کودتای دیراک 6

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:26

کودتای دیراک [ ویرایش ]f

بنابراین دیراک فکر کرد معادله ای را امتحان کند که هم در مکان و هم در زمان مرتبه اول باشد . برای مثال، می‌توان به طور رسمی (یعنی با سوء استفاده از نماد ) عبارت نسبیتی را برای انرژی در نظر گرفت

$E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,$

p را با معادل عملگر آن جایگزین کنید ، ریشه دوم را در یک سری نامتناهی از عملگرهای مشتق بسط دهید، یک مسئله مقدار ویژه تنظیم کنید، سپس معادله را به طور رسمی با تکرار حل کنید. اکثر فیزیکدانان به چنین فرآیندی اعتقاد کمی داشتند، حتی اگر از نظر فنی امکان پذیر باشد.

همانطور که داستان پیش می‌رود، دیراک به شومینه کمبریج خیره شده بود و به این مشکل فکر می‌کرد، که به این فکر افتاد که ریشه دوم عملگر موج را بگیرد:

$\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A \جزئی _{x}+B\جزئی _{y}+C\جزئی _{z}+{\frac {i}{c}}D\جزئی _{t}\راست)\چپ(A\جزئی _ {x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.$

با ضرب در سمت راست، آشکار است که برای ناپدید شدن تمام عبارات متقاطع مانند ∂ x ∂ y ، باید فرض کرد

$AB+BA=0,~\ldots ~$

با

$A^{2}=B^{2}=\dots =1~.$

دیراک که در آن زمان به شدت درگیر کارکردن مبانی مکانیک ماتریس هایزنبرگ بود، فوراً فهمید که اگر A ، B ، C و D ماتریس‌هایی باشند ، می‌توان این شرایط را برآورده کرد ، با این مفهوم که تابع موج دارای چندین مؤلفه است . این بلافاصله ظهور توابع موج دو جزئی را در نظریه پدیدارشناسی اسپین پائولی توضیح داد ، چیزی که تا آن زمان حتی برای خود پائولی مرموز تلقی می شد. با این حال، برای راه‌اندازی یک سیستم با ویژگی‌های مورد نیاز، حداقل به ماتریس‌های ۴×۴ نیاز است - بنابراین تابع موج دارای چهار ماتریس بود.مؤلفه‌ها، نه دو تا، مانند نظریه پائولی، یا یک، مانند نظریه شرودینگر. تابع موج چهار جزئی نشان دهنده کلاس جدیدی از شیء ریاضی در تئوری های فیزیکی است که برای اولین بار در اینجا ظاهر می شود.

با توجه به فاکتورگیری بر حسب این ماتریس ها، اکنون می توان بلافاصله یک معادله را یادداشت کرد

$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right) \psi =\kappa \psi$

با $\کاپا$ تعیین شود. با اعمال مجدد عملگر ماتریس در هر دو طرف نتیجه می شود

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\ psi ~.$

گرفتن

$\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ نشان می دهد که تمام اجزای تابع موج به صورت جداگانه رابطه نسبیتی انرژی - تکانه را برآورده می کنند. بنابراین معادله جستجو شده که هم در مکان و هم در زمان مرتبه اول است

$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\ frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.$

تنظیمات

$A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\ ,D=\بتا ~,$

و چون

$D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}$ ، معادله دیراک همانطور که در بالا نوشته شد تولید می شود.

شکل کوواریانت و عدم تغییر نسبیتی [ ویرایش ]

برای نشان دادن تغییر ناپذیری نسبیتی معادله، سودمند است که آن را به شکلی درآوریم که در آن مشتقات مکانی و زمانی در یک موقعیت مساوی ظاهر شوند. ماتریس های جدید به شرح زیر معرفی می شوند:

${\begin{aligned}D&=\gamma ^{0},\\A&=i\gamma ^{1},\quad B=i\gamma ^{2},\quad C=i\gamma ^ {3}،\end{تراز شده}}$

و معادله شکل می گیرد (با یادآوری تعریف مولفه های کوواریانت 4-gradient و به خصوص اینکه

∂ 0 =1/ج∂ t )

معادله دیراک

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0$

که در آن یک جمع ضمنی بر روی مقادیر شاخص دو بار تکرار شده μ = 0، 1، 2، 3 وجود دارد و ∂ μ گرادیان 4 است. در عمل اغلب ماتریس های گاما را بر حسب ماتریس های 2×2 فرعی برگرفته از ماتریس های پائولی و ماتریس هویت 2×2 می نویسند . صراحتاً نمایندگی استاندارد است

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix }0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\- \sigma _{y}&0\end{pmatrix}}،\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{pmatrix }}.$

سیستم کامل با استفاده از متریک مینکوفسکی در فضازمان در فرم خلاصه شده است

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$

جایی که عبارت براکت

$\{a,b\}=ab+ba$

نشان دهنده ضد جابجایی است . اینها روابط تعیین کننده یک جبر کلیفورد بر روی یک فضای 4 بعدی متعامد شبه با امضای متریک (+ - - - -) هستند . جبر خاص کلیفورد که در معادله دیراک استفاده می شود امروزه به نام جبر دیراک شناخته می شود . اگر چه دیراک در زمان فرمول‌بندی معادله آن را به عنوان چنین تشخیص نمی‌دهد، با نگاهی به گذشته، معرفی این جبر هندسی نشان‌دهنده یک گام بزرگ رو به جلو در توسعه نظریه کوانتومی است.

معادله دیراک اکنون ممکن است به عنوان یک معادله مقدار ویژه تفسیر شود ، که در آن جرم سکون متناسب با مقدار ویژه عملگر 4 تکانه است ، ثابت تناسب سرعت نور است:

$P_{\text{op}}\psi =mc\psi \,.$

استفاده كردن

${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ (∂/ ${\جزئی \!\!\!{\بزرگ /}}$ "d-slash" تلفظ می شود)، [6] با توجه به نماد اسلش فاینمن، معادله دیراک تبدیل به:

$i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0\,.$

در عمل، فیزیکدانان اغلب از واحدهای اندازه گیری استفاده می کنند به طوری که ħ = c = 1 که به عنوان واحدهای طبیعی شناخته می شود . سپس معادله به شکل ساده در می آید

معادله دیراک (واحدهای طبیعی)

$(i{\partial \!\!\!{\big /}-m)\psi =0$

یک قضیه اساسی بیان می کند که اگر دو مجموعه مجزا از ماتریس ها داده شود که هر دو روابط کلیفورد را برآورده می کنند، آنگاه آنها با یک تبدیل تشابه به یکدیگر متصل می شوند :

Pp $\gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S\,.$

اگر علاوه بر این، ماتریس ها همگی واحد باشند ، همانطور که مجموعه دیراک هم هستند، S خود واحد است .

$\gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\,.$

تبدیل U تا یک ضریب ضربی قدر مطلق 1 منحصر به فرد است. اجازه دهید اکنون یک تبدیل لورنتس را تصور کنیم که بر روی مختصات مکان و زمان، و بر روی عملگرهای مشتق، که یک بردار کوواریانت را تشکیل می‌دهند، انجام شده است. برای عملگر γ μ ∂ μبرای ثابت ماندن، گاماها باید در بین خود به عنوان یک بردار متناقض با توجه به شاخص فضا-زمان خود تبدیل شوند. این گامای جدید به دلیل متعامد بودن تبدیل لورنتس، خود روابط کلیفورد را برآورده خواهند کرد. بر اساس قضیه بنیادی، می توان مجموعه جدید را با مجموعه قدیمی که تحت یک تبدیل واحد قرار دارد جایگزین کرد. در فریم جدید، با یادآوری اینکه جرم سکون یک اسکالر نسبیتی است، معادله دیراک شکل خواهد گرفت.

${\begin{aligned}\left(iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi \left(x^ {\prime },t^{\prime }\right)&=0\\U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U \psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\,.\end{aligned}}$

اگر اسپینور تبدیل شده به صورت تعریف شده باشد

$\psi ^{\prime }=U\psi$

سپس معادله دیراک تبدیل شده به روشی تولید می شود که عدم تغییر نسبیتی آشکار را نشان می دهد :

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi ^{\prime }\left(x^{\prime },t^ {\prime }\right)=0\,.$

بنابراین، تعیین هر نمایش واحدی از گاما نهایی است، مشروط بر اینکه اسپینور مطابق تبدیل واحدی که با تبدیل لورنتز مطابقت دارد، تبدیل شود.

نمایش های مختلف ماتریس های دیراک به کار گرفته شده، جنبه های خاصی از محتوای فیزیکی در تابع موج دیراک را مورد توجه قرار می دهد. نمایشی که در اینجا نشان داده شده است به عنوان نمایش استاندارد شناخته می شود - در آن، دو جزء بالایی تابع موج به تابع موج اسپینور 2 پائولی در حد انرژی های کم و سرعت های کوچک در مقایسه با نور می روند.

ملاحظات بالا منشأ گاماها را در هندسه نشان می‌دهد و به انگیزه اصلی گراسمن گوش می‌دهد. آنها یک مبنای ثابت از بردارهای واحد در فضازمان را نشان می دهند. به طور مشابه، محصولات گاما مانند γ μ γ ν نشان دهنده عناصر سطح جهت دار و غیره هستند. با در نظر گرفتن این موضوع، می توان شکل عنصر حجم واحد را در فضازمان بر حسب گاما به صورت زیر یافت. طبق تعریف، اینطور است

$V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha } \گاما ^{\بتا }.$

برای اینکه این یک تغییر ناپذیر باشد، نماد اپسیلون باید یک تانسور باشد ، و بنابراین باید دارای ضریب √ g باشد ، جایی که g تعیین کننده تانسور متریک است . از آنجایی که این منفی است، آن عامل خیالی است . بدین ترتیب

$V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.$

به این ماتریس به دلیل اهمیت آن در هنگام در نظر گرفتن تبدیل‌های نامناسب فضا-زمان، یعنی آنهایی که جهت بردارهای پایه را تغییر می‌دهند، نماد ویژه γ5 داده می‌شود. در نمایندگی استاندارد، این است

$\gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

این ماتریس همچنین برای مقابله با چهار ماتریس Dirac دیگر پیدا می شود:

$\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0$

هنگامی که سؤالات برابری مطرح می شود ، نقش اصلی را ایفا می کند زیرا عنصر حجم به عنوان یک قدر جهت دار علامت را تحت بازتاب فضا-زمان تغییر می دهد. بنابراین، گرفتن جذر مثبت در بالا به معنای انتخاب یک قرارداد دستی در فضازمان است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

کودتای دیراک 6

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین