​

چرخش

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول بندی ریاضی مکانیک کوانتومی § اسپین

تکانه زاویه ای همان ابعاد ( M · L 2 · T - ) با ثابت پلانک را دارد و در مقیاس کوانتومی به عنوان درجه آزادی مجزای یک سیستم کوانتومی رفتار می کند. بیشتر ذرات دارای نوعی تکانه زاویه ای ذاتی هستند که اصلاً در مکانیک کلاسیک ظاهر نمی شود و از تعمیم نسبیتی دیراک از نظریه ناشی می شود. از نظر ریاضی با اسپینورها توصیف می شود . در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، بازنمایی گروهی از گروه لی SU(2) برای توصیف این آزادی اضافی استفاده می شود. برای یک ذره معین، انتخاب نمایش (و در نتیجه محدوده مقادیر ممکن اسپین قابل مشاهده) با یک عدد غیر منفی S مشخص می شود که در واحدهای ثابت پلانک کاهش یافته ħ ، یا یک عدد صحیح است (0، ) . ، 2، ...) یا یک عدد نیمه صحیح (/2، 3/2، 5/2، ...). برای یک ذره عظیم با اسپین S ، عدد کوانتومی اسپین آن m همیشه یکی از 2 مقدار ممکن S + در مجموعه را در نظر می گیرد

{\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots,S-1,S\}}

در نتیجه، وضعیت کوانتومی یک ذره با اسپین توسط یک تابع موج بردار با مقادیر C2S + توصیف می‌شود . به طور معادل، با یک تابع با ارزش مختلط از چهار متغیر نشان داده می شود : یک متغیر عدد کوانتومی گسسته (برای چرخش) به سه متغیر پیوسته معمول (برای موقعیت در فضا) اضافه می شود.

وضعیت های سیستم و آمار ذرات

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: آمار ذرات

حالت کوانتومی یک سیستم از ذرات N ، که هرکدام به طور بالقوه دارای اسپین هستند، توسط یک تابع با ارزش مختلط با چهار متغیر در هر ذره، که مربوط به 3 مختصات فضایی و اسپین است، توصیف می‌شود {\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}

در اینجا، متغیرهای spin m ν مقادیری از مجموعه را در نظر می گیرند{\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}}که{\displaystyle S_{\nu }}اسپین ذره ν است {\displaystyle S_{\nu }=0}برای ذره ای که اسپین را نشان نمی دهد.

برخورد ذرات یکسان برای بوزون ها (ذراتی با اسپین عدد صحیح) در مقابل فرمیون ها (ذراتی با اسپین نیمه صحیح) بسیار متفاوت است . تابع ذره N بالا باید با توجه به اعداد ذره متقارن (در حالت بوزونی) یا ضد متقارن (در حالت فرمیونی) باشد. اگر همه N ذرات یکسان نیستند، اما برخی از آنها یکسان نیستند، تابع باید به طور جداگانه بر روی متغیرهای مربوط به هر گروه از متغیرهای یکسان، مطابق آمار آن (بوزونی یا فرمیونی) (ضد) متقارن شود.

الکترون‌ها فرمیون‌هایی با S = /2 هستند ، فوتون‌ها (کوانتوم‌های نور) بوزون‌هایی با S = هستند (اگرچه در خلاء بدون جرم هستند و با مکانیک شرودینگر قابل توصیف نیستند).

هنگامی که تقارن یا ضد تقارن غیر ضروری باشد، فضاهای N- ذره حالت ها را می توان به سادگی با ضربهای تانسور فضاهای یک ذره به دست آورد، که بعداً به آن باز خواهیم گشت.

حالت های پایه سیستم های تک ذره ای

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: تابع دلتای دیراک § مکانیک کوانتومی

یک حالت{\displaystyle |\psi \rangle }متعلق به یک فضای مختلط قابل تفکیک هیلبرت {\displaystyle H}همیشه می توان به صورت منحصر به فرد به عنوان یک ترکیب خطی از عناصر یک مبنای متعارف بیان کرد{\displaystyle H}. با استفاده از نماد برا-کت ، این به معنای هر حالت است{\displaystyle |\psi \rangle }را می توان به صورت نوشتاری

،{\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle &=\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle ,\\&=\sum _{i}|{k_{ i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle ,\end{تراز شده}}}

با ضرایب مختلط{\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }و عناصر پایه{\displaystyle |k_{i}\rangle }. در این مورد، شرایط نرمال سازی ترجمه می شود

{\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}\langle \psi |{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle =\sum _{i} \ چپ|c_{i}\راست|^{2}=1.}

از نظر فیزیکی{\displaystyle |\psi \rangle }به عنوان برهم نهی کوانتومی "حالت های پایه" بیان شده است .{\displaystyle |{k_{i}}\rangle }، یعنی حالت های ویژه یک قابل مشاهده. به طور خاص، اگر قابل مشاهده گفته شده در حالت نرمال اندازه گیری شود{\displaystyle |\psi \rangle }، سپس

{\displaystyle |c_{i}|^{2}=|\langle {k_{i}}|\psi \rangle |^{2}،}

احتمال این است که نتیجه اندازه گیری باشد {\displaystyle k_{i}}. [ 5 ] : 22 

به طور کلی، عبارت احتمال همیشه شامل رابطه ای بین حالت کوانتومی و بخشی از طیف متغیر دینامیکی (یعنی متغیر تصادفی ) است که مشاهده می شود. [ 5 ] : 98  [ 6 ] : 53  برای مثال، وضعیت بالا حالت گسسته را به عنوان مقادیر ویژه توصیف می کند. ن{\displaystyle k_{i}}متعلق به طیف نقطه ای به همین ترتیب، تابع موج فقط تابع ویژه عملگر همیلتونی با مقدار ویژه (های) مربوطه است.{\displaystyle E}; انرژی سیستم

مثالی از حالت پیوسته توسط عملگر موقعیت ارائه شده است . اندازه گیری احتمال برای یک سیستم در حالت{\displaystyle \psi }ارائه شده توسط: [ 7 ]،

{\displaystyle \mathrm {Pr} (x\in B|\psi )=\int _{B\subset \mathbb {R} }|\psi (x)|^{2}dx,}

که{\displaystyle |\psi (x)|^{2}}تابع چگالی احتمال برای یافتن یک ذره در یک موقعیت معین است. این مثال‌ها بر تمایز در خصوصیات بین حالت و امر قابل مشاهده تأکید دارند. یعنی در حالی که{\displaystyle \psi }یک دولت خالص متعلق به است{\displaystyle H}، بردارهای ویژه (تعمیم شده) عملگر موقعیت انجام نمی دهند . [ 8 ]

حالات خالص در مقابل حالت های مقید

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: تجزیه طیف (تحلیل عملکردی) § مکانیک کوانتومی

گرچه حالت‌های خالص با هم مرتبط هستند، با حالت‌های محدود متعلق به طیف نقطه خالص یک قابل مشاهده بدون عدم قطعیت کوانتومی یکسان نیستند . به یک ذره در حالت محدود گفته می شود که برای همیشه در یک منطقه محدود از فضا موضعی باقی بماند. یک حالت پاک{\displaystyle |\phi \rangle }حالت محدود اگر و فقط اگر برای هر نامیده می شود{\displaystyle \varepsilon >0}یک مجموعه جمع و جور وجود دارد {\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}به گونه ای که{\displaystyle \int _{K}|\phi (\mathbf {r},t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon }برای همه {\displaystyle t\in \mathbb {R} }. [ 9 ] انتگرال نشان دهنده احتمال یافتن یک ذره در یک منطقه محدود است.{\displaystyle K}در هر زمان{\displaystyle t}. اگر احتمال خودسرانه نزدیک به{\displaystyle 1}سپس گفته می شود که ذره در آن باقی می ماند{\displaystyle K}.

برهم نهی حالت های خالص

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: برهم نهی کوانتومی

همانطور که در بالا ذکر شد، حالت های کوانتومی ممکن است روی هم قرار گیرند . اگر{\displaystyle |\alpha \rangle }و{\displaystyle |\beta \rangle }دو کت مربوط به حالات کوانتومی، کت هستند{\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }همچنین یک حالت کوانتومی از همان سیستم است. هر دو{\displaystyle c_{\alpha }}و{\displaystyle c_{\beta }}می تواند اعداد مختلط باشد. دامنه نسبی و فاز نسبی آنها بر حالت کوانتومی حاصل تأثیر می گذارد.

نوشتن حالت بر هم با استفاده ا

ز{\displaystyle c_{\alpha }=A_{\alpha }e^{i\theta _{\alpha }}\ \ c_{\beta }=A_{\beta }e^{i\theta _{\beta } }}

و هنجار دولت را چنین تعریف می کند

:{\displaystyle |c_{\alpha }|^{2}+|c_{\beta }|^{2}=A_{\alpha }^{2}+A_{\beta }^{2}=1}و استخراج عوامل مشترک به دست می دهد:هم

{\displaystyle e^{i\theta _{\alpha }}\left(A_{\alpha }|\alpha \rangle +{\sqrt {1-A_{\alpha }^{2}}}e^{i \theta _{\beta }-i\theta _{\alpha }}|\beta \rangle \right)}

فاکتور فاز کلی جلو هیچ اثر فیزیکی ندارد. [ 20 ] : 08  فقط فاز نسبی بر ماهیت فیزیکی برهم نهی تأثیر می گذارد.

یک نمونه از برهم نهی، آزمایش دو شکاف است که در آن برهم نهی منجر به تداخل کوانتومی می شود . نمونه دیگری از اهمیت فاز نسبی نوسانات رابی است که در آن فاز نسبی دو حالت به دلیل معادله شرودینگر در زمان تغییر می کند . برهم نهی حاصل بین دو حالت مختلف به عقب و جلو نوسان می کند.

حالت های مختلط

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: ماتریس چگالی

حالت کوانتومی خالص حالتی است که می‌توان آن را با یک بردار کت توصیف کرد، همانطور که در بالا توضیح داده شد. حالت کوانتومی مختلط مجموعه ای آماری از حالت های خالص است (به مکانیک آماری کوانتومی مراجعه کنید ). [ 3 ] : 73 

حالت‌های مختلط در مکانیک کوانتومی در دو موقعیت مختلف به وجود می‌آیند: اول، زمانی که آماده‌سازی سیستم به طور کامل شناخته نشده است، و بنابراین باید با مجموعه‌ای آماری از آماده‌سازی‌های احتمالی سروکار داشت. و دوم، وقتی کسی بخواهد یک سیستم فیزیکی را توصیف کند که با دیگری درگیر شده است ، زیرا حالت آن با حالت خالص قابل توصیف نیست. در مورد اول، از نظر تئوری، شخص دیگری می تواند وجود داشته باشد که تاریخ کامل سیستم را بداند، و بنابراین همان سیستم را به عنوان یک حالت خالص توصیف کند. در این مورد، ماتریس چگالی به سادگی برای نشان دادن دانش محدود یک حالت کوانتومی استفاده می شود. اما در مورد دوم، وجود درهم تنیدگی کوانتومی از لحاظ نظری از وجود دانش کامل در مورد زیرسیستم جلوگیری می کند و برای هیچ فردی غیرممکن است که زیرسیستم یک جفت درهم تنیده را به عنوان یک حالت خالص توصیف کند.

حالت های مختلط به نار از حالت های خالص ناشی می شوند که، برای یک سیستم کوانتومی مرکب {\displaystyle H_{1}\times H_{2}}با حالت درهم بر روی آن، قسمت {\displaystyle H_{2}}برای ناظر غیر قابل دسترس است. [ 3 ] : 2-22  حالت قطعه {\displaystyle H_{1}}سپس به عنوان ردی جزئی بیان می شود{\displaystyle H_{2}}.

یک حالت مختلط را نمی توان با یک بردار کت توصیف کرد. [ 2 ] : 69-692  در عوض، با ماتریس چگالی مرتبط (یا عملگر چگالی ) که معمولاً ρ نشان داده می‌شود، توصیف می‌شود . ماتریس‌های چگالی می‌توانند هر دو حالت مختلط و خالص را توصیف کنند، و آن‌ها را بر مبنای یکسان درمان کنند. علاوه بر این، یک حالت کوانتومی مختلط در یک سیستم کوانتومی داده شده توسط فضای هیلبرت توصیف شده است {\displaystyle H}همیشه می توان به عنوان اثری جزئی از یک حالت کوانتومی خالص (به نام تصفیه ) در یک سیستم دو بخشی بزرگتر نشان داد{\displaystyle H\otime K}برای فضای هیلبرت به اندازه کافی بزرگ {\displaystyle K}.

ماتریس چگالی که حالت مخلوط را توصیف می کند، به عنوان عملگر فرم تعریف می شود

{\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}

که در آن p s کسری از مجموعه در هر حالت خالص است{\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}ماتریس چگالی را می توان راهی برای استفاده از فرمالیسم تک ذره ای برای توصیف رفتار بسیاری از ذرات مشابه با دادن توزیع احتمال (یا مجموعه) حالت هایی در نظر گرفت که این ذرات را می توان در آنها یافت.

یک معیار ساده برای بررسی اینکه آیا یک ماتریس چگالی حالت خالص یا مخلوط را توصیف می کند این است که رد ر 2 برابر با در صورت خالص بودن حالت و کمتر از در صورت مخلوط بودن حالت باشد . [ d ] [ 22 ] یکی دیگر از معیارهای معادل این است که آنتروپی فون نویمان برای حالت خالص 0 و برای حالت مختلط کاملاً مثبت است.

{\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i }p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}

که{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }و{\displaystyle a_{i}}برای عملگر A به ترتیب ignkt و ignvalus ​​هستند و " tr " نشان دهنده ردیابی است. [ 3 ] : 73  توجه به این نکته مهم است که دو نوع میانگین گیری در حال وقوع است، یکی (بیش از{\displaystyle i}زمانی که کوانتوم در حالت قرار دارد، مقدار معمول مورد انتظار از قابل مشاهده است {\displaystyle |\psi _{s}\rangle }، و دیگری (بیش از{\displaystyle s}) بودن یک میانگین آماری (گفته نامنسجم ) با احتمالات p s که کوانتوم در آن حالت ها باشد.

تعمیم های ریاضی

[ ویرایش ]

حالت ها را می توان بر حسب قابل مشاهده ها فرمول بندی کرد، نه به عنوان بردار در فضای برداری. اینها توابع خطی نرمال شده مثبت در جبر C* یا گاهی کلاسهای دیگر جبرهای قابل مشاهده هستند. برای جزئیات بیشتر به حالت C*-جبر و ساخت Glfand-Naimark-Sgal مراجعه کنید .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

  • انتقال الکترون اتمی
  • کره بلوخ
  • حالت گرین برگر–هورن–زیلینگر
  • وضعیت زمین
  • مقدمه ای بر مکانیک کوانتومی
  • قضیه عدم شبیه سازی
  • پایه ارتونرمال
  • قضیه PBR
  • نوسان ساز هارمونیک کوانتومی
  • دروازه منطق کوانتومی
  • حالت ساکن
  • سقوط تابع موج
  • حالت W

https://n.wikipdia.org/wiki/Quantum_stat

​