1-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:8

هدف ما یافتن آنالوگ معادله شرودینگر برای یک دوم ذرات اسپین نسبیتی است، با این حال، باید توجه داشته باشیم که حتی در معادله شرودینگر، برهمکنش میدان با اسپین نسبتاً موردی بود. هیچ توضیحی در مورد نسبت ژیرو مغناطیسی 2 وجود نداشت. می‌توان با استفاده از شرودینگر-پائولی همیلتونی که شامل حاصل ضرب نقطه‌ای ماتریس‌های پائولی با عملگر تکانه است، اسپین را در معادله غیرنسبیتی وارد کرد .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H={1\over 2m}\left(\vec{\sigma}\cdot[\ve... ...{e\over c}\vec{A }(\vec{r},t)]\right)^2-e\phi(\vec{r},t) \egroup\end{displaymath}$

یک محاسبه کوچک نشان می دهد که این تعامل صحیح با اسپین را نشان می دهد.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H={1\over 2m}[\vec{p}+{e\over c}\vec{A}(... ...t)+{e \hbar\بیش از 2mc}\vec{\sigma}\cdot\vec{B}(\vec{r},t) \egroup\end{displaymath}$

این هامیلتونی روی یک اسپینور دو جزئی عمل می کند.

ما می توانیم این مفهوم را به استفاده از معادله انرژی نسبیتی گسترش دهیم . ایده جایگزینی $\bgroup\color{black}$\vec{p}$\egroup$ با معادله انرژی نسبیتی است. $\bgroup\color{black}$\vec{\sigma}\cdot\vec{p}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \left({E\over c}\right)^2-p^2=(mc)^2 \\ \left({E\over c}-\vec... ... 0}-i\hbar\vec{\sigma}\cdot\vec{\nabla}\right)\phi=(mc)^2\phi \\ \end{eqnarray*}$

به جای معادله ای که در مشتق زمانی مرتبه دوم است، می توانیم با گسترش این معادله به چهار جزء، یک معادله مرتبه اول مانند معادله شرودینگر بسازیم.

$\begin{eqnarray*} \phi^{(L)}&=&\phi \\ \phi^{(R)}&=&{1\over mc}\left(i\hbar{\pa... ...al x_0}-i\hbar\vec{\sigma}\cdot\vec{\nabla}\right)\phi^{(L)} \\ \end{eqnarray*}$

حال با بازنویسی بر حسب و و مرتب کردن آن به عنوان یک معادله ماتریسی، معادله ای به دست می آید که می توان آن را به صورت ضرب نقطه ای بین 4 بردار نوشت. $\bgroup\color{black}$\psi_A=\phi^{(R)}+\phi^{(L)}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\psi_B=\phi^{(R)}-\phi^{(L)}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \pmatrix{-i\hbar{\partial\over\partial x_0} & -i\hbar\vec{\sig... ...] =\hbar\left[\gamma_\mu{ \جزئی\ بیش از x_\mu}\راست] \\ \پایان{eqnarray*}$

ماتریس های 4 در 4 را تعریف کنید $\bgroup\color{black}$\gamma_\mu$\egroup$ .

$\begin{eqnarray*} \gamma_i&=&\pmatrix{0 & -i\sigma_i \cr i\sigma_i & 0 \cr} \\ \gamma_4&=&\pmatrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr} \\ \پایان{eqnarray*}$

با این تعریف، معادله نسبیتی را می توان تا حد زیادی ساده کرد

$\begin{eqnarray*} \left(\gamma_\mu{\partial\over\partial x_\mu}+{mc\over\hbar}\right)\psi=0 \\ \end{eqnarray*}$

که در آن ماتریس های گاما توسط

$\bgroup\color{black}$\gamma_1=\pmatrix{0 & 0 & 0 & -i \cr 0 & 0 & -i & 0 \cr 0 & I & 0 & 0 \cr i & 0 & 0 & 0 \cr}$\egroup$

$\bgroup\color{black}$\gamma_2=\pmatrix{0 & 0 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr -1 & 0 & 0 & 0 \cr}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\gamma_3=\pmatrix{0 & 0 & -i & 0 \cr 0 & 0 & 0 & i \cr i & 0 & 0 & 0 \cr 0 & -i & 0 & 0 \cr}$\egroup$

و آنها روابط ضد تخفیف را برآورده می کنند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \{\gamma_\mu,\gamma_\nu\}=2\delta_{\mu\nu} \egroup\end{displaymath}$

در واقع هر مجموعه ای از ماتریس هایی که روابط ضد جابجایی را برآورده کند، نتایج فیزیک معادلی را به همراه خواهد داشت، با این حال، ما در نمایش صریح بالا از ماتریس های گاما کار خواهیم کرد.

تعریف کردن ، $\bgroup\color{black}$\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma_4$\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}j_\mu=ic\bar{\psi}\gamma_\mu\psi \egroup\end{displaymath}$

معادله یک جریان 4 بردار حفظ شده را برآورده می کند

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {\partial\over\partial x_\mu}j_\mu=0 \egroup\end{displaymath}$

و همچنین مانند یک 4 بردار تبدیل می شود. جزء چهارم بردار نشان می دهد که چگالی احتمال برابر است . این نشان می دهد که عادی سازی حالت شامل هر چهار جزء اسپینورهای دیراک می شود. $\bgroup\color{black}$\psi^\dagger\psi$\egroup$

برای الکترون های غیر نسبیتی، دو جزء اول اسپینور دیراک بزرگ و دو جزء آخر کوچک هستند.

$\begin{eqnarray*} \psi=\pmatrix{\psi_A\cr \psi_B} \\ \psi_B \approx {c\over 2mc... ...p}+{e\over c}\vec{A} \right)\psi_A\approx{pc\over 2mc^2}\psi_A\\ \end{eqnarray*}$

ما از این واقعیت برای نوشتن یک معادله تقریبی دو جزئی مشتق شده از معادله دیراک در حد غیر نسبیتی استفاده می کنیم.

$\begin{eqnarray*} \left({p^2\over 2m}-{Ze^2\over 4\pi r}-{p^4\over 8m^3c^2}+{Ze^... . ..^2\بیش از 8m^2c^2}\delta^3(\vec{r})\right)\psi &=&E^{(NR)}\psi \\ \end{eqnarray*}$

این «معادله شرودینگر» که از معادله دیراک گرفته شده است ، به خوبی با معادله ای که برای درک ساختار ظریف هیدروژن استفاده کردیم، مطابقت دارد. دو عبارت اول عبارت های انرژی جنبشی و پتانسیل برای هیدروژن همیلتونین آشفته نشده است. عبارت سوم تصحیح نسبیتی انرژی جنبشی است . چهارمین عبارت، برهمکنش صحیح چرخش-مدار است ، از جمله اثر توماس پرسیون که وقتی ساختار ظریف NR را انجام دادیم، برای درک آن وقت صرف نکردیم. جمله پنجم اصطلاح داروینی است که گفتیم از معادله دیراک می آید. و اکنون دارد.

برای یک ذره آزاد، هر جزء از اسپینور دیراک معادله کلاین-گوردون را برآورده می کند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi_{\vec{p}}=u_{\vec{p}}e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et) /\hbar} \egroup\end{displaymath}$

این با رابطه انرژی نسبیتی سازگار است.

چهار راه حل نرمال شده برای یک ذره دیراک در حالت سکون عبارتند از.

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}=\psi_{E=+mc^2,+\hbar/2}&=&{1\over\sqrt{V}}\pmatrix{... ...\over\sqrt{V}}\pmatrix{0\cr 0\cr 0\cr 1\cr}e^{+imc^2t/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

اولی و سومی به سمت بالا می چرخند در حالی که دومی و چهارمی به پایین می چرخند. اول و دوم راه حل های انرژی مثبت هستند در حالی که سوم و چهارم "راه حل های انرژی منفی" هستند که هنوز باید آنها را درک کنیم.

قدم بعدی یافتن راه حل ها با شتاب مشخص است. چهار راه حل موج صفحه معادله دیراک عبارتند از

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi^{(r)}_{\vec{p}}\equiv \sqrt{mc^2\ov... ... V}u^{( r)}_{\vec{p}}e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

جایی که چهار اسپینور توسط داده می شود.

$\begin{eqnarray*} u^{(1)}_{\vec{p}}=\sqrt{E+mc^2\over 2mc^2}\pmatrix{1\cr 0\cr {... . .._x-ip_y)c\over -E+mc^2}\cr {p_zc\over -E+mc^2}\cr 0\cr 1\cr} \\ \end{eqnarray*}$

$\bgroup\color{black}$E$\egroup$ برای جواب های 1 و 2 مثبت و برای جواب های 3 و 4 منفی است. اسپینورها متعامد هستند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} u^{(r)\dagger}_{\vec{p}} u^{(r')}_{\vec{p}}={\vert E \vert\over mc^2}\delta_{rr'} \egroup\end{displaymath}$

و ثابت های نرمال سازی به گونه ای تنظیم شده اند که حالت ها به درستی نرمال شوند و اسپینورها از قرارداد ذکر شده در بالا پیروی می کنند و نرمال سازی متناسب با انرژی است.

راه حل ها به طور کلی حالت های ویژه هیچ یک از اجزای اسپین نیستند، بلکه حالت های ویژه مارپیچی هستند ، جزء اسپین در امتداد جهت تکانه.

توجه داشته باشید که در $\bgroup\color{black}$E$\egroup$ حالت منفی، نمایی دارای سرعت فاز، سرعت گروه و شار احتمال است که همه در جهت مخالف تکانه همانطور که ما آن را تعریف کردیم، دارد. این به وضوح معنی ندارد. راه حل های 3 و 4 باید به گونه ای درک شوند که عملگرهای غیر نسبیتی ما را برای آن آماده نکرده باشند. اجازه دهید به سادگی راه حل های 3 و 4 را به گونه ای دوباره برچسب گذاری کنیم که $\bgroup\color{black}$e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \vec{p}\rightarrow -\vec{p} \\ E\rightarrow -E \\ \end{eqnarray*}$

به طوری که تمام انرژی ها مثبت و لحظه لحظه ای در جهت سرعت ها باشد. یعنی علائم راه حل های 3 و 4 را به صورت زیر تغییر می دهیم.

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}_{\vec{p}}&=&\sqrt{E+mc^2\over 2EV} \pmatrix{1\cr 0\... .. .er E+mc^2}\cr 0\cr 1\cr}e^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

ما امواج صفحه ای از فرم را داریم

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} e^{\pm ip_\mu x_\mu/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

با علامت مثبت برای راه‌حل‌های 1 و 2 و علامت منفی برای راه‌حل‌های 3 و 4. این $\bgroup\color{black}$\pm$\egroup$ علامت‌ها در حالت نمایی از نقطه‌نظر راه‌حل‌های ممکن برای یک معادله دیفرانسیل چندان تعجب‌آور نیستند. مشکل در حال حاضر این است که برای راه حل های 3 و 4 عملگرهای تکانه و انرژی باید یک علامت منفی به آنها اضافه شود و فاز تابع موج در یک موقعیت ثابت بر خلاف آن چیزی که ما انتظار داریم و از زمان انتظار داریم رفتار کند. راه حل های 1 و 2. گویی راه حل های 3 و 4 در زمان به عقب حرکت می کنند.

اگر بار الکترون را از $\bgroup\color{black}$-e$\egroup$ به تغییر دهیم $\bgroup\color{black}$+e$\egroup$ و علامت توان را تغییر دهیم، معادله دیراک ثابت می ماند. بنابراین، اگر بار را به $\bgroup\color{black}$+e$\egroup$ . ما می توانیم راه حل های 3 و 4 را به عنوان پوزیترون تفسیر کنیم. هنگامی که عملگر صرف شارژ را مطالعه می کنیم، این سوئیچ را با دقت بیشتری انجام خواهیم داد.

معادله دیراک باید تحت فشارهای لورنتز و تحت چرخش ثابت باشد، که هر دو فقط تغییراتی در تعریف یک سیستم مختصات اینرسی هستند. تحت بوست های لورنتس، تبدیل هایی مانند 4 بردار می شود اما ماتریس ها ثابت هستند. معادله دیراک نشان داده می شود که تحت بوست ها در امتداد جهت ثابت است اگر اسپینور دیراک را مطابق با آن تبدیل کنیم. $\bgroup\color{black}${\partial\over\partial x_\mu}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\gamma_\mu$\egroup$ $\bgroup\color{black}$x_i$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \psi'&=&S_{boost}\psi \\ S_{boost}&=&\cosh{\chi\over 2}+i\gamma_i\gamma_4\sinh{\chi\over 2} \\ \پایان{eqnarray*}$

با . $\bgroup\color{black}$\tanh\chi=\beta$\egroup$

معادله دیراک تحت چرخش حول $\bgroup\color{black}$k$\egroup$ محور ثابت است اگر اسپینور دیراک را مطابق با

$\begin{eqnarray*} \psi'&=&S_{rot}\psi \\ S_{rot}&=&\cos{\theta\over 2}+\gamma_i\gamma_j\sin{\theta\over 2} \ پایان{eqnarray*}$

با $\bgroup\color{black}$ijk$\egroup$ یک جایگشت حلقوی است.

تقارن دیگر مربوط به انتخاب سیستم مختصات برابری است. تحت یک عملیات وارونگی برابری، معادله دیراک ثابت می ماند اگر

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi'=S_P\psi=\gamma_4\psi \egroup\end{displaymath}$

از آنجایی که مولفه های سوم و چهارم اسپینور تغییر علامت می دهند در حالی که دو جزء اول تغییر نمی کنند. از آنجایی که می توانستیم انتخاب کنیم ، تنها چیزی که می دانیم این است که مؤلفه های 3 و 4 برابری مخالف مؤلفه های 1 و 2 دارند . $\bgroup\color{black}$\gamma_4=\pmatrix{1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$-\gamma_4$\egroup$

از 4 در 4 ماتریس، ما ممکن است 16 جزء مستقل از اشیاء کوواریانت را استخراج کنیم. ما حاصل ضرب همه ماتریس های گاما را تعریف می کنیم .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \gamma_5=\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4 \egroup\end{displaymath}$

که آشکارا با تمام ماتریس های گاما ضد رفت و آمد است .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \{\gamma_\mu,\gamma_5\}=0 \egroup\end{displaymath}$

برای چرخش و تقویت، $\bgroup\color{black}$\gamma_5$\egroup$ رفت و آمد با $\bgroup\color{black}$S$\egroup$ آن را با جفت ماتریس گاما رفت و آمد. برای وارونگی برابری، با $\bgroup\color{black}$S_P=\gamma_4$\egroup$ .

ساده‌ترین مجموعه کوواریانت‌هایی که می‌توانیم از اسپینرها و $\bgroup\color{black}$\gamma$\egroup$ ماتریس‌های دیراک بسازیم در زیر جدول‌بندی شده‌اند.

طبقه بندی	فرم کوواریانس	نه از اجزای

اسکالر	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\psi$\egroup$	1
شبه اسکالر	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\gamma_5\psi$\egroup$	1
بردار	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\gamma_\mu\psi$\egroup$	4
وکتور محوری	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\gamma_5\gamma_\mu\psi$\egroup$	4
تانسور ضد متقارن رتبه 2	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\sigma_{\mu\nu}\psi$\egroup$	6
جمع		16

حاصل‌های $\bgroup\color{black}$\gamma$\egroup$ ماتریس‌های بیشتر، مقادیر مشابهی را تکرار می‌کنند، زیرا مربع هر $\bgroup\color{black}$\gamma$\egroup$ ماتریس 1 است.

برای بسیاری از اهداف، نوشتن معادله دیراک به شکل سنتی مفید است $\bgroup\color{black}$H\psi=E\psi$\egroup$ . برای انجام این کار، باید مشتقات مکان و زمان را از هم جدا کنیم و معادله را کمتر کوواریانت کنیم.

$\begin{eqnarray*} \left(\gamma_\mu{\partial\over\partial x_\mu}+{mc\over\hbar}\r... ...mc^2}\gamma_4\right)\ psi=-\hbar{\partial\over\partial t}\psi \\ \end{eqnarray*}$

بنابراین ما می توانیم عملگر زیر را به عنوان همیلتونی شناسایی کنیم.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H=ic\gamma_4\gamma_jp_j+mc^2\gamma_4 \egroup\end{displaymath}$

همیلتون به ما کمک می کند تا ثابت های حرکت را شناسایی کنیم. اگر یک اپراتور با commute کند $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ ، یک کمیت حفظ شده را نشان می دهد.

دیدن $\bgroup\color{black}$p_k$\egroup$ رفت و آمدها با همیلتونین برای یک ذره آزاد آسان است تا حرکت حفظ شود . اجزای تکانه زاویه ای مداری با $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} [H,L_z]=ic\gamma_4[\gamma_jp_j,xp_y-yp_x]=\hbar c\gamma_4(\gamma_1p_y-\gamma_2 p_x) \egroup\gmath}{display$

اجزای اسپین نیز با $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {[H,S_z]}=\hbar c\gamma_4[\gamma_2p_x-\gamma_1p_y] \egroup\end{displaymath}$

اما، با توجه به موارد فوق، اجزای تکانه زاویه ای کل با $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ .

$\begin{eqnarray*}[H,J_z]=[H,L_z]+[H,S_z]=\hbar c\gamma_4(\gamma_1p_y-\gamma_2 p_x)+\hbar c\gamma_4[\gamma_2p_x-\gamma_1p_y] =0 \\ \end{eqnarray*}$

معادله دیراک به طور طبیعی تکانه زاویه ای کل را حفظ می کند، اما بخش های مداری یا اسپین آن را حفظ نمی کند.

همچنین می‌توانیم ببینیم که مارپیچ یا چرخش در جهت حرکت، رفت‌وآمد می‌کند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} [H,\vec{S}\cdot\vec{p}]=[H,\vec{S}]\cdot\vec{p}=0 \egroup\ پایان{نمایش}$

برای هر محاسباتی باید اصطلاح برهمکنش با میدان الکترومغناطیسی را بدانیم. بر اساس برهمکنش میدان با جریان

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H_{int}=-{1\over c}j_\mu A_\mu \egroup\end{displaymath}$

و جریانی که برای معادله دیراک پیدا کردیم، برهمکنش همیلتونی است.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H_{int}=ie\gamma_4\gamma_k A_k \egroup\end{displaymath}$

این ساده تر از حالت غیر نسبیتی است، بدون $\bgroup\color{black}$A^2$\egroup$ عبارت و تنها یک توان از $\bgroup\color{black}$e$\egroup$ .

معادله دیراک پدیده‌های غیرمنتظره‌ای دارد که می‌توانیم آنها را استخراج کنیم. مقادیر ویژه سرعت برای الکترون ها همیشه $\bgroup\color{black}$\pm c$\egroup$ در امتداد هر جهتی هستند. بنابراین تنها مقادیر سرعتی که می‌توانیم اندازه‌گیری کنیم، هستند $\bgroup\color{black}$\pm c$\egroup$ .

حالت های موضعی، گسترش یافته در امواج صفحه، شامل هر چهار جزء راه حل های موج صفحه است. اختلاط اجزای 1 و 2 با اجزای 3 و 4 باعث ایجاد Zitterbewegung می شود ، نوسان بسیار سریع سرعت و موقعیت الکترون.

$\begin{eqnarray*} \langle v_k\rangle&=&\sum\limits_{\vec{p}}\sum\limits_{r=1}^4\... ...mma_k u^{(r') }_{\vec{p}} e^{2i\vert E\vert t/\hbar}\right] \\ \end{eqnarray*}$

آخرین مجموع که شامل ترازهای متقاطع بین انرژی منفی و مثبت است نشان دهنده نوسانات فرکانس بسیار بالا در مقدار مورد انتظار سرعت است که به عنوان Zitterbewegung شناخته می شود. مقدار مورد انتظار موقعیت دارای نوسانات سریع مشابه است.

می توان معادله دیراک را دقیقاً برای هیدروژن به روشی بسیار شبیه به جواب غیرنسبیتی حل کرد. یک تفاوت این است که از ابتدا مشخص است که تکانه زاویه ای کل ثابت حرکت است و به عنوان یک عدد کوانتومی پایه استفاده می شود. یک عدد کوانتومی حفظ شده دیگر مربوط به جزء اسپین در امتداد جهت $\bgroup\color{black}$\vec{J}$\egroup$ . با این اعداد کوانتومی، معادله شعاعی را می توان به روشی مشابه با حالت غیر نسبیتی که رابطه انرژی را به دست می دهد، حل کرد .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} E={mc^2\over\sqrt{1+{Z^2\alpha^2\over\le... ...rt{\left(j+{ 1\over 2}\right)^2-Z^2\alpha^2}\right)^2}}} \egroup\end{displaymath}$

ما می توانیم عدد کوانتومی اصلی استاندارد را در این مورد به صورت . این نتیجه همان پاسخ محاسبه غیر نسبیتی ما به ترتیب را می دهد، اما به مرتبه بالاتر نیز صحیح است . این یک راه حل دقیق برای مسئله مکانیک کوانتومی مطرح شده است، اما اثرات نظریه میدان ، مانند جابجایی بره و گشتاور مغناطیسی غیرعادی الکترون را شامل نمی شود. $\bgroup\color{black}$n=n_r+j+{1\بیش از 2}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\alpha^4$\egroup$

محاسبه پراکندگی تامسون نشان می‌دهد که حتی پراکندگی فوتون‌های کم انرژی برای به دست آوردن پاسخی غیرصفر به حالت‌های «انرژی منفی» یا پوزیترون وابسته است. اگر محاسبه با دو نمودار انجام شود که در آن یک فوتون جذب شده و سپس توسط یک الکترون گسیل می شود (و بالعکس) نتیجه در انرژی کم صفر است زیرا برهمکنش هامیلتونی حالت های موج صفحه اول و دوم را با حالت سوم و چهارم متصل می کند. در شتاب صفر این در تضاد با محاسبات کلاسیک و غیر نسبیتی و همچنین اندازه گیری است. اگر این امکان را در نظر بگیریم که فوتون بتواند جفت پوزیترون الکترونی ایجاد کند که با گسیل الکترون اولیه یک فوتون (یا با مبادله فوتون های اولیه و نهایی) از بین می رود، نمودارهای بیشتری وجود دارد. این دو عبارت جواب درست را می دهند.

معادله دیراک تحت ترکیب بار ثابت است و به عنوان تغییر حالت های الکترونی به حالت های پوزیترون باردار مخالف با حرکت و اسپین یکسان (و تغییر علامت میدان های خارجی) تعریف می شود. برای انجام این کار، اسپینور دیراک مطابق با تغییر شکل می‌شود.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi'= \gamma_2\psi^* \egroup\end{displaymath}$

البته عملیات تلفیق شارژ دوم حالت را به حالت اولیه برمی گرداند $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ . اعمال این به راه حل های موج صفحه می دهد

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}_{\vec{p}}=\sqrt{mc^2\over\vert E\vert V} u^{(1)}_{... ...{-\vec{p}} e^{i(-\vec{p}\cdot\vec{x}-\vert E\vert t)/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

که اسپینورهای پوزیترون جدید را تعریف می کند و مزدوج بار و . $\bgroup\color{black}$v^{(1)}_{\vec{p}}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$v^{(2)}_{\vec{p}}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$u^{(1)}_{\vec{p}}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$u^{(2)}_{\vec{p}}$\egroup$

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node45.html

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

1-معادله دیراک

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین