصویر) یک برآمدگی گنومونیک از مدل هایپربولوئید (Hy) است که مرکز مرکز هایپربولویید (O) و صفحه طرح ریزی مماس نزدیکترین نقطه هایپربولوئید است. [11]

فاصله و سنسور متریک [ ویرایش ]

لانه زنبوری منظم هذلولی dodecahedral ، {5،3،4}

با توجه به دو نقطه مجزا از U و V در گلوله واحد باز مدل در فضای اقلیدسی ، خط مستقیم منحصر به فرد متصل آنها کره واحد را در دو نقطه ایده آل A و B قطع می کند ، دارای برچسب به طوری که نقاط به ترتیب در امتداد خط قرار بگیرند ، ، U ، V ، B . در نظر گرفتن مرکز توپ واحد مدل به عنوان مبدا و اختصاص بردارهای موقعیت u ، v ، a ، b به ترتیب به نقاط U ، V ، A ، B، ما باید بدانیم که ‖ a - v ‖> ‖ a - u ‖ و ‖ u - b ‖> ‖ v - b ‖ ، جایی که ‖ · ‖ نشانگر هنجار اقلیدسی است . سپس فاصله بین U و V در فضای هذلولی مدل شده به صورت بیان می شود

$d ({\ mathbf {u}} ، {\ mathbf {v}}) = {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ left \ | {\ mathbf {v}} - {\ mathbf {a}} \ right \ | \، \ left \ | {\ mathbf {b}} - {\ mathbf {u}} \ right \ |} {\ left \ | {\ mathbf {u}} - {\ mathbf {a}} \ right \ | \، \ left \ | {\ mathbf {b}} - {\ mathbf {v}} \ right \ |}} ،$

جایی که عامل یک نیمه برای ایجاد انحنا vat1 لازم است.

سنسور متریک مرتبط با داده می شود

${\ displaystyle ds ^ {2} = g (\ mathbf {x}، d \ mathbf {x}) = {\ frac {\ left \ | d \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2}} {1 - \ چپ \ | \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl ( } 1- 1- چپ \ | \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}} = {\ frac {(1- \ چپ \ | \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2}) \ چپ \ | d \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2} + (\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl (} 1- \ چپ \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}}}$ [12] [13]

ارتباط با مدل هیپربولوئید [ ویرایش ]

{7،3} کاشی کاری هایپربولیک جزئی از هیپربولوئید همانطور که در دیدگاه بلترامی-کلاین دیده می شود.

انیمیشن کاشیکاری هایپربولیک جزئی {7،3} از هیپربولوئید در حال چرخش به دیدگاه بلترامی-کلاین

مدل hyperboloid یک مدل از هندسه هذلولی در است ( N + 1) بعدی فضای مینکوفسکی . محصول داخلی مینکوفسکی توسط

${\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}} = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} - \ cdots -x_ {n} y_ {n} \ ،$

و هنجار توسط $\ چپ \ | {\ mathbf {x}} \ راست \ | = {\ sqrt {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {x}}}}$ . صفحه هذلولی به عنوان بردارهای x با ‖ x ‖ = 1 و x 0 مثبت ("م timلفه زمانی") در این فضا تعبیه شده است . سپس فاصله ذاتی (در تعبیه شده) بین نقاط u و v توسط داده می شود

$d ({\ mathbf {u}} ، {\ mathbf {v}}) = \ operatorname {arcosh} ({\ mathbf {u}} \ cdot {\ mathbf {v}}).$

این نیز ممکن است به شکل همگن نوشته شود

$d ({\ mathbf {u}} ، {\ mathbf {v}}) = \ operatorname {arcosh} \ چپ ({\ frac {{\ mathbf {u}}} {\ چپ \ | {\ mathbf {u} } \ راست \ |}} \ cdot {\ frac {{\ mathbf {v}}} {\ چپ \ | {\ mathbf {v}} \ راست \ |}} \ راست) ،$

که اجازه می دهد تا بردارها برای سهولت مجدد مقیاس بندی شوند.

مدل بلترامی-کلین از مدل hyperboloid توسط تغییر مقیاس همه بردارها به طوری که جزء قسمت زمان 1 است، این است که، با طرح ریزی تعبیه hyperboloid از مبدا بر روی هواپیما به دست آمده X 0 = 1 . تابع فاصله ، به شکل همگن ، بدون تغییر است. از آنجا که خطوط ذاتی (ژئودزیک) مدل هایپربلوئید محل تلاقی تعبیه شده با هواپیما از طریق منشأ مینکوفسکی است ، خطوط ذاتی مدل بلترامی-کلاین وترهای کره هستند.

ارتباط با مدل توپ پوانکره [ ویرایش ]

هر دو مدل توپ پوانکاره و مدل بلترامی-کلین مدل هستند N بعدی فضای هذلولی در N واحد توپ بعدی در R N . اگر $تو$ بردار هنجاری است کمتر از یک که نمایانگر یک نقطه از مدل دیسک Poincare است ، سپس نقطه مربوط به مدل بلترامی-کلاین توسط

$s = {\ frac {2u} {1 + u \ cdot u}}.$

برعکس ، از یک بردار $s$ هنجار کمتر از یک نشان دهنده یک نقطه از مدل بلترامی-کلاین ، نقطه مربوط به مدل دیسک پوانکاره توسط

$u = {\ frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s \ cdot s}}}} = {\ frac {\ سمت چپ (1 - {\ sqrt {1-s \ cdot s}} \ راست) s} {s \ cdot s}}.$

با توجه به دو نقطه در مرز دیسک واحد ، که به طور سنتی نقاط ایده آل نامیده می شوند ، خط مستقیم اتصال آنها درمدل بلترامی-کلاین وتر بین آنها است ، در حالی که در مدل پوانکاره مربوطه این خط یک قوس دایره ای روی دو است زیر فضایی بعدی که توسط دو بردار نقطه مرزی تولید می شود ، مرز توپ را در زاویه های راست برآورده می کند. این دو مدل از طریق یک برآمدگی از مرکز دیسک به هم مرتبط هستند. یک پرتو از مرکز عبور از یک نقطه از یک خط مدل از طریق نقطه مربوط به خط در مدل دیگر عبور می کند.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

Wikimedia Commons رسانه ای مربوط به مدلهای Beltrami – Klein دارد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami%E2%80%93Klein_model

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی