معادله شرودینگر

دائماً در حال تغییر پتانسیل ها

معادله شرودینگر مستقل از زمان:

با استفاده از این معادله، تابع موج برای یک ذره در داخل یک "جعبه" با دیواره های ساخته شده از یک پتانسیل را می توان یافت. به عنوان مثال، این شامل جعبه با دیوارهای بی نهایت است: منطقه ای با پتانسیل 0، با پتانسیل نامحدود در لبه های عرض آن. معادله دیفرانسیل را می توان برای این مسئله خاص حل کرد تا تابع موج سینوسی برای حرکت ذره با تابع برابر با صفر در خارج از جعبه به دست آورد. مربع تابع موج احتمالی است که به این ترتیب می توان آن را پیدا کرد. تابع موج همچنین انرژی های در دسترس ذره را کوانتیزه می کند، زیرا باید با شش شرایط مرزی مطابقت داشته باشد. تابع موج باید محدود، تک مقداری و پیوسته باشد و مشتق آن نسبت به موقعیت نیز باید متناهی، تک مقداری و پیوسته باشد.

نمودار جعبه بی نهایت

فرآیند روی ذره در جعبه بینهایت را می توان با تغییر یک یا هر دو دیوار به دیوارهای محدود تغییر داد. دیوارها باید هنوز پتانسیل بالاتر از انرژی ذره داشته باشند تا ذره به طور کلاسیک محدود شود و انرژی کوانتیزه شود. هنگامی که دیوار پایین می آید، حتی اگر به طور کلاسیک، ذره احتمال پیدا شدن در منطقه صفر داشته باشد، احتمال یافتن ذره در خارج از دیوار به طور تصاعدی کاهش می یابد. این منجر به برخی نتیجه‌گیری‌ها می‌شود: پتانسیل ثابتی که کمتر از انرژی کل ذره است منجر به تابع موج سینوسی می‌شود و پتانسیل ثابت بالاتر از انرژی کل ذره، تابع موجی به‌طور نمایی کاهش می‌دهد.

نمودار جعبه محدود

این نتیجه گیری موجه است زیرا معادله شرودینگر را می توان برای هر پتانسیل ثابت به یکی از دیفرانسیل های زیر کاهش داد.

دیفرانسیل با مشتق دوم تابع موج برابر با ثابت منفی مجذور تابع موج به صورت یک معادله سینوسی حل می شود. دیفرانسیل با مشتق دوم تابع موج برابر با ثابت مثبت مجذور تابع موج به صورت نمایی حل می شود که برای محدود بودن تابع موج در مقادیر بزرگ x باید کاهش یابد.

بنابراین ما راه حل اساسی برای توابع موج متشکل از پتانسیل ثابت را می دانیم. برای حل کامل توابع، همچنین لازم است تابع موج عادی شود، به طوری که احتمال کل قرار گرفتن ذره در هر مکان (انتگرال تابع موج در کل طول) برابر با یک باشد. اما چگونه می توان معادله ای را با پتانسیل دائما در حال تغییر حل کرد؟ در ابتدا ممکن است به سادگی بتوان معادله پتانسیل را بر حسب x وصل کرد و معادله دیفرانسیل را حل کرد. این در واقع برای نوسانگر هارمونیک امکان پذیر است، جایی که پتانسیل تابعی از مجذور x است. متأسفانه، برای اکثر پتانسیل ها، روش تحلیلی حل دیفرانسیل از وحشتناک تا غیر ممکن است. هر معادله دیفرانسیل کاملا مستقل است، و برای حل نیاز به روش های جدیدی دارد. راه مرسوم برای حل این دیفرانسیل های دشوار توسط کامپیوتر است. نوشتن یک برنامه کامپیوتری کوتاه که بتواند معادله دیفرانسیل را بگیرد و انرژی های لازم را بیابد و تابع موج را رسم کند نسبتا آسان است. این کار با وارد کردن نقاط شروع و تغییر معادله دیفرانسیل به معادله اختلاف، با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه انجام می شود. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. نوشتن یک برنامه کامپیوتری کوتاه که بتواند معادله دیفرانسیل را بگیرد و انرژی های لازم را بیابد و تابع موج را رسم کند نسبتا آسان است. این کار با وارد کردن نقاط شروع و تغییر معادله دیفرانسیل به معادله اختلاف، با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه انجام می شود. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. نوشتن یک برنامه کامپیوتری کوتاه که بتواند معادله دیفرانسیل را بگیرد و انرژی های لازم را بیابد و تابع موج را رسم کند نسبتا آسان است. این کار با وارد کردن نقاط شروع و تغییر معادله دیفرانسیل به معادله اختلاف، با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه انجام می شود. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول.

در حالی که استفاده از رایانه برای حل همه پتانسیل‌های ممکن ممکن است، ترجیح داده می‌شود که بتوانیم با نگاه کردن به آنها پتانسیل‌های دیگر را تقریب کنیم. برای حل این مشکل ما به "گام" به خوبی نگاه می کنیم. چنین چاهی تقریباً دقیقاً شبیه چاه محدود است، با این تفاوت که پتانسیل آن در کف چاه به طور ناپیوسته مانند یک پله تغییر می کند. می دانیم که هر یک از تابع های موج در پایین چاه باید سینوسی باشد. یکی از روش های بیان تابع این است: Asin(kx + b)، که در آن A دامنه است، k ثابتی است که با پتانسیل تعیین می شود، که در یکی از معادلات بالا نشان داده شده است، x موقعیت است، و b است. یک فاز ثابت تابع موج باید پیوسته باشد. مشتق تابع موج kAcos (kx + b) است که باید پیوسته باشد. تقسیم مشتق بر k و مجذور آن،2 = (psi 2 + [d(psi)/dx] 2 / k2) از آنجایی که تابع موج و مشتق آن پیوسته هستند، در مقادیر x بی نهایت نزدیک به مکانی که پتانسیل تغییر می کند، تابع موج و مشتق آن در هر دو طرف منطقی هستند. با این حال، از آنجایی که پتانسیل در آن مکان به طور ناپیوسته افزایش می یابد، k در آن مکان کاهش می یابد. از آنجایی که k تغییر می کند، اما تابع موج یا مشتق آن تغییر نمی کند، A نیز باید تغییر کند. از آنجایی که k کاهش می یابد، A در گام به سمت بالا افزایش می یابد. این بدان معنی است که دامنه تابع موج با پتانسیل بالاتر افزایش می یابد و از آنجایی که kx در sin(kx + b) کاهش می یابد، طول موج تابع موج سینوسی نیز افزایش می یابد. با هم این بدان معناست که در گام ناپیوسته افزایش پتانسیل، تابع موج در دامنه و طول موج افزایش می یابد. این امکان تحلیل کیفی تقریباً هر پتانسیل را فراهم می کند. هر پتانسیل پیوسته در حال تغییر، مانند یک سطح شیب دار یا مثلث، را می توان با یک سری مراحل تقریب زد. هرچه عرض پله ها کمتر باشد، دقت بیشتری دارد. از این تقریب، واضح است که یک پایین چاه در حال تغییر خطی، بر اساس اصول قبلی، "طول موج" و دامنه دائمی در حال تغییر خواهد داشت. با جایگزین کردن V=cx به جای V در معادله k، می‌توانیم معادله‌ای برای k بر اساس x به دست آوریم که می‌توان آن را در معادلات برای دامنه و «طول موج» جایگزین کرد تا تقریبی برای تغییرات نامنظم آنها یافت. آ و دامنه، بر اساس اصول قبلی. با جایگزین کردن V=cx به جای V در معادله k، می‌توانیم معادله‌ای برای k بر اساس x به دست آوریم که می‌توان آن را در معادلات برای دامنه و «طول موج» جایگزین کرد تا تقریبی برای تغییرات نامنظم آنها یافت. آ و دامنه، بر اساس اصول قبلی. با جایگزین کردن V=cx به جای V در معادله k، می‌توانیم معادله‌ای برای k بر اساس x به دست آوریم که می‌توان آن را در معادلات برای دامنه و «طول موج» جایگزین کرد تا تقریبی برای تغییرات نامنظم آنها یافت. آ2 = (psi 2 + [d(psi)/dx] 2 /[2m/h 2 *(E-cx)])، و طول موج متناسب با 1/k یا h/sqrt[(2m)(E است -cx)].

کتابشناسی - فهرست کتب

منبع

https://webhome.phy.duke.edu/~kolena/modern/schrodinger