تانسور در مختصات منحنی :تغییرات مختصات

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ | 2:23

تغییرات مختصات [ ویرایش ]

دو سیستم مختصات را با متغیرهای مختصات در نظر بگیرید $\ displaystyle (Z ^ {1} ، Z ^ {2} ، Z ^ {3})$ و $\ displaystyle (Z ^ {\ حاد {1} ، Z ^ {\ حاد {2}} ، Z ^ {\ حاد {3}})}$ ، که ما به طور خلاصه همانند آنها را نمایندگی خواهیم کرد $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به ترتیب و همیشه شاخص خود را فرض کنید $من$ از 1 تا 3 اجرا می شود. ما فرض خواهیم کرد که این سیستم های مختصات در فضای سه بعدی اقلیدسی تعبیه شده اند. مختصات $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ ممکن است برای توضیح یکدیگر استفاده شود ، زیرا وقتی در یک سیستم مختصات در امتداد خط مختصات حرکت می کنیم می توانیم از دیگری برای توصیف موقعیت خود استفاده کنیم. در این روش هماهنگ می شود $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ توابع یکدیگر هستند

$\ displaystyle Z ^ {i} = f ^ {i} (Z ^ {\ حاد {1}} ، Z ^ {\ حاد {2}} ، Z ^ {\ حاد {3}})}$ برای $\ displaystyle i = 1،2،3}$

که می تواند به صورت نوشته شود

$\ displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {i} (Z ^ {\ حاد {1}} ، Z ^ {\ حاد {2}} ، Z ^ {\ حاد {3}}) = Z ^ {i (Z ^ {\ حاد {من}})}$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i} i ، i = 1،2،3}$

این سه معادله با هم یک تغییر مختصات از هم نامیده می شوند $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به $\ displaystyle Z ^ {من}}$ اجازه دهید این تحول را با ما بیان کنیم $تی$ . بنابراین ما تغییر از سیستم مختصات با متغیرهای مختصات را نشان خواهیم داد $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به سیستم مختصات با مختصات $\ displaystyle Z ^ {من}}$ مانند:

$\ displaystyle Z = T (acute \ حاد {z}})$

به همین ترتیب می توانیم نمایندگی کنیم $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به عنوان تابعی از $\ displaystyle Z ^ {من}}$ به شرح زیر است:

$\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}} = g ^ {\ حاد {i}} (Z ^ {1} ، Z ^ {2} ، Z ^ {3})}$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i}} = 1،2،3$

به همین ترتیب می توان معادلات رایگان را به صورت فشرده تر بنویسیم

$\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}} = Z ^ {\ حاد {i}} (Z ^ {1} ، Z ^ {2} ، Z ^ {3}) = Z ^ {\ حاد {i } (Z ^ {من})$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i} i ، i = 1،2،3}$

این سه معادله با هم یک تغییر مختصات از هم نامیده می شوند $\ displaystyle Z ^ {من}}$ به $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ . بگذارید این تحول را بیان کنیم $س$ . ما تغییر از سیستم مختصات را با متغیرهای مختصات نشان خواهیم داد $\ displaystyle Z ^ {من}}$ به سیستم مختصات با مختصات $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ مانند:

$\ displaystyle {\ حاد {z}} = S (z)$

اگر تحول $تی$ پس از آن که از نظر زیبایی شناختی به تصویر کشیده شده است ، یعنی $\ displaystyle Z ^ {من}}$ مجموعه ای از مختصات قابل قبول برای $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ . اگر $تی$ سیستم مختصات خطی است $\ displaystyle Z ^ {من}}$ در غیر این صورت یک سیستم مختصات وابسته نامیده می شود $\ displaystyle Z ^ {من}}$ سیستم مختصات منحنی نامیده می شود

ژاکوبیان [ ویرایش ]

همانطور که اکنون می بینیم که مختصات $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ توابع یکدیگر هستند ، می توانیم مشتق متغیر مختصات را بگیریم $\ displaystyle Z ^ {من}}$ با توجه به متغیر مختصات $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$

در نظر گرفتن

$\ displaystyle \ partial {Z ^ {i} over \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {i}}}}$ $\ displaystyle {\ overset {\ زیرین {\ mathrm {def} {}} {=}}$ $\ displaystyle J _ {\ حاد {i}} ^ {i}$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i} i ، i = 1،2،3}$ مثلاً ، این مشتقات را می توان در یک ماتریس ترتیب داد ${\ displaystyle J$ ،که در آن $\ displaystyle J _ {\ حاد {i}} ^ {i}$ عنصر موجود در $\ displaystyle i ^ {th}$ ردیف و $\ displaystyle {\ حاد {i}} ^ {th}$ ستون

${\ displaystyle J$ ${\ displaystyle =$ $\ displaystyle {\ fill {pmatrix} J _ {\ حاد {1}} ^ {1} & J _ {\ حاد {2}} ^ {1} & J _ {\ حاد {3}} ^ {1} \\ J _ {\ حاد {1}} ^ {2} & J _ {\ حاد {2}} ^ {2} & J _ {\ حاد {3}} ^ {2} \\ J _ {\ حاد {1}} ^ {3} & J _ {\ حاد {2}} ^ {3} & J _ {\ حاد {3}} ^ {3} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle =$ $\ displaystyle {\ fill {pmatrix} {\ part {Z ^ {1}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {1}}}} & {\ partial {Z ^ {1}} \ over \ partial Z ^ {\ حاد {2}}}} & {\ جزئی {Z ^ {1}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {3}}}} \\ {\ جزئی {Z ^ {2} } \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {1}}}} & {\ جزئی {Z ^ {2}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {2}}}} & {\ partial {Z ^ {2}} \ over \ part {Z ^ {\ حاد {3}}}} \\ {\ partial {Z ^ {3}} \ over \ part {Z ^ {\ حاد {1}}}} & \ partial {Z ^ {3}} \ over \ part {Z ^ {\ حاد {2}}}} & {\ partial {Z ^ {3}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {3 }} \ پایان {pmatrix}}}$

ماتریس حاصل ، ماتریس Jacobian نامیده می شود.

بردارها در مختصات منحنی [ ویرایش ]

بگذارید ( b 1 ، b 2 ، b 3 ) مبنای دلخواهی برای فضای سه بعدی اقلیدسی باشد. به طور کلی ، بردارهای پایه نه بردارهای واحد هستند و نه متقابلاً متعامد . با این حال ، آنها ملزم به مستقل بودن خطی هستند. سپس یک بردار v می تواند به صورت [4] بیان شود ( p27 )

$\ mathbf {v} = v ^ k \، \ mathbf {b} _k$

مؤلفه های v k ، اجزای متناقض بردار v هستند .

اساس متقابل ( b 1 ، b 2 ، b 3 ) توسط رابطه تعریف شده [4] ( pp28-29 )

$\ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} _j = \ delta ^ i_j$

که در آن δ من J است دلتای کرونکر .

بردار v نیز می تواند از نظر مبنای متقابل بیان شود:

$\ mathbf {v} = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k$

اجزای V K هستند هموردا مولفه در بردار $\ mathbf {v$ .

دستیارهای مرتبه دوم در مختصات منحنی [ ویرایش ]

یک تنشور مرتبه دوم را می توان به صورت بیان کرد

$\ boldsymbol {S} = S ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = S ^ {i} _ {~ j} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b } ^ j = S_ {i} ^ {~ j} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _j = S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ ج$

اجزای Sij هستند به نام دارای contravariant اجزاء، S ij راست هموردا مخلوط اجزاء، Sij مخلوط چپ هموردا قطعات، و S IJ هموردا اجزای تانسور مرتبه دوم.

تانسور متریک و روابط بین اجزاء [ ویرایش ]

مقادیر g ij ، g ij به عنوان [4] ( p39 ) تعریف شده است

$g_ {ij} = \ mathbf {b} _i \ cdot \ mathbf {b} _j = g_ {ji} ~؛ ~~ g ^ {ij} = \ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} ^ j = g ^ {از}$

از معادلات فوق که داریم

$v ^ i = g ^ {ik} ~ v_k؛ ~~ v_i = g_ {ik} ~ v ^ k ~؛ ~~ \ mathbf {b} ^ i = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _j ؛ ~~ \ mathbf {b} _i = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ j$

اجزای یک بردار با [4] ( pp30-32 ) مرتبط هستند

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k ~ \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k ~ \ delta ^ i_k = v ^ i$

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k ~ \ delta_i ^ k = v_i$

همچنین،

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v ^ k ~ \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} _i = g_ {ki} ~ v ^ k$

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k \ cdot \ mathbf {b} ^ i = g ^ {ki} ~ v_k$

اجزای سازنده تانسور مرتبه دوم توسط

$S ^ {ij} = g ^ {ik} ~ S_k ^ {~ j} = g ^ {jk} ~ S ^ i_ {~ k} = g ^ {ik} ~ g ^ {jl} ~ S_ {kl}$

تنسور متناوب [ ویرایش ]

در یک مبنای راست دست متعامد ، تانسور متناوب مرتبه سوم به عنوان تعریف شده است

$\ boldsymbol \ mathcal {E}} = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ mathbf {e} ^ i \ otimes \ mathbf {e} ^ j \ otimes \ mathbf {e} ^ k$

در یک پایه منحنی کلی ، یک تانسور مشابه ممکن است بیان شود

$\ boldsymbol \ mathcal {E}} = \ mathcal {E} _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j \ otimes \ mathbf {b} ^ k = \ mathcal {E } ^ {ijk} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j \ otimes \ mathbf {b} _k$

می توان این را نشان داد

$\ mathcal {E} _ {ijk = \ left [\ mathbf {b} _i، \ mathbf {b} _j، \ mathbf {b} _k \ right] = (\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b _j) \ cdot \ mathbf {b} _k ~؛ ~~ \ mathcal {E} ^ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} ^ i، \ mathbf {b} ^ j، \ mathbf {b} ^ k \ درست]$

اکنون،

$\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b} _j = J ~ \ varepsilon_ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ p = \ sqrt {g} ~ \ varepsilon_ {ijp} ~ \ mathbf {b} p$

از این رو ،

$\ mathcal {E} _ {ijk = J ~ \ varepsilon_ {ijk = \ sqrt {g} ~ \ varepsilon_ {ijk$

به همین ترتیب ، ما می توانیم این را نشان دهیم

$\ mathcal {E} ^ {ijk} = \ cfrac {1} {J} ~ \ varepsilon ^ {ijk = \ cfrac {1} {\ sqrt {g}} ~ \ varepsilon ^ {ijk}$

عملیات برداری [ ویرایش ]

نقشه هویتنقشه هویتی که من تعریف کردم $\ mathsf {I} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v$ نشان داده می شود که [4] ( p39 )
$\ mathsf {I} = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _i$
محصول مقیاس پذیر (نقطه ای)محصول مقیاس دو بردار در مختصات منحنی [4] است ( p32 )
$\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ i ~ v_i = u_i ~ v ^ i = g_ {ij} ~ u ^ i ~ v ^ j = g ^ {ij} ~ u_i ~ v_j$
وکتور (متقاطع) محصولمحصول متقابل دو بردار داده شده است [4] ( pp32-34 )
$\ mathbf {u} \ بار \ mathbf {v} = \ varepsilon_ {ijk} ~ {u} _j ~ {v} _k ~ \ mathbf {e} _i$
که در آن ε IJK است نماد جایگشت و الکترونیک من یک بردار اساس دکارتی است. در مختصات منحنی ، بیان معادل آن است
$\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s] ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf b} ^ s = \ mathcal {E} _ {smn} ~ u ^ m ~ v ^ n \ mathbf {b} ^ s$
جایی که $\ mathcal {E} _ {ijk$ است مرتبه سوم متناوب تانسور .
محصول متقابل دو بردار برابر است با
$\ mathbf {u} \ بار \ mathbf {v} = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ hat {u} _j ~ \ hat {v} _k ~ \ mathbf {e} _i$
که در آن ε IJK است نماد جایگشت و $\ mathbf {e} _ {i}$ یک بردار پایه دکارتی است. از این رو،
$\ mathbf {e} _p \ times \ mathbf {e} _q = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ mathbf {e} _i$
و
$\ fill {تراز} \ mathbf {b} _m \ بار \ mathbf {b} _n & = \ frac {\ جزئی \ mathbf {x}} {\ جزئی q ^ m} \ بار \ frac {\ جزئی \ mathbf {x } {\ جزئی q ^ n} = \ frac {\ جزئی (x_p ~ \ mathbf {e} _p)} {\ جزئی q ^ m} \ بار \ frac {\ جزئی (x_q ~ \ mathbf {e} _q) } {\ جزئی q ^ n} \\ [8pt] & = \ frac {\ partial x_p} {\ partial q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_q} {\ جزئی q ^ n} ~ \ mathbf {e _p \ times \ mathbf {e} _q = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ frac {\ جزئی x_p} {\ جزئی q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_q} {\ جزئی q ^ n} ~ \ mathbf {e _i \ end {تراز کردن}$
از این رو ،
$(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ frac {\ partial x_p} {\ جزئی q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_q} {\ جزئی q ^ n} ~ \ frac {\ جزئی x_i} {\ جزئی q ^ s$
بازگشت به محصول وکتور و استفاده از روابط
$\ hat {u} _j = \ frac {\ partial x_j} {\ جزئی q ^ m} ~ u ^ m ~؛ ~~ \ hat {v} _k = \ frac {\ partial x_k} {\ جزئی q ^ n} ~ v ^ n ~؛ ~~ \ mathbf {e} _i = \ frac {\ جزئی x_i} {\ جزئی q ^ s} ~ \ mathbf {b} ^ s$
به ما می دهد
$\ fill {تراز} \ mathbf {u} \ بار \ mathbf {v} & = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ hat {u} _j ~ \ hat v} _k ~ \ mathbf {e} _i = \ varepsilon_ {ijk } ~ \ frac {\ جزئی x_j} {\ جزئی q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_k} {\ جزئی q ^ n} ~ \ frac {\ جزئی جزئی x_i} {\ جزئی q ^ s} ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s \\ [8pt] & = [(\ mathbf {b} _m \ Times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s] ~ u ^ m v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s = \ mathcal {E} _ {smn} ~ u ^ m ~ v ^ n \ mathbf {b} ^ s \ end {تراز$

عملیات تانسور [ ویرایش ]

نقشه هویت :نقشه هویت $\ mathsf {I$ تعریف شده توسط $\ mathsf {I} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v$ نشان داده می شود که [4] ( p39 )
$\ mathsf {I} = g ^ {ij} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = g_ {ij} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = \ mathbf { b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _i$
عمل یک تانسور مرتبه دوم بر روی یک بردار:عمل $\ mathbf {v} = \ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {u$ می تواند در مختصات منحنی به صورت بیان شود
$v ^ i \ mathbf {b} _i = S ^ {ij} u_j \ mathbf {b} _i = S ^ i_ {j} u ^ j \ mathbf {b} _i؛ \ qquad v_i \ mathbf {b} ^ i = S_ {ij} u ^ i \ mathbf {b} ^ i = S_ {i} ^ {j} u_j \ mathbf {b} ^ i$
ضرب داخلی دو سانسور مرتبه دوم:محصول داخلی دو تنور درجه دوم $\ boldsymbol {U} = \ boldsymbol {S} \ cdot \ boldsymbol T$ می تواند در مختصات منحنی به صورت بیان شود
$U_ {ij} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = S_ {ik} T ^ k _ {. j} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = S_i ^ {.k} T_ {kj} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j$
متناوبا، از سوی دیگر،
$\ boldsymbol {U} = S ^ {ij} T ^ m _ {. n} g_ {jm} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n = S ^ i _ {.m} T ^ m_. n} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n = S ^ {ij} T_ {jn} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n$
تعیین کننده تانسور درجه یک:اگر $\ boldsymbol {S}$ یک تانسور مرتبه دوم است ، سپس تعیین کننده توسط رابطه تعریف می شود
$\ left [\ boldsymbol S} \ cdot \ mathbf {u}، \ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {v}، \ boldsymbol S} \ cdot \ mathbf {w} \ Right] = \ det \ boldsymbol S} \ چپ [\ mathbf {u} ، \ mathbf {v} ، \ mathbf {w} \ Right]$
جایی که $\ mathbf {u}، \ mathbf {v}، \ mathbf {w$ بردارهای دلخواه و
$\ left [\ mathbf {u}، \ mathbf {v}، \ mathbf {w} \ Right]: = \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {v} \ بار \ mathbf {W}).$

روابط بین بردارهای پایه منحنی و کارتیزی [ ویرایش ]

بگذارید ( e 1 ، e 2 ، e 3 ) بردارهای پایه معمول دکارتی برای فضای مورد علاقه اقلیدسی باشند و اجازه دهید

$\ mathbf {b} _i = \ boldsymbol {F} \ cdot \ mathbf {e} _i$

که در آن F من یک تغییر و تحول تانسور مرتبه دوم است که نقشه های الکترونیکی من به ب من . سپس،

$\ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {e} _i = (\ boldsymbol {F} \ cdot \ mathbf {e} _i) \ otimes \ mathbf {e} _i = \ boldsymbol {F} \ cdot (\ mathbf { e} _i \ otimes \ mathbf {e} _i) = \ boldsymbol {F}.$

از این رابطه می توانیم این را نشان دهیم

$\ mathbf {b} ^ i = \ boldsymbol {F} ^ {- \ rm {T}} \ cdot \ mathbf {e} ^ i ~؛ ~~ g ^ {ij} = [\ boldsymbol {F} ^ {- \ rm {1}} \ cdot \ boldsymbol {F} ^ {- \ rm {T}}] _ {ij} ~؛ ~~ g_ {ij} = [g ^ {ij}] ^ {- 1} = [ \ boldsymbol {F} ^ {\ rm {T}} \ cdot \ boldsymbol {F}] _ {ij$

اجازه دهید $J: = \ det \ boldsymbol {F$ جاکوبین تحول باشید. سپس ، از تعریف تعیین کننده ،

$\ left [\ mathbf {b} _1، \ mathbf {b} _2، \ mathbf {b} _3 \ Right] = \ det \ boldsymbol {F} \ left [\ mathbf {e} _1، \ mathbf {e} _2 ، \ mathbf {e} _3 \ Right].$

از آنجا که

$\ left [\ mathbf {e} _1، \ mathbf {e} _2، \ mathbf {e} _3 \ Right] = 1$

ما داریم

$J = \ det \ boldsymbol {F} = \ left [\ mathbf {b} _1، \ mathbf {b} _2، \ mathbf {b} _3 \ Right] = \ mathbf {b _1 \ cdot (\ mathbf {b _2 \ بار \ mathbf {b} _3)$

با استفاده از روابط فوق می توان تعدادی از نتایج جالب را به دست آورد.

اول ، در نظر بگیرید

$\ displaystyle g: = \ det [g_ {ij}]$

سپس

$g = \ det [\ boldsymbol {F} ^ {\ rm {T}}] \ cdot \ det [\ boldsymbol {F}] = J \ cdot J = J ^ 2$

به همین ترتیب ، ما می توانیم این را نشان دهیم

$\ det [g ^ {ij}] = \ cfrac {1 {{J ^ 2$

بنابراین ، با استفاده از این واقعیت است که پ $[g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1}$ ،

$\ cfrac {\ جزئی g} {\ جزئی g_ {ij}} = 2 ~ J ~ \ cfrac {\ جزئی J} {\ جزئی g_ {ij}} = g ~ g ^ {ij}$

رابطه جالب دیگری که در زیر آمده است. به یاد بیاورید

$\ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} _j = \ delta ^ i_j \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _1 = 1، ~ \ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _2 = \ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _3 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ 1 = A ~ (\ mathbf {b} _2 \ بار \ mathbf {b} _3)$

جایی که A ثابت و در عین حال نامشخص است. سپس

$\ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _1 = A ~ \ mathbf {b} _1 \ cdot (\ mathbf {b} _2 \ times \ mathbf {b} _3) = AJ = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad A = \ cfrac {1} {J$

این مشاهده منجر به روابط می شود

$\ mathbf {b} ^ 1 = \ cfrac {1} {J} (\ mathbf {b} _2 \ بار \ mathbf {b} _3) ~؛ ~~ \ mathbf {b} ^ 2 = \ cfrac {1} J} (\ mathbf {b} _3 \ بار \ mathbf {b} _1) ~؛ ~~ \ mathbf {b} ^ 3 = \ cfrac {1} {J} (\ mathbf {b} _1 \ times \ mathbf { b} _2)$

در نماد شاخص

$\ varepsilon_ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ k = \ cfrac {1} {J} (\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b} _j) = \ cfrac {1} {\ sqrt {g} } (\ mathbf {b} _i \ بار \ mathbf {b} _j)$

جایی که $\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk$ نماد جایگشت معمول است .

ما یک بیان صریح برای تانسور F تحول را مشخص نکرده ایم زیرا شکل دیگری از نقشه برداری بین پایه های منحنی و دکارتی مفیدتر است. با فرض داشتن میزان کافی از نرمی در نگاشت (و کمی سوء استفاده از نماد)

$\ mathbf {b} _i = \ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ i} = \ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ جزئی جزئی x_j} ~ \ cfrac {\ جزئی x_j} {\ جزئی q ^ i} = \ mathbf {e} _j ~ \ cfrac {\ partial x_j} {\ جزئی q ^ i$

به همین ترتیب ،

$\ mathbf {e} _i = \ mathbf {b} _j ~ \ cfrac {\ part q ^ j} {\ جزئی x_i$

از این نتایج ما

$\ mathbf {e} ^ k \ cdot \ mathbf {b} _i = \ frac {\ partial x_k} {\ جزئی q ^ i} \ quad \ Rightarrow \ quad \ frac {\ جزئی x_k}} \ جزئی q ^ i ~ \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {e} ^ k \ cdot (\ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i) = \ mathbf {e} ^ k$

$\ mathbf {b} ^ k = \ frac {\ part q ^ k} {\ جزئی x_i} ~ \ mathbf {e} ^ i$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensors_in_curvilinear_coordinates

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی