3-جبر فضا-زمان

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ | 9:5

معادله دیراک

STA امکان توصیف ذره دیراک را در قالب یک نظریه واقعی به جای نظریه ماتریس فراهم می کند. توصیف نظریه ماتریس ذره دیراک به شرح زیر است: [ 29 ]

${\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ،$

کجا ${\hat {\gamma }}$ ماتریس های دیراک هستند ومن ${\textstyle i}$ واحد خیالی بدون تفسیر هندسی است.

با استفاده از همان رویکرد معادله پائولی، رویکرد STA اسپینور بالایی ماتریس را تبدیل می‌کند ${\textstyle |\psi _{U}\rangle }$ و اسپینور پایین ماتریس ${\textstyle |\psi _{L}\rangle }$ از ماتریس دیراک بیسپینور ${\textstyle |\psi \rangle }$ به نمایش های اسپینور جبر هندسی مربوطه ${\textstyle \psi _{U}}$ و ${\textstyle \psi _{L}}$ . سپس اینها ترکیب می شوند تا جبر هندسی کامل دیراک بیسپینور را نشان دهند ${\textstyle \psi }$ . [ 30 ] : 279

$|\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{ U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}}$

پس از اشتقاق هستن، ذره دیراک با این معادله توصیف می‌شود: [ 29 ] [ 31 ] : 283

معادله دیراک در STA:

$\nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}$

اینجا، $\psi$ میدان اسپینور است، $\gamma _{0}$ و $I\sigma _{3}$ عناصر جبر هندسی هستند، $\mathbf {A}$ چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است و $\nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ مشتق بردار فضازمان است.

دیراک اسپینور

[ ویرایش ]

یک اسپینور نسبیتی دیراک ${\textstyle \psi }$ را می توان به صورت زیر بیان کرد: [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] : 280

$\psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}$

جایی که بر اساس اشتقاق دیوید هستنس ، $\psi =\psi (x)$ یک تابع با مقدار چند برداری حتی در فضازمان است $R=R(x)$ یک اسپینور یا «روتور» تک مدولار است، [ 35 ] و $\rho =\rho (x)$ و $\beta =\beta (x)$ توابع با ارزش اسکالر هستند. [ 32 ] در این ساخت، اجزای $\psi$ مستقیماً با اجزای یک اسپینور دیراک مطابقت دارد که هر دو دارای 8 درجه آزادی اسکالر هستند.

این معادله به عنوان اتصال اسپین با شبه مقیاس خیالی تفسیر می شود. [ 36 ] : 104-121

روتور، $R$ ، لورنتس چارچوب بردارها را تبدیل می کند $\gamma _{\mu }$ به یک قاب دیگر از بردارها $e_{\mu }$ توسط عملیات $e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }$ ; [ 37 ] : 15 توجه داشته باشید که ${\textstyle R^{\dagger }}$ تبدیل معکوس را نشان می دهد .

این برای ارائه چارچوبی برای مشاهده پذیرهای با ارزش برداری و اسکالر به صورت محلی و پشتیبانی از تفسیر Zitterbewegung از مکانیک کوانتومی که در ابتدا توسط شرودینگر پیشنهاد شده بود، گسترش یافته است . [ 38 ] [ 1 ] : vi

هستنس بیان خود را برای $\psi$ با بیان فاینمن برای آن در فرمول انتگرال مسیر:

$\psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },$

که $\Phi _{\lambda }$ عمل کلاسیک در امتداد است $\lambda$ -مسیر [ 32 ]

با استفاده از اسپینورها، چگالی جریان از میدان را می توان با [ 39 ] بیان کرد : 8

$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$

تقارن ها

[ ویرایش ]

تقارن فاز جهانی یک تغییر فاز جهانی ثابت تابع موج است که معادله دیراک را بدون تغییر می‌گذارد. [ 40 ] : 41-48 تقارن فاز محلی یک تغییر فاز از نظر مکانی متغیر است که معادله دیراک را بدون تغییر می‌گذارد، اگر همراه با تبدیل گیج چهار پتانسیل الکترومغناطیسی باشد که توسط این جایگزین‌های ترکیبی بیان می‌شود. [ 41 ] : 269، 283

$\psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)$

در این معادلات، تبدیل فاز محلی یک تغییر فاز استα(x) $\alpha (x)$ در مکان فضا-زمانx ${\textstyle x}$ با شبه بردار ${\textstyle I}$ و ${\textstyle \sigma _{3}}$ از زیر جبر فضازمان درجه بندی شده زوج که برای تابع موج اعمال می شودψ ${\textstyle \psi }$ ; تبدیل گیج تفریق شیب تغییر فاز است ${\textstyle \nabla \alpha (x)}$ از چهار پتانسیل الکترومغناطیسی ${\textstyle A}$ با بار الکتریکی ذرات ${\textstyle e}$ . [ 41 ] : 269، 283

محققان STA و رویکردهای جبر کلیفورد مرتبط را برای نظریه‌های گیج، برهمکنش ضعیف الکتریکی ، نظریه یانگ میلز و مدل استاندارد به کار برده‌اند . [ 42 ] : 1345-1347

تقارن های گسسته برابری هستند ${\textstyle ({\hat {P}})}$ ، صرف بار ${\textstyle ({\hat {C}})}$ و زمان معکوس ${\textstyle ({\hat {T}})}$ برای تابع موج اعمال می شود ${\textstyle \psi }$ . این اثرات عبارتند از: [ 43 ] : 283

${\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _ {0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}$

نسبیت عام

[ ویرایش ]

نسبیت عام

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: تئوری سنج گرانش

محققان از STA و رویکردهای جبر کلیفورد مرتبط با نسبیت، گرانش و کیهان شناسی استفاده کرده اند. [ 42 ] : 1343 گرانش تئوری سنج ( GTG) از STA برای توصیف یک انحنای القایی در فضای مینکوفسکی استفاده می کند در حالی که یک تقارن سنج را تحت "نقشه نگاشت مجدد صاف دلخواه رویدادها بر روی فضازمان" می پذیرد که منجر به این معادله ژئودزیکی می شود. [ 44 ] [ 45 ] [ 4 ] [ 13 ]

${\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R$

و مشتق کوواریانت

$D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,$

که $\omega$ ارتباط مرتبط با پتانسیل گرانشی است و $\Omega$ یک برهمکنش خارجی مانند میدان الکترومغناطیسی است.

این نظریه نویدهایی را برای درمان سیاهچاله ها نشان می دهد، زیرا شکل آن از راه حل شوارتزشیلد در تکینگی ها تجزیه نمی شود. اکثر نتایج نسبیت عام به صورت ریاضی بازتولید شده اند و فرمول نسبیتی الکترودینامیک کلاسیک به مکانیک کوانتومی و معادله دیراک بسط داده شده است .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی