8-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 13:3

جفت حرکت زاویه ای [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جفت حرکت زاویه ای و ضرایب کلبش-گوردان

اغلب، دو یا چند نوع تکانه زاویه ای با یکدیگر تعامل دارند، به طوری که تکانه زاویه ای می تواند از یکی به دیگری منتقل شود. به عنوان مثال، در کوپلینگ اسپین-مدار ، تکانه زاویه ای می تواند بین L و S منتقل شود ، اما فقط کل J = L + S حفظ می شود. در مثالی دیگر، در یک اتم با دو الکترون، هرکدام دارای تکانه زاویه ای J 1 و J 2 هستند ، اما فقط کل J = J 1 + J 2 حفظ می شود.

در این مواقع، دانستن رابطه بین، از یک سو، مکان ها، اغلب مفید است $\left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left (J_{2}\راست)^{2}$ همه مقادیر معینی دارند و از سوی دیگر می‌گویند $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}$ همه مقادیر مشخصی دارند، زیرا چهار مورد آخر معمولاً حفظ می شوند (ثابت حرکت). روش رفت و برگشت بین این پایه ها استفاده از ضرایب کلبش-گوردان است .

یکی از نتایج مهم در این زمینه این است که یک رابطه بین اعداد کوانتومی برای، $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}$ :

$j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right), \ldots,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.$

برای یک اتم یا مولکول با J = L + S ، عبارت نماد اعداد کوانتومی مرتبط با عملگرها را نشان می دهد.،اس2، $L^{2}،S^{2}،J^{2}$ .

تکانه زاویه ای مداری در مختصات کروی [ ویرایش ]

عملگرهای تکانه زاویه ای معمولاً هنگام حل مسئله با تقارن کروی در مختصات کروی رخ می دهند . تکانه زاویه ای در نمایش فضایی [26] [27] است.

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac { \partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left( {\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }} +\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{ \partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\ partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left (\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{ هم راستا}}$

در مختصات کروی، قسمت زاویه ای عملگر لاپلاس را می توان با تکانه زاویه ای بیان کرد. این منجر به رابطه می شود

$\Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial } {\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.$

هنگام حل برای یافتن حالت های ویژه اپراتور $L^{2}$ ، موارد زیر را بدست می آوریم

${\begin{aligned}L^{2}|l,m\rangle &=\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle \\L_{z}|l,m \rangle &=\hbar m|l,m\rangle \end{تراز شده}}$ جایی که

$\left\langle \theta ,\phi |l,m\right\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )$ هارمونیک های کروی هستند . [28]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

بردار رانج-لنز (برای توصیف شکل و جهت اجسام در مدار استفاده می شود)
تبدیل هلشتاین-پریماکوف
نقشه جردن ( مدل بوزونی تکانه زاویه ای شوینگر [ 29] )
مدل برداری اتم
شبه بردار پائولی-لوبانسکی
نمودار تکانه زاویه ای (مکانیک کوانتومی)
پایه کروی
عملگر تانسور
مغناطش مداری
تکانه زاویه ای مداری الکترون های آزاد
تکانه زاویه ای مداری نور

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ در اشتقاق کاندون و شورتلی که اشتقاق فعلی بر اساس آن است، مجموعه ای از قابل مشاهده هاΓ $\ گاما$ همراه با $J^{2}$ وجی $J_{z}$ مجموعه کاملی از مشاهده پذیرهای رفت و آمد را تشکیل می دهند. علاوه بر این، آنها به آن نیاز داشتندΓ $\ گاما$ رفت و آمد با $J_{x}$ و $J_{y}$ . [13] اشتقاق فعلی با در نظر نگرفتن مجموعه ساده شده استΓ $\ گاما$ یا مجموعه ای از مقادیر ویژه مربوط به آن $\گاما$ .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی