از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد
یک اسپینور که بهعنوان یک بردار در امتداد نوار موبیوس تجسم میشود ، زمانی که دایره ("سیستم فیزیکی") به طور پیوسته در یک چرخش کامل 360 درجه میچرخد، یک وارونگی علامت را نشان میدهد. [ الف ]
در هندسه و فیزیک، اسپینورها (تلفظ "اسپینر" IPA / s p ɪ n ər / ) عناصر یک فضای برداری مبتنی بر عدد مختلط هستند که می توانند با فضای اقلیدسی مرتبط شوند . [ b ] هنگامی که فضای اقلیدسی تحت یک چرخش خفیف (بی نهایت کوچک) قرار می گیرد، یک اسپینور به صورت خطی تبدیل می شود ، اما برخلاف بردارها و تانسورهای هندسی ، یک اسپینور زمانی که فضا تا 360 درجه می چرخد، به منفی تبدیل می شود (تصویر را ببینید). چرخش 720 درجه طول می کشد تا یک اسپینور به حالت اولیه خود بازگردد. این ویژگی اسپینورها را مشخص میکند: اسپینرها را میتوان بهعنوان «ریشههای مربع» بردارها در نظر گرفت (اگرچه این نادرست است و ممکن است گمراهکننده باشد؛ آنها بهتر است بهعنوان «ریشههای مربع» بخشهای بستههای برداری مشاهده شوند - در مورد بسته جبر خارجی . از بسته نرم افزاری کتانژانت ، بنابراین آنها به "ریشه های مربع" اشکال دیفرانسیل تبدیل می شوند ).
همچنین میتوان مفهوم تقریباً مشابهی از اسپینور را به فضای مینکوفسکی مرتبط کرد ، که در این صورت تبدیلهای لورنتز نسبیت خاص نقش چرخش را بازی میکنند. اسپینورها در هندسه توسط الی کارتان در سال 1913 معرفی شدند. [ 1 ] [ d ] در دهه 1920، فیزیکدانان کشف کردند که اسپینورها برای توصیف تکانه زاویه ای ذاتی ، یا "اسپین" الکترون و دیگر ذرات زیراتمی ضروری هستند. [ e ]
اسپینورها با روش خاصی که در آن تحت چرخش رفتار می کنند مشخص می شوند. آنها نه تنها به چرخش نهایی کلی بلکه به جزییات چگونگی دستیابی به آن چرخش (توسط یک مسیر پیوسته در گروه چرخش ) به طرق مختلف تغییر می کنند. دو کلاس توپولوژیکی قابل تمایز ( کلاس های هموتوپی ) از مسیرها از طریق چرخش وجود دارد که منجر به چرخش کلی یکسان می شود، همانطور که توسط پازل ترفند کمربند نشان داده شده است . این دو کلاس نامتعادل تبدیلهای اسپینور با علامت مخالف را ایجاد میکنند. گروه چرخش گروهی از تمام چرخش ها است که کلاس را ردیابی می کند. [ f ] گروه چرخش را دوبرابر پوشش می دهد، زیرا هر چرخش را می توان به دو روش نامتعادل به عنوان نقطه پایانی یک مسیر به دست آورد. فضای اسپینورها طبق تعریف مجهز به یک نمایش خطی (مختلط) از گروه اسپین است، به این معنی که عناصر گروه اسپین بهعنوان تبدیلهای خطی در فضای اسپینورها عمل میکنند ، به نحوی که واقعاً به کلاس هموتوپی بستگی دارد. [ g ] در شرایط ریاضی، اسپینورها با نمایش تصویری دو ارزشی از گروه چرخش SO(3) توصیف میشوند .
اگرچه اسپینورها را میتوان صرفاً بهعنوان عناصر فضای نمایشی از گروه اسپین (یا جبر لی از چرخشهای بینهایت کوچک) تعریف کرد، آنها معمولاً به عنوان عناصر یک فضای برداری تعریف میشوند که نمایش خطی جبر کلیفورد را حمل میکند . جبر کلیفورد یک جبر انجمنی است که می تواند از فضای اقلیدسی و محصول درونی آن به روشی مستقل از مبنا ساخته شود. هم گروه اسپین و هم جبر لی آن به روشی طبیعی در جبر کلیفورد تعبیه شده اند و در برنامه های کاربردی جبر کلیفورد اغلب ساده ترین کار با آن است. [ h ] فضای کلیفورد بر روی یک فضای اسپینور عمل می کند و عناصر یک فضای اسپینور اسپینور هستند. [ 3 ] پس از انتخاب یک مبنای متعارف فضای اقلیدسی، نمایشی از جبر کلیفورد توسط ماتریسهای گاما ایجاد میشود ، ماتریسهایی که مجموعهای از روابط متعارف ضد جابجایی را برآورده میکنند. اسپینورها بردارهای ستونی هستند که این ماتریس ها بر روی آنها عمل می کنند. برای مثال، در سه بعد اقلیدسی، ماتریسهای اسپین پاولی مجموعهای از ماتریسهای گاما [ i ] و بردارهای ستون مختلط دو جزئی که این ماتریسها بر روی آنها عمل میکنند اسپینور هستند. با این حال، نمایش ماتریسی خاص جبر کلیفورد، از این رو آنچه دقیقاً یک "بردار ستونی" (یا اسپینور) را تشکیل می دهد، شامل انتخاب پایه و ماتریس های گاما به روشی اساسی است. به عنوان نمایشی از گروه اسپین، این تحقق اسپینرها به عنوان بردارهای ستونی (مختلط [ j ] ) یا غیر قابل کاهش خواهد بود اگر بعد فرد باشد، یا به یک جفت نمایش به اصطلاح "نیمه اسپین" یا ویل تجزیه می شود. اگر بعد زوج باشد [ k ]
مقدمه
[ ویرایش ]
چرخش تدریجی را می توان به عنوان یک روبان در فضا تجسم کرد. [ l ] دو چرخش تدریجی با کلاس های مختلف، یکی از 360 درجه و دیگری تا 720 درجه در اینجا در پازل حقه کمربند نشان داده شده است . راه حل این پازل دستکاری پیوسته کمربند، ثابت کردن نقاط انتهایی است که آن را باز می کند. این با چرخش 360 درجه غیرممکن است، اما با چرخش 720 درجه ممکن است. راه حلی که در انیمیشن دوم نشان داده شده است، یک هموتوپی صریح در گروه چرخش بین چرخش 720 درجه و چرخش هویت 0 درجه به دست می دهد.
جسمی که به تسمه یا ریسمان متصل است می تواند به طور پیوسته بدون گره خوردن بچرخد. توجه داشته باشید که بعد از اینکه مکعب چرخش 360 درجه را انجام داد، مارپیچ از پیکربندی اولیه خود برعکس می شود. تسمه ها پس از چرخش کامل 720 درجه به پیکربندی اولیه خود باز می گردند.
یک مثال شدیدتر که نشان می دهد این کار با هر تعداد رشته کار می کند. در حد، یک قطعه از فضای پیوسته جامد می تواند در جای خود مانند این بچرخد بدون اینکه پاره شود یا خود را قطع کند.
چیزی که اسپینورها را مشخص می کند و آنها را از بردارهای هندسی و سایر تانسورها متمایز می کند، ظریف است. اعمال چرخش برای مختصات یک سیستم را در نظر بگیرید. هیچ شیئی در خود سیستم جابجا نشده است، فقط مختصات حرکت کرده اند، بنابراین زمانی که برای هر شی از سیستم اعمال شود، همیشه یک تغییر جبرانی در مقادیر مختصات وجود خواهد داشت. برای مثال، بردارهای هندسی دارای اجزایی هستند که چرخش مشابه مختصات را انجام می دهند. به طور گسترده تر، هر تانسور مرتبط با سیستم (به عنوان مثال، تنش برخی از رسانه ها) همچنین دارای توضیحات مختصاتی است که برای جبران تغییرات در خود سیستم مختصات تنظیم می شود.
اسپینورها در این سطح از توصیف یک سیستم فیزیکی ظاهر نمی شوند، زمانی که فرد فقط به ویژگی های یک چرخش مجزای مختصات مربوط می شود. در عوض، اسپینورها زمانی ظاهر می شوند که تصور کنیم به جای یک چرخش، سیستم مختصات به تدریج ( به طور پیوسته ) بین برخی از پیکربندی های اولیه و نهایی می چرخد. برای هر یک از کمیت های آشنا و شهودی ("تنزیری") مرتبط با سیستم، قانون تبدیل به جزئیات دقیق چگونگی رسیدن مختصات به پیکربندی نهایی خود بستگی ندارد. از سوی دیگر، اسپینورها به گونهای ساخته میشوند که آنها را نسبت به چگونگی چرخش تدریجی مختصات به آنجا حساس میکند: آنها وابستگی به مسیر را نشان میدهند. معلوم می شود که برای هر پیکربندی نهایی مختصات، در واقع دو چرخش تدریجی (پیوسته) نامتعادل ( از نظر توپولوژیکی ) سیستم مختصات وجود دارد که به همین پیکربندی منجر می شود. این ابهام، کلاس هموتوپی چرخش تدریجی نامیده می شود. ترفند کمربند (نشان داده شده، که در آن هر دو انتهای جسم چرخانده شده به طور فیزیکی به یک مرجع خارجی متصل میشوند) دو چرخش متفاوت را نشان میدهد، یکی از طریق زاویه 2 π و دیگری از طریق زاویه 4 π ، که تنظیمات نهایی یکسانی دارند اما کلاس های مختلف اسپینورها در واقع یک معکوس علامت را نشان می دهند که واقعاً به این کلاس هموتوپی بستگی دارد. این آنها را از بردارها و سایر تانسورها متمایز می کند که هیچ کدام نمی توانند کلاس را احساس کنند.
اسپینورها را می توان به عنوان اجسام بتنی با استفاده از انتخاب مختصات دکارتی به نمایش گذاشت . برای مثال، در سه بعد اقلیدسی، میتوان اسپینورها را با انتخاب ماتریسهای اسپین پائولی متناظر با ( ممان زاویهای در اطراف) سه محور مختصات ساخت. اینها ماتریسهای 2×2 با ورودیهای مختلط هستند و بردارهای ستون مختلط دو جزیی که این ماتریسها با ضرب ماتریس روی آنها عمل میکنند اسپینورها هستند. در این حالت، گروه اسپین به گروه ماتریسهای واحد 2×2 با یک تعیینکننده که به طور طبیعی در جبر ماتریسی قرار میگیرد، همشکل است. این گروه با صرف در فضای برداری واقعی که توسط خود ماتریس های پائولی پوشانده شده است، عمل می کند، [ m ] آن را به عنوان گروهی از چرخش ها در بین آنها، [ n ] درک می کند ، اما بر بردارهای ستون (یعنی اسپینورها) نیز عمل می کند.
به طور کلی، جبر کلیفورد را می توان از هر فضای برداری V مجهز به فرم درجه دوم (غیر منحط) ساخت ، مانند فضای اقلیدسی با حاصلضرب نقطه استاندارد یا فضای مینکوفسکی با متریک استاندارد لورنتس. فضای اسپینورها فضای بردارهای ستون با
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.