پایه ارتونرمال

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و سوم آذر ۱۴۰۳ | 15:23

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، به ویژه جبر خطی ، یک مبنای متعارف برای فضای ضرب درونی $V$ با بعد محدود مبنایی برای $V$ که بردارهای آن متعامد هستند ، یعنی همگی بردار واحد و متعامد با یکدیگر هستند. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] برای مثال، مبنای استاندارد برای فضای اقلیدسی $\mathbb {R} ^{n}$ یک مبنای متعارف است، که در آن حاصلضرب داخلی مربوطه حاصل ضرب نقطه ای بردارها است. تصویر پایه استاندارد تحت یک چرخش یا بازتاب (یا هر تبدیل متعامد ) نیز متعامد است و هر مبنای متعامد برای $\mathbb {R} ^{n}$ به این شکل بوجود می آید یک پایه متعامد را می توان از طریق نرمال سازی از پایه متعامد استخراج کرد . انتخاب یک مبدأ و یک پایه متعارف یک دستگاه مختصاتی را تشکیل می دهد که به عنوان دستگاه متعارف شناخته می شود .

برای فضای کلی ضرب داخلی، $V,$ یک مبنای متعامد می تواند برای تعریف مختصات متعامد نرمال شده استفاده شود . $V.$ تحت این مختصات، حاصل ضرب درونی به حاصل ضرب نقطه ای بردارها تبدیل می شود. بنابراین وجود یک مبنای متعارف، مطالعه فضای ضرب داخلی با ابعاد محدود را به مطالعه $\mathbb {R} ^{n}$ زیر ضرب نقطه ای هر فضای ضرب داخلی با ابعاد محدود دارای یک مبنای متعارف است که ممکن است از یک مبنای دلخواه با استفاده از فرآیند گرم اشمیت بدست آید .

در تحلیل عملکردی ، مفهوم پایه متعارف را می توان به فضاهای ضرب داخلی دلخواه (بی‌بعدی) تعمیم داد . [ 4 ] با توجه به فضای پیش از هیلبرت، $H,$ یک مبنای متعارف برای $H$ مجموعه ای متعارف از بردارها با خاصیت هر بردار است $H$ را می توان به صورت یک ترکیب خطی بی نهایت از بردارهای پایه نوشت . در این مورد، پایه متعارف گاهی اوقات پایه هیلبرت نامیده می شود. $H.$ توجه داشته باشید که یک مبنای متعارف به این معنا به طور کلی یک مبنای حمل نیست ، زیرا ترکیبات خطی بی نهایت مورد نیاز است. [ 5 ] به طور خاص، دهانه خطی پایه باید متراکم باشد، $H,$ اگرچه نه لزوماً کل فضا.

اگر به فضاهای هیلبرت برویم ، مجموعه ای غیرمتعارف از بردارها که گستره خطی یکسانی با مبنای متعامد دارند، ممکن است اصلاً مبنا نباشند. به عنوان مثال، هر تابع مربع انتگرال پذیر در بازه $[-1,1]$ را می توان ( تقریبا در همه جا ) به صورت مجموع نامتناهی از چندجمله ای های لژاندر (مبنای متعارف) بیان کرد، اما نه لزوماً به صورت مجموع نامتناهی از تک جمله ها $x^{n}.$

یک تعمیم متفاوت به فضاهای ضرب شبه درونی، فضاهای برداری با ابعاد محدود است. $M$ مجهز به یک فرم دوخطی متقارن غیر منحط به نام تانسور متریک . در چنین مبنایی، متریک شکل می گیرد ${\text{diag}}(+1,\cdots,+1,-1,\cdots,-1)$ با $p$ موارد مثبت و $q$ منفی ها

نمونه ها

[ ویرایش ]

برای $\mathbb {R} ^{3}$ ، مجموعه بردارها $\left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end {pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},$ پایه استاندارد نامیده می شود و یک پایه متعارف را تشکیل می دهد $\mathbb {R} ^{3}$ با توجه به ضرب نقطه استاندارد. توجه داشته باشید که هم ضرب پایه استاندارد و هم ضرب نقطه استاندارد به مشاهده متکی هستند $\mathbb {R} ^{3}$ به عنوان ضرب دکارتی $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$
اثبات: یک محاسبه مستقیم نشان می دهد که حاصلضرب داخلی این بردارها برابر با صفر است، $\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \راست\رنگ =0$ و هر یک از قدر آنها برابر است با یک، $\left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \ درست\|=1.$ این به این معنی است که $\left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \راست\}$ یک مجموعه متعارف است. همه بردارها $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}$ را می توان به صورت مجموع بردارهای پایه مقیاس شده بیان کرد(،y،z)ه، $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}}،$ بنابراین $\left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \راست\}$ دهانه می کند $\mathbb {R} ^{3}$ و از این رو باید مبنایی باشد. همچنین ممکن است نشان داده شود که پایه استانداردی که حول محوری از مبدأ می چرخد یا در صفحه ای از مبدا منعکس می شود نیز پایه متعارفی را تشکیل می دهد. $\mathbb {R} ^{3}$ .
برای $\mathbb {R} ^{n}$ ، مبنای استاندارد و ضرب داخلی به طور مشابه تعریف شده است. هر مبنای متعامد دیگری با یک تبدیل متعامد در گروه O به مبنای استاندارد مرتبط است .
برای فضای شبه اقلیدسی،، $\mathbb {R} ^{p,q},$ ، یک مبنای متعامد $\{e_{\mu }\}$ با متریک $\eta$ در عوض راضی می کند $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=0$ اگر $\mu \neq \nu$ $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1$ اگر $1\leq \mu \leq p$ ، و $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1$ $p+1\leq \mu \leq p+q$ . هر دو پایه متعامد با یک تبدیل شبه متعامد مرتبط هستند. در مورد $(p,q)=(1,3)$ ، اینها تبدیلات لورنتس هستند.
مجموعه $\left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}$ با، $f_{n}(x)=\exp(2\pi inx)،$ که $\exp$ نشان دهنده تابع نمایی است ، یک مبنای متعامد از فضای توابع با انتگرال های محدود لبگ را تشکیل می دهد.، $L^{2}([0,1])،$ با توجه به 2-هنجار . این برای مطالعه سری فوریه اساسی است .
مجموعه $\left\{e_{b}:b\in B\right\}$ با $e_{b}(c)=1$ اگر $b=c$ و $e_{b}(c)=0$ در غیر این صورت یک پایه متعارف از. $\ell ^{2}(B).$
توابع ویژه یک مشکل ویژه اشتورم-لیویل .
بردارهای ستون یک ماتریس متعامد یک مجموعه متعامد را تشکیل می دهند.

فرمول پایه

[ ویرایش ]

اگر $B$ مبنای متعامد است، $H,$ سپس هر عنصر $x\in H$ ممکن است به صورت نوشته شود. $x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.$

چه زمانی $B$ متعارف است، این امر ساده است $x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b$ و مربع هنجار $x$ می تواند توسط. $\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.$

حتی اگر $B$ غیردستگاهل شمارش است ، فقط به صورت دستگاهل شمارش بسیاری از عبارات در این مجموع غیر صفر خواهند بود و بنابراین عبارت به خوبی تعریف شده است. این مجموع را بسط فوریه نیز می نامند، $x,$ و فرمول معمولاً به عنوان هویت پارسوال شناخته می شود .

اگر $B$ یک پایه متعارف از، $H,$ سپس $H$ هم شکل است $\ell ^{2}(B)$ به معنای زیر: یک نقشه خطی دوطرفه وجود دارد Φ:→ $\Phi :H\to \ell ^{2}(B)$ به گونه ای که $\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.$

سیستم متعامد

[ ویرایش ]

یک مجموعه $S$ بردارهای متدستگاهل متعارف در فضای هیلبرت $H$ سیستم متعارف نامیده می شود. اساس متعارف یک سیستم متعارف با ویژگی اضافی است که دهانه خ استا سطی آن است

وجود

[ ویرایش ]

با استفاده از لم زورن و فرآیند گرام اشمیت (یا به طور ساده تر، بازگشت به ترتیب خوب و ترانحدود)، می توان نشان داد که هر فضای هیلبرت یک مبنای متعارف را می پذیرد. [ 7 ] علاوه بر این، هر دو پایه متعامد از یک فضا دارای کاردینالیتی یکسان هستند (این را می توان به روشی مشابه اثبات قضیه بعد معمول برای فضاهای برداری اثبات کرد ، با موارد جداگانه بسته به اینکه آیا کاندیدای پایه بزرگتر است یا خیر. دستگاهل شمارش است یا خیر). یک فضای هیلبرت اگر و تنها در صورتی دستگاه تفکیک است که یک مبنای متعارف دستگاهل شمارش را بپذیرد . (کسی می تواند این گزاره آخر را بدون استفاده از اصل انتخاب ثابت کند . با این حال، باید از اصل موضوع انتخاب دستگاهل شمارش استفاده کرد .)

انتخاب مبنا به عنوان انتخاب ایزومورفیسم

[ ویرایش ]

برای انضمام، پایه های متعارف را برای یک واقعی مورد بحث قرار می دهیم، $n$ فضای برداری بعدی $V$ با یک فرم دوخطی متقارن قطعی مثبت $\phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle$ .

یکی از راه های مشاهده یک مبنای متعارف با توجه به $\phi$ به عنوان مجموعه ای از بردارها است ${\mathcal {B}}=\{e_{i}\}$ ، که به ما امکان نوشتن را می دهد $v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V$ ، و $v^{i}\in \mathbb {R}$ یا $(v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ . با توجه به این مبنا، اجزای تشکیل دهنده $\phi$ به خصوص ساده هستند: $\phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}$ (که $\delta _{ij}$ دلتای کرونکر است ).

اکنون می توانیم اساس را به عنوان یک نقشه مشاهده کنیم $\psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ که ایزومورفیسم فضاهای ضرب درونی است: برای واضح تر کردن این موضوع می توانیم بنویسیم

$\psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\right arrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).$

به صراحت می توانیم بنویسیم $(\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)$ کجا $e^{i}$ عنصر پایه دوگانه به است $e_{i}$ .

معکوس یک نقشه جزء است

$C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i }e_{i}.$

این تعاریف نشان می دهد که یک تعصب وجود دارد

$\{{\text{فضای پایه‌های متعامد }}{\mathcal {B}}\}\leftright arrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftright arrow \mathbb {R} ^{n}\ }.$

فضای ایزومورفیسم ها اعمال گروه های متعامد را در هر دو می پذیرد $V$ طرف یا $\mathbb {R} ^{n}$ سمت برای مشخص بودن، ایزومورفیسم‌ها را ثابت می‌کنیم تا به جهت اشاره کنند $\mathbb {R} ^{n}\arrow V$ و فضای این گونه نقشه ها را در نظر بگیرید، ${\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\arrow V)$ .

این فضا یک عمل چپ توسط گروه ایزومتریک را می پذیرد $V$ ، $R\in {\text{GL}}(V)$ به گونه ای که $\phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot,R\cdot)$ ، با عمل داده شده توسط ترکیب: $R*C=R\circ C.$

این فضا همچنین یک عمل درست توسط گروه ایزومتریک ها را می پذیرد $\mathbb {R} ^{n}$ ، یعنی $R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )$ ، با عمل دوباره توسط ترکیب: $C*R_{ij}=C\circ R_{ij}$ .

به عنوان یک فضای همگن اصلی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: منیفولد است

مجموعه پایه های متعارف برای $\mathbb {R} ^{n}$ با ضرب داخلی استاندارد یک فضای همگن اصلی یا G-torsor برای گروه متعامد است. $G={\text{O}}(n)$ و منیفولد است نامیده می شود $V_{n}(\mathbb {R} ^{n})$ از متعامد $n$ -دستگاه ها [ 8 ]

به عبارت دیگر، فضای پایه‌های متعامد مانند گروه متعامد است، اما بدون انتخاب نقطه پایه: با توجه به فضای پایه‌های متعامد، هیچ انتخاب طبیعی مبنای متعامد وجود ندارد، اما زمانی که به یکی داده شود، یکی وجود دارد. مطابقت - به یک بین پایه ها و گروه متعامد. به طور مشخص، یک نقشه خطی بر اساس جایی که یک مبنای معین را ارسال می کند تعیین می شود: همانطور که یک نقشه معکوس می تواند هر مبنایی را به هر مبنای دیگری ببرد، یک نقشه متعامد می تواند هر مبنای متعامد را به هر مبنای متعامد دیگری ببرد .

منیفولدهای دیگر است $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ برای $k<n$ پایه های متعارف ناقص ( متعارف $k$ -دستگاه ها) هنوز فضاهای همگن برای گروه متعامد هستند، اما فضاهای همگن اصلی نیستند: هر $k$ -دستگاه را می توان به هر دیگری برد $k$ دستگاه توسط یک نقشه متعامد، اما این نقشه به طور منحصر به فرد تعیین نمی شود.

مجموعه پایه های متعارف برای، $\mathbb {R} ^{p,q}$ یک G-torsor $G={\text{O}}(p,q)$ .
مجموعه پایه های متعارف برای $\mathbb {C} ^{n}$ یک G-torsor $G={\text{U}}(n)$ .
مجموعه پایه های متعارف برای، $\mathbb {C} ^{p,q}$ یک G-torsor $G={\text{U}}(p,q)$ .
مجموعه پایه های متعامد راست دست برای $\mathbb {R} ^{n}$ یک G-torsor بنابراین $G={\text{SO}}(n)$

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

مبنای متعامد - مبنای که بردارهای آن متعامد هستند
اساس (جبر خطی) - مجموعه بردارهایی که برای تعریف مختصات استفاده می شوند
دستگاه متعارف - فضای اقلیدسی بدون فاصله و زاویه
اساس شودر - ابزار محاسباتی
مجموعه کل - زیر مجموعه یک فضای برداری توپولوژیکی که دهانه خطی آن متراکم است

https://e.wikipedia.org/wiki/متعامد_basis

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی