چرخش SU(2)، SO(3) و 360 درجه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اسپین (فیزیک)

اگرچه ممکن است انتظار داشته باشیم {\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}(چرخش 360 درجه عملگر همانی است)، این در مکانیک کوانتومی فرض نمی شود، و معلوم می شود که اغلب درست نیست: زمانی که عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل یک عدد نیم صحیح است (1/2، 3/2). ، و غیره.)،{\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}و هنگامی که یک عدد صحیح است،{\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}. [6] از نظر ریاضی، ساختار چرخش‌ها در جهان SO(3) نیست ، گروه چرخش‌های سه‌بعدی در مکانیک کلاسیک. در عوض، SU(2) است که برای چرخش های کوچک با SO(3) یکسان است، اما در جایی که چرخش 360 درجه از نظر ریاضی از چرخش 0 درجه متمایز می شود. (اما چرخش 720 درجه همان چرخش 0 درجه است.) [6]

از سوی دیگر،{\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}در همه شرایط، زیرا چرخش 360 درجه یک پیکربندی فضایی مانند عدم چرخش است. (این با چرخش 360 درجه حالت داخلی (اسپین) ذره متفاوت است، که ممکن است مانند عدم چرخش باشد یا نباشد.) به عبارت دیگر،{\displaystyle R_{\text{spatial}}}اپراتورها ساختار SO(3) را دارند ، در حالی کهآرو؛ داخلی{\displaystyle R_{\text{internal}}}ساختار SU(2) را حمل می کند .

از معادله{\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\ hbar \راست)}، یکی یک حالت ویژه را انتخاب می کند{\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }و قرعه کشی می کند

{\displaystyle e^{-2\pi im}=1}یعنی اعداد کوانتومی تکانه زاویه‌ای مداری فقط می‌توانند اعداد صحیح باشند، نه نیمه صحیح.