2-کانال کوانتومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ | 13:38

نمونه ها

تکامل زمان

برای یک سیستم کاملاً کوانتومی، تکامل زمانی، در زمان معین t ، با داده می شود

$\rho \rightarrow U\rho \;U^{*}،$

که $U=e^{-iHt/\hbar }$ و H همیلتون و t زمان است . واضح است که این یک نقشه CPTP در تصویر شرودینگر می دهد و بنابراین یک کانال است. نقشه دوگانه در تصویر هایزنبرگ است

الف→U∗الفU. $A\right arrow U^{*}AU.$

محدودیت

[ ویرایش ]

یک سیستم کوانتومی مرکب با فضای حالت را در نظر بگیرید. $H_{A}\otime H_{B}.$ برای یک ایالت

$\rho \in H_{A}\otime H_{B},$

حالت کاهش یافته ρ در سیستم A ، ρA ، با گرفتن رد جزئی ρ نسبت به سیستم B به دست می آید :

$\rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .$

عملیات ردیابی جزئی یک نقشه CPTP است، بنابراین یک کانال کوانتومی در تصویر شرودینگر است. در تصویر هایزنبرگ نقشه دوگانه این کانال آمده است

$A\arrow A\otime I_{B},$

که در آن A قابل مشاهده از سیستم A است .

قابل مشاهده

[ ویرایش ]

یک قابل مشاهده یک مقدار عددی را مرتبط می کند $f_{i}\in \mathbb {C}$ به یک اثر مکانیکی کوانتومی $F_{i}$ . $F_{i}$ 'ها عملگرهای مثبتی هستند که بر روی فضای حالت مناسب و ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$ . (چنین مجموعه ای POVM نامیده می شود .) در تصویر هایزنبرگ، نقشه قابل مشاهده مربوطه Ψ $\Psi$ یک قابل مشاهده کلاسیک را ترسیم می کند

$f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\در C(X)$

به مکانیک کوانتومی

$\;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.$

به عبارت دیگر، فرد f را با POVM ادغام می کند تا قابل مشاهده مکانیکی کوانتومی را به دست آورد. به راحتی می توان آن را بررسی کرد $\Psi$ CP و یونیتال است.

نقشه شرودینگر مربوطهΨ∗ $\Psi ^{*}$ ماتریس های چگالی را به حالت های کلاسیک می برد:

$\Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}} ،$

که در آن محصول درونی محصول درونی هیلبرت – اشمیت است. علاوه بر این، با مشاهده حالت ها به عنوان تابع های نرمال شده ، و با استناد به قضیه نمایندگی Riesz ، می توانیم

$\Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.$

ابزار

[ ویرایش ]

نقشه قابل مشاهده، در تصویر شرودینگر، یک جبر خروجی صرفا کلاسیک دارد و بنابراین فقط آمار اندازه گیری را توصیف می کند. برای اینکه تغییر حالت را نیز در نظر بگیریم، ابزار کوانتومی را تعریف می کنیم . اجازه دهید $\{F_{1},\dots,F_{n}\}$ اثرات (POVM) مرتبط با یک قابل مشاهده باشد. در تصویر شرودینگر، ابزار یک نقشه استΦ $\Phi$ با ورودی کوانتومی خالص $\rho \in L(H)$ و با فضای خروجی $C(X)\otime L(H)$ :

$\Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n} \end{bmatrix}}.$

اجازه دهید

$f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\در C(X).$

نقشه دوگانه در تصویر هایزنبرگ است

$\Psi (f\otime A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A) \end{bmatrix}}$

که $\Psi _{i}$ به صورت زیر تعریف می شود: عامل $F_{i}=M_{i}^{2}$ (این کار همیشه قابل انجام است زیرا عناصر یک POVM مثبت هستند) سپس $\;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}$ . ما آن را می بینیم $\Psi$ CP و یونیتال است.

توجه کنید که $\Psi (f\times I)$ دقیقاً نقشه قابل مشاهده را ارائه می دهد. نقشه

${\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}$

تغییر حالت کلی را توصیف می کند.

کانال را اندازه گیری و آماده کنید

[ ویرایش ]

فرض کنید دو طرف A و B می‌خواهند به روش زیر ارتباط برقرار کنند: A اندازه‌گیری یک قابل مشاهده را انجام می‌دهد و نتیجه اندازه‌گیری را به صورت کلاسیک به B منتقل می‌کند . با توجه به پیامی که B دریافت می کند، سیستم (کوانتومی) خود را در یک حالت خاص آماده می کند. در تصویر شرودینگر قسمت اول کانالΦ به سادگی شامل A است که یک اندازه گیری می کند، یعنی نقشه قابل مشاهده است:

$\;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}} .$

اگر در صورت i- مین نتیجه اندازه گیری، B سیستم خود را در حالت R i آماده می کند ، قسمت دوم کانال.Φ $\Phi$ 2 حالت کلاسیک فوق را به ماتریس چگالی می برد

$\Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)= \sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.$

کل عملیات ترکیب است

$\Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.$

کانال های این فرم اندازه گیری و آماده سازی یا به شکل Holevo نامیده می شود .

در تصویر هایزنبرگ، نقشه دوگانه $\Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}$ تعریف شده است

$\;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.$

یک کانال اندازه گیری و آماده سازی نمی تواند نقشه هویت باشد. این دقیقاً بیانیه قضیه عدم تله‌پورتاسیون است که می‌گوید تله‌پورت کلاسیک (نباید با انتقال از راه دور به کمک درهم تنیدگی اشتباه گرفته شود ) غیرممکن است. به عبارت دیگر، یک حالت کوانتومی را نمی توان به طور قابل اعتماد اندازه گیری کرد.

در حالت دوگانه کانال ، یک کانال اندازه گیری و آماده می شود اگر و تنها در صورتی که حالت متناظر قابل تفکیک باشد . در واقع، تمام حالت هایی که از عمل جزئی یک کانال اندازه گیری و آماده سازی حاصل می شود، قابل تفکیک هستند و به همین دلیل کانال های اندازه گیری و آماده سازی به عنوان کانال های درهم تنیدگی نیز شناخته می شوند.

کانال ناب

[ ویرایش ]

مورد یک کانال کاملا کوانتومی را در نظر بگیریدΨ $\Psi$ در تصویر هایزنبرگ با این فرض که همه چیز محدود است،Ψ $\Psi$ یک نقشه CP واحد بین فضاهای ماتریس است

$\Psi :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.$

با قضیه چوی روی نقشه های کاملا مثبت ، $\Psi$ باید فرم بگیرد

$\Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}$

که در آن N ≤ nm . ماتریس های K i را عملگرهای Kraus می نامند $\Psi$ (پس از کارل کراوس فیزیکدان آلمانی که آنها را معرفی کرد). حداقل تعداد اپراتورهای Kraus را رتبه Kraus می نامندΨ $\Psi$ . کانالی با رتبه کراوس 1 خالص نامیده می شود . تکامل زمانی نمونه ای از یک کانال خالص است. این اصطلاح دوباره از دوگانگی کانال-حالت می آید. یک کانال خالص است اگر و تنها در صورتی که حالت دوگانه آن یک حالت خالص باشد.

تله پورت

[ ویرایش ]

در تله‌پورت کوانتومی ، یک فرستنده می‌خواهد یک حالت کوانتومی دلخواه یک ذره را به یک گیرنده احتمالاً دور منتقل کند. در نتیجه، فرآیند انتقال از راه دور یک کانال کوانتومی است. دستگاه برای خود فرآیند به یک کانال کوانتومی برای انتقال یک ذره از حالت درهم تنیده به گیرنده نیاز دارد. انتقال از راه دور با اندازه گیری مشترک ذره ارسال شده و ذره درهم تنیده باقی مانده اتفاق می افتد. این اندازه گیری منجر به اطلاعات کلاسیک می شود که باید برای تکمیل دوربری به گیرنده ارسال شود. نکته مهم این است که اطلاعات کلاسیک را می توان پس از پایان یافتن کانال کوانتومی ارسال کرد.

در محیط آزمایشی

[ ویرایش ]

از نظر تجربی، یک پیاده سازی ساده از یک کانال کوانتومی، انتقال فیبر نوری (یا فضای آزاد برای آن ماده) فوتون های منفرد است . تک فوتون ها می توانند تا 100 کیلومتر در فیبر نوری استاندارد قبل از تلفات غالب شوند. زمان رسیدن فوتون ( درهم‌تنیدگی سطل زمانی ) یا قطبش به عنوان مبنایی برای رمزگذاری اطلاعات کوانتومی برای اهدافی مانند رمزنگاری کوانتومی استفاده می‌شود . کانال قادر است نه تنها حالت های پایه (مثلاً $|0\rangle$ ، $|1\rangle$ ) بلکه برهم نهی آنها (مثلاً $|0\rangle +|1\rangle$ ). انسجام حالت در طول انتقال از طریق کانال حفظ می شود . این را با انتقال پالس های الکتریکی از طریق سیم (یک کانال کلاسیک) مقایسه کنید، جایی که فقط اطلاعات کلاسیک (مثلاً 0 و 1) می تواند ارسال شود.

ظرفیت کانال

[ ویرایش ]

cb-norm یک کانال

[ ویرایش ]

قبل از ارائه تعریف ظرفیت کانال، مفهوم اولیه هنجار مرز کامل یا cb-norm یک کانال باید مورد بحث قرار گیرد. وقتی ظرفیت یک کانال را در نظر می گیریم $\Phi$ ، باید آن را با یک "کانال ایده آل" مقایسه کنیم $\Lambda$ . به عنوان مثال، زمانی که جبرهای ورودی و خروجی یکسان هستند، می توانیم انتخاب کنیم $\Lambda$ تا نقشه هویت باشد چنین مقایسه ای به یک متریک بین کانال ها نیاز دارد. از آنجایی که یک کانال را می توان به عنوان یک عملگر خطی مشاهده کرد، استفاده از هنجار عملگر طبیعی وسوسه انگیز است . به عبارت دیگر، نزدیکی از $\Phi$ به کانال ایده آل $\Lambda$ را می توان با تعریف کرد

$\|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.$

با این حال، زمانی که تانسور می کنیم، هنجار عملگر ممکن است افزایش یابد $\Phi$ با نقشه هویت در برخی از آنسیلا.

برای اینکه هنجار اپراتور حتی یک نامزد نامطلوب تر شود، مقدار

$\|\Phi \otimes I_{n}\|$

ممکن است بدون محدودیت افزایش یابد $n\arrow \infty .$ راه حل این است که برای هر نقشه خطی معرفی شود $\Phi$ بین C*-جبرها، cb-norm

$\|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی