ریاضیات

تبدیل معادله شرودینگر نسبیتی [ ویرایش ]

معادله دیراک از نظر ظاهری شبیه معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد عظیم است :

سمت چپ نشان دهنده مربع عملگر تکانه تقسیم بر دو برابر جرم است که انرژی جنبشی غیر نسبیتی است. از آنجا که نسبیت به فضا و زمان به عنوان یک کل برخورد می کند، تعمیم نسبیتی این معادله مستلزم آن است که مشتقات فضا و زمان باید به طور متقارن وارد شوند، همانطور که در معادلات ماکسول که بر رفتار نور حاکم است وارد شوند - معادلات باید به طور متفاوت از یک ترتیب در فضا باشند. و زمان. در نسبیت، تکانه و انرژی ها بخش های مکان و زمان یک بردار فضا-زمان، چهار تکانه هستند ، و با رابطه نسبیتی نامتغیر به هم مرتبط هستند.

که می گوید طول این چهار بردار با جرم باقیمانده m متناسب است . جایگزینی معادل‌های عملگر انرژی و تکانه از نظریه شرودینگر، معادله کلاین-گوردون را تولید می‌کند که انتشار امواج را توصیف می‌کند، که از اجرام نسبیتی ثابت ساخته شده‌اند.

با تابع موج ϕ که یک عدد اسکالر نسبیتی است: عدد مختلطی که مقدار عددی یکسانی در همه چارچوب های مرجع دارد. مشتقات مکان و زمان هر دو به مرتبه دوم وارد می شوند. این یک پیامد گویا برای تفسیر معادله است. از آنجایی که معادله در مشتق زمان مرتبه دوم است، برای حل مسائل قطعی باید مقادیر اولیه را هم برای خود تابع موج و هم برای اولین مشتق زمانی آن مشخص کرد. از آنجایی که هر دو ممکن است کم و بیش دلخواه مشخص شوند، تابع موج نمی تواند نقش سابق خود را در تعیین چگالی احتمال یافتن الکترون در یک حالت حرکت معین حفظ کند. در نظریه شرودینگر، چگالی احتمال با عبارت قطعی مثبت داده می شود

و این چگالی با توجه به بردار جریان احتمال همرفت می شود

با پایستگی احتمال جریان و چگالی که از معادله پیوستگی به دست می آید:

این واقعیت که چگالی قطعی است و بر اساس این معادله پیوستگی جابجا می شود، بیانگر این است که می توان چگالی را در یک دامنه معین ادغام کرد و کل را 1 قرار داد و این شرط توسط قانون بقا حفظ می شود . یک نظریه نسبیتی مناسب با جریان چگالی احتمال نیز باید این ویژگی را داشته باشد. برای حفظ مفهوم چگالی همرفت، باید بیان شرودینگر چگالی و جریان را تعمیم داد تا مشتقات مکان و زمان دوباره به طور متقارن در رابطه با تابع موج اسکالر وارد شوند. عبارت شرودینگر را می توان برای جریان نگه داشت، اما چگالی احتمال باید با عبارت متقارن جایگزین شود [ توضیح بیشتر لازم است ]

که اکنون به مولفه چهارم یک بردار فضازمان تبدیل می شود و کل احتمال چگالی جریان 4 دارای بیان کوواریانس نسبیتی است.

معادله تداوم مانند قبل است. اکنون همه چیز با نسبیت سازگار است، اما بیان چگالی دیگر قطعی مثبت نیست. مقادیر اولیه ψ و ∂ t ψ ممکن است آزادانه انتخاب شوند، و بنابراین چگالی ممکن است منفی شود، چیزی که برای چگالی احتمال مشروع غیرممکن است. بنابراین، نمی‌توان تعمیم ساده‌ای از معادله شرودینگر را با این فرض ساده‌لوحانه دریافت کرد که تابع موج یک اسکالر نسبیتی است، و معادله‌ای که آن را برآورده می‌کند، مرتبه دوم در زمان است.

اگرچه تعمیم نسبیتی موفق معادله شرودینگر نیست، این معادله در زمینه نظریه میدان کوانتومی احیا شده است، جایی که به عنوان معادله کلاین-گوردون شناخته می شود و یک میدان ذره بدون اسپین را توصیف می کند (مثلاً مزون پی یا بوزون هیگز ) . . از نظر تاریخی، خود شرودینگر قبل از معادله ای که نام او را دارد به این معادله رسید اما به زودی آن را کنار گذاشت. در زمینه تئوری میدان کوانتومی، چگالی نامحدود مطابق با چگالی بار است که می تواند مثبت یا منفی باشد و نه چگالی احتمال.