ریاضیات

​

ساختار جبری ← نظریه گروه نظریه گروه
نشان دادن مفاهیم اساسی
نشان دادن گروه های متناهی
نشان دادن گروه های گسسته مشبک ها
نشان دادن گروه های توپولوژیکی و لی
نشان دادن گروه های جبری
v تی ه

اعداد صحیح با توپولوژی معمول خود زیر گروه مجزایی از اعداد واقعی هستند.

در ریاضیات ، گروه توپولوژیکی مانند G را در صورتی که نقطه حدی در آن وجود نداشته باشد، گروه گسسته می نامند (یعنی برای هر عنصر در G ، یک همسایگی وجود دارد که فقط آن عنصر را شامل می شود). به طور معادل، گروه G گسسته است اگر و تنها در صورتی که همانی آن جدا باشد. [1] ؛ به عبارت دیگر، این توپولوژی فضا از H در G است توپولوژی گسسته . به عنوان مثال، اعداد صحیح ، Z ، یک زیر گروه مجزا از واقعی ها را تشکیل می دهند، R (با توپولوژی متریک استاندارد )، اما اعداد گویا ، Q ، این کار را نمی کنند. یک گروه گسسته یک گروه توپولوژیکی G مجهز به توپولوژی گسسته است .

به هر گروهی می توان توپولوژی گسسته داد. از آنجایی که هر نقشه از یک فضای گسسته پیوسته است ، همریختیهای توپولوژیکی بین گروه‌های گسسته دقیقاً همریختیهای گروهی بین گروه‌های زیربنایی هستند. از این رو، وجود دارد ریخت بین دسته از گروه و دسته از گروه های گسسته. بنابراین گروه های گسسته را می توان با گروه های زیربنایی (غیر توپولوژیکی) آنها شناسایی کرد.

مواردی وجود دارد که یک گروه توپولوژیکی یا گروه لی به طور مفیدی با توپولوژی گسسته "در مقابل طبیعت" وقف می شود. این اتفاق می افتد به عنوان مثال در نظریه فشرده بور ، و در گروه های کوهمولوژِی تئوری گروه های لی.

گروه ایزومتریک گسسته یک گروه ایزومتری است به طوری که برای هر نقطه از فضای متریک مجموعه تصاویر نقطه زیر ایزومتریک ها یک مجموعه گسسته است . گروه تقارن گسسته یک گروه تقارن است که یک گروه ایزومتریک گسسته است.

فهرست

• 1خواص
• 2مثال ها
• 3همچنین ببینید
• 4استناد
• 5منابع

خواص [ ویرایش ]

از آنجایی که گروه های توپولوژیک همگن هستند ، تنها باید به یک نقطه نگاه کرد تا مشخص شود که آیا گروه توپولوژیک گسسته است یا خیر. به طور خاص، یک گروه توپولوژیک گسسته است اگر و تنها اگر تک تون حاوی همانی یک مجموعه باز باشد .

یک گروه گسسته همان گروه لی صفر بعدی است ( گروه های گسسته غیرقابل شمارش قابل شمارش دوم نیستند ، بنابراین نویسندگانی که به گروه های لی نیاز دارند تا این اصل را برآورده کنند، این گروه ها را به عنوان گروه های لی تلقی نمی کنند). جزء همانی یک گروه گسسته فقط است زیر گروه بی اهمیت در حالی که گروهی از اجزای متناظر به گروه خود می باشد.

از آنجایی که تنها توپولوژی هاسدورف در یک مجموعه متناهی، گسسته است، یک گروه توپولوژیک هاسدورف متناهی لزوما باید گسسته باشد. نتیجه می شود که هر زیرگروه متناهی از یک گروه هاسدورف گسسته است.

یک زیرگروه مجزا H از G هم فشرده است اگر یک زیر مجموعه فشرده K از G وجود داشته باشد به طوری که HK = G باشد.

زیر گروه های نرمال گسسته نقش مهمی در تئوری گروه های پوششی و گروه های هم شکل محلی ایفا می کنند . یک زیر گروه نرمال گسسته از یک متصل گروه G لزوما در نهفته مرکز از G است و بنابراین آبلی .

سایر خواص :

• هر گروه گسسته کاملاً قطع شده است
• هر زیر گروه از یک گروه گسسته گسسته است.
• هر ضریب یک گروه گسسته گسسته است.
• حاصل ضرب تعداد متناهیی از گروه های گسسته گسسته است.
• یک گروه گسسته فشرده است اگر و فقط اگر متناهی باشد.
• هر گروه گسسته به صورت محلی فشرده است .
• هر زیرگروه گسسته از یک گروه Hausdorff بسته است.
• هر زیرگروه گسسته از یک گروه فشرده Hausdorff متناهی است.

مثالها [ ویرایش ]

• گروه‌های فریز و گروه‌های کاغذ دیواری زیرگروه‌های مجزای گروه ایزومتریک صفحه اقلیدسی هستند. گروه های کاغذ دیواری جمع و جور هستند، اما گروه های Frieze اینطور نیستند.
• گروه کریستالوگرافی معمولا به معنی هم فشرده، گسسته زیر گروه از ایزومتری برخی از فضای اقلیدسی. با این حال، گاهی اوقات، یک گروه کریستالوگرافی می تواند یک زیرگروه مجزای فشرده از یک گروه لی nilpotent یا قابل حل باشد.
• هر گروه مثلث T یک زیر گروه مجزا از گروه همسان از حوزه است (زمانی که T متناهی است)، یک فضای اقلیدسی (زمانی که T دارای Z  +  Z زیرگروه متناهی شاخص )، و یا هواپیما هذلولی .
• گروه‌های فوشین طبق تعریف، زیرگروه‌های مجزا از گروه ایزومتریک صفحه هذلولی هستند.
  • یک گروه فوکسی که جهت گیری را حفظ می کند و بر روی مدل نیمه صفحه بالایی صفحه هذلولی عمل می کند، یک زیرگروه مجزا از گروه لی PSL(2, R ) است، گروهی از ایزومتریک های حفظ جهت گیری مدل نیمه صفحه بالایی هذلولی. سطح.
  • گروه فوکسی است که گاهی اوقات به عنوان یک مورد خاص از یک در نظر گرفته گروه کلاین تعبیه شده توسط هواپیما اغراقی ایزومتریک به فضای هذلولی سه بعدی و گسترش اقدام گروه در هواپیما به کل فضا،.
  • مدولار گروه PSL (2، Z ) است به عنوان یک زیر گروه مجزا از PSL (2، فکر R ). گروه مدولار یک شبکه در PSL(2, R ) است، اما جمع و جور نیست.
• گروه‌های کلاینی ، طبق تعریف، زیرگروه‌های مجزا از گروه ایزومتریک فضای ۳ هذلولی هستند . اینها شامل گروه های شبه فوشیایی است .
  • یک گروه کلاینی که جهت‌گیری را حفظ می‌کند و بر روی مدل نیمه فضای بالایی 3 فضای هذلولی عمل می‌کند، یک زیرگروه مجزا از گروه لی PSL(2, C ) است، گروهی از ایزومتریک‌های حفظ جهت‌گیری مدل نیمه فضای بالایی هذلولی 3. -فضا.
• یک شبکه در یک گروه لی یک زیرگروه گسسته است به طوری که اندازه هار فضای ضریب متناهی است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• گروه نقطه کریستالوگرافی
• زیر گروه همخوانی
• گروه حسابی
• نظریه گروه هندسی
• نظریه گروه محاسباتی
• آزادانه ناپیوسته
• مجموعه معمولی رایگان

​