تاریخچه

[ ویرایش ]

کلی ترین شکل ریاضی اسپینورها توسط الی کارتان در سال 1913 کشف شد. [ 12 ] کلمه "spinor" توسط پل ارنفست در کار خود در مورد فیزیک کوانتومی ابداع شد . [ 13 ]

اسپینورها برای اولین بار توسط ولفگانگ پائولی در سال 1927، زمانی که ماتریس های اسپین خود را معرفی کرد، در فیزیک ریاضی به کار بردند . [ 14 ] سال بعد، پل دیراک با نشان دادن ارتباط بین اسپینورها و گروه لورنتس ، نظریه کاملاً نسبیتی اسپین الکترون را کشف کرد . [ 15 ] در دهه 1930، دیراک، پیت هاین و دیگران در مؤسسه نیلز بور (در آن زمان به عنوان مؤسسه فیزیک نظری دانشگاه کپنهاگ شناخته می‌شد) اسباب‌بازی‌هایی مانند Tangloids را برای آموزش و مدل‌سازی حساب اسپینورها ساختند.

فضاهای اسپینور به عنوان ایده آل های چپ یک جبر ماتریسی در سال 1930 توسط گوستاو یووت [ 16 ] و توسط فریتز ساتر ارائه شد . [ 17 ] [ 18 ] به طور خاص، به جای نمایش اسپینرها به عنوان بردارهای ستون دو بعدی با ارزش مختلط همانطور که پائولی انجام داده بود، آنها را به عنوان ماتریس های 2×2 با ارزش مختلط نشان دادند که در آن فقط عناصر ستون سمت چپ غیر صفر هستند. به این ترتیب فضای اسپینور به یک ایده آل چپ مینیمال در Mat (2,{\displaystyle \mathbb {C} }) . [ r ] [ 20 ]

در سال 1947 مارسل ریس فضاهای اسپینور را به عنوان عناصری از ایده آل چپ حداقلی جبرهای کلیفورد ساخت . در سال 1966/1967، دیوید هستنس [ 21 ] [ 22 ] فضاهای اسپینور را با زیر جبر یکنواخت Cℓ 0 1,3 جایگزین کرد .{\displaystyle \mathbb {R} }) جبر فضازمان Cℓ 1,3 (آر{\displaystyle \mathbb {R} }). [ 18 ] [ 20 ] از دهه 1980، گروه فیزیک نظری در کالج Birkbeck در اطراف دیوید بوم و باسیل هیلی در حال توسعه رویکردهای جبری برای نظریه کوانتومی است که بر اساس شناسایی Sauter و Riesz از اسپینورها با حداقل ایده‌آل چپ است.

نمونه ها

[ ویرایش ]

چند مثال ساده از اسپینورها در ابعاد پایین از در نظر گرفتن زیرجبرهای زوج درجه بندی جبر کلیفورد Cℓ p ,  q (آر{\displaystyle \mathbb {R} }) . این جبری است که از یک مبنای متعامد از n = p  +  q بردار متعامد متعامد تحت جمع و ضرب ساخته شده است که p آنها دارای هنجار +1 و q از آنها دارای هنجار -1 هستند، با قانون حاصلضرب برای بردارهای پایه

{\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots,p)\\-1&i=j,\,i\in (p +1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{موارد}}}

دو بعدی

[ ویرایش ]

جبر کلیفورد Cℓ 2,0 (آر{\displaystyle \mathbb {R} }) بر اساس یک واحد اسکالر، 1، دو بردار واحد متعامد، σ 1 و σ 2 ، و یک واحد شبه مقیاس i = σ 1 σ 2 ساخته شده است . از تعاریف بالا، آشکار است که

( σ 1 ) 2 = ( σ 2 ) 2 = 1

، و ( σ 1 σ 2 ) ( σ 1 σ 2 ) = -- σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 = - 1 .

زیر جبر زوج Cℓ 0 2,0 (آر{\displaystyle \mathbb {R} }) که توسط عناصر پایه با درجه زوج Cℓ 2,0 (آر{\displaystyle \mathbb {R} })، فضای اسپینورها را از طریق نمایش های خود تعیین می کند. از ترکیبات خطی حقیقی1 و σ 1 σ 2 ساخته شده است . به عنوان یک جبر حقیقی، Cℓ 0 2,0 ({\displaystyle \mathbb {R} }) با میدان اعداد مختلط هم شکل است  {\displaystyle \mathbb {C} }. در نتیجه، یک عملیات صرف (مشابه با صرف پیچیده ) را می پذیرد، که گاهی اوقات معکوس عنصر کلیفورد نامیده می شود، که توسط

{\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.}

که با روابط کلیفورد می توان نوشت

{\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=ab\sigma _{1}\sigma _{2}.}

عمل یک عنصر زوج کلیفورد

γ ∈ Cℓ 0 2,0 ({\displaystyle \mathbb {R} }) بر روی بردارها، به عنوان عناصر درجه بندی 1 Cℓ 2,0 ({\displaystyle \mathbb {R} })، با نگاشت یک بردار کلی

u = a 1 σ 1 + a 2 σ 2 به بردار تعیین می شود .{\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}،}کج{\displaystyle \gamma ^{*}}مزدوج است{\displaystyle \gamma }و حاصل ضرب کلیفورد است. در این وضعیت، اسپینور [ s ] یک عدد مختلط معمولی است. عمل از{\displaystyle \gamma }روی یک اسپینور {\displaystyle \phi }با ضرب مختلط معمولی به دست می آید:{\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi.}

یکی از ویژگی های مهم این تعریف، تمایز بین بردارهای معمولی و اسپینورها است که در نحوه عملکرد عناصر با درجه زوج بر روی هر یک از آنها به طرق مختلف آشکار می شود. به طور کلی، بررسی سریع روابط کلیفورد نشان می‌دهد که عناصر درجه‌بندی شده با بردارهای معمولی ترکیب می‌شوند:{\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}

از طرفی در مقایسه با عملکرد آن روی اسپینورها

{\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }، عمل از{\displaystyle \gamma }در بردارهای معمولی به عنوان مربع عمل آن روی اسپینورها ظاهر می شود.

برای مثال، مفهومی که این امر برای چرخش های صفحه دارد را در نظر بگیرید. چرخش یک بردار از طریق زاویه θ مطابق با

γ2 = exp( θ σ 1 σ 2 ) است ، به طوری که عمل مربوطه روی اسپینورها از طریق

γ = ± exp( θ σ 1 σ 2 / 2) است . به طور کلی، به دلیل انشعاب لگاریتمی ، انتخاب یک علامت به صورت ثابت غیرممکن است. بنابراین نمایش چرخش های صفحه روی اسپینورها دو مقدار است.

در کاربرد اسپینرها در دو بعد، استفاده از این واقعیت که جبر عناصر زوج درجه بندی شده (که فقط حلقه اعداد مختلط است) با فضای اسپینورها یکسان است، رایج است. بنابراین، با سوء استفاده از زبان ، این دو اغلب با هم ترکیب می شوند. سپس می توان در مورد "عمل یک اسپینور بر روی یک بردار" صحبت کرد. در یک محیط کلی، چنین اظهاراتی بی معنی است. اما در ابعاد 2 و 3 (مثلاً برای گرافیک کامپیوتری اعمال می شود ) آنها منطقی هستند.

نمونه ها

[ ویرایش ]

  • عنصر درجه زوج{\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}مربوط به چرخش برداری 90 درجه از σ 1 در اطراف به سمت σ 2 است که می توان با تأیید اینکه{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{ 2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}این مربوط به چرخش اسپینور فقط 45 درجه است، اما:{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1} \sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}
  • به طور مشابه، عنصر با درجه زوج γ  = - σ 1 σ 2 مربوط به چرخش برداری 180 درجه است:{\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2 }\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}اما چرخش اسپینور فقط 90 درجه است:{\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_ {1}\sigma _{1}\sigma _{2}}
  • در ادامه، عنصر با درجه زوج γ  = -1 مربوط به چرخش برداری 360 درجه است:
  • {\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+ a_{2}\sigma _{2}}اما چرخش اسپینور 180 درجه.