3-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:54

اشتقاق با استفاده از عملگرهای نردبانی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپراتور نردبان § تکانه زاویه ای

یک راه متداول برای استخراج قوانین کوانتیزاسیون فوق، روش عملگرهای نردبانی است . [12] عملگرهای نردبان برای کل تکانه زاویه ای $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\راست)$ به این صورت تعریف می شوند:

${\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}$

فرض کنید $|\psi \rangle$ یک حالت ویژه همزمان از $J^{2}$ و $J_{z}$ (یعنی حالتی با مقدار مشخص برای $J^{2}$ و یک مقدار مشخص برای $J_{z}$ ). سپس با استفاده از روابط جابجاکر برای اجزای $\mathbf {J}$ ، می توان ثابت کرد که هر یک از حالا $J_{+}|\psi \rangle$ و $J_{-}|\psi \rangle$ یا صفر است یا یک حالت ویژه همزمان از $J^{2}$ و $J_{z}$ ، با همان مقدار $|\psi \rangle$ برای $J^{2}$ اما با مقادیر برای $J_{z}$ که افزایش یا کاهش می یابد $\hbar$ به ترتیب. در صورتی که استفاده از عملگر نردبان حالتی با مقدار برای را ایجاد کند، نتیجه صفر است $J_{z}$ که خارج از محدوده مجاز است. با استفاده از عملگرهای نردبانی در این روش، مقادیر ممکن و اعداد کوانتومی برای $J^{2}$ و $J_{z}$ را می توان یافت.

استخراج مقادیر ممکن و اعداد کوانتومی برای $J_{z}$ و $J^{2}$ . [13]

اجازه دهید $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ یک تابع حالت برای سیستم با مقدار ویژه باشد" ${J^{2}}'$ برای $J^{2}$ و ارزش ویژه" $J_{z}'$ برای $J_{z}$ . [یادداشت 1]

از جانب $J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ به دست آمده است،

$J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.$ اعمال هر دو طرف معادله بالا به $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ ،

$(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}} '-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$ از آنجا که $J_{x}$ و $J_{y}$ قابل مشاهده واقعی هستند، ${J^{2}}'-J_{z}'^{2}$ منفی نیست و ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ . بدین ترتیب" $J_{z}'$ دارای کران بالا و پایین است.

دو تا از روابط جابجاکر برای اجزای $\mathbf{J}$ هستند،

$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.$ آنها را می توان برای به دست آوردن دو معادله ترکیب کرد که با استفاده از آنها با هم نوشته می شوند± $\pm$ نشانه های زیر،

${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )$ جایی که یکی از معادلات از+ $+$ نشانه ها و دیگری استفاده می کند- $-$ نشانه ها اعمال هر دو طرف بالا به $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ ،

${\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x }\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \ hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{تراز شده}}$ موارد فوق نشان می دهد که $(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ دو تابع ویژه از $J_{z}$ با مقادیر ویژه مربوطه ${J_{z}}'\pm \hbar$ ، مگر اینکه یکی از توابع صفر باشد که در این صورت یک تابع ویژه نیست. برای توابعی که صفر نیستند،

$\psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}' J_{z}').$ توابع ویژه بیشتر از $J_{z}$ و مقادیر ویژه مربوطه را می توان با اعمال مکرر پیدا کرد $J_{x}\pm iJ_{y}$ تا زمانی که بزرگی مقدار ویژه حاصله باشد" $\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}$ . از آنجایی که مقادیر ویژه از $J_{z}$ محدود هستند، اجازه دهید $J_{z}^{0}$ کمترین مقدار ویژه باشد و $J_{z}^{1}$ بالاترین باشد سپس

$(J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0$ و

$(J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0،$ از آنجایی که هیچ حالتی وجود ندارد که مقدار ویژه از $J_{z}$ است $<J_{z}^{0}$ یا $>J_{z}^{1}$ . با استفاده از $(J_{x}+iJ_{y})$ به معادله اول، $(J_{x}-iJ_{y})$ به دوم، و با استفاده از $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}$ ، می توان نشان داد که

${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ و

${J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.$ کم کردن معادله اول از دومی و تنظیم مجدد

$(J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.$ از آنجا که $J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}$ ، عامل دوم منفی است. سپس فاکتور اول باید صفر باشد و بنابراین $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ .

تفاوت $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}$ ناشی از کاربرد پی در $J_{x}-iJ_{y}$ یا $J_{x}+iJ_{y}$ که مقدار ویژه را کاهش یا افزایش می دهند $J_{z}$ توسط $\hbar$ به طوری که،

$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots$ اجازه دهید

$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,$ جایی که

$j=0،{\tfrac {1}{2}}،1،{\tfrac {3}{2}}،\dots \;.$ سپس با استفاده از $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ و موارد فوق،

$J_{z}^{0}=-j\hbar$ و

$J_{z}^{1}=j\hbar ,$ و مقادیر ویژه مجاز ازجی $J_{z}$ هستند

$J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .$ بیان کننده $J_{z}'$ بر حسب یک عدد کوانتوم $m_{j}\;$ ، و جایگزین کردن $J_{z}^{0}=-j\hbar$ به ${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ از بالا،

${\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^ {2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \ ;.\end{تراز شده}}$

از آنجا که $\mathbf {S}$ و $\mathbf {L}$ روابط جابجاکر مشابهی دارند $\mathbf {J}$ ، همان تجزیه و تحلیل نردبان را می توان برای آنها اعمال کرد، با این تفاوت که برای $\mathbf {L}$ محدودیت بیشتری در مورد اعداد کوانتومی وجود دارد که آنها باید اعداد صحیح باشند.

مشتق سنتی محدودیت به اعداد کوانتومی صحیح برای $L_{z}$ و $L^{2}$ . [14]

در نمایش شرودینگر، مولفه z عملگر تکانه زاویه ای مداری را می توان در مختصات کروی به صورت [15] بیان کرد.

$L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.$ برای $L_{z}$ و عملکرد ویژه $\psi$ با ارزش ویژه" $L_{z}'$ ،

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .$ حل کردن برای $\psi$ ،

$\psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar }،$ جایی که $آ$ مستقل از $\phi$ . از آنجا که $\psi$ لازم است تک ارزش گذاری شود و افزوده شود2 $2\pi$ به $\phi$ منجر به مختصاتی برای همان نقطه در فضا می شود،

${\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar }،\\e^ {iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{تراز شده}}$ حل برای مقدار ویژه" $L_{z}'$ ،

$L_{z}'=m_{l}\hbar \;,$ جایی که $m_{l}$ یک عدد صحیح است. [16] از مطالب فوق و رابطه ℓ=-ℓ،(-ℓ+1)،…،(ℓ-1)،ℓ $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \\$ ، نتیجه می شود که $\ خوب$ نیز یک عدد صحیح است. این نشان می دهد که اعداد کوانتوم $m_{\ell }$ وℓ $\ خوب$ برای تکانه زاویه ای مداری $\mathbf {L}$ بر خلاف اعداد کوانتومی برای کل تکانه زاویه ای به اعداد صحیح محدود می شوند $\mathbf {J}$ و بچرخ $\mathbf {S}$ ، که می تواند مقادیر نیمه صحیح داشته باشد. [17]

یک مشتق جایگزین که توابع موج تک ارزشی را فرض نمی‌کند در ادامه آمده است و آرگومان دیگری با استفاده از گروه‌های Lie در زیر آمده است .

مشتق جایگزین محدودیت به اعداد کوانتومی صحیح برای $L_{z}$ و $L^{2}$

بخش کلیدی مشتق سنتی بالا این است که تابع موج باید تک مقداری باشد. در حال حاضر توسط بسیاری تشخیص داده می شود که کاملاً صحیح نیست: یک تابع موج $\psi$ قابل مشاهده نیست و فقط چگالی احتمال است∗ $\psi ^{*}\psi$ باید تک ارزشی باشد. توابع موج نیمه صحیح دو مقدار ممکن، چگالی احتمال تک مقداری دارند. [18] این توسط Pauli در سال 1939 به رسمیت شناخته شد (به نقل از Japaridze و همکاران [19] ).

... هیچ استدلال قانع کننده پیشینی وجود ندارد که بگوید توابع موجی که برخی از حالات فیزیکی را توصیف می کنند باید توابع تک مقدار باشند. برای اینکه کمیت‌های فیزیکی که با مربع توابع موج بیان می‌شوند، تک مقدار باشند، کافی است که پس از حرکت در اطراف یک کانتور بسته، این توابع یک ضریب exp(iα) بدست آورند.

توابع موج دو مقدار پیدا شده است، مانند⁡ $\left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1} {2}}\تتا$ و $\left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac { 1}{2}}\تتا$ . [20] [21] اینها در زیر عملگرهای نردبانی رفتار خوبی ندارند، اما مشخص شده است که در توصیف ذرات کوانتومی صلب مفید هستند [22]

Ballentine [23] استدلالی را ارائه می دهد که صرفاً بر اساس فرمالیسم عملگر است و به تک مقدار بودن تابع موج متکی نیست. تکانه زاویه ای آزیموتال به صورت تعریف می شود

$L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}$ تعریف اپراتورهای جدید

${\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x }-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}& ={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{تراز شده}}$

(صحت ابعاد ممکن است با درج فاکتورهای جرم و واحد فرکانس زاویه ای به صورت عددی برابر با یک حفظ شود.) سپس

$L_{z}={\frac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\frac {1}{2 }}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$

اما دو عبارت سمت راست فقط همیلتون ها برای نوسان ساز هارمونیک کوانتومی با واحد جرم و فرکانس زاویه ای هستند.

${\begin{aligned}H_{1}&={\frac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\ H_{2}&={\frac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{تراز شده}}$

و $L^{2}$ ، $L_{z}$ ، $H_{1}$ و $H_{2}$ همه رفت و آمد می کنند

برای رفت و آمد عملگرهای هرمیتی می توان مجموعه کاملی از بردارهای پایه را انتخاب کرد که بردارهای ویژه برای هر چهار عملگر هستند. (استدلال گلوریوزو [24] را می توان به راحتی به هر تعداد از اپراتورهای رفت و آمد تعمیم داد.)

برای هر یک از این بردارهای ویژه $\psi$ با

${\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar \ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1 }\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+ {\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{تراز شده}}$

برای برخی از اعداد صحیح1، $n_{1},n_{2}$ ، ما پیدا می کنیم

$m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_ {1}-n_{2}$

به عنوان اختلاف دو عدد صحیح، $متر$ باید یک عدد صحیح باشد که از آن $\ خوب$ نیز جدایی ناپذیر است.

نسخه پیچیده تری از این استدلال با استفاده از عملگرهای نردبانی نوسانگر هارمونیک کوانتومی توسط بوچدال ارائه شده است. [25]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی