1-جبر فضا-زمان

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ | 9:2

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در فیزیک ریاضی ، جبر فضازمان ( STA ) کاربرد جبر کلیفورد Cl 1,3 ( R ) یا معادل آن جبر هندسی G( M 4 ) در فیزیک است. جبر فضا-زمان "فرمول بندی یکپارچه و بدون مختصات برای تمام فیزیک نسبیتی ، از جمله معادله دیراک ، معادله ماکسول و نسبیت عام " ارائه می دهد و "شکاف ریاضی بین فیزیک کلاسیک ، کوانتومی و نسبیتی را کاهش می دهد ." [ 1 ] : ix

جبر فضا-زمان فضای برداری است که نه تنها بردارها ، بلکه به دوبردارها (کمیت های جهت دار که چرخش های مرتبط با چرخش ها یا سطوح خاص را توصیف می کنند، مانند ناحیه ها یا چرخش ها) یا تیغه ها (مقادیر مرتبط با حجم های فوق العاده خاص) اجازه می دهد تا با هم ترکیب شوند. و همچنین چرخانده شده ، منعکس شده ، یا لورنتس تقویت شده است . [ 2 ] : 40، 43، 97، 113 همچنین جبر والد طبیعی اسپینورها در نسبیت خاص است. [ 2 ] : 333 این ویژگی ها به بسیاری از مهم ترین معادلات در فیزیک اجازه می دهد تا به شکل های ساده ای بیان شوند و می توانند برای درک هندسی بیشتر معانی آنها بسیار مفید باشند. [ 1 ] : v

در مقایسه با روش های مرتبط، جبر STA و دیراک هر دو جبرهای کلیفورد Cl 1,3 هستند ، اما STA از اسکالرهای اعداد حقیقی استفاده می کند در حالی که جبر دیراک از اسکالرهای اعداد مختلط استفاده می کند . تقسیم فضازمان STA شبیه به رویکرد جبر فضای فیزیکی (APS، جبر پائولی) است . APS فضازمان را به عنوان یک پارابکتور ، یک فضای برداری سه بعدی ترکیبی و یک اسکالر یک بعدی نشان می دهد. [ 3 ] : 225-266

ساختار

[ ویرایش ]

برای هر جفت بردار STA، ${\textstyle a,b}$ ، یک ضرب برداری (هندسی) وجود دارد ${\textstyle ab}$ ، ضرب درونی (نقطه ای). ${\textstyle a\cdot b}$ و ضرب بیرونی (خارجی، گوه ای). ${\textstyle a\wedge b}$ . حاصل ضرب برداری مجموع حاصلضرب درونی و بیرونی است: [ 1 ] : 6

$a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b$

حاصلضرب داخلی یک عدد حقیقی (اسکالر) و حاصل ضرب بیرونی یک دو بردار تولید می کند. بردارها ${\textstyle a}$ و ${\textstyle b}$ اگر حاصل ضرب داخلی آنها صفر باشد متعامد هستند. بردارها ${\textstyle a}$ و ${\textstyle b}$ اگر حاصلضرب بیرونی آنها صفر باشد موازی هستند. [ 2 ] : 22-23

بردارهای پایه متعارف یک بردار زمانی هستند ${\textstyle \گاما _{0}}$ و 3 بردار فضایی ${\textstyle \گاما _{1}،\گاما _{2}،\گاما _{3}}$ . جمله های غیر صفر تانسور متریک مینکوفسکی عبارت های قطر هستند، ${\textstyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1)}$ . برای

${\textstyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$ :

$\gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{ \mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1،\ \گاما _{1}\cdot \گاما _{1}=\گاما _{2}\cdot \گاما _{2}=\گاما _{3}\cdot \گاما _{ 3}=-1،\quad {\text{در غیر این صورت }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\گاما _{\mu }$

ماتریس های دیراک این ویژگی ها را به اشتراک می گذارند و STA معادل جبر تولید شده توسط ماتریس های دیراک در میدان اعداد حقیقی است. [ 1 ] : x نمایش ماتریس صریح برای STA غیر ضروری است.

ضرب بردارهای پایه یک پایه تانسوری حاوی یک اسکالر تولید می کنند{1} $\{1\}$ ، چهار بردار $\{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$ ، شش دو بردار $\{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\, \گاما _{1}\گاما _{2},\,\گاما _{2}\گاما _{3},\,\گاما _{3}\گاما _{1}\}$ , چهار شبه بردار ( سه بردار ) $\{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}$ و یک شبه اسکالر $\{I\}$ با ${\textstyle I=\گاما _{0}\گاما _{1}\گاما _{2}\گاما _{3}}$ . [ 1 ] : 11 شبه اسکالر با تمام عناصر STA درجه زوج جابجا می کند ، اما با همه عناصر STA درجه فرد ضد جابجا می کند . [ 4 ] : 6

زیر جبر

[ ویرایش ]

این تصویری از اسپینورهای جبر فضا-زمان در Cl + (1،3) در زیر ضرب octonionic به عنوان یک صفحه فانو است.

جداول ضرب اکتیونی مرتبط به شکل e n و STA.

عناصر درجه بندی زوج STA (اسکالرها، دو بردار، شبه مقیاس) یک کلیفورد Cl 3,0 ( R ) حتی زیر جبر معادل APS یا جبر پائولی را تشکیل می دهند. [ 1 ] : 12 دو بردارهای STA معادل بردارهای APS و شبه بردارها هستند. زیر جبر STA با تغییر نام دوبردارهای STA واضح تر می شود ${\textstyle (\گاما _{1}\گاما _{0}،\گاما _{2}\گاما _{0}،\گاما _{3}\گاما _{0})}$ به عنوان ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ و دو بردارهای ${\textstyle (\گاما _{3}\گاما _{2}،\گاما _{1}\گاما _{3}،\گاما _{2}\گاما _{1})}$ به عنوان ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$ . [ 1 ] : 22 [ 2 ] : 37 ماتریس های پائولی ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ ، یک نمایش ماتریسی برای هستندσ1،σ2،σ3 ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ . [ 2 ] : 37 برای هر جفتی از ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ، ضرب داخلی غیر صفر هستند ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$ و ضرب خارجی غیر صفر عبارتند از: [ 2 ] : 37 [ 1 ] : 16

${\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&= I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{تراز شده}}$

دنباله جبر تا جبر زوج به صورت جبر فضای فیزیکی، جبر چهارتایی، اعداد مختلط و اعداد حقیقی ادامه می یابد. زیر جبر STA یکنواخت Cl + (1،3) اسپینورهای فضا-زمان حقیقی در Cl (1،3) با جبر هندسی کلیفورد Cl(3،0) فضای اقلیدسی R3 با عناصر پایه هم شکل است. تصویر اسپینورهای جبر فضا-زمان را در Cl + (1،3) در زیر حاصل ضرب اکتونیونی به عنوان یک صفحه فانو ببینید. [ 5 ]

بخش

[ ویرایش ]

یک بردار غیر صفر ${\textstyle a}$ یک بردار تهی است (درجه 2 پوچتوان ) اگر ${\textstyle a^{2}=0}$ . [ 6 ] : 2 یک مثال است ${\textstyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$ . بردارهای تهی مماس بر مخروط نور (مخروط پوچ) هستند. [ 6 ] : 4 یک عنصر ${\textstyle b}$ اگر ناتوان است ${\textstyle b^{2}=b}$ . [ 7 ] : 103 دو ناتوان ${\textstyle b_{1}}$ و ${\textstyle b_{2}}$ ناتوان متعامد هستند اگر ${\textstyle b_{1}b_{2}=0}$ . [ 7 ] : 103 مثالی از یک جفت ناتوان متعامد است ${\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})$ و ${\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})$ با ${\textstyle k=1،2،3}$ . مقسوم‌کننده‌های صفر مناسب، عناصر غیرصفری هستند که حاصلضرب آن‌ها صفر است، مانند بردارهای تهی یا غیر توانای متعامد. [ 8 ] : 191 جبر تقسیم جبری است که شامل عناصر معکوس (مقابل) ضربی برای هر عنصر است، اما این در صورتی رخ می دهد که مقسوم علیه های صفر مناسب وجود نداشته باشد و تنها ناتوان آن 1 باشد. [ 7 ] : 103 [ 9 ] : 211 [ a ] تنها جبرهای تقسیم انجمنی اعداد حقیقی، اعداد مختلط و رباعی ها [ 10 ] : 366 از آنجایی که STA یک جبر تقسیم نیست، برخی از عناصر STA ممکن است فاقد معکوس باشند. با این حال، تقسیم بر بردار غیر تهی ${\textstyle c}$ ممکن است با ضرب در معکوس آن، که به صورت تعریف شده است $c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c$ . [ 11 ] : 14

دستگاه متقابل

[ ویرایش ]

مرتبط با پایه متعامد $\{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$ مجموعه پایه متقابل است $\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ ارضای این معادلات: [ 1 ] : 63

$\gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3$

این بردارهای دستگاه متقابل فقط با یک علامت، با $\gamma ^{0}=\gamma _{0}$ ، اما

$\gamma ^{1}=-\gamma _{1},\ \ \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\ \ \gamma ^{3}=-\gamma _{3 }$ .

یک بردار ${\textstyle a}$ ممکن است با استفاده از بردارهای پایه یا بردارهای پایه متقابل نمایش داده شود

$a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }$

با جمع بندی به پایان رسید $\mu =0,1,2,3$

طبق نماد انیشتین . حاصل ضرب درونی بردارها و بردارهای پایه یا بردارهای مبنا متقابل مولفه های برداری را تولید می کند.

${\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\ nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{تراز شده}}$

ژیمناستیک متریک و شاخص شاخص ها را افزایش یا کاهش می دهد:

${\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3 \\\گاما ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0،1،2،3\end{تراز شده}}$

گرادیان فضا-زمان

[ ویرایش ]

گرادیان فضا-زمان، مانند گرادیان در فضای اقلیدسی، به گونه ای تعریف می شود که رابطه مشتق جهت دار برآورده می شود: [ 12 ] : 45

$a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.$

این نیاز به تعریف گرادیان دارد

$\nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.$

با صراحت نوشته شده است $x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}$ ، این جزئی ها هستند

$\partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial } {\ جزئی {x^{k}}}}$

تقسیم فضازمان

[ ویرایش ]

تقسیم فضا-زمان – مثال‌ها:

$x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x}$

$p\gamma _{0}=E+\mathbf {p}$

[ 13 ] : 257

$v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )$

[ 13 ] : 257

$\gamma$ عامل لورنتس است

$\nabla \gamma _{0}=\جزئی _{t}-{\vec {\nabla }}$

[ 13 ] : 259

در STA، یک تقسیم فضا-زمان یک طرح ریزی از فضای چهار بعدی به فضای (3+1) -بعدی در یک چارچوب مرجع انتخاب شده با استفاده از دو عملیات زیر است:

فروپاشی محور زمانی انتخاب شده، ایجاد فضای 3 بعدی که توسط دو بردار پوشیده شده است، معادل بردارهای پایه 3 بعدی استاندارد در جبر فضای فیزیکی و
طرح ریزی فضای 4 بعدی بر روی محور زمانی انتخاب شده، یک فضای 1 بعدی از اسکالرها را ایجاد می کند که نشان دهنده زمان اسکالر است. [ 14 ] : 180

این امر با پیش ضرب یا پس از ضرب توسط بردار مبنای زمانی به دست می آید $\gamma _{0}$ ، که برای تقسیم یک بردار چهار به یک جزء زمان مانند و یک مولفه فضایی دوبردار، در دستگاه مرجع با حرکت مشترک با $\gamma _{0}$ . با $x=x^{\mu }\gamma _{\mu }$ ما داریم

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x& =x^{0}-x^{k}\گاما _{k}\گاما _{0}\end{تراز شده}}$

تقسیم فضازمان روشی برای نمایش یک بردار با درجه زوج از فضازمان به عنوان بردار در جبر پائولی است، جبری که در آن زمان یک اسکالر جدا از بردارهایی است که در فضای سه بعدی رخ می‌دهند. این روش جایگزین این بردارهای فضازمان می شود ${\textstyle (\گاما)}$ [ 1 ] : 22-24

به عنوان این دو بردار $\gamma _{k}\gamma _{0}$ مربع به وحدت، آنها به عنوان یک پایه فضایی خدمت می کنند. با استفاده از نماد ماتریس پائولی ، اینها نوشته شده اند $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ . بردارهای فضایی در STA با خط پررنگ مشخص می شوند. سپس با $\mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}$ و $x^{0}=ct$ ، $\gamma _{0}$ - تقسیم فضا-زمان $x\gamma _{0}$ و برعکس آن $\gamma _{0}x$ عبارتند از:

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0} x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{تراز شده}}$

با این حال، فرمول های فوق فقط در متریک مینکوفسکی با امضا (+ - - -) کار می کنند. برای اشکال تقسیم فضازمان که در هر دو امضا کار می کنند، تعاریف متناوب که در آنها کار می کنند $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}$ و $\sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}$ باید استفاده شود.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی