مکانیک کوانتومی/ایده های ضروری

طبقه بندی موضوع : این یک منبع فیزیک است .

طبقه بندی نوع : این یک منبع درسی است .

مکانیک کوانتومی به طور رسمی به عنوان مجموعه ای از فرضیه های انتزاعی توصیف می شود که از طریق آنها می توان نتیجه هر اندازه گیری را در یک سیستم معین پیش بینی کرد. ما فقط مجموعه ساده شده ای از فرضیه ها را مورد بحث قرار خواهیم داد و به دنبال آن مجموعه ای بسیار استاندارد از مثال ها را بیان خواهیم کرد. فرضیه های رسمی با برخی از عوارض اضافی در درس های 8-9 آورده شده است.

فهرست

شرح سیستم کلاسیک ذرات [ ویرایش | ویرایش منبع ]

در فیزیک کلاسیک، سیستمی از ذرات N با مجموعه‌ای از موقعیت‌های N و سرعت N به عنوان تابعی از زمان توصیف می‌شود، یعنی { r 1 ( t ) ، r2 ( t )، ...، rn ( t )، v 1 ( t )، v 2 ( t )، ...، v n ( t )}.

برای مثال r 1 ( t ) موقعیت ذره 1 به عنوان تابعی از زمان و v 1 ( t ) سرعت آن است. در 3 بعد r و v می توانند بردارهایی با سه جزء در امتداد سه محور دکارتی مرجع، یعنی r 1 ( t ) = [ x 1 ( t ), y 1 ( t ), z 1 ( t )] باشند. تکامل زمانی سیستم توسط قانون نیوتن توصیف شده است $F_{x_{1}}=m_{1}a_{x_{1}}=m_{1}{\frac {dv_{x_{1}}}{dt}}$ (برای همه مختصات معتبر است). در یک سیستم محافظه کار (یعنی سیستمی بدون اصطکاک) نیروها را می توان به عنوان مشتقات تابعی به نام انرژی پتانسیل سیستم V بیان کرد . این تابع فقط به موقعیت ذرات بستگی دارد. رابطه بین انرژی پتانسیل و نیرو است $F_{x_{1}}=-{\frac {\delta V}{\delta x_{1}}}$ و باید به خاطر داشت

به طور خلاصه، برای توصیف یک سیستم کلاسیک از ذرات N شما نیاز دارید:

انرژی بالقوه
موقعیت و سرعت های اولیه

از انرژی پتانسیل می توانید نیروها و شتاب ها را محاسبه کنید. از اینها می توانید تکامل موقعیت و سرعت را با گذشت زمان مطالعه کنید.

$E_{kinetic}+E_{potential}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+V\left(x \ راست) = ثابت$ (معادل 1)

شرح یک سیستم کوانتومی ذرات [ ویرایش | ویرایش منبع ]

یک سیستم در زمان t با تابع موج ψ ( r, t ) توصیف می شود و نه با مجموعه ای از موقعیت ها و سرعت ها.

ψ ( r, t ) تابعی از بسیاری از متغیرها است: t زمان است و r بدون زیرنویس همه مختصات موقعیت ممکن را نشان می دهد. بنابراین برای سیستمی که فقط یک ذره در یک بعد دارد، ψ ( x, t ) دارید . برای یک سیستم حاوی یک ذره در 3 بعد، شما ψ ( x، y، z، t ) دارید. برای یک سیستم حاوی دو ذره در 3 بعد، شما ψ ( x 1 ، y 1 ، z 1 ، x 2 ، y 2 ، z 2 ، t ) و غیره دارید. مقادیر ψ (r, t ) می تواند مختلط باشد: فقط یک مقدار ψ ( r, t ) برای هر یک از متغیرها وجود دارد ( ψ یک تابع با ارزش واحد است). ψ ( r, t ) باید پیوسته و متغیر باشد.

تکامل زمانی تابع موج با معادله شرودینگر به دست می آید.

برای یک سیستم یک بعدی معادله شرودینگر شکل می گیرد
$i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=\left\lbrace -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right\rbrace \Psi (x,t)$

در حال حاضر، توجه به این نکته کافی است که انرژی پتانسیل V ( x ) در معادله ظاهر می شود.

احتمال یافتن یک ذره در یک موقعیت خاص x در یک زمان معین متناسب با |Ψ( x, t )| 2 .

به طور قطعی تر، احتمال یافتن یک ذره بین x و x + dx به صورت زیر داده می شود:
${\frac {|\Psi (x,t)|^{2}dx}{\int _{-\infty }^{+\infty }|\Psi (x,t)|^{2} \,dx}}$ (معادل 2)

مکانیک کوانتومی نتیجه یک اندازه گیری را پیش بینی نمی کند، بلکه احتمال آن را پیش بینی می کند. این برای اندازه‌گیری موقعیت و همچنین سایر کمیت‌های قابل اندازه‌گیری ( مشاهده‌پذیرهای نام‌گذاری شده : انرژی، تکانه، و غیره) صادق است. مقایسه اولیه بین مکانیک کلاسیک و کوانتومی در جدول زیر آورده شده است.

	مکانیک کلاسیک	مکانیک کوانتومی
تکامل زمان	مسیر (یعنی موقعیت و سرعت به عنوان تابعی از زمان) x 1 ( t )، x 2 ( t )،...، v 1 ( t )، v 2 ( t )،...	تابع موج (یعنی تابعی از همه مختصات و زمان) Ψ( x 1 , x 2 ,..., t )
اطلاعات مورد نیاز	موقعیت/سرعت اولیه در t =0 انرژی پتانسیل V ( x 1 , x 2 ,...) جرم ذرات m 1 , m 2 , ...	تابع موج اولیه در t = 0 انرژی پتانسیل V ( x 1 , x 2 ,...) جرم ذرات m 1 , m 2 , ...
موقعیت ذرات	با قطعیت شناخته شده است	به عنوان یک احتمال شناخته می شود $\|\Psi (x,t)\|^{2}$
سایر موارد قابل مشاهده	با قطعیت شناخته شده است	به عنوان یک احتمال شناخته می شود

معادله شرودینگر [ ویرایش | ویرایش منبع ]

ساختار کلی در یک بعدی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادله شرودینگر بالا را می توان به شکل فشرده تری نوشت
$i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}={\hat {H}}\Psi (x,t)$ (معادل 3)

که در آن Ĥ عملگر همیلتونی نامیده می شود :
${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V (ایکس)$ (معادل 4)

اولین جمله حاصل را عملگر انرژی جنبشی می نامند. این تا حدودی مشابه معادله 1 است که در آن انرژی کل به صورت مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل بیان می شود. شیء ریاضی Ĥ باید با انرژی کل ارتباط داشته باشد. Ĥ شامل تمام اطلاعات مورد نیاز برای توصیف یک سیستم معین است.

راه حل عمومی و نسخه مستقل از زمان [ ویرایش | ویرایش منبع ]

می‌توانیم حل معادله 3 را با فرض اینکه جواب را می‌توان به صورت Ψ( x, t )= ψ ( x ) g ( t ) ساده کرد ، یعنی به عنوان حاصلضرب تابعی از مختصات موقعیت و یک تابع. فقط مختصات زمانی با جایگزینی این معادله به معادله 3، دریافت می کنیم:
$i\hbar {\frac {\partial \psi (x)g(t)}{\partial t}}={\hat {H}}(x)\psi (x)g(t)$ (معادل 5)

که در آن Ĥ ( x ) به جای Ĥ استفاده می شود تا تاکید شود که هامیلتونی به زمان بستگی ندارد. اکنون به راحتی می توان معادله 5 را مشاهده کرد
$i\hbar \psi (x){\frac {\partial g(t)}{\partial t}}=g(t)\left\lbrack {\hat {H}}(x)\psi ( x)\right\rbrack$ (معادل 6)

و بنابراین می توانید عبارات حاوی x و آنهایی که حاوی t هستند را از هم جدا کنید :
$i\hbar {\frac {\frac {\partial g(t)}{\partial t}}{g(t)}}={\frac {\left\lbrack {\hat {H}}( x)\psi (x)\right\rbrack }{\psi (x)}}$ (معادل 7)

سمت چپ معادله 7 تنها تابعی از t است ، در حالی که سمت راست تنها تابعی از x است. تنها راهی که می توانند یکسان باشند این است که هر دو برابر با یک ثابت باشند که به عنوان E نشان می دهیم .

$i\hbar {\frac {\frac {\partial g(t)}{\partial t}}{g(t)}}\to i\hbar {\frac {\partial g(t)}{ \partial t}}=Eg(t)$ (معادل 8) بخش زمانی

${\frac {\left\lbrack {\hat {H}}(x)\psi (x)\right\rbrack }{\psi (x)}}\to {\hat {H}}(x )\psi (x)=E\psi (x)$ (معادل 9) بخش فضایی

حل بخش زمان (معادله 8) بسیار ساده است (آن را بررسی کنید!): g ( t ) = exp(- iEt / ħ ) (معادل 10) .

حل قسمت فضا (معادله 9) موضوع اصلی بقیه درس ها خواهد بود: Ĥ ( x ) = Eψ ( x ) (معادل 11) . این معادله شرودینگر مستقل از زمان نامیده می شود . این معادله به عنوان یک معادله مقدار ویژه شناخته می شود و تنها برای مجموعه ای از مقادیر گسسته E یعنی E 1 , E 2 , E 3 ,... که مقادیر ویژه معادله نامیده می شوند راه حل دارد. برای هر مقدار ویژه، به عنوان مثال E 1 ، یک تابع ویژه مربوطه وجود دارد ، به عنوان مثال ψ 1، که معادله را برآورده می کند. جواب معادله 3 را می توان به صورت زیر نوشت:
${\begin{matrix}{\hat {H}}(x)\psi _{1}(x)&=&E_{1}\psi _{1}(x)\\{\hat {H }}(x)\psi _{2}(x)&=&E_{2}\psi _{2}(x)\\\ &\cdots \ \\{\hat {H}}(x)\psi _{j}(x)&=&E_{j}\psi _{j}(x)\end{ماتریس}}$ (معادل 12)

با یادآوری اینکه جواب کلی معادله شرودینگر Ψ( x, t )= ψ ( x ) g ( t ) بود، می توانید جواب های وابسته به زمان را به صورت زیر بنویسید:
${\begin{matrix}\Psi _{1}(x,t)&=&\psi _{1}(x)\exp({\frac {-iE_{1}t}{\hbar } })\\\Psi _{2}(x,t)&=&\psi _{2}(x)\exp({\frac {-iE_{2}t}{\hbar }})\\\ &\cdots \ \\\Psi _{j}(x,t)&=&\psi _{j}(x)\exp({\frac {-iE_{j}t}{\hbar }})\ پایان{ماتریس}}$ (معادل 13)

با توجه به اینکه بخش وابسته به زمان تابع موج همیشه یکسان است، هر سیستمی را می توان به طور کامل توصیف کرد اگر ما جواب معادله شرودینگر مستقل از زمان را پیدا کنیم.

ما می توانیم مقادیر ویژه E 1 , E 2 , E 3 ,... را با انرژی سیستمی که توسط تابع موج Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... توصیف شده است شناسایی کنیم.

حالات خالص و مختلط: یک عارضه اضافی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

نه تنها Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ,... از رابطه 13 راه حل های معادله 3 هستند، بلکه هر ترکیب خطی از آنها یک راه حل است، یعنی هر عبارتی مانند
$\Psi (x,t)=C_{1}\Psi _{1}(x,t)+C_{2}\Psi _{2}(x,t)+C_{3}\Psi _ {3}(x,t)+\cdots$ (معادل 14)

$\Psi (x,t)=C_{1}\psi _{1}(x)\exp({\frac {-iE_{1}t}{\hbar }})+C_{2}\ psi _{2}(x)\exp({\frac {-iE_{2}t}{\hbar }})+C_{3}\psi _{3}(x)\exp({\frac {- iE_{3}t}{\hbar }})+\cdots$

که در آن ضرایب C 1 , C 2 , C 3 می توانند هر مقدار مختلط را بگیرند.

وقتی تابع موج وابسته به زمان فقط یک تابع ویژه از هامیلتونی را در خود داشته باشد، یعنی همه ضرایب به جز یک صفر باشند، سیستم در حالت خالص است . در غیر این صورت، اگر بیش از یک تابع ویژه در تابع موج نقش داشته باشد، سیستم در حالت مختلط است .

اگر انرژی یک حالت مختلط را اندازه گیری کنیم، نتیجه مقداری انرژی متوسط از حالت های کمک کننده نیست. چنین اندازه گیری همیشه در نتیجه یکی از مقادیر ویژه هامیلتونی E 1 , E 2 , E 3 ,... احتمال اینکه نتیجه اندازه گیری E 1 , E 2 , E 3 ,... باشد می باشد. متناسب با |C 1 |²، |C 2 |²، |C 3 |²،...، مدول مجذور ضرایب موجود در معادله 14.

خلاصه [ ویرایش | ویرایش منبع ]

بحث در مورد حالت های خالص و مختلط در بالا یکی از جنبه های مکانیک کوانتومی است که درک آن دشوارتر است و در پایان دوره به طور مفصل مورد بررسی قرار خواهد گرفت. فعلاً توجه به این نکته کافی است:

حل معادله شرودینگر مستقل از زمان Ĥψ = Eψ مهمترین و دشوارترین مرحله برای توصیف یک سیستم مکانیکی کوانتومی است.
حل معادله شرودینگر مستقل از زمان مجموعه ای گسسته از مقادیر ویژه E 1 , E 2 , E 3 ,... و توابع ویژه مربوطه است.
اگر انرژی یک سیستم را اندازه گیری کنیم، در نتیجه یکی از مقادیر ویژه هامیلتونی را به دست خواهیم آورد، یعنی به نظر می رسد که سیستم دارای سطوح انرژی گسسته است.

ما فعلاً این مسئله را کنار می گذاریم که چگونه یک سیستم در حالت خالص یا مختلط قرار می گیرد و فقط حالت های خالص را برای درس های بعدی شرح می دهیم.

ورزش

عملگر انرژی جنبشی برای یک ذره منفرد است $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$ در یک بعد، $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\جزئی y^{2}}}\راست)$ در دو بعد و $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)$ در سه بعدی اگر دو ذره وجود دارد، باید مجموع انرژی جنبشی هر ذره را بنویسید. به عنوان مثال، کل انرژی جنبشی یک ذره با جرم m 1 و یک ذره با جرم m 2 در یک بعد برابر است با $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{1}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}$ . انرژی جنبشی یک سیستم را به صورت سه بعدی حاوی یک الکترون و یک پروتون بنویسید.
محاسبه مشتقات جزئی نسبتاً ساده است. داده شده $f(x,y)=x^{2}+xy^{2}+y^{3}+2$ ، محاسبه ${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ و ${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)$ . اکنون مشتقات جزئی دوم را محاسبه کنید ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,y)$ و ${\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}f(x,y)$ .
اثبات اینکه تابع موج را می توان به یک بخش وابسته به زمان و یک بخش مستقل از زمان در مورد یک تابع همیلتونی دو مختصات فضایی Ĥ ( x, y ) تکرار کنید.