ریاضیات

خیلی عالی 🌍
اگر کره (Sphere) را به‌عنوان یک شیء توپولوژیک در نظر بگیریم، «جبر آن» در توپولوژی جبری یعنی ناورداهای جبری‌ای که از این فضا استخراج می‌کنیم. این ناورداها ساختارهای جبری هستند که ویژگی‌های توپولوژیک کره را ثبت می‌کنند.

🔹 کره به‌عنوان شیء توپولوژیک

• کره‌ی (Sn) یعنی مجموعه‌ی نقاطی در R^n+1 با فاصله‌ی 1 از مبدأ: [ Sn = { x in R^n+1 \ |x| = 1 }

🔹 جبر متناظر با کره

1. گروه بنیادی ( \pi_1

   • برای کره‌های با بعد (n \geq 2):
     [ \pi_1(S^n) = 0 ] یعنی کره‌های با بعد بالاتر مسیرهای بسته‌ی غیرقابل کاهش ندارند.
   • برای دایره (S1):
     pi_1(S1) = Z یعنی مسیرهای بسته بر اساس تعداد دورها دسته‌بندی می‌شوند.

2. گروه‌های هموتوپی بالاتر ( pi_k)

   • این‌ها پیچیده‌ترند، ولی مثلاً:
     pi_n(S^n) = Z یعنی کره‌ی n-بعدی یک مولد اصلی دارد.

3. گروه‌های همولوژی (Homology Groups)

   • برای کره‌ی (Sn):
     H_k(Sn) = Z & k = 0 یا k = n \ 0 در غیر این صورت
   • این یعنی کره فقط دو «سوراخ» اصلی دارد: یکی برای اتصال کل فضا (H_0) و یکی برای پوسته‌ی n-بعدی (H_n) .

4. مشخصه اویلر–پوانکاره (Euler Characteristic)

   • برای کره‌ی (Sn):
     X(Sn) = 2 & اگر n زوج باشد \ 0 & اگر n فرد باشد end

✨ جمع‌بندی

• «جبر کره» در توپولوژی جبری یعنی گروه‌های بنیادی، هموتوپی و همولوژی آن.
• برای مثال:
  • (S^1): گروه بنیادی Z
  • (S^2): گروه بنیادی صفر، ولی همولوژی در درجه‌ی 0 و 2 برابر Z .
• این ساختارهای جبری به ما می‌گویند کره چه نوع «سوراخ‌ها» و «پیچیدگی‌های توپولوژیک» دارد.

می‌خواهی من یک جدول کامل بسازم که برای کره‌های (S^1, S^2, S^3, ...) گروه‌های بنیادی و همولوژی‌شان را کنار هم نشان دهد تا تصویر واضح‌تری از «جبر کره» داشته باشی؟