7-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 13:3

ارتباط با نظریه نمایش[ ویرایش ]

مقالات اصلی: فیزیک ذرات و نظریه نمایش ، نظریه نمایشSU(2) و گروه چرخش SO(3) § یادداشتی در مورد جبرهای لی

شروع با یک حالت کوانتومی خاص $|\psi _{0}\rangle$ ، مجموعه ایالت ها را در نظر بگیرید $R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle$ برای همه ممکن ${\ کلاه {n}}$ و $\phi$ ، یعنی مجموعه حالت هایی که از چرخش حالت شروع به هر شکل ممکن به وجود می آیند. گستره خطی آن مجموعه یک فضای برداری است ، و بنابراین شیوه ای که عملگرهای چرخشی یک حالت را به حالت دیگر نشان می دهند، نمایشی از گروه عملگرهای چرخش است.

وقتی عملگرهای چرخشی روی حالت‌های کوانتومی عمل می‌کنند، نمایشی از گروه Lie SU(2) (برای R و R داخلی )، یا SO(3) (برای R فضایی ) را تشکیل می‌دهد .

از رابطه بین J و عملگرهای چرخشی،

هنگامی که عملگرهای تکانه زاویه ای بر روی حالت های کوانتومی عمل می کنند، نمایشی از جبر لی را تشکیل می دهد. ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {so}}(3)$ .

(جبرهای Lie SU(2) و SO(3) یکسان هستند.)

اشتقاق عملگر نردبانی در بالا روشی برای طبقه بندی نمایش های جبر لی SU(2) است.

اتصال به روابط جابجاکر [ ویرایش ]

چرخش های کلاسیک با یکدیگر جابه جا نمی شوند: برای مثال، چرخش 1 درجه حول محور x و سپس 1 درجه حول محور y ، چرخش کلی کمی متفاوت از چرخش 1 درجه حول محور y و سپس 1 درجه حول محور x می دهد . محور. با تجزیه و تحلیل دقیق این عدم تعویض، روابط جابجاکر عملگرهای تکانه زاویه ای را می توان استخراج کرد. [6]

(همین روش محاسباتی یکی از راه‌های پاسخ به سؤال ریاضی « جبر لی گروه‌های لی SO(3) یا SU(2) چیست ؟» است.)

حفظ تکانه زاویه ای [ ویرایش ]

H همیلتونی انرژی و دینامیک سیستم را نشان می دهد. در یک موقعیت کروی متقارن، همیلتونین تحت چرخش ثابت است:

$RHR^{-1}=H$ که در آن R یک عملگر چرخشی است . به عنوان یک نتیجه، $[H,R]=0$ ، و سپس $[H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0}$ به دلیل رابطه بین J و R. با قضیه Ehrenfest ، نتیجه می شود که J حفظ شده است.

به طور خلاصه، اگر H از نظر چرخشی ثابت باشد (از نظر کروی متقارن)، آنگاه تکانه زاویه ای کل J حفظ می شود. این مثالی از قضیه نوتر است .

اگر H فقط همیلتون برای یک ذره باشد، تکانه زاویه ای کل آن یک ذره زمانی که ذره در یک پتانسیل مرکزی قرار دارد حفظ می شود (یعنی زمانی که تابع انرژی پتانسیل فقط به $\left|\mathbf {r} \راست|$ ). از طرف دیگر، H ممکن است همیلتونی همه ذرات و میدان‌های جهان باشد، و سپس H همیشه از نظر چرخشی ثابت است ، زیرا قوانین اساسی فیزیک جهان بدون توجه به جهت‌گیری یکسان هستند. این مبنایی است برای اینکه بگوییم پایستگی تکانه زاویه ای یک اصل کلی فیزیک است.

برای یک ذره بدون اسپین، J = L ، بنابراین تکانه زاویه ای مداری در شرایط مشابه حفظ می شود. هنگامی که اسپین غیر صفر است، برهمکنش اسپین-مدار اجازه می دهد تا تکانه زاویه ای از L به S یا عقب منتقل شود. بنابراین، L به تنهایی حفظ نمی شود.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی