تعریف ریاضی

[ ویرایش ]

برای تعریف ابتدایی تر، همچنین ببینید: اسپینرها در سه بعدی

فضای اسپینورها به طور رسمی به عنوان نمایش اساسی جبر کلیفورد تعریف می شود . (این ممکن است به نمایش‌های کاهش‌ناپذیر تجزیه شود یا نباشد.) فضای اسپینورها ممکن است به عنوان نمایش چرخشی جبر لی متعامد نیز تعریف شود . این نمایش‌های چرخشی نیز به‌عنوان نمایش‌های تصویری با بعد محدود گروه متعامد ویژه مشخص می‌شوند که از طریق نمایش‌های خطی فاکتور نمی‌شوند. به طور معادل، اسپینور عنصری از نمایشگر گروهی با ابعاد محدود از گروه اسپین است که مرکز به طور غیر پیش پا افتاده بر روی آن عمل می کند.

نمای کلی

[ ویرایش ]

اساساً دو چارچوب برای مشاهده مفهوم اسپینور وجود دارد: دیدگاه نظری بازنمایی و دیدگاه هندسی .

دیدگاه نظری بازنمایی

[ ویرایش ]

از نقطه نظر تئوری بازنمایی ، از قبل می‌دانیم که برخی از نمایش‌های جبر لی گروه متعامد وجود دارد که نمی‌توان آن‌ها را با ساختارهای تانسوری معمولی تشکیل داد. سپس این نمایش‌های گمشده به عنوان نمایش‌های چرخشی و اجزای تشکیل‌دهنده آن‌ها به عنوان spinors شناخته می‌شوند . از این دیدگاه، یک اسپینر باید به نمایشی از پوشش دوتایی گروه چرخشی SO( n ,{\displaystyle \mathbb {R} }) یا به طور کلی یک پوشش دوتایی از گروه متعامد ویژه تعمیم یافته SO + ( p ,  q ,{\displaystyle \mathbb {R} }) در فضاهایی با امضای متریک ( p ,  q ) . این پوشش‌های دوتایی گروه‌های Lie هستند که به آنها گروه‌های اسپین Spin( n ) یا Spin( p ,  q ) می‌گویند . تمام خواص اسپینورها و کاربردهای آنها و اشیاء مشتق شده، ابتدا در گروه اسپین آشکار می شود. نمایش پوشش‌های دوگانه این گروه‌ها، بازنمایی‌های تصویری با ارزش دوگانه از خود گروه‌ها را به دست می‌دهد. (این بدان معنی است که عمل یک چرخش خاص بر روی بردارها در فضای هیلبرت کوانتومی فقط تا یک علامت تعریف می شود.)

به طور خلاصه، یک نمایش مشخص شده توسط داده ها ارائه می شود{\displaystyle (V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )}که{\displaystyle V}یک فضای برداری است {\displaystyle K=\mathbb {R} }یا{\displaystyle \mathbb {C} }و{\displaystyle \rho }هممورفیسم است{\displaystyle \rho :{\text{Spin}}(p,q)\right arrow {\text{GL}}(V)}اسپینور عنصری از فضای برداری استV{\displaystyle V}.

دیدگاه هندسی

[ ویرایش ]

از نقطه نظر هندسی، می توان به صراحت اسپینورها را ساخت و سپس نحوه رفتار آنها را تحت عمل گروه های Lie مربوطه بررسی کرد. این رویکرد اخیر این مزیت را دارد که یک توصیف ملموس و ابتدایی از چیستی اسپینور ارائه می‌کند. با این حال، چنین توصیفی زمانی دشوار می شود که ویژگی های پیچیده اسپینورها، مانند هویت های Fierz ، مورد نیاز باشد.

جبرهای کلیفورد

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: جبر کلیفورد

زبان جبرهای کلیفورد [ 5 ] (گاهی اوقات جبرهای هندسی نامیده می‌شود ) تصویر کاملی از نمایش‌های چرخشی همه گروه‌های اسپین و روابط مختلف بین آن نمایش‌ها را از طریق طبقه‌بندی جبرهای کلیفورد ارائه می‌دهد . تا حد زیادی نیاز به ساخت و سازهای موردی را برطرف می کند .

در جزئیات، فرض کنید V یک فضای برداری پیچیده با ابعاد محدود با فرم متقارن دوخطی g باشد . جبر کلیفورد Cℓ( V ,  g ) جبری است که توسط V به همراه رابطه ضد جابجایی xy + yx = 2 g ( x ,  y ) ایجاد می شود . این یک نسخه انتزاعی از جبر است که توسط ماتریس های گاما یا پائولی ایجاد شده است . اگر V ={\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}با شکل استاندارد g ( x ,  y ) = x T y = x 1 y 1 + ... + x n y n جبر کلیفورد را با Cℓ n نشان می دهیم (سی{\displaystyle \mathbb {C} }). از آنجایی که با انتخاب یک مبنای متعارف، هر فضای برداری پیچیده با شکل غیر منحط نسبت به این مثال استاندارد هم شکل است، اگر کم نور باشد، از این نماد به طور کلی سوء استفاده می شود.

{\displaystyle \mathbb {C} }( V ) = n . اگر n = 2 k زوج باشد، Cℓ n ({\displaystyle \mathbb {C} }) به عنوان یک جبر (به روشی غیر منحصر به فرد) به جبر Mat(2 k ) هم شکل است ، {\displaystyle \mathbb {C} }) از ماتریس های مختلط 2 k  × 2 k (توسط قضیه آرتین-ودربرن و اثبات آسان این واقعیت که جبر کلیفورد ساده مرکزی است ). اگر n = 2 k  + 1 فرد باشد، Cℓ 2 k +1 ({\displaystyle \mathbb {C} }) با جبر Mat (2 k ) هم شکل است ، {\displaystyle \mathbb {C} }) ⊕ (2 k ، {\displaystyle \mathbb {C} }) از دو کپی از ماتریس های پیچیده 2 k  × 2 k . بنابراین، در هر صورت Cℓ( V ,  g ) یک نمایش منحصر به فرد (تا هم ریختی) تقلیل ناپذیر دارد (که مدول ساده کلیفورد نیز نامیده می شود )، که معمولاً با Δ، با بعد 2 [ n /2] نشان داده می شود . از آنجایی که جبر لیso ( V ,  g ) به عنوان یک جبر Lie در Cℓ( V ,  g ) مجهز به کموتاتور جبر کلیفورد به عنوان براکت Lie تعبیه شده است، فضای Δ نیز یک نمایش جبر لی از ( V ,  g ) است که به آن می گویند . یک نمایندگی چرخشی . اگر n فرد باشد، این نمایش جبر لی غیر قابل تقلیل است. اگر n زوج باشد، بیشتر [ توضیحات لازم ] را به دو نمایش غیرقابل تقلیل  ⊕ Δ- تقسیم می‌کند که نمایش‌های ویل یا نیمه اسپین نامیده می‌شوند .

نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بر روی واقعی‌ها در مواردی که V یک فضای برداری واقعی است بسیار پیچیده‌تر است و خواننده برای جزئیات بیشتر به مقاله جبر کلیفورد ارجاع داده می‌شود.

گروه های چرخش

[ ویرایش ]

نمایش اسپین Δ یک فضای برداری است مجهز به نمایشی از گروه اسپین که از طریق نمایش گروه متعامد (ویژه) فاکتور نمی گیرد. فلش های عمودی یک توالی دقیق کوتاه را نشان می دهند .

اسپینورها یک فضای برداری را تشکیل می دهند ، معمولاً روی اعداد مختلط ، مجهز به نمایش گروهی خطی از گروه اسپین که از طریق نمایش گروه چرخش ها فاکتور نمی گیرد (نمودار را ببینید). گروه اسپین گروهی از چرخش ها است که کلاس هموتوپی را دنبال می کند. اسپینرها برای رمزگذاری اطلاعات اولیه در مورد توپولوژی گروه چرخش مورد نیاز هستند زیرا آن گروه به سادگی متصل نیست ، اما گروه اسپین متصل به سادگی پوشش دوگانه آن است . بنابراین برای هر چرخش دو عنصر از گروه اسپین وجود دارد که آن را نشان می دهد. بردارهای هندسی و سایر تانسورها نمی توانند تفاوت بین این دو عنصر را احساس کنند، اما هنگامی که بر هر اسپینور زیر نمایش تأثیر می گذارند، علائم متضاد ایجاد می کنند. با در نظر گرفتن عناصر گروه اسپین به‌عنوان کلاس‌های هموتوپی خانواده‌های یک پارامتری چرخش، هر چرخش با دو کلاس هموتوپی مجزا از مسیرهای هویت نشان داده می‌شود. اگر یک خانواده یک پارامتری از چرخش ها به عنوان یک روبان در فضا تجسم شود، با پارامتر طول قوس آن نوار (قاب مماس، نرمال، دوطبیعی آن در واقع چرخش را می دهد)، آنگاه این دو کلاس هموتوپی متمایز در تصویر نشان داده می شوند. دو حالت پازل ترفند کمربند (در بالا). فضای اسپینورها یک فضای برداری کمکی است که می تواند به صراحت در مختصات ساخته شود، اما در نهایت فقط تا هم شکلی وجود دارد، زیرا هیچ ساخت طبیعی از آنها وجود ندارد که بر انتخاب های دلخواه مانند سیستم های مختصات متکی نباشد. تصوری از اسپینورها را می‌توان، به عنوان یک شی ریاضی کمکی، با هر فضای برداری مجهز به فرم درجه دوم مانند فضای اقلیدسی با حاصل ضرب نقطه استاندارد آن ، یا فضای مینکوفسکی با متریک لورنتس آن مرتبط کرد . در مورد دوم، «چرخش‌ها» شامل تقویت‌های لورنتس می‌شوند ، اما در غیر این صورت تئوری اساساً مشابه است. [ نیازمند منبع ]

میدان های اسپینور در فیزیک

[ ویرایش ]

ساختارهای ارائه شده در بالا، از نظر جبر کلیفورد یا تئوری نمایش، را می توان به عنوان تعریف اسپینورها به عنوان اجسام هندسی در فضا-زمان صفر بعدی در نظر گرفت . برای به دست آوردن اسپینورهای فیزیک، مانند اسپینور دیراک ، ساختار را برای به دست آوردن ساختار چرخشی در فضا-زمان 4 بعدی ( فضای مینکوفسکی ) گسترش می دهیم. به طور موثر، شخص با منیفولد مماس فضا-زمان، که هر نقطه آن یک فضای برداری 4 بعدی با تقارن SO(3،1) است، شروع می‌شود و سپس گروه اسپین را در هر نقطه می‌سازد. همسایگی نقاط دارای مفاهیم صافی و تمایز پذیری است: ساختار استاندارد یکی از بسته‌های الیافی است که الیاف آن فضاهای پیوندی هستند که در زیر گروه چرخش تغییر شکل می‌دهند. پس از ساختن دسته فیبر، می توان معادلات دیفرانسیل مانند معادله دیراک یا معادله ویل روی بسته فیبر را در نظر گرفت. این معادلات (دیراک یا ویل) دارای راه حل هایی هستند که امواج مسطح هستند ، دارای تقارن های مشخصه الیاف، یعنی دارای تقارن اسپینورها، همانطور که از نظریه نمایش جبر/ اسپین کلیفورد (صفر بعدی) که در بالا توضیح داده شد به دست آمده است. چنین راه حل های موج صفحه (یا راه حل های دیگر) معادلات دیفرانسیل را می توان به درستی فرمیون نامید . فرمیون ها دارای ویژگی های جبری اسپینورها هستند. طبق قرارداد کلی، اصطلاحات "فرمیون" و "اسپینور" اغلب به جای یکدیگر در فیزیک به عنوان مترادف یکدیگر استفاده می شوند. [ نیازمند منبع ]

به نظر می رسد که تمام ذرات بنیادی در طبیعت که اسپین-1/2 هستند با معادله دیراک توصیف می شوند، به استثنای نوترینو . به نظر نمی رسد هیچ دلیل پیشینی برای این موضوع وجود داشته باشد. یک انتخاب کاملاً معتبر برای اسپینورها، نسخه غیرپیچیده Cℓ 2,2 (آر{\displaystyle \mathbb {R} }) , اسپینور مایورانا . [ 6 ] همچنین به نظر نمی‌رسد منع خاصی برای ظاهر شدن اسپینورهای ویل در طبیعت به‌عنوان ذرات بنیادی وجود داشته باشد.

اسپینورهای دیراک، ویل و مایورانا به هم مرتبط هستند و رابطه آنها را می توان بر اساس جبر هندسی واقعی روشن کرد. [ 7 ] اسپینورهای دیراک و ویل بازنمایی های پیچیده ای هستند در حالی که اسپینورهای مایورانا بازنمایی های واقعی هستند.

اسپینورهای ویل برای توصیف ذرات پرجرم، مانند الکترون‌ها کافی نیستند ، زیرا محلول‌های موج صفحه ویل لزوماً با سرعت نور حرکت می‌کنند. برای ذرات عظیم، معادله دیراک مورد نیاز است. ساخت اولیه مدل استاندارد فیزیک ذرات با هر دو الکترون و نوترینو به عنوان اسپینورهای ویل بدون جرم شروع می شود. مکانیسم هیگز به الکترون ها جرم می دهد. نوترینوی کلاسیک بدون جرم باقی ماند و بنابراین نمونه ای از اسپینور ویل بود. [ q ] با این حال، به دلیل نوسانات نوترینو مشاهده شده ، اکنون اعتقاد بر این است که آنها اسپینورهای Weyl نیستند، بلکه شاید در عوض اسپینورهای مایورانا هستند. [ 8 ] مشخص نیست که آیا ذرات بنیادی ویل اسپینور در طبیعت وجود دارند یا خیر.

وضعیت برای فیزیک ماده متراکم متفاوت است: می توان «فضا زمان» دو و سه بعدی را در طیف وسیعی از مواد فیزیکی مختلف، از نیمه هادی ها تا مواد بسیار عجیب تر ساخت. در سال 2015، یک تیم بین المللی به رهبری دانشمندان دانشگاه پرینستون اعلام کردند که شبه ذره ای را یافته اند که مانند فرمیون ویل رفتار می کند. [ 9 ]

اسپینورها در نظریه بازنمایی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: بازنمایی اسپین

یکی از کاربردهای ریاضی اصلی ساخت اسپینورها، امکان ساخت صریح نمایش های خطی جبرهای لی گروه های متعامد خاص ، و در نتیجه نمایش اسپینور خود گروه ها است. در سطح عمیق‌تری، اسپینورها در قلب رویکردهای قضیه شاخص آتیه-سینگر قرار دارند و ساختارهایی را به‌ویژه برای نمایش سری‌های گسسته گروه‌های نیمه ساده ارائه می‌دهند .

بازنمودهای اسپین جبرهای ویژه Lie متعامد از نمایش های تانسوری که توسط ساخت ویل توسط وزن ها ارائه شده است متمایز می شوند . در حالی که وزن‌های نمایش‌های تانسور ترکیب‌های خطی صحیح ریشه‌های جبر Lie هستند، وزن نمایش‌های اسپین ترکیب‌های خطی نیم‌صحیح آن‌ها هستند. جزئیات صریح را می توان در مقاله نمایندگی چرخش یافت .

تلاش برای درک شهودی

[ ویرایش ]

اسپینور را می‌توان به زبان ساده به‌عنوان «بردارهای فضایی توصیف کرد که دگرگونی‌های آن به شیوه‌ای خاص به چرخش‌های فضای فیزیکی مرتبط است». [ 10 ] به طور متفاوت بیان شده است:

اسپینورها ... یک نمایش خطی از گروه چرخش ها در یک فاصله با هر عددی را ارائه می دهند{\displaystyle n}از ابعاد، هر اسپینر دارای{\displaystyle 2^{\nu }}اجزای که در آن{\displaystyle n=2\nu +1}یا{\displaystyle 2\nu }. [ 2 ]

چندین راه برای نشان دادن قیاس های روزمره از نظر ترفند صفحه ، تانگلوئید و نمونه های دیگر از درهم تنیدگی جهت گیری فرموله شده است .

با این وجود، درک این مفهوم عموماً بسیار دشوار است، همانطور که توسط بیانیه مایکل آتیه که توسط زندگی نامه نگار دیراک، گراهام فارملو بیان شده است، نشان داده شده است:

هیچ کس به طور کامل اسپینورها را درک نمی کند. جبر آنها به طور رسمی درک شده است، اما اهمیت کلی آنها مرموز است. به نوعی آنها "ریشه مربع" هندسه را توصیف می کنند و همانطور که درک ریشه دوم −1 قرن ها طول کشید، همین امر ممکن است در مورد اسپینورها نیز صادق باشد. [ 11 ]