هندسه دیفرانسیل سطوح

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ | 13:33

در ریاضیات ، به هندسه دیفرانسیل سطوح معاملات با هندسه دیفرانسیل از صاف سطوح با ساختار های مختلف دیگر، اغلب، یک متریک ریمانی . سطوح از دیدگاههای مختلف مورد مطالعه قرار گرفته است: به طور بیرونی ، مربوط به تعبیه آنها در فضای اقلیدسی و ذاتاً ، منعکس کننده خواص آنها فقط با فاصله در سطح است که در امتداد منحنی روی سطح اندازه گیری می شود. یکی از مفاهیم اساسی مورد بررسی ، انحنای گاوسی است که برای اولین بار توسط عمق مورد مطالعه قرار گرفتکارل فردریش گاوس ، [1] که نشان داد انحنا یک ویژگی ذاتی یک سطح است ، مستقل از تعبیه ایزومتریک آن در فضای اقلیدسی.

سطوح به طور طبیعی به عنوان نمودار توابع یک جفت متغیر بوجود می آیند ، و گاه به صورت پارامتری یا به صورت مکان هایی که به منحنی های فضا مربوط می شوند ، ظاهر می شوند . نقش مهمی در مطالعه آنها توسط گروه های دروغ (با روحیه برنامه ارلانگن ) ، یعنی گروه های تقارن هواپیمای اقلیدسی ، کره و هواپیمای هایپربولیک ایفا کرده است . این گروه های دروغ می توانند برای توصیف سطوح انحنای ثابت گاوسی استفاده شوند. آنها همچنین یک عنصر اساسی در رویکرد مدرن به هندسه دیفرانسیل ذاتی از طریق اتصالات فراهم می کنند . از طرف دیگر ، ویژگیهای بیرونی با تکیه بر تعبیه سطح در فضای اقلیدسی نیز مورد مطالعه گسترده قرار گرفته است. این به خوبی توسط غیرخطی نشان داده شده استمعادلات اویلر - لاگرانژ در محاسبه تغییرات : اگرچه اویلر معادلات متغیر را برای درک ژئودزیک توسعه داد ، مستقل از تعبیه تعریف شده ، یکی از کاربردهای اصلی لاگرانژ از دو معادله متغیر به سطوح حداقلی بود ، مفهومی که فقط می توان در آن تعریف کرد شرایط تعبیه

فهرست

بررسی اجمالی [ ویرایش ]

Polyhedra در فضای اقلیدسی ، مانند مرز یک مکعب ، از اولین سطحی است که در هندسه با آن روبرو می شوید. همچنین می توان سطوح صاف را تعریف کرد ، که در آن هر نقطه دارای یک محله متفاوت است به بعضی از مجموعه های باز در E 2 ، هواپیمای اقلیدسی . این شرح می تواند برای اثبات نتایج بسیاری از محاسبات روی سطوح استفاده شود.

دو سطح صاف اگر و فقط در صورت همومورف بودن هستند دیفیفورف هستند . (نتیجه مشابه برای مانیتورهایی با ابعاد بزرگتر از سه وجود ندارد.) از این رو نتیجه می گیرد که سطوح بسته تا مشخصه اویلر و جهت یابی آنها به دیفرمورفیسم طبقه بندی می شوند .

سطوح صاف مجهز به معیارهای ریمانی از اهمیت اساسی در هندسه دیفرانسیل برخوردار هستند. یک معیار ریمانی یک سطح با مفاهیم ژئودزیکی ، مسافت ، زاویه و منطقه را وقف می کند. طبقه مهمی از این سطوح سطوح قابل توسعه هستند : سطحی که بدون کشش می توان در هواپیما صاف شد. مثالها شامل استوانه و مخروط است .

علاوه بر این ، خواص سطحی وجود دارد که بستگی به تعبیه سطح در فضای اقلیدسی دارد. این سطوح موضوع هندسه بیرونی هستند. آنها شامل می شوند

سطوح حداقل سطوحي هستند كه مساحت سطح را براي شرايط مرزي معين به حداقل مي رسانند . نمونه ها شامل فیلم های صابونی هستند که در یک قاب سیم کشیده می شوند ، کاتنوئیدها و هلیکوئیدها .
سطوح حاوی سطوح دارای حداقل یک خط مستقیم در هر نقطه می باشد. مثالها شامل سیلندر و هایپربلوئید یک ورق است.

هر نفر بعدی چند برابر پیچیده است، در همان زمان، یک 2 نفر چند برابر واقعی بعدی. بنابراین هر منیفولد پیچیده (همچنین یک سطح ریمان خوانده می شود ) یک سطح صاف گرا با یک ساختار پیچیده مرتبط است . هر سطح بسته ساختارهای پیچیده ای را می پذیرد. هر منحنی جبری پیچیده یا سطح جبری واقعی نیز یک سطح صاف است ، احتمالاً دارای تکین.

ساختارهای پیچیده در محور متناظر سطح بسته به کلاسهای همارزی منسجم از معیارهای ریمانی بر روی سطح. یک نسخه از قضیه یکنواختی (با توجه به Poincaré ) بیان می کند که هر متریک ریمانی در سطح بسته و دارای جهت بسته ، مطابق با معیار اساساً منحصر به فرد انحنای ثابت است . این یک نقطه شروع برای یکی از رویکردهای نظریه Teichmüller است ، که طبقه بندی دقیق تری از سطوح ریمان نسبت به توپولوژیک توسط ویژگی اویلر به تنهایی فراهم می کند.

یکنواخت قضیه میگوید که هر صاف ریمان سطح S است conformally معادل به یک سطح داشتن انحنا ثابت و ثابت ممکن است گرفته شده به 1، 0، یا -1. سطح انحنای ثابت 1 به صورت محلی از نظر کره ای ایزومتریک است ، بدین معنی که هر نقطه روی سطح دارای یک محله باز است که به یک مجموعه باز بر روی واحد واحد در E 3 با متریک ذاتی ریمانی آن ایزومتریک است . به همین ترتیب ، یک سطح از انحنای ثابت 0 به صورت محلی با هواپیمای اقلیدسی ایزومتریک است ، و یک سطح از انحنای ثابت −1 به صورت موضعی با هواپیمای هایپربولیک ایزومتریک است .

فلیکس کلین (1925-1949)

سطوح انحنای ثابت تحقق دو بعدی از آنچه به عنوان اشکال فضا شناخته می شوند هستند . این ها اغلب از نقطه نظر مورد مطالعه قرار فلیکس کلاین 'ثانیه برنامه ارلانگن با استفاده از صاف، گروه های تحول . هر سطح متصل با یک گروه سه بعدی ایزومتری یک سطح انحنای ثابت است.

یک سطح پیچیده یک مانیفولد پیچیده است و بنابراین یک چهار برابر واقعی است. به معنای این مقاله سطحی نیست. منحنی های جبری یا سطوح بیش از مزارع غیر از اعداد پیچیده تعریف نشده اند.

تاریخچه سطوح [ ویرایش ]

خواص جدا شده سطوح انقلاب قبلاً به ارشمیدس مشهور بود . توسعه حساب در قرن هفدهم شیوه ای منظم تر برای اثبات آنها فراهم کرد. انحنای سطوح کلی برای اولین بار توسط اویلر مورد بررسی قرار گرفت . در سال 1760 [2] او یک فرمول برای انحنای بخش هواپیما از یک سطح ثابت کرد و در سال 1771 [3] او در نظر گرفته سطوح نشان داده شده در یک فرم پارامتری. مونگ پایه های تئوری خود را زمین گذاشته در خاطرات کلاسیک خود را برنامه L'د l 'تجزیه و تحلیل یک لا Géométrie که در 1795. ظاهر شد سهم تعریف به سطوح تئوری های ساخته شده بود گاوسدر دو مقاله قابل توجه که در سال 1825 و 1827 نوشته شده است. [1] این یک عزیمت جدید از سنت بود زیرا برای اولین بار گاوس هندسه درونی یک سطح را در نظر گرفت ، خواصی که فقط با فاصله های ژئودزیکی بین نقاط روی سطح به طور مستقل تعیین می شوند. از روشی خاص که در آن سطح در فضای اقلیدسی محیط قرار دارد. نتیجه تاجگذاری ، Theorema Egregium از گاوس ، ثابت کرد که انحنای گاوس یک تغییر ذاتی است ، یعنی ثابت تحت ایزومتری های محلی . این دیدگاه توسط ریمان به فضاهای بالاتر ابعادی گسترش یافت و منجر به آنچه امروزه به عنوان هندسه ریمانی شناخته می شود. قرن نوزدهم عصر طلایی برای تئوری سطوح ، از نظر توپولوژیکی و همچنین از دیدگاه دیفرانسیل-هندسی بود که بیشتر هندسه های پیشرو خود را به مطالعه خود اختصاص می دادند. [ نیاز به استناد ] Darboux نتایج بسیاری را در رساله چهار جلدی سطوح Théorie des (اولیای 1887) جمع آوری کرد .

ارائه زیر به طور گسترده ای از گاوس پیروی می کند ، اما با کمک های مهم بعدی از هندسه های دیگر. برای مدت زمان گاوس بود نقشه کش به جورج سوم از بریتانیا و Hanover در ؛ این حمایت از سلطنتی می تواند توضیح دهد که چرا این مقاله ها محاسبه های عملی انحنای زمین را صرفاً بر اساس اندازه گیری های سطح کره زمین انجام می دهند.

انحنای سطوح در فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: انحنای سطوح

همچنین ببینید: فضای اقلیدسی ، انحنای گاوسی و انحنای میانگین

انحنای اصلی در نقطه‌ای از سطح

نقشه گاوس نقطه‌ای روی سطح را به بردار عادی واحد منتهی به بیرونی ، یک نقطه در S 2 ارسال می کند

به طور غیررسمی گاوس انحنای یک سطح را بر حسب انحنای منحنی های صفحه مشخصی که به سطح متصل می شوند ، تعریف می کرد. او بعداً یک سری تعاریف معادل پیدا کرد. یکی از اولین ها از نظر ویژگی های وسعت بخش نقشه گاوس ، نقشه ای از سطح به یک کره 2 بعدی بود. با این حال ، قبل از به دست آوردن تعریف ذاتی تر از نظر مساحت و زاویه های مثلث های کوچک ، گاوس نیاز داشت تا یک بررسی عمیق از خواص ژئودزیک روی سطح ، یعنی مسیرهایی با کوتاهترین طول بین دو نقطه ثابت روی سطح انجام دهد ( به زیر مراجعه کنید) [آ]

انحنای گاوسی در یک نقطه بر روی یک سطح صاف تعبیه شده به صورت محلی توسط معادله داده شده

z = F ( x ، y )

در فضای اقلیدسی ( E 3 ) ، محصول انحنای اصلی در نقطه تعریف شده است. [4] میانگین انحنای تعریف می شود به طور متوسط است. خمیدگی اصلی حداکثر و حداقل می انحنا از منحنی هواپیما به دست آمده توسط متقاطع سطح را با هواپیماهای عادی به هواپیما مماس در نقطه. اگر نقطه با (0 ، 0 ، 0) با هواپیمای مماس z = 0 باشد ، پس از چرخش در مورد z -axis ضریب تنظیم روی xy به صفر ، F از سری گسترش تیلور برخوردار است.

$\ displaystyle F (x، y) = {\ tfrac {1} {2}} k_ {1} x ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} k_ {2} y ^ {2} + \ cdot \ cdot \ cdot$

انحنای اصلی k 1 و k 2 است . در این حالت ، انحنای گاوسی توسط داده می شود

$K = k_ {1} \ cdot k_ {2.$

و میانگین انحنای توسط

$K_ {m} = {\ tfrac {1} 2}} (k_ {1} + k_ {2 {).$

از آنجا که K و K متر تحت ناوردا هستند isometries از E 3 ، به طور کلی

$K = {\ frac {RT-S ^ {2}} {\ left (1 + P ^ {2} + Q ^ {2} \ Right) ^ {2}}}$

$\ displaystyle K_ {m} = {\ frac {ET + GR-2FS} \ 2 \ left (1 + P ^ {2} + Q ^ {2} \ Right) ^ {2}}}$

جایی که مشتقات موجود در نقطه توسط [5] داده می شوند

${\ displaystyle P = F_ {x} ، Q = F_ {y} ، R = F_ {xx} ، S = F_ {xy ، T = F_ {yy}$

$\ displaystyle E = 1 + F_ {x} ^ {2} ، G = 1 + F_ {y} ^ {2} ، F = F_ {x} F_ {y}}$

برای هر سطح تعبیه شده گرا نقشه نقشه گاوس نقشه به کره واحد است که هر نقطه را به بردار عادی واحد (با اشاره به بیرون) به صفحه مماس گرا در نقطه ارسال می کند. در مختصات نقشه ( x ، y ، z ) به ارسال می شود

$N (x ، y ، z) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + P ^ {2} + Q ^ {2}}}} (P ، Q ، -1).$

محاسبه مستقیم نشان می دهد که: انحنای گاوی ، یعقوبیان نقشه گاوس است . [6]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی