5-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:58

تکانه زاویه ای به عنوان مولد چرخش [ ویرایش ]

همچنین ببینید: عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل

کلی ترین و اساسی ترین تعریف تکانه زاویه ای به عنوان مولد چرخش است. [6] به طور خاص، اجازه دهید $R({\hat {n}}،\phi)$ یک عملگر چرخشی باشد که هر حالت کوانتومی را حول محور بچرخاند ${\ کلاه {n}}$ توسط زاویه $\phi$ . مانند $\phi \راست فلش 0$ ، اپراتور $R({\hat {n}}،\phi)$ به عملگر هویت نزدیک می‌شود ، زیرا چرخش 0 درجه همه حالت‌ها را برای خودشان ترسیم می‌کند. سپس عملگر حرکت زاویه ایجی^ $J_{\ کلاه {n}}$ در مورد محور ${\ کلاه {n}}$ به این صورت تعریف شده است: [6]

$J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1} {\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}$

که در آن 1 عملگر همانی است . همچنین توجه داشته باشید که R یک مورفیسم افزایشی است: $R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1} \right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)$ ; در نتیجه [6]

$R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right )$ جایی که exp نمایی ماتریسی است .

به عبارت ساده تر، عملگر تکانه زاویه ای کل نحوه تغییر یک سیستم کوانتومی را هنگام چرخش مشخص می کند. رابطه بین عملگرهای تکانه زاویه ای و عملگرهای چرخشی مانند رابطه بین جبرهای لی و گروه های Lie در ریاضیات است که در ادامه بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

انواع مختلف عملگرهای چرخشی کادر بالایی دو ذره را نشان می‌دهد که حالت‌های اسپین به صورت شماتیک با فلش‌ها نشان داده شده‌اند.

عملگر R مربوط به J کل سیستم را می چرخاند.
عملگر R فضایی ، مربوط به L ، موقعیت ذرات را بدون تغییر حالت‌های اسپین داخلی آنها می‌چرخاند.
عملگر R داخلی ، مربوط به S ، حالات اسپین داخلی ذرات را بدون تغییر موقعیت آنها می چرخاند.

همانطور که J مولد عملگرهای چرخشی است ، L و S نیز مولدهای عملگرهای چرخش جزئی اصلاح شده هستند. اپراتور

$R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}} {\hbar }}\راست)،$

موقعیت (در فضا) همه ذرات و میدان‌ها را می‌چرخاند، بدون اینکه حالت داخلی (اسپین) هیچ ذره‌ای را بچرخاند. به همین ترتیب، اپراتور

$R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}} {\hbar }}\راست)،$ حالت داخلی (اسپین) همه ذرات را بدون حرکت دادن هیچ ذره یا میدانی در فضا می چرخاند. رابطه J = L + S از:

$R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{ فضایی}}\left({\hat {n}},\phi \right)$

یعنی اگر موقعیت‌ها چرخانده شوند، و سپس حالت‌های داخلی چرخانده شوند، در کل سیستم کامل چرخیده است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی