ا

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، به‌ویژه در نظریه طیفی ، مقدار ویژه یک عملگر خطی بسته، نرمال نامیده می‌شود ، اگر فضا بپذیرد که به مجموع مستقیم یک فضای ویژه تعمیم‌یافته محدود و یک زیرفضای غیرمتغیر تجزیه شود {\displaystyle A-\lambda I}دارای یک معکوس محدود است. مجموعه مقادیر ویژه نرمال با طیف گسسته منطبق است .

خطی ریشه

[ ویرایش ]

اجازه دهید{\displaystyle {\mathfrak {B}}}فضای باناخ باشد . ریشه خطی {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}یک عملگر خطی{\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}با دامنه{\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)}مربوط به مقدار ویژه{\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}به عنوان تعریف شده است

{\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\{x\in {\mathfrak {D}}(A):\, (A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{j}x\in {\mathfrak {D}}(A)\,\forall j\in \mathbb {N} ,\,j\leq k;\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0\}\subset {\mathfrak {B}},}

که{\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}اپراتور همانی است {\displaystyle {\mathfrak {B}}}. این مجموعه یک منیفولد خطی است اما لزوماً یک فضای برداری نیست ، زیرا لزوماً در بسته نیست.{\displaystyle {\mathfrak {B}}}. اگر این مجموعه بسته باشد (مثلاً وقتی که بعد محدود باشد)، فضای ویژه تعمیم یافته نامیده می شود .{\displaystyle A}مربوط به مقدار ویژه{\displaystyle \lambda }.

تعریف یک مقدار ویژه معمولی

[ ویرایش ]

یک مقدار ویژه {\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}یک عملگر خطی بسته الف:ب→ب{\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}در فضای باناخ {\displaystyle {\mathfrak {B}}}با دامنه {\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}}نرمال نامیده می شود (در اصطلاح اصلی ، {\displaystyle \lambda }در صورتی که دو شرط زیر برآورده شوند، مربوط به یک زیرفضای ریشه محدود بُعدی است که معمولاً تقسیم می‌شود :

  1. کثرت جبری از {\displaystyle \lambda }متناهی است:{\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty }، که){\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}ریشه خطی از است {\displaystyle A}مربوط به مقدار ویژه {\displaystyle \lambda };
  2. فضا{\displaystyle {\mathfrak {B}}}می تواند به یک جمع مستقیم تجزیه شود{\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }}، که {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}یک زیرفضای ثابت از {\displaystyle A}که در آن{\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}دارای یک معکوس محدود است.

یعنی محدودیت {\displaystyle A_{2}}از{\displaystyle A}بر روی {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}یک اپراتور با دامنه است

{\displaystyle {\mathfrak {D}}(A_{2})={\mathfrak {N}}_{\lambda }\cap {\mathfrak {D}}(A)}و با محدوده

{\displaystyle {\mathfrak {R}}(A_{2}-\lambda I)\subset {\mathfrak {N}}_{\lambda }}که دارای یک معکوس محدود است. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

خصوصیات معادل مقادیر ویژه نرمال

[ ویرایش ]

اجازه دهیدا {\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}یک عملگر خطی بسته با تعریف متراکم در فضای Banach باشدب{\displaystyle {\mathfrak {B}}}. عبارات زیر معادل [ 4 ] هستند (قضیه III.88):

  1. {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}یک مقدار ویژه نرمال است.
  2. {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}نقطه ای جدا شده در{\displaystyle \sigma (A)}و{\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}نیمه فردهولم است .
  3. {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}نقطه ای جدا شده در{\displaystyle \sigma (A)}و{\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}فردهولم است ;
  4. {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}نقطه ای جدا شده در{\displaystyle \sigma (A)}و{\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}فردهولم شاخص صفر است .
  5. {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}نقطه ای جدا شده در{\displaystyle \sigma (A)}و رتبه پروژکتور Riesz مربوطه {\displaystyle P_{\lambda }}متناهی است؛
  6. {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}نقطه ای جدا شده در{\displaystyle \sigma (A)}، کثرت جبری {\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}محدود است، و دامنه {\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}بسته است . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

اگرλیک مقدار ویژه معمولی است، سپس ریشه خطی است{\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}منطبق با برد پروژکتور Riesz است،

{\displaystyle {\mathfrak {R}}(P_{\lambda })}. [ 3 ]

ارتباط با طیف گسسته

[ ویرایش ]

معادله فوق نشان می دهد که مجموعه مقادیر ویژه نرمال با طیف گسسته منطبق است که به عنوان مجموعه ای از نقاط جدا شده از طیف با رتبه محدود پروژکتور Riesz مربوطه تعریف می شود. [ 5 ]

تجزیه طیف عملگرهای غیر خود فاجعه

[ ویرایش ]

طیف یک اپراتور بسته

{\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}در فضای باناخ {\displaystyle {\mathfrak {B}}}را می توان به اتحاد دو مجموعه مجزا، مجموعه مقادیر ویژه نرمال و نوع پنجم از طیف اساسی تجزیه کرد :

{\displaystyle \sigma (A)=\{{\text{مقادیر ویژه عادی}}\ A\}\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).}

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_eigenvalue