ریاضیات

حالت های مختلط توابع موج

[ ویرایش ]

یک حالت کوانتومی مختلط مربوط به مخلوطی احتمالی از حالات خالص است. با این حال، توزیع‌های مختلف حالت‌های خالص می‌توانند حالت‌های مخلوط معادل (یعنی از نظر فیزیکی غیرقابل تشخیص) ایجاد کنند. مخلوطی از حالات کوانتومی دوباره حالت کوانتومی است .

حالت مخلوط برای اسپین های الکترون، در فرمول ماتریس چگالی، ساختار a داردماتریسی که هرمیتی و نیمه معین مثبت است و دارای ردیابی 1 است ،که شامل برهم نهی حالت های اسپین مشترک برای دو ذره با اسپین 1/2 است. حالت منفرد این ویژگی را برآورده می کند که اگر اسپین ذرات در یک جهت اندازه گیری شود، یا اسپین ذره اول به سمت بالا و اسپین ذره دوم به سمت پایین مشاهده می شود یا اولی به سمت پایین و دومی مشاهده می شود. یکی مشاهده می شود، هر دو احتمال با احتمال مساوی رخ می دهند.

یک حالت کوانتومی خالص را می توان با یک پرتو در فضای هیلبرت تصویری بر روی اعداد مختلط نشان داد، در حالی که حالت های مختلط با ماتریس های چگالی نشان داده می شوند که عملگرهای نیمه معین مثبتی هستند که روی فضاهای هیلبرت عمل می کنند. [ 7 ] [ 3 ] قضیه شرودینگر-HJW روش های متعددی را برای نوشتن یک حالت مختلط معین به عنوان ترکیبی محدب از حالت های خالص طبقه بندی می کند. [ 8 ] قبل از اینکه اندازه‌گیری خاصی بر روی یک سیستم کوانتومی انجام شود، نظریه فقط یک توزیع احتمال برای نتیجه ارائه می‌دهد، و شکلی که این توزیع می‌گیرد کاملاً توسط حالت کوانتومی و عملگرهای خطی توصیف‌کننده اندازه‌گیری تعیین می‌شود. توزیع‌های احتمال برای اندازه‌گیری‌های مختلف، مبادله‌هایی را نشان می‌دهند که با اصل عدم قطعیت مثال می‌زنند : حالتی که دلالت بر گسترش محدودی از نتایج ممکن برای یک آزمایش دارد، لزوماً متضمن گسترش گسترده نتایج ممکن برای آزمایش دیگر است.

مخلوط های آماری حالت ها نوع متفاوتی از ترکیب خطی هستند. ترکیب آماری ایالت ها مجموعه آماری از سیستم های مستقل است. مخلوط های آماری نشان دهنده درجه دانش هستند در حالی که عدم قطعیت در مکانیک کوانتومی اساسی است. از نظر ریاضی، یک مخلوط آماری ترکیبی با استفاده از ضرایب مختلط نیست، بلکه ترکیبی است که از احتمالات مثبت و با ارزش واقعی حالت های مختلف استفاده می کند.. یک عدداحتمال اینکه یک سیستم به طور تصادفی انتخاب شده در حالت باشد را نشان می دهد. برخلاف حالت ترکیب خطی، هر سیستم در یک حالت ویژه مشخص است. [ 9 ] [ 10 ]

ارزش انتظاریک قابل مشاهده A میانگین آماری مقادیر اندازه گیری شده قابل مشاهده است. این میانگین و توزیع احتمالات است که توسط نظریه های فیزیکی پیش بینی می شود.

هیچ حالتی وجود ندارد که به طور همزمان یک حالت ویژه برای همه موارد قابل مشاهده باشد. برای مثال، نمی‌توانیم حالتی را آماده کنیم که هر دو اندازه‌گیری موقعیت Q ( t ) و اندازه‌گیری تکانه P ( t ) (در همان زمان t ) دقیقاً شناخته شوند. حداقل یکی از آنها محدوده ای از مقادیر ممکن را خواهد داشت. [ a ] این محتوای رابطه عدم قطعیت هایزنبرگ است .

علاوه بر این، بر خلاف مکانیک کلاسیک، غیر قابل اجتناب است که انجام یک اندازه گیری روی سیستم به طور کلی حالت آن را تغییر دهد . [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] : 4  به طور دقیق تر: پس از اندازه گیری A قابل مشاهده ، سیستم در حالت ویژه A قرار خواهد گرفت . بنابراین وضعیت تغییر کرده است، مگر اینکه سیستم قبلاً در آن حالت ویژه قرار داشته باشد. این یک نوع سازگاری منطقی را بیان می‌کند: اگر A را دو بار در یک دوره آزمایشی اندازه‌گیری کنیم، اندازه‌گیری‌ها مستقیماً از نظر زمان متوالی باشند، [ b ] نتایج یکسانی را ایجاد خواهند کرد. این امر پیامدهای عجیبی دارد، اما به شرح زیر.

دو قابل مشاهده ناسازگار ، A و B را در نظر بگیرید که در آن A مربوط به اندازه گیری زودتر از B است . [ c ] فرض کنید که سیستم در ابتدای آزمایش در حالت ویژه B قرار دارد. اگر فقط B را اندازه گیری کنیم ، همه اجراهای آزمایش نتیجه یکسانی خواهند داشت. اگر ابتدا A و سپس B را در همان اجرای آزمایش اندازه گیری کنیم ، سیستم پس از اولین اندازه گیری به حالت ویژه A منتقل می شود و به طور کلی متوجه خواهیم شد که نتایج B آماری است. بنابراین: اندازه‌گیری‌های مکانیکی کوانتومی بر یکدیگر تأثیر می‌گذارند و ترتیب انجام آن‌ها مهم است.

یکی دیگر از ویژگی‌های حالت‌های کوانتومی با در نظر گرفتن یک سیستم فیزیکی که از چندین زیرسیستم تشکیل شده است مرتبط می‌شود. برای مثال، آزمایشی با دو ذره به جای یک ذره. فیزیک کوانتوم به حالت‌های خاصی اجازه می‌دهد که حالت‌های درهم‌تنیده نامیده می‌شوند که همبستگی‌های آماری خاصی را بین اندازه‌گیری‌های دو ذره نشان می‌دهند که با نظریه کلاسیک قابل توضیح نیست. برای جزئیات، درهم تنیدگی کوانتومی را ببینید . این حالت‌های درهم‌تنیده منجر به ویژگی‌های آزمایش‌پذیر ( قضیه بل ) می‌شود که به ما اجازه می‌دهد بین نظریه کوانتومی و مدل‌های کلاسیک جایگزین (غیر کوانتومی) تمایز قائل شویم.

عکس شرودینگر در مقابل عکس هایزنبرگ

[ ویرایش ]

می توان مشاهده پذیرها را وابسته به زمان دانست، در حالی که حالت σ یک بار در ابتدای آزمایش ثابت شد. این رویکرد تصویر هایزنبرگ نامیده می شود . (این رویکرد در قسمت بعدی بحث بالا، با مشاهده پذیرهای متغیر با زمان P ( t ) , Q ( t ) اتخاذ شد .) به طور معادل، می توان مشاهده پذیرها را ثابت تلقی کرد، در حالی که وضعیت سیستم به زمان بستگی دارد. ; که به عنوان عکس شرودینگر شناخته می شود . (این رویکرد در قسمت قبلی بحث بالا، با حالت متغیر زمان اتخاذ شد.

از نظر مفهومی (و از نظر ریاضی)، این دو رویکرد معادل هستند. انتخاب یکی از آنها یک امر قراردادی است.

هر دو دیدگاه در نظریه کوانتومی استفاده می شود. در حالی که مکانیک کوانتومی غیرنسبیتی معمولاً بر اساس تصویر شرودینگر فرمول بندی می شود، تصویر هایزنبرگ اغلب در زمینه نسبیتی ترجیح داده می شود، یعنی برای نظریه میدان کوانتومی . مقایسه با عکس دیراک [ 14 ] :  65 

فرمالیسم در فیزیک کوانتومی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: فرمول بندی ریاضی مکانیک کوانتومی

حالت های خالص به صورت پرتوها در فضای پیچیده هیلبرت

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: قضیه ویگنر § پرتوها و فضای پرتو

فیزیک کوانتومی معمولاً بر اساس جبر خطی به شرح زیر فرمول بندی می شود. هر سیستم معینی با فضای هیلبرت محدود یا بی‌بعدی شناسایی می‌شود . حالات خالص با بردارهای هنجار 1 مطابقت دارد. بنابراین مجموعه تمام حالات خالص با کره واحد در فضای هیلبرت مطابقت دارد، زیرا کره واحد به عنوان مجموعه همه بردارها با هنجار 1 تعریف می شود.

ضرب یک حالت خالص در یک اسکالر از نظر فیزیکی بی اهمیت است (تا زمانی که حالت به خودی خود در نظر گرفته شود). اگر بردار در فضای مختلط هیلبرت می توان از بردار دیگری با ضرب در برخی اعداد مختلط غیر صفر به دست آورد، دو بردار درگفته می شود که با همان پرتو در فضای هیلبرت تصویری مطابقت دارد از. توجه داشته باشید که اگرچه از کلمه پرتو استفاده می‌شود، اما به بیان درست، نقطه‌ای در فضای تصویری هیلبرت مربوط به خطی است که از مبدأ فضای هیلبرت می‌گذرد، نه یک نیم خط یا پرتو به معنای هندسی .