ریاضیات

نمایندگی ها [ ویرایش ]

حالت های پایه با مجموعه ای از اعداد کوانتومی مشخص می شوند. این مجموعه ای از مقادیر ویژه از مجموعه حداکثری از مشاهده پذیرهای در حال رفت و آمد است . مشاهده پذیرهای فیزیکی با عملگرهای خطی که به آنها قابل مشاهده نیز گفته می شود، در فضای بردارها نشان داده می شوند. حداکثر به این معنی است که نمی‌توان مشاهده‌پذیرهای جبری مستقل دیگری را به مجموعه اضافه کرد که با آنهایی که از قبل وجود دارند رفت و آمد کنند. انتخاب چنین مجموعه ای را می توان انتخاب نمایندگی نامید .

• این یک فرض مکانیک کوانتومی است که یک کمیت فیزیکی قابل مشاهده از یک سیستم، مانند موقعیت، تکانه، یا اسپین، توسط یک عملگر هرمیتی خطی در فضای حالت نمایش داده می شود. نتایج احتمالی اندازه گیری کمیت، مقادیر ویژه عملگر است. [18] در یک سطح عمیق تر، بیشتر مشاهده پذیرها، شاید همه، به عنوان مولد تقارن به وجود می آیند . [18] [35] [nb 6]
• تفسیر فیزیکی این است که چنین مجموعه ای نشان دهنده آن چیزی است که می توان - در تئوری - به طور همزمان با دقت دلخواه اندازه گیری کرد. رابطه عدم قطعیت هایزنبرگ اندازه گیری دقیق همزمان دو مشاهده پذیر غیر قابل جابجایی را ممنوع می کند.
• مجموعه غیر منحصر به فرد است. ممکن است برای یک سیستم تک ذره ای، به عنوان مثال، موقعیت و چرخش z-projection، (x، Sz) باشد ، یا ممکن است حرکت و چرخش y - projection ، ( p ، S y ) باشد . در این حالت، عملگر مربوط به موقعیت ( عملگر ضرب در نمایش موقعیت) و عملگر متناظر با تکانه ( عملگر دیفرانسیل در نمایش موقعیت) جابجا نمی شوند.
• پس از انتخاب نمایندگی، باز هم خودسری وجود دارد. باقی مانده است که یک سیستم مختصات را انتخاب کنید. برای مثال، این ممکن است با انتخاب محور x ، y- و z ، یا انتخاب مختصات منحنی مطابق با مختصات کروی مورد استفاده برای توابع موج اتمی هیدروژن باشد. این انتخاب نهایی همچنین پایه ای را در فضای انتزاعی هیلبرت ثابت می کند. حالات اساسی با اعداد کوانتومی مربوط به حداکثر مجموعه مشاهده پذیرهای جابجایی و یک سیستم مختصات مناسب برچسب گذاری می شوند. [nb 7]

حالت‌های انتزاعی تنها از این جهت «انتزاعی» هستند که انتخاب دلخواه لازم برای توصیف صریح خاصی از آن داده نشده است. این همان است که بگوییم هیچ انتخابی از حداکثر مجموعه مشاهده پذیرهای رفت و آمد داده نشده است. این مشابه یک فضای برداری بدون مبنای مشخص است. بر این اساس توابع موج مربوط به یک حالت منحصر به فرد نیستند. این غیر منحصر به فرد بودن منعکس کننده عدم منحصر به فرد بودن در انتخاب مجموعه حداکثری از مشاهده پذیرهای رفت و آمد است. برای یک ذره اسپین در یک بعد، به یک حالت خاص ، دو تابع موج، Ψ( x ، Sz ) و Ψ( p ، Sy ) مطابقت دارد، که هر دو یکسان را توصیف می کنند.حالت.

• برای هر انتخاب از مجموعه‌های رفت‌وآمد حداکثری از مشاهده‌پذیرها برای فضای حالت انتزاعی، یک نمایش مربوطه وجود دارد که به فضای تابعی از توابع موج مرتبط است.
• بین همه این فضاهای تابع مختلف و فضای حالت انتزاعی، مطابقت های یک به یک وجود دارد (در اینجا بدون توجه به نرمال سازی و فاکتورهای فاز غیرقابل مشاهده)، مخرج مشترک در اینجا یک حالت انتزاعی خاص است. رابطه بین تکانه و توابع موج فضای موقعیت، برای مثال، توصیف همان حالت تبدیل فوریه است .

هر انتخاب بازنمایی باید به عنوان مشخص کننده یک فضای تابع منحصر به فرد در نظر گرفته شود که در آن توابع موجی مربوط به آن انتخاب نمایش زندگی می کنند. این تمایز بهتر است حفظ شود، حتی اگر بتوان استدلال کرد که دو فضای تابعی از این نظر از نظر ریاضی با هم برابر هستند، به عنوان مثال مجموعه ای از توابع انتگرال پذیر مربع هستند. سپس می توان فضاهای تابع را به عنوان دو کپی مجزا از آن مجموعه در نظر گرفت.

ضرب داخلی [ ویرایش ]

یک ساختار جبری اضافی در فضاهای برداری توابع موج و فضای حالت انتزاعی وجود دارد.

• از نظر فیزیکی، توابع موجی مختلف تا حدی با هم همپوشانی دارند. سیستمی در حالت Ψ که با حالت Φ همپوشانی ندارد ، نمی توان با اندازه گیری در حالت Φ یافت . اما اگر Φ 1 , Φ 2 , … تا حدی با Ψ همپوشانی داشته باشند ، این احتمال وجود دارد که اندازه گیری سیستمی که توسط Ψ توصیف شده است در حالت های Φ 1 , Φ 2 , ... یافت شود . همچنین قوانین انتخاباعمال می شوند. اینها معمولاً برای حفظ برخی اعداد کوانتومی فرموله می شوند. این بدان معنی است که فرآیندهای خاصی که از برخی منظرها مجاز هستند (مثلاً بقای انرژی و تکانه) رخ نمی دهند زیرا توابع موج کل اولیه و نهایی با هم همپوشانی ندارند.

این انگیزه معرفی یک ضربدرونی در فضای برداری حالت‌های کوانتومی انتزاعی است که با مشاهدات ریاضی بالا هنگام انتقال به یک نمایش سازگار است. نشان داده می شود (Ψ, Φ) یا در نماد Bra–ket 〈Ψ|Φ〉 . یک عدد مختلط به دست می دهد. با ضرب داخلی، فضای عملکرد یک فضای ضرب داخلی است . ظاهر صریح حاصلضرب داخلی (معمولاً انتگرال یا مجموع انتگرالها) به انتخاب نمایش بستگی دارد، اما عدد مختلط (Ψ, Φ) اینطور نیست. بسیاری از تفسیرهای فیزیکی مکانیک کوانتومی از قانون Born سرچشمه می گیرد . بیان می کند که احتمال pبرای یافتن حالت Φ در هنگام اندازه گیری با توجه به اینکه سیستم در حالت Ψ است

که در آن Φ و Ψ نرمال شده فرض می شوند. یک آزمایش پراکندگی را در نظر بگیرید . در نظریه میدان کوانتومی، اگر Φ out حالتی را در "آینده دور" (یک "حالت خارج") پس از پایان برهمکنش بین ذرات پراکنده و Ψ در "در حالت" در "گذشته دور" توصیف می کند، پس کمیت ها (Φ out , Ψ in ) , با متغیر Φ out و Ψ به ترتیب در یک مجموعه کامل از حالات in و out، ماتریس S یا ماتریس پراکندگی نامیده می شود . آگاهی از آن، به طور مؤثر، داشتن استحداقل تا آنجا که پیش‌بینی‌ها پیش می‌روند، تئوری موجود را حل کرد . مقادیر قابل اندازه گیری مانند نرخ پوسیدگی و مقاطع پراکندگی از ماتریس S قابل محاسبه هستند. [36]

فضای هیلبرت [ ویرایش ]

مشاهدات فوق جوهر فضاهای تابعی را که توابع موج عناصر آن هستند در بر می گیرد. با این حال، توضیحات هنوز کامل نیست. یک الزام فنی دیگر در مورد فضای تابع وجود دارد، یعنی کامل بودن ، که به فرد اجازه می‌دهد محدودیت‌هایی از دنباله‌ها را در فضای تابع در نظر بگیرد، و اطمینان حاصل شود که در صورت وجود محدودیت، عنصری از فضای تابع است. فضای کامل ضربدرونی، فضای هیلبرت نامیده می شود . خاصیت کامل بودن در درمان ها و کاربردهای پیشرفته مکانیک کوانتومی بسیار مهم است. به عنوان مثال، وجود عملگرهای طرح ریزی یا پیش بینی های متعامد به کامل بودن فضا متکی است. [37]این عملگرهای طرح ریزی، به نوبه خود، برای بیان و اثبات بسیاری از قضایای مفید، مانند قضیه طیفی ، ضروری هستند . در مکانیک کوانتومی مقدماتی اهمیت چندانی ندارد و جزئیات فنی و پیوندها ممکن است در پاورقی‌هایی مانند آنچه در ادامه می‌آید یافت شوند. [nb 8] فضای L 2 یک فضای هیلبرت است که ضرب داخلی آن بعداً ارائه می شود. فضای تابع مثال شکل زیرفضای L 2 است . زیرفضای یک فضای هیلبرت اگر بسته باشد، فضای هیلبرت است.

به طور خلاصه، مجموعه تمام توابع موج قابل نرمال‌سازی ممکن برای یک سیستم با انتخاب پایه خاص، همراه با بردار تهی، یک فضای هیلبرت را تشکیل می‌دهند.

همه عملکردهای مورد علاقه عناصر برخی از فضای هیلبرت نیستند، مثلاً L 2 . بارزترین مثال مجموعه توابع e 2 πi p · x ⁄ h است . اینها راه حل های موج مسطح معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد هستند، اما قابل نرمال سازی نیستند، بنابراین در L2 نیستند . اما با این وجود آنها برای توصیف اساسی هستند. با استفاده از آنها می توان توابعی را بیان کرد که با استفاده از بسته های موجی قابل نرمال سازی هستند . آنها به یک معنا یک پایه هستند (اما نه مبنای فضایی هیلبرت و نه مبنای هامل) که در آن توابع موج مورد علاقه را می توان بیان کرد. همچنین مصنوع «نرمال‌سازی به تابع دلتا» وجود دارد که اغلب برای راحتی نمادها استفاده می‌شود، به ادامه مطلب مراجعه کنید. خود توابع دلتا نیز قابل انتگرال مربع نیستند.

شرح فوق از فضای تابع حاوی توابع موج عمدتاً انگیزه ریاضی دارد. فضاهای تابع، به دلیل کامل بودن، به یک معنا بسیار بزرگ هستند. همه توابع توصیف واقعی هر سیستم فیزیکی نیستند. به عنوان مثال، در فضای تابع L 2 می توان تابعی را یافت که برای همه اعداد گویا مقدار 0 و برای غیر منطقی های بازه [0، 1] - i می گیرد . این مربع قابل انتگرال است ، [nb 9] اما به سختی می تواند یک حالت فیزیکی را نشان دهد.

فضاهای رایج هیلبرت [ ویرایش ]

در حالی که فضای راه حل ها به عنوان یک کل فضای هیلبرت است، بسیاری از فضاهای هیلبرت دیگر معمولاً به عنوان مواد تشکیل دهنده ظاهر می شوند.

• توابع با ارزش مجتمع قابل انتگرال مربع در بازه [0, 2 π ] . مجموعه { e int /2 π , n ∈ ℤ} مبنای فضای هیلبرت است، یعنی یک مجموعه متعارف حداکثر.
• تبدیل فوریه توابعی را در فضای فوق به عناصر l 2 (ℤ) می برد ، فضای توابع جمع شونده مربع ℤ → ℂ . فضای اخیر یک فضای هیلبرت است و تبدیل فوریه هم شکلی از فضاهای هیلبرت است. [nb 10] اساس آن { e i , i ∈ ℤ} با e i ( j ) = δ ij , i , j ∈ ℤ است .
• ابتدایی ترین مثال چندجمله ای های پوشا در فضای توابع انتگرال پذیر مربع در بازه [-1، 1] است که برای آن چند جمله ای های لژاندر مبنای فضای هیلبرت (مجموعه کامل متعارف) است.
• توابع مربعی قابل انتگرال در کره واحد S 2 یک فضای هیلبرت است. توابع پایه در این مورد هارمونیک های کروی هستند . چند جمله ای های لژاندر اجزای تشکیل دهنده هارمونیک های کروی هستند. اکثر مسائل مربوط به تقارن چرخشی با توجه به آن تقارن راه حل "یکسان" (معروف) خواهند داشت، بنابراین مسئله اصلی به مسئله ای با ابعاد ک کاهش می یابد.
• چند جمله ای های لاگر مرتبط در مسئله تابع موج هیدروژنی پس از فاکتورگیری هارمونیک های کروی ظاهر می شوند. اینها فضای هیلبرت توابع انتگرال پذیر مربعی را در بازه نیمه نامتناهی [0, ∞) در بر می گیرند .

به طور کلی، ممکن است یک درمان یکپارچه از تمام راه حل های چند جمله ای مرتبه دوم معادلات Sturm-Liouville در فضای هیلبرت در نظر گرفته شود. اینها عبارتند از چند جمله ای لژاندر و لاگر و همچنین چند جمله ای های چبیشف , چند جمله ای های ژاکوبی و چند جمله ای های هرمیت . همه اینها در واقع در مسائل فیزیکی ظاهر می شوند، دومی در نوسانگر هارمونیک ، و آنچه در غیر این صورت پیچ و خم گیج کننده ای از ویژگی های توابع خاص است به مجموعه ای سازمان یافته از حقایق تبدیل می شود. برای این، بایرون و فولر (1992 ، فصل 5) را ببینید.

فضاهای هیلبرت با ابعاد محدود نیز وجود دارد. فضای ℂ n یک فضای هیلبرت با بعد n است . ضرب داخلی ضرب داخلی استاندارد در این فضاها است. در آن، "قسمت اسپین" تابع موج تک ذره ای قرار دارد.

• در توصیف غیر نسبیتی یک الکترون، یک الکترون n = 2 دارد و تابع موج کل حل معادله پائولی است .
• در درمان نسبیتی مربوطه، n = 4 و تابع موج معادله دیراک را حل می کند .

با ذرات بیشتر، شرایط پیچیده تر است. باید از محصولات تانسوری استفاده کرد و از نظریه بازنمایی گروه‌های تقارن درگیر ( به ترتیب گروه چرخش و گروه لورنتس ) برای استخراج فضاهایی که توابع موج اسپین (کل) در آن قرار دارند، استفاده کرد. (مشکلات بیشتری در مورد نسبیتی به وجود می آید مگر اینکه ذرات آزاد باشند. [38] به معادله بته-سالپیتر مراجعه کنید .) نکات مربوط به مفهوم ایزوسپین که گروه تقارن آن SU(2) است، اعمال می شود . مدل‌های نیروهای هسته‌ای دهه شصت (هنوز هم کاربرد دارند، نیروی هسته‌ای را ببینید ) از گروه تقارن استفاده می‌کردند.SU (3) . در این مورد نیز، بخشی از توابع موج مربوط به تقارن های درونی در برخی ℂ n یا زیرفضاهای حاصل از تانسور چنین فضاهایی قرار دارد.

• در نظریه میدان کوانتومی، فضای هیلبرت زیربنایی، فضای فاک است . این از حالت های تک ذره آزاد ساخته شده است، به عنوان مثال، توابع موج در هنگام انتخاب یک نمایش، و می تواند هر تعداد محدود، نه لزوماً ثابت در زمان، تعداد ذرات را در خود جای دهد. دینامیک جالب (یا بهتر بگوییم قابل حمل ) نه در توابع موج بلکه در عملگرهای میدانی نهفته است که عملگرهایی هستند که در فضای Fock عمل می کنند. بنابراین تصویر هایزنبرگ رایج ترین انتخاب است (حالت های ثابت، عملگرهای متغیر زمان).

با توجه به ماهیت بی‌بعدی سیستم، ابزارهای ریاضی مناسب از موضوعات مورد مطالعه در تحلیل تابعی هستند .

توضیحات ساده شده [ ویرایش ]

پیوستگی تابع موج و اولین مشتق فضایی آن (در جهت x ، مختصات y و z نشان داده نشده است)، در زمانی t .

همه کتاب‌های درسی مقدماتی مسیر طولانی را طی نمی‌کنند و ماشین‌های فضایی هیلبرت کامل را معرفی نمی‌کنند، اما تمرکز بر معادله شرودینگر غیر نسبیتی در نمایش موقعیت برای برخی پتانسیل‌های استاندارد است. محدودیت‌های زیر بر روی تابع موج گاهی اوقات به صراحت برای محاسبات و تفسیر فیزیکی فرمول‌بندی می‌شوند: [39] [40]

• تابع موج باید مربع قابل انتگرال باشد . این توسط تفسیر کپنهاگ از تابع موج به عنوان دامنه احتمال ایجاد می شود.
• باید در همه جا پیوسته و در همه جا پیوسته قابل تمایز باشد . این به دلیل ظهور معادله شرودینگر برای اکثر پتانسیل های منطقی فیزیکی است.

می توان این شرایط را برای اهداف خاص تا حدودی آرام کرد. [nb 11] اگر این الزامات برآورده نشود، نمی توان تابع موج را به عنوان دامنه احتمال تفسیر کرد. [41]

این ساختار فضای هیلبرت را که این توابع موجی خاص در آن زندگی می کنند تغییر نمی دهد، اما زیرفضای توابع قابل انتگرال مربع L 2 ، که یک فضای هیلبرت است، که نیاز دوم را برآورده می کند، در L 2 بسته نیست ، بنابراین هیلبرت نیست. فضا به خودی خود [nb 12] عملکردهایی که الزامات را برآورده نمی کنند، هم به دلایل فنی و هم به دلایل عملی مورد نیاز هستند. [nb 13] [nb 14]

اطلاعات بیشتر در مورد توابع موج و فضای حالت انتزاعی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: حالت کوانتومی

همانطور که نشان داده شد، مجموعه همه توابع موج ممکن در برخی از نمایش‌های یک سیستم، فضای هیلبرت بی‌بعدی کلی را تشکیل می‌دهند . با توجه به انتخاب های متعدد ممکن برای بازنمایی، این فضاهای هیلبرت منحصر به فرد نیستند. بنابراین در مورد فضای هیلبرت انتزاعی صحبت می‌شود، فضای حالت ، که در آن انتخاب بازنمایی و مبنای نامشخص باقی مانده است. به طور خاص، هر حالت به عنوان یک بردار انتزاعی در فضای حالت نمایش داده می شود. [42] یک حالت کوانتومی |Ψ〉 در هر نمایشی به طور کلی به عنوان یک بردار بیان می شود

جایی که

• | α , ω 〉 بردارهای پایه نمایش انتخاب شده
• d m ω = dω 1 dω 2 ... dω m یک " عنصر حجم دیفرانسیل " در درجات آزادی پیوسته
• Ψ( α , ω , t ) جزء بردار |Ψ〉 که تابع موج سیستم نامیده می شود.
• α = ( α 1 , α 2 , ..., α n ) اعداد کوانتومی گسسته بی بعد
• ω = ( ω 1 , ω 2 , ..., ω m ) متغیرهای پیوسته (نه لزوماً بدون بعد)

این اعداد کوانتومی اجزای بردار حالت را نمایه می کنند. بیشتر، همه α در یک مجموعه n بعدی A = A 1 × A 2 × ... × A n هستند که در آن هر A i مجموعه ای از مقادیر مجاز برای α i است . همه ω در یک "حجم" m بعدی هستند Ω ⊆ ℝ m که در آن Ω = Ω 1 × Ω 2 × ... × Ω m و هر Ω i ⊆ R مجموعه مقادیر مجاز برای ω i ، زیر مجموعه ای ازاعداد واقعی R. برای کلیت n و m لزوماً برابر نیستند.

مثال:

1. برای یک ذره منفرد در 3d با اسپین s ، با نادیده گرفتن درجات آزادی دیگر، با استفاده از مختصات دکارتی، می توانیم α = ( s z ) را برای عدد کوانتومی اسپین ذره در امتداد جهت z، و ω = ( x ، y ، z ) برای مختصات موقعیت ذره. در اینجا A = {− s , − s + 1, ..., s − 1, s } مجموعه اعداد کوانتومی اسپین مجاز و Ω = R 3 مجموعه همه موقعیت های ذرات ممکن در فضای موقعیت سه بعدی است.
2. یک انتخاب جایگزین α = ( s y ) برای عدد کوانتومی اسپین در امتداد جهت y و ω = ( p x , p y , p z ) برای اجزای تکانه ذره است. در این مورد A و Ω مانند قبل هستند.

چگالی احتمال یافتن سیستم در زمانتیدر حالت | α , ω 〉 است

احتمال یافتن سیستم با α در برخی یا همه پیکربندی‌های متغیر گسسته ممکن، D ⊆ A ، و ω در برخی یا همه پیکربندی‌های متغیر پیوسته ممکن، C ⊆ Ω ، مجموع و انتگرال بر روی چگالی است، [nb 15]

از آنجایی که مجموع همه احتمالات باید 1 باشد، شرط نرمال سازی است

باید همیشه در طول تکامل سیستم حفظ شود.

شرط نرمال سازی مستلزم آن است که ρ d m ω بدون بعد باشد، با تجزیه و تحلیل ابنرمال Ψ باید واحدهای مشابه ( ω 1 ω 2 ... ω m ) -1/2 داشته باشد .

هستی شناسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تفسیرهای مکانیک کوانتومی

این که آیا تابع موج واقعاً وجود دارد یا نه، و اینکه چه چیزی را نشان می دهد، سؤالات اصلی در تفسیر مکانیک کوانتومی است . بسیاری از فیزیکدانان مشهور نسل قبلی مانند شرودینگر ، انیشتین و بور در مورد این مشکل متحیر بودند . برخی از فرمول‌بندی‌ها یا انواع تفسیر کپنهاگ (مانند بور، ویگنر و فون نویمان ) حمایت می‌کنند، در حالی که برخی دیگر، مانند ویلر یا جینز ، رویکرد کلاسیک‌تری دارند [43]و تابع موج را به عنوان نمایانگر اطلاعات در ذهن ناظر، یعنی معیاری از دانش ما از واقعیت در نظر بگیرید. برخی، از جمله شرودینگر، بوهم و اورت و دیگران، استدلال کردند که تابع موج باید یک وجود عینی و فیزیکی داشته باشد. اینشتین فکر می‌کرد که توصیف کامل واقعیت فیزیکی باید مستقیماً به فضا و زمان فیزیکی اشاره کند، به‌عنوان متمایز از تابع موج، که به یک فضای ریاضی انتزاعی اشاره دارد. [44]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• بوزون
• نظریه دو بروگلی-بوم
• آزمایش دو شکاف
• موج فارادی
• فرمیون
• فرمول بندی فاز-فضا
• معادله شرودینگر
• سقوط تابع موج
• بسته موج

​منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function

​